Procesos de Propagación de Información en Redes Complejas. Jean Pierre Chauny

Transcripción

1 TESIS MAESTRIA EN CIENCIAS FISICAS Procesos de Propagación de Información en Redes Complejas Jean Pierre Chauny Dr. Damián Zanette Director ETH El. Ing Jean Pierre Chauny Maestrando Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energía Atómica Universidad Nacional de Cuyo Diciembre 2005

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3 Resumen En este trabajo estudiamos procesos de propagación de información en redes complejas, así como un mecanismo no supervisado de detección y corrección de errores basado en la estructura de clusters de la red. Mediante un algoritmo particular de construcción de redes definimos una clase de redes complejas dirigidas. Una probabilidad, la aleatoriedad de la red, nos permitió interpolar entre redes ordenadas y redes aleatorias. El estudio de las propiedades geométricas se realizó midiendo tres cantidades: el número de salidas, la distancia media y el grado de clustering. Esto nos llevó a clasificar las redes en cuatro tipos: red ordenada, red aleatoria, red totalmente conectada y red small world dirigida. Una dinámica de interacción sencilla modela el proceso de propagación de información. En ese contexto nos interesamos en la evolución temporal del número de nodos informados en función de los parámetros topológicos de la red. Las evidencias numéricas demuestran que las propiedades dinámicas son fuertemente influenciadas por la topología de las redes subyacentes. La red totalmente conectada nos permitió validar nuestros algoritmos computacionales, ya que concede un tratamiento analítico cerrado. Asimismo este tipo de red nos condujo a una clasificación fenomenológica de las redes aleatorias y small world dirigidas a través de un tiempo característico que describe la velocidad de propagación. La red ordenada, por su lado, mostró dos regímenes dinámicos: uno esencialmente lineal cuando la conectividad de la red es mucho menor que el número de nodos y otro de tipo logístico cuando la conectividad es del orden del número de nodos. El régimen lineal fue descripto por una ecuación integro diferencial que nos permitió modelar el proceso de propagación como dos ondas informativas desplazándose a través de la red en direcciones opuestas y con una velocidad constante proporcional a la conectividad de la red. Finalmente estudiamos un mecanismo no supervisado de detección y corrección de errores. Para esto se introdujo ruido en la transmisión a través de una dada probabilidad y una interacción sencilla, a primeros vecinos entrantes, que permite a los agentes detectar y corregir errores. Nos interesamos en la fracción de nodos desinformados en función de los parámetros que gobiernan el ruido y el mecanismo de corrección, así como de la geometría de la red subyacente. Las simulaciones numéricas demostraron que las redes con alto grado de clustering se encuentran en desventaja cuando se introduce ruido en los canales de transmisión, pero que son más eficientes en detectar y corregir errores. iii

4 iv Palabras clave: sistemas complejos, redes complejas, propagación de información, red small world dirigida, detección de errores, corrección de errores.

5 Abstract We study processes of information propagation on complex networks and non-supervised detection and correction mechanisms based on the clustering structure of the underlying networks. By means of a specific construction algorithm we define a class of directed complex networks. The network randomness is a probability that allows us to interpolate between ordered and random networks. The study of geometrical properties is made by measuring three quantities: the number of outgoing edges, the mean distance and the clustering coefficient. This leads us to classify the networks in four different types: ordered, random, totally connected and directed small world networks. A simple dynamic interaction models the information propagation process. Within that context we are interested in the temporal evolution of the number of informed nodes related to the topological parameters of the networks. Numerical evidences show that the dynamical properties are strongly influenced by the geometry of the underlying networks. The totally connected network lets us validate our computer algorithms because it grants a complete analytical treatment. It also leads us to a phenomenological classification of the random and directed small world networks through a characteristic time which describes the propagation speed. On the other hand, the ordered network shows two different dynamical phases: an essentially linear one when the connectivity is much lesser than the number of nodes and a kind of logistic one when the connectivity is of the order of the number of nodes. The linear phase is described by an integral differential equation which lets us to model the propagation process as two information waves. These waves move through the network in opposite directions at a constant speed which is proportional to the connectivity. Finally we study a non supervised detection and correction mechanism. For this purpose we introduce noise in the transmission by a given probability and an elementary interaction process with the first incoming neighbours so that the agents are able to detect and correct this errors. We are interested in the fraction of the wrongly informed nodes related to the parameters that control the noise and the correction mechanism, as well as to the geometrical properties of the underlying networks. The numerical simulations show that the networks with a high clustering coefficient are more sensitive to the noise in the transmission channels but, at the same time, they are more efficient in detecting and correcting errors. v

6 vi Keywords: complex systems, complex networks, information propagation, directed small world network, error detection, error correction.

7 Índice general 1. Introducción Qué son redes complejas? Procesos de propagación de información Descripción del modelo El algoritmo de construcción de las redes La dinámica de interacción Propiedades geométricas de la red El número de salidas Z S La distancia media L El grado de clustering C Clasificación de las redes La red totalmente conectada La red small world dirigida Propiedades dinámicas Generalidades La red totalmente conectada La red ordenada La red aleatoria La red small world dirigida Mecanismos de detección y corrección de errores 45 vii

8 viii ÍNDICE GENERAL 6.1. Canales ruidosos Detección y corrección de errores Conclusiones 53 Bibliografía 57

9 Índice de figuras 1.1. Los sistemas complejos como enlaces entre distintos niveles de abstracción. Un ejemplo de los sistemas biológicos Los sistemas complejos permiten modelarse como redes dirigidas o redes bidireccionales Cada uno de los vértices cuenta con conexiones dirigidas hacia sus 2k primeros vecinos Ilustración esquemática de un paso elemental en el proceso de desordenamiento Interpolación entre redes ordenadas y redes aleatorias mediante la aleatoriedad de la red p. Para valores intermedios de p la red presenta propiedades small world Red ordenada dirigida unidimensional de N = 20, k = 2 con condiciones de contorno periódicas Red ordenada dirigida unidimensional de N = 20, k = 3 con condiciones de contorno periódicas Solución analítica (ecuación 3.4) de la distribución del número de salidas Z S para distintos valores de la conectividad k. La aleatoriedad de la red es fija, p = Solución analítica (ecuación 3.4) de la distribución del número de salidas Z S para distintos valores de la aleatoriedad de la red p. La conectividad de la red es fija, k = Resultados numéricos y solución analítica de la distribución del número de salidas Z S Valor absoluto de la distancia media L en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (Número de Nodos N = 100, 1000 realizaciones) ix

10 x ÍNDICE DE FIGURAS 3.5. Valor relativo de la distancia L(p) L(0) en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (Número de Nodos N = 100, 1000 realizaciones) La distancia media L es una variable aleatoria. Valor medio y dispersión de L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones Distribución de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones. Nótese la influencia de p en la dispersión de la distribución. (Continua en la figura 3.8) Distribución de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones. Nótese la influencia de p en la dispersión de la distribución. (Viene de la figura 3.7) Si el individuo A es amigo de los individuos B y D, entonces existe una probabilidad grande que por su lado B y D también sean amigos El grado de clustering C se basa en el conteo de las relaciones triangulares El valor medio del grado de clustering C en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones) El valor medio del grado de clustering relativo C(p) C(0) en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones) La red totalmente conectada (N = 20) La distancia media relativa L(p) y el grado de clustering relativo C(p) C(0) L(0) en función de la aleatoriedad p (N = 1000, k = 5) El indicar κ nos permite seleccionar de manera cualitativa la red small world más reprentativa. (N = 1000, k = 5, p smallworld 10 2 ) Indicador κ(p) en función de la aleatoriedad p para distintos valores de k. El intervalo de p smallworld es pequeño (N = 100) Indicador κ(p) en función de la aleatoriedad p para distintos valores de k. El intervalo de p smallworld es pequeño (N = 1000) El número de nodos informados en función del tiempo I(t) es un proceso estocástico. (3 realizaciones para N = 1000, k = 5 y p = 10 2 )

11 ÍNDICE DE FIGURAS xi 5.2. Para cada valor fijo t 0 del tiempo, I(t 0 ) es una variable aleatoria con una distribución de probabilidades asociada Ilustración de ayuda para la derivación analítica de la probabilidad de informar Π tc (I) de la red totalmente conectada La ecuación diferencial que describe la dinámica de la red totalmente conectada graficada en el espacio de las fases. Se pueden apreciar dos puntos fijos, uno inestable para I = 0 y otro estable para I = N Simulación numérica y solución analítica de I tc (t). Se grafican dos soluciones analíticas para I tc (0) = 1 y I tc (0) = 0,5 respectivamente de acuerdo a la expresión de la ecuación I(t) de redes ordenadas para distintos valores de la conectividad k (k N) I(t) de redes ordenadas para distintos valores de la conectividad k. (k O[N]) El perfil espacial n(ξ) de la onda informativa en función de la conectividad k cuando se propaga en redes ordenadas en el régimen lineal (k N) Velocidad de propagación v f del frente de onda informativa en función de k y f e. Comparación entre resultados numéricos de la solución analítica de la ecuación integro diferencial y mediciones de v f en las simulaciones de propagación de información en redes ordenadas (N = 1000, p = 0, 1000 realizaciones) La evolución temporal del número de nodos informados I(t) para distintos valores de la conectividad k y p = 1 (N = 1000, 1000 realizaciones) La evolución temporal del número de nodos informados I(t) para distintos valores de p > p smallworld y k = 5 (N = 1000, 1000 realizaciones) La calidad de la descripción fenomenologica va disminuyendo conforme p decrece en dirección de p smallworld El tiempo característico τ(p) en función de la aleatoriedad p para distintos valores de la conectividad k (N = 1000, 1000 realizaciones) La red small world dirigida no permite ser descripta fenomenológicamente por la ecuación El tiempo característico τ(p) en función de la aleatoriedad p para distintos valores de la conectividad k (N = 1000, 1000 realizaciones)

12 xii ÍNDICE DE FIGURAS 6.1. La fracción de nodos desinformados i en función de la probabilidad de informar erróneamente p E para distintos valores de la aleatoriedad de la red p, (N = 1000, k = 5, 2500 realizaciones) La fracción de nodos desinformados i en función de la probabilidad de informar erróneamente p E para distintos valores de la aleatoriedad de la red p, (N = 1000, k = 10, 1000 realizaciones) La fracción de nodos desinformados i en función de la conectividad k para distintos valores de p y para una probabilidad de error fija p E = 10 2 (N = 1000, 3000 realizaciones) La fracción de nodos desinformados i en función de la conectividad k para distintos valores de p y para una probabilidad de error fija p E = 10 3 (N = 1000, 7000 realizaciones) La fracción de nodos desinformados i en función de la probabilidad de corrección p C para un valor fijo de p E = 10 2, un valor fijo de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 5000 realizaciones) La fracción de nodos desinformados i en función de la probabilidad de corrección p C para un valor fijo de p E = 10 3, un valor fijo de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, realizaciones) La fracción relativa de nodos desinformados i (p C ) i (0) en función de la probabilidad de corrección p C para un valor fijo de p E = 10 2, un valor fijo de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 5000 realizaciones) La fracción relativa de nodos desinformados i (p C ) i (0) en función de la probabilidad de corrección p C para un valor fijo de p E = 10 3, un valor fijo de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, realizaciones)

13 Capítulo 1 Introducción 1.1. Qué son redes complejas? Científicos, ingenieros y otros profesionales, pertenecientes a las más diversas disciplinas, se han visto confrontados a lo largo de la historia, con el reto de entender y describir las propiedades de una clase de sistemas que se caracterizan por estar compuestos de un gran número de elementos o agentes interactuantes. A través de interacciones de mayor o menor alcance estos agentes cambian sus propiedades individuales adoptando estados pertenecientes a un espacio de estados accesibles. De esta interacción microscópica emergen propiedades colectivas no triviales. Esto quiere decir que el sistema total adquiere propiedades que sus elementos constituyentes no poseen. Por ejemplo, una neurona no tiene inteligencia. Pero un gran número de neuronas interactuando entre sí pueden producir algo que llamamos mente. Podemos decir que la mente emerge de estas interacciones. En el campo de la inteligencia artificial se busca simular una mente emergente, a partir de componentes más simples los cuales no se consideran inteligentes. Otro ejemplo es la célula, la cual está compuesta de moléculas que interactúan a través de reacciones químicas [11]. El metabolismo celular, propiedad de los seres vivos, emerge de estas interacciones químicas. Por otro lado es bien conocido que el magnetismo de la materia se manifiesta como resultado del comportamiento colectivo de un gran número de espines elementales. Estos son sólo algunos ejemplos de la inmensa variedad de sistemas de estas características [2] [3]. A estos sistemas se los conoce como sistemas complejos. El deseo de deducir características macroscópicas emergentes del entendimiento de las interacciones microscópicas es un reto importante para los científicos y una necesidad para los profesionales involucrados con el universo de aplicaciones relacionadas con estos sistemas. No existe una definición precisa del grado de complejidad de un sistema complejo, pero podemos decir que un sistema es más complejo mientras más elementos tenga, más abundantes sean las interacciones entre ellos, y mayor sea la diversidad de los elementos y de las interacciones. La dimensión del espacio 1

14 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Niveles de Abstracción Ecosistemas Sociedades Organismos Organos Tejidos Células Orgánulos Moleculas Nivel de Abstracción n+1 Sistemas Complejos Nivel de Abstracción n Figura 1.1: Los sistemas complejos como enlaces entre distintos niveles de abstracción. Un ejemplo de los sistemas biológicos. de estados accesibles contribuye de manera significativa a la complejidad de un sistema de este tipo. Es de interés la evolución de la complejidad de un sistema en función del número de agentes interactuantes. Para este análisis nuestro punto de partida es un sistema compuesto únicamente de un agente. Este elemento totalmente aislado no es capaz de producir propiedades emergentes colectivas ya que éstas son la consecuencia de las interacciones microscópicas. A este sistema lo podemos clasificar como un sistema simple. A continuación agregamos de manera progresiva agentes a este sistema, permitiéndoles la interacción. A medida que el número de elementos aumenta, el análisis y la descripción del sistema se hacen cada vez más dificultosos. A este fenómeno se le conoce como complejidad emergente. Si continuamos agregando agentes, la complejidad no crece de manera ilimitada. Las propiedades colectivas emergentes permiten describir al sistema en cuestión como un todo. Es posible separar mentalmente las cualidades de este objeto global emergente de sus constituyentes microscópicos para considerarlo como una nueva e individual entidad de estudio. Nos abstraemos de los componentes interactuantes de este nuevo objeto para razonar acerca de sus cualidades que son determinadas por las propiedades colectivas emergentes. Esto quiere decir que, en este nuevo nivel de abstracción, ya no tenemos un número grande de agentes interactuantes, sino más bien un solo objeto con nuevas propiedades. Esto es el resultado de una simplicidad emergente. Si identificamos este objeto como nuestro agente aislado del inicio, podemos repetir el proceso de agregar sucesivamente objetos similares y permitir su interacción. Esto dará lugar nuevamente a una complejidad emergente y el ciclo descrito se repetirá escalando diferentes niveles de abstracción. Uno de los objetivos de la ciencia es el tratar de cerrar las brechas entre estos distintos niveles de encapsulamiento de complejidad. Esto quiere decir que los científicos pretenden explicar, basándose en el conocimiento de las interacciones microscópicas de los elementos, de qué manera emergen las propiedades macroscópicas de los objetos pertenecientes al nivel de abstracción inmediato superior. Para este fin el estudio de los sistemas complejos es fundamental, ya que éstos representan el enlace entre los distintos niveles de abstracción (ver la figura 1.1 a manera de ejemplo ilustrativo). Uno de los elementos fundamentales en el modelado de sistemas complejos

15 1.1. QUÉ SON REDES COMPLEJAS? 3 Red dirigida Red bidireccional Figura 1.2: Los sistemas complejos permiten modelarse como redes dirigidas o redes bidireccionales. son las llamadas redes complejas, estructuras abstractas compuestas de nodos o vértices, así como de conexiones entre estos elementos. Los nodos representan los agentes interactuantes y las conexiones modelan la topología de estas interacciones. Estas conexiones pueden ser bidireccionales o dirigidas (figura 1.2). El modelo matemático de cualquier red, en particular de una red compleja, es un grafo. Estas estructuras han sido estudiadas por la teoría de grafos, una disciplina de la matemática que nace en el año 1736 con el famoso trabajo de Leonhard Euler sobre los puentes de Königsberg. La teoría de grafos se abocó en sus inicios primordialmente al estudio de las redes ordenadas. Siglos más tarde el interés se centró en redes que, aparentemente, no presentaban ningún tipo de regularidad, las llamadas redes aleatorias. En el año 1950 los matemáticos húngaros Paul Erdős y Alfred Rényi [7] [8] [9] dan a conocer un algoritmo de construcción de redes aleatorias, en el cual, partiendo de N nodos desconectados, ( ) se procede a la interconexión con probabilidad p de cada N uno de los posibles pares. El objetivo principal del estudio de las redes 2 aleatorias es el determinar en qué momento del proceso de construcción anteriormente mencionado aparece alguna propiedad en particular, por ejemplo la conexión total de la red, así como el calcular el comportamiento asintótico de las probabilidades relacionadas cuando el número de Nodos N tiende hacia infinito. Las redes aleatorias han sido estudiadas exhaustivamente (ver por ejemplo libro clásico de B. Bollobás [5] ) y éstas dominaron el modelado de las redes en las cuales no se lograba percibir alguna regularidad en sus topologías. El advenimiento de la era informática impulsó de manera significativa el avance del estudio de las redes complejas. El mejor acceso a capacidades computacionales importantes permitió, a través de simulaciones, la exploración numérica de muchos fenómenos naturales con patrones de interacción no triviales. Los sistemas de almacenamiento masivos contribuyeron a acceder a una cantidad enorme de datos, entre ellos datos acerca de las topologías de redes complejas, tales como redes de colaboración científicas, redes de transmisión y distribución de energía eléctrica, entre otros sistemas de interés. A través

16 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN de la caracterización geométrica de estas redes se detectaron propiedades que las diferenciaban de redes aleatorias en la distribución de su conectividad y en el agrupamiento de sus nodos en comunidades o clusters. Estas discrepancias motivaron la búsqueda de algoritmos de construcción que reprodujeran las características de las redes reales dando lugar a las redes small world y a las llamadas redes libres de escala con distribución de conexiones con ley de potencias. Estos modelos han permitido entender mejor el papel que juega la topología de la red en la dinámica colectiva de los sistemas complejos [1]. Habiendo sido detallada la topología de la red compleja, otro de los elementos necesarios para el modelado de un sistema complejo es la descripción del proceso de interacción. Siendo las interacciones de índole microscópica, es de esperarse que las condiciones que determinan las transiciones de estados de un agente en particular, estén dadas por los estados de sus elementos vecinos y por la topología de sus interacciones. Por lo general, la dinámica de interacción es complicada y altamente no lineal, de tal forma que pocas veces es posible describirla mediante expresiones matemáticas. Por otro lado, en el caso de tratarse de una dinámica sencilla, la posible complejidad topológica de las interacciones hace fracasar una deducción analítica de las propiedades emergentes. Es justamente la complejidad emergente, esta propiedad intrínseca de los sistemas complejos, la que dificulta las descripciones analíticas. Asimismo, la diversidad de tipos de interacción es inmensa, dificultando tremendamente su clasificación. Por lo expuesto anteriormente es indispensable utilizar simulaciones numéricas para el estudio de los sistemas complejos. Algorítmicamente es posible implementar cualquier tipo de interacción. Las capacidades computacionales de los ordenadores modernos permiten implementar modelos con decenas de miles de agentes y la medición tanto de propiedades geométricas como de propiedades dinámicas se logran con mucha facilidad. Además la capacidad de visualización de cantidades inmensas de datos permite una exploración numérica eficiente e intuitiva. A través de estos avances tecnológicos ha sido posible progresar de manera importante en el estudio de los sistemas complejos. Los científicos cuentan gracias a ello con resultados experimentales importantes que esperan ser entendidos y descritos en el futuro por una teoría unificada y general de estos sistemas. La universalidad de los sistemas complejos exige el siguiente cuestionamiento filosófico: Los sistemas complejos describen sistemas reales con los cuales los científicos, ingenieros u otros profesionales se topan esporádicamente en la senda de la búsqueda del conocimiento o en realidad se trata de un mecanismo mental a través del cual el intelecto humano encapsula complejidad para poder describir el universo fascinante y altamente complejo que lo circunda? Invitamos al lector a meditar al respecto Procesos de propagación de información Una amplia clase de sistemas complejos han evolucionado naturalmente o han sido creados artificialmente con la finalidad principal de transmitir información. Pensemos en la divulgación de un rumor o en procesos de intercambio cultural en redes sociales, en la transmisión de una conversación telefónica en

17 1.2. PROCESOS DE PROPAGACIÓN DE INFORMACIÓN 5 sistemas de telecomunicaciones, en el sistema neurológico de organismos vivos o en las redes de cómputo. Con el fin de cumplir de manera eficiente y económica con esta funcionalidad, estos sistemas requieren optimizar las velocidades de transmisión así como desarrollar mecanismos o topologías que minimicen los errores ocasionados por canales ruidosos de transmisión. Por ejemplo, en el área de tecnologías de la información, el diseño óptimo de redes interconectadas se ha convertido en uno de los problemas fundamentales. La optimización de las topologías, tanto de los sistemas de cómputo basados en multiprocesadores como de los sistemas distribuidos y de telecomunicación presentan un reto interesante para la comunidad ingenieril. Una parte básica de la arquitectura de tales sistemas la constituye el mecanismo que permite la comunicación entre los elementos procesadores y entre éstos y los elementos de memoria del sistema. La eficacia y rendimiento del sistema depende, en buena medida, de la elección que se haga de dicha red de interconexión. Además, el costo económico de la red constituye una parte importante del costo total del sistema, por lo que la optimización del sistema requiere la optimización de la red. En este trabajo nos proponemos estudiar procesos de propagación de información en redes complejas dirigidas de diversas geometrías. El algoritmo de construcción de la clase de redes estudiadas, así como el proceso de interacción modelado entre los agentes es descrito en el capítulo 2. En particular, estamos interesados en determinar el papel de la geometría de la red en la velocidad de transmisión y en la difusión de errores ocasionados por canales de transmisión ruidosos. Estas propiedades geométricas son estudiadas en el capítulo 3. Los resultados numéricos y analíticos de la evolución en el tiempo del número de nodos informados I(t) son el tema principal del capítulo 5. Finalmente estudiaremos en el capítulo 6 tanto la influencia de canales ruidosos en la fracción de nodos erróneamente informados, así como mecanismos no supervisados de corrección de errores basados en esquemas que aprovechan la estructura de clusters de la red.

18 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

19 Capítulo 2 Descripción del modelo El modelo implementado para el estudio de procesos de propagación en redes complejas consta de un escenario de interacción, representado por un grafo dirigido compuesto de nodos y de conexiones entre estos nodos, así como de la descripción de una dinámica específica de interacción que gobierna el fenómeno de propagación en la red. Los nodos representan agentes interactuantes, los cuales pueden encontrarse en distintos estados y las conexiones dirigidas determinan la geometría de sus relaciones El algoritmo de construcción de las redes La clase de redes estudiadas en este trabajo se construye mediante un algoritmo particular cuyo punto de partida es una red ordenada, dirigida y unidimensional de N Nodos con condiciones de contorno periódicas. Cada uno de los vértices cuenta con conexiones dirigidas hacia sus 2k primeros vecinos (ver figura 2.1). Al parámetro k lo denominaremos conectividad de la red. Invitamos al lector a observar las figuras 2.4 y 2.5 que ilustran esquemáticamente estas redes ordenadas. La periodicidad de las condiciones de contorno tiene como consecuencia que tanto el número de salidas Z S como el número de entradas Z E de los N nodos sean iguales a 2k : Z S = Z E = 2k. (2.1) Esta red ordenada es transformada mediante un algoritmo de desordenamiento caracterizado por una probabilidad p, la aleatoriedad de la red. En este proceso todos los nodos son visitados uno por uno y cada uno de los 2k orígenes de sus respectivas entradas son reconectados con probabilidad p a otro nodo elegido al azar entre la totalidad de nodos, con excepción de sí mismo y del nodo de origen de la conexión en cuestión (ver figura 2.2). De esta manera el número de entradas Z E se mantiene constante e igual a 2k y el número de salidas Z S adquiere un carácter de variable aleatoria cuya distribución de probabilidades 7

20 8 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO... k k... Figura 2.1: Cada uno de los vértices cuenta con conexiones dirigidas hacia sus 2k primeros vecinos. Proceso de Desorden N=10 k=1 Figura 2.2: Ilustración esquemática de un paso elemental en el proceso de desordenamiento.

21 2.2. LA DINÁMICA DE INTERACCIÓN 9 Red Ordenada N=20 k=2 Zs=Ze=4 Small World Red Aleatoria p=0 p=1 Figura 2.3: Interpolación entre redes ordenadas y redes aleatorias mediante la aleatoriedad de la red p. Para valores intermedios de p la red presenta propiedades small world. será estudiada en el marco de la descripción de las propiedades geométricas de la red en el capítulo 3.1. A través de este proceso de desorden se introducen conexiones dirigidas de largo alcance. Es evidente que para p = 0 recobramos la red ordenada inicial y que para p = 1 tenemos el caso de una red aleatoria. Entre estos dos casos límites, para un rango determinado de la aleatoriedad p, la red adquiere propiedades small world. Esto quiere decir que, a pesar de poseer un alto grado de clustering C, la distancia media L de la red es órdenes de magnitud menor que el tamaño del sistema. Estas cantidades se estudiarán detalladamente en el capítulo 3. La representación matemática de una red es un grafo. Un grafo G consiste de un conjunto no vacío de elementos, llamados vértices o nodos, y una lista de pares ordenados de estos elementos (en el caso de una red dirigida), llamados conexiones. Al conjunto de vértices lo denotamos como V (G) y a la lista de conexiones como E(G). Asimismo es posible representar un grafo a través de la matriz de adyacencia M = (a i,j ), (2.2) cuyos elementos a i,j son iguales a 1 si existe una conexión dirigida desde el nodo i hacia el nodo j, o es igual a cero en caso contrario. M es una matriz cuadrática de dimensión N, donde N es el número de vértices. Es evidente que la matriz de adyacencia M de una red no dirigida es simétrica. Esto quiere decir que M = M T a i,j = a j,i (2.3) donde M T es la matriz transpuesta de M. En el capítulo 3.2 veremos que esta matriz juega un papel fundamental en el cálculo de la distancia media L La dinámica de interacción Una vez definida la topología de la red es necesario describir la dinámica de interacción, es decir, precisar el mecanismo microscópico a través del cual la

22 10 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO Figura 2.4: Red ordenada dirigida unidimensional de N = 20, k = 2 con condiciones de contorno periódicas información se propaga en la red. Para esto especificamos dos posibles estados, en los cuales se pueden encontrar los agentes ubicados en los N nodos de la red: informados o no informados. Al inicio de la dinámica se encuentran todos no informados con excepción de uno, quien será el desencadenante de la propagación hacia toda la red. En cada unidad de tiempo todos los nodos informados eligen una de sus salidas al azar e intentan informar al vecino correspondiente. Si el vecino se encuentra en el estado no informado su estado cambia a informado. Si el vecino se encuentra en el estado informado su estado se mantiene invariante ante esta interacción. El proceso finaliza cuando los N nodos alcanzan el estado de informados, es decir que la información ha sido transmitida a toda la red. Nos interesa la evolución en el tiempo del número de nodos informados I(t). Es evidente que I(t) es un proceso estocástico, ya que tanto en el proceso de construcción de las redes, como en la dinámica de interacción, los elementos probabilísticos son predominantes. Las propiedades dinámicas del proceso de propagación serán estudiadas en el capítulo 5.

23 2.2. LA DINÁMICA DE INTERACCIÓN 11 Figura 2.5: Red ordenada dirigida unidimensional de N = 20, k = 3 con condiciones de contorno periódicas

24 12 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO

25 Capítulo 3 Propiedades geométricas de la red Toda red compleja presenta características topológicas particulares que describen la geometría de las interacciones y que influencian de manera importante los procesos dinámicos que se desarrollan en ellas. Es por eso que el análisis, la clasificación y la síntesis de redes complejas se basa en magnitudes medibles capaces de expresar las propiedades geométricas más relevantes. Dependiendo del tipo de red y de los procesos dinámicos que se quieren estudiar es fundamental hacer una cuidadosa selección de estas magnitudes. Un resumen interesante de magnitudes geométricas se encuentra en [6]. En este trabajo se seleccionaron el número de salidas Z S, la distancia media L y el grado de clustering C para describir la topología de las redes estudiadas. Estas propiedades geométricas influyen de manera significativa, tanto en los procesos de propagación de información como en los mecanismos de detección y corrección de errores que fueron simulados sobre redes small world dirigidas. El algoritmo de construcción de estas redes ha sido descrito en el capítulo 2. A continuación presentamos resultados numéricos, así como algunos derivaciones analíticas de estas magnitudes geométricas El número de salidas Z S La distribución de probabilidades del número de salidas Z S es una cantidad crucial, ya que sin el conocimiento de ella no es posible derivar propiedades dinámicas [4]. Del procedimiento de reconexión aleatoria de la red ordenada inicial se deduce que Z S está determinada por las conexiones originales n d que sobrevivieron a este proceso de desorden y por aquellas conexiones adicionales n g ganadas en él: Z S = n d + n g. (3.1) De Z E = 2k se verifica que el valor medio del número de salidas Z S = 2k ( toda entrada es al mismo tiempo una salida ). La variable aleatoria n d está regida 13

26 14 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED Figura 3.1: Solución analítica (ecuación 3.4) de la distribución del número de salidas Z S para distintos valores de la conectividad k. La aleatoriedad de la red es fija, p = 1. por una densidad de probabilidades binomial: P nd (n d = j) = ( ) 2k (1 p) j p 2k j j [0, 2k] (3.2) j cuyo valor medio es n d = 2k(1 p). Para la variable aleatoria n g proponemos una densidad de probabilidades de Poisson P ng (n g = j) = (λ)j j! exp( λ), j N 0, válida cuando k N y determinamos el parámetro λ = 2kp de la condición Z S = 2k, resultando finalmente P ng (n g = j) = (2kp)j j! exp( 2kp) j N 0 (3.3) Debido a que Z S = n d + n g, a la distribución P ZS (Z S = c) la obtenemos de la convolución de P nd (n d = j) y P ng (n g = j): P ZS (Z S = c) = min(c,2k) j=0 ( ) 2k (1 p) j 2k j (2kp)(c j) p exp( 2kp) c N j 0. (c j)! (3.4) La varianza de esta distribución aumenta para incrementos de la aleatoriedad de la red p (ver Figura 3.2). La solución analítica coincide satisfactoriamente con los resultados numéricos, como se puede apreciar en la figura 3.3.

27 3.1. EL NÚMERO DE SALIDAS Z S 15 Figura 3.2: Solución analítica (ecuación 3.4) de la distribución del número de salidas Z S para distintos valores de la aleatoriedad de la red p. La conectividad de la red es fija, k = 5. Figura 3.3: Resultados numéricos y solución analítica de la distribución del número de salidas Z S.

28 16 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED 3.2. La distancia media L Por lo general dos nodos de una red compleja no son adyacentes. De hecho la mayoría de las redes de interés son diluidas. Esto quiere( decir) que, en una N red de N nodos, solo una fracción pequeña de las posibles = N(N 1) 2 2 conexiones están presentes. En el caso de las redes no dirigidas la distancia d(i, j) entre los nodos i y j se define como el recorrido más corto que los conecta y la distancia media de la red L es el promedio de d(i, j) sobre todos los posibles pares de nodos: L = 1 N(N 1) d(i, j). (3.5) Una de las condiciones que tiene que reunir una distancia, en el sentido matemático estricto, es la propiedad de simetría, esto quiere decir : j i d(i, j) = d(j, i), (3.6) propiedad que no se cumple en el caso de una red dirigida. En ese sentido, siendo la distancia media L una magnitud que utilizamos para caracterizar una propiedad global de la red, se justifica transformar nuestra red dirigida en una red no dirigida, antes de calcular la distancia media según 3.5. Esta transformación la realizamos simetrizando la matriz de adyacencia M = (a i,j ) de la red en cuestión. Otro de los inconvenientes de esta definición es la divergencia de la distancia media L en el caso de una red desconexa, es decir cuando no existe algún recorrido que conecte un par de nodos específicos. Este caso no es de nuestro interés, por lo que realizaciones que den como resultado redes de este tipo, son descartadas. La dificultad principal del cálculo de la distancia media L utilizando la ecuación 3.5 reside en la búsqueda del camino más corto entre dos nodos i y j. Se puede demostrar [10] que la n-ésima potencia de la matriz de adyacencia contiene esta valiosa información: M n = (â i,j ). (3.7) El elemento â i,j representa el número de caminos de longitud n que conectan el nodo i con el nodo j. La ecuación 3.7 es muy elegante, pero al mismo tiempo muy costosa desde el punto de vista computacional. El cálculo de M n requiere de nn 3 multiplicaciones, así como de nn 2 operaciones de suma. Si contemplamos que el número de nodos N representa el número de agentes interactuantes de un sistema complejo y que una de las propiedades fundamentales de éste es que justamente aquel número es grande, llegamos a la conclusión que esta explosión polinómica de la cantidad de operaciones aritméticas es una limitación importante de este algoritmo de búsqueda. Esta situación se agrava aún más cuando recordamos el carácter probabilístico del método de construcción de las redes contempladas, que nos obliga a realizar una cantidad importante de realizaciones con el fin de poseer información estadísticamente representativa. Por lo anteriormente expuesto nos vimos en la obligación de utilizar redes de sólo 100 nodos para el cálculo de la distancia media L, con el fin de explorar la

29 3.2. LA DISTANCIA MEDIA L 17 Figura 3.4: Valor absoluto de la distancia media L en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (Número de Nodos N = 100, 1000 realizaciones). relación de esta magnitud con los parámetros k y p. Los resultados numéricos se presentan en las figuras 3.4 y 3.5. El proceso de desorden de la red introduce una serie de conexiones que hacen las veces de atajos en la red, de tal manera que la distancia media se reduce de manera importante a medida que la aleatoriedad de la red p aumenta. Por otro lado esta caída se encuentra fuertemente influenciada por la conectividad k. Las redes small world dirigidas, después que sus respectivas matrices de adyacencia M han sido simetrizadas, coinciden con las redes small world propuestas en el año 1998 por Watts y Strogatz [13] [12] [14]. Se puede demostrar que la distancia media L de las redes ordenadas, es decir para p = 0, depende de la siguiente manera de los parámetros k y N: L ordenada (p = 0) N 4k. (3.8) Para las redes aleatorias, es decir para p = 1, la expresión correspondiente es L aleatoria (p = 1) ln N ln 2k. (3.9) Ambas expresiones 3.8 y 3.9 son válidas en el régimen N k ln N 1. (3.10)

30 18 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED Figura 3.5: Valor relativo de la distancia L(p) L(0) en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (Número de Nodos N = 100, 1000 realizaciones). Este régimen describe redes con un número grande de nodos N y altamente diluidas en lo que concierne a la fracción presente de posibles conexiones. La condición k ln N asegura, en el caso de las redes aleatorias, que el grafo sea conexo. Esto significa que la distancia media L nunca diverge hacia infinito. Siendo el proceso de construcción de las redes dominado por elementos probabilísticos, la distancia media L es una variable aleatoria con una distribución de probabilidades asociada. Los histogramas respectivos, resultados de las simulaciones numéricas, presentan distribuciones no triviales. En las figuras 3.7 y 3.8 se puede apreciar la influencia de la aleatoriedad p en la dispersión de la distribución de L para una elección particular de N y k.

31 3.3. EL GRADO DE CLUSTERING C 19 Figura 3.6: La distancia media L es una variable aleatoria. Valor medio y dispersión de L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones El grado de clustering C Mientras que la distancia media L es una caracterización global de la red, el grado de clustering C es una magnitud que describe una propiedad local. Ésta se encuentra inspirada en redes sociales y describe la estructura promedio del vecindario de cada vértice. En las redes sociales, en lo referente por ejemplo a las amistades, se da el caso que si el individuo A es amigo de los individuos B y D, entonces existe una probabilidad grande que por su lado B y D también cuenten con lazos de amistad que los unan (figura 3.9). La cantidad de relaciones triangulares de este tipo en una red son las que definen C. Una clase importante de propiedades emergentes de sistemas complejos particulares están fuertemente influenciadas por el grado de clustering C, por ejemplo aquellas que caracterizan robustez a influencias externas. En el capítulo 6 veremos que esta propiedad geométrica cumple un papel fundamental en la detección y corrección de errores en procesos de propagación de información a través de canales ruidosos. Se pueden encontrar en la literatura varias definiciones de grado de clustering para redes no dirigidas [6]. En este trabajo utilizamos una basada en el conteo de las relaciones triangulares. Antes de abocarnos a la explicación de ella recordemos que las redes small world contempladas en este trabajo son dirigidas. Es por eso que es necesario simetrizar la matriz de adyacencia M antes de aplicar esta definición. 1 1 En el capítulo 6 veremos que, a pesar de no ser estrictamente aplicable a nuestras redes

32 20 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED Figura 3.7: Distribución de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones. Nótese la influencia de p en la dispersión de la distribución. (Continua en la figura 3.8)

33 3.3. EL GRADO DE CLUSTERING C 21 Figura 3.8: Distribución de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media L en función de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y realizaciones. Nótese la influencia de p en la dispersión de la distribución. (Viene de la figura 3.7)

34 22 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED A B D Figura 3.9: Si el individuo A es amigo de los individuos B y D, entonces existe una probabilidad grande que por su lado B y D también sean amigos. Calculemos el grado de clustering C i del nodo i. Para esto definimos el conjunto de vértices V (i) = {v 1, v 2,..., v j } que contiene los j vecinos del nodo i. Asimismo precisamos la magnitud K V (i) como el número de conexiones presentes entre los nodos vecinos de i. Este número representa el número de triángulos que conectan el nodo i con dos de sus vecinos (figura ( 3.10). ) El número j máximo de posibles triángulos de este tipo es el combinatorio = j(j 1) 2 2. Si relacionamos esto con el número de triángulos presentes llegamos finalmente al grado de clustering Ci del nodo i: Ci = 2 K V (i) j(j 1) (3.11) El grado de clustering C de la red es el valor medio de los C i promediados sobre los N nodos: C = 1 N N C i, C [0, 1]. (3.12) i=1 Los resultados numéricos del cálculo del grado de clustering C se presentan en las figuras 3.11 y Las redes ordenadas (p = 0) son altamente clusterizadas, mientras que las redes aleatorias p = 1) no lo son. Como vimos en la sección 3.2 las redes small world dirigidas, después que sus respectivas matrices de adyacencia M han sido simetrizadas, coinciden con las redes small world propuestas por Watts y Strogatz [14]. Se puede demostrar que el grado de clustering C de las redes ordenadas, es decir para p = 0, es constante: C ordenada (p = 0) 3 4. (3.13) small world dirigidas, el grado de clustering C basado en el conteo de las relaciones triangulares caracteriza de manera correcta la robusteza de las redes al ruido de los canales de transmisión.

35 3.3. EL GRADO DE CLUSTERING C 23 V1 V2 V3 V4... Vj i Figura 3.10: El grado de clustering C se basa en el conteo de las relaciones triangulares. Figura 3.11: El valor medio del grado de clustering C en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones).

36 24 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA RED Figura 3.12: El valor medio del grado de clustering relativo C(p) C(0) en función de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones). Para las redes aleatorias, es decir para p = 1, la dependencia funcional de C con N y k es: C aleatoria (p = 1) 2k ln N. (3.14) Ambas expresiones 3.13 y 3.14 son válidas en el régimen descrito en la sección 3.2. N k ln N 1. (3.15)

37 Capítulo 4 Clasificación de las redes En esta sección nos proponemos clasificar las redes que resultan del algoritmo de construcción descrito en el capítulo 2 en función de los parámetros geométricos distancia media L y grado de clustering C La red totalmente conectada Veamos el caso límite de una red totalmente conectada (figura 4.1), es decir una red donde la totalidad de las posibles conexiones entre los N nodos se encuentran presentes ( todos conectados con todos ). Esta red se describe mediante la siguiente expresión: k tc = N, (Npar). (4.1) 2 Es evidente que en este caso la aleatoriedad de la red p no tiene ningún efecto en el algoritmo de construcción. Si nos imaginamos que la presencia de una conexión entre nodos requiere de cierta energía o costo, entonces concluimos que las redes totalmente conectadas son en ese sentido del todo derrochadoras. El número total de conexiones en estas redes crece como el cuadrado del número de nodos N. Es por eso que esta topología es poco frecuente en sistemas naturales y artificiales. A pesar de estos argumentos, las redes totalmente conectadas son de utilidad como medio de validación del correcto funcionamiento de los algoritmos computacionales implementados en este trabajo debido al tratamiento analítico sencillo que permiten. Asimismo veremos que juegan un papel fundamental en la descripción fenomenológica de los procesos de propagación de información que serán estudiados en el capítulo 5. Las redes totalmente conectadas tienen la distancia media mínima posible L tc = 1 y el grado de clustering máximo posible C tc = 1. 25

38 26 CAPÍTULO 4. CLASIFICACIÓN DE LAS REDES Figura 4.1: La red totalmente conectada (N = 20) La red small world dirigida Las expresiones analíticas 3.8, 3.9, 3.13 y 3.14 de las distancias media L y de los grados de clustering C de las redes ordenadas y aleatorias nos permiten afirmar que las redes ordenadas son escenarios con distancias medias grandes y altamente clusterizados, mientras que las redes aleatorias son escenarios con distancias medias pequeñas con un grado de clustering reducido. La aleatoriedad p nos permite interpolar entre estos casos límites. Nos interesa encontrar un régimen intermedio, es decir una red con distancia media pequeña y al mismo tiempo altamente clusterizada. Invitamos al lector a observar la figura 4.2 en la cual graficamos la distancia media relativa L(p) y el grado de clustering relativo C(p) C(0) en función de la aleatoriedad p para una elección particular de N y k. Ambas magnitudes decaen fuertemente en función de valores crecientes de p, pero a distintos ritmos, dando la posibilidad de la existencia del régimen intermedio buscado. Este régimen es el correspondiente a las redes small world. La transición de las redes ordenadas a las redes aleatorias es suave, de tal manera que no tiene sentido definir una expresión matemática para el intervalo de p que describa el régimen small world. Sin embargo podríamos precisar un indicar sencillo que nos permita visualizar de manera cualitativa esta transición: L(0) κ = C(p) C(0) L(p) L(0) (4.2) y afirmar que la red small world más representativa es aquella que maximiza κ en función de p (ver figura 4.3). Si graficamos este indicador para distintos valores de k, podemos apreciar que los valores de p smallworld se encuentran muy