Dibujos, gráficas, y diagramas

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1 LECCIÓN CONDENSADA. Dibujos, gráficas, y diagramas En esta lección Usarás dibujos, diagramas, y gráficas de coordenadas para ayudarte a resolver problemas Crear un dibujo o un diagrama puede ayudarte a visualizar un problema y a encontrar una solución. En el Ejemplo A de tu libro, se usa un diagrama para resolver un problema, y el diagrama sirve como una manera concisa de presentar los pasos de la solución. Trabaja ese ejemplo y después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Solución Allyndreth necesita medir litros de agua usando solamente una cubeta de litros y otra de 8 litros. Describe o ilustra un procedimiento que dé exactamente litros de agua en la cubeta de 8 litros. En la siguiente secuencia de dibujos se muestra una posible solución: Cubeta de litros Cubeta de 8 litros Investigación: Camello que cruza el desierto En la investigación de tu libro se presenta un problema sobre un camello que debe transportar una carga de bananas a través del desierto. Lee el problema con cuidado y asegúrate de que lo entiendes. Invierte algo de tiempo trabajando en el problema por tu propia cuenta, antes de leer el texto siguiente. Si el camello intenta llevar bananas a través de todo el desierto, no tendrá ninguna banana cuando llegue, y no podrá regresar a recoger más. Así, el camello debe llevar las bananas al menos a un punto de entrega por el camino. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 Key Curriculum Press

2 DAACLS_678_.qxd /5/ :7 PM Page 2 Lección. Dibujos, gráficas, y diagramas (continuación) He aquí algunas de las suposiciones que haremos: Para reducir el número de viajes innecesarios, el camello empieza cada viaje con exactamente bananas. El camello transporta tantas bananas como le es posible a sucesivos puntos de entrega en el desierto. Supón que el primer punto de entrega se ubica a x millas de donde el camello empezó. El camello necesitará hacer tres viajes hasta este punto, iniciando con bananas cada vez. En el primer viaje, necesita comer x bananas en el camino y dejar x bananas para el camino de regreso. Entonces, puede dejar 2x bananas. También puede dejar 2x bananas en el segundo viaje. En el tercero, no necesita regresar, de modo que puede dejar x bananas. El número total de bananas en el primer punto de entrega es 5x. Ahora, el camello debe transportar las bananas desde el primer punto de entrega. Estamos suponiendo que el camello inicia cada viaje con bananas y que no deja ninguna. Para que esto suceda, 5x debe ser ó 2. Consideremos cada caso de manera separada y veamos cuál da el número más grande de bananas al final. Primero, supón que 5x. Entonces x, de modo que el primer punto de entrega está a millas. El camello transportaría entonces las bananas desde el primer punto de entrega hasta su destino final, viajando 6 millas y terminando con bananas. Ahora, supón que 5x 2. Entonces x 2, de modo que el primer punto de entrega está a 2 millas del punto inicial. Supón que el siguiente punto de entrega está a y millas del primero. El camello debe hacer dos viajes desde el primer punto de entrega hasta el segundo. En el primero, puede dejar 2y bananas y, en el segundo, puede dejar y. Entonces, habrá 2 y bananas en el segundo punto de entrega. Usando las suposiciones anteriores, 2 y debe ser, así pues, y. El camello tiene ahora 2,ó 66 2 millas que recorrer. Necesita hacer solamente un viaje y terminará con 67, ó 5 bananas. (Necesita comer un número entero de bananas.) Esto es mayor que la respuesta que obtuvimos al suponer 5x, de manera que es una mejor solución. El Ejemplo B de tu libro presenta un problema que se puede resolver fácilmente si se hace una gráfica en un sistema de coordenadas. Lee ese ejemplo con cuidado y asegúrate de que lo entiendes. 2 CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press

3 DAACLS_678_.qxd /5/ :7 PM Page LECCIÓN CONDENSADA.2 Representación simbólica En esta lección Escribirás problemas en una forma simbólica y los resolverás con álgebra En ocasiones, la manera más fácil de resolver un problema es traducirlo a expresiones y ecuaciones simbólicas y después aplicar métodos algebraicos de solución. En el Ejemplo A de tu libro, traducir el problema a símbolos muestra que no existe una solución matemática. En el Ejemplo B se presenta un problema que parece complejo y que puedes resolver con bastante facilidad usando el álgebra. Lee esos ejemplos con cuidado y después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Solución En la tienda de recuerdos del estadio de béisbol de los Summerville Sox, se venden pelotas, gorras, y camisetas con el logotipo del equipo. Samantha compró una gorra y cinco pelotas por $5. Las cuatro gorras que Carlos compró le costaron $2 más que la camiseta que compró su hermano. El señor Kurowski gastó $77 en tres pelotas y tres camisetas para sus nietos. Cuánto cuesta cada producto? (Supón que los impuestos están incluidos en el precio.) Haz una lista de las cantidades desconocidas y asígnale una variable a cada una. Sea b el costo de una pelota. Sea c el costo de una gorra. Sea j el costo de una camiseta. Segundo, usa la información del problema para escribir ecuaciones. c 5b 5 Ecuación : Las adquisiciones de Samantha traducidas a una ecuación algebraica. c j 2 Ecuación 2: La información sobre las adquisiciones de Carlos y su hermano. b j 77 Ecuación : Las compras del señor Kurowski. Tercero, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar los valores de las variables. 2c j 6 Multiplica ambos lados de la Ecuación 2 por. b j 77 Ecuación. 2c b 2 Suma las ecuaciones. c b 7 Divide ambos lados de la suma anterior entre. c 2b 2 Multiplica ambos lados de la Ecuación por. 9b Resta las ecuaciones. b 7 Divide ambos lados entre 9. c 5(7) 5 Sustituye b por 7 en la Ecuación. c 6 Resuelve para c. (6) j 2 Sustituye c por 6 en la Ecuación j Resuelve para j. Finalmente, interpreta tu solución. Una pelota cuesta $7, una gorra cuesta $6, y una camiseta cuesta $52. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 Key Curriculum Press

4 DAACLS_678_.qxd /5/ :7 PM Page Lección.2 Representación simbólica (continuación) Investigación: Problemas, Problemas, Problemas La investigación en tu libro te pide que resuelvas uno de tres problemas dados. A continuación se presentan la solución al Problema y unas sugerencias para resolver los Problemas 2 y. Solución del Problema Paso Sea A el número de adultos. Sea B el número original de muchachos. Sea G el número original de muchachas. Paso 2 A B G B G 2 G B Paso B 2G Ecuación : Cuando llegan Adam y Megan. Ecuación 2: Cuando llegan muchachos más. Ecuación : Cuando llegan muchachas más. Reescribe la Ecuación 2 de modo que B quede sola en un lado. B (G ) 2G (G ) Reescribe la Ecuación de modo que B quede sola en un lado. Los lados derechos de las ecuaciones anteriores deben ser iguales. G 8 Resuelve para G. B 8 2 Sustituye G por 8 en la Ecuación 2. B 6 Resuelve para B. A 8 6 Sustituye G por 8 y B por 6 en la Ecuación. A 6 Resuelve para A. A 6 Paso La razón final entre adultos y niños es B G 8. Esto significa que había un adulto por cada niños. Sugerencia para el Problema 2 Cada persona llevó a casa el equivalente a 8, ó 26 2 libras de tomates. Calcula cuántas libras de sus tomates le dio cada muchacho a Celia. El dinero debe dividirse de modo que la razón entre el dinero de Abdul y el dinero de Billy es igual a la razón entre la cantidad de tomates que Abdul le dio a Celia y la cantidad de tomates que Billy le dio a Celia. Sugerencia para el Problema Sea a la cantidad promedio de pastel por adulto. Sea b la cantidad promedia de pastel por niño. De acuerdo con el proveedor de la comida, 2c 7a pastel completo. Escribe una expresión para la cantidad de pasteles que se necesita para la fiesta de Tina. Reescribe la expresión en términos de una variable. La expresión debe ser menor que 2c o menor que 7a. CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press

5 DAACLS_678_.qxd /5/ :8 PM Page 5 LECCIÓN CONDENSADA. Organización de la información En esta lección Organizarás la información de los problemas en categorías Cuando te enfrentas un problema difícil, a menudo es mejor empezar por organizar la información dada. Esto te puede ayudar a ver lo que sabes y a determinar lo que necesitas averiguar. En los Ejemplos A y B, las unidades de medición se usan para vincular los pedazos de información. Resolver el problema del Ejemplo C te preparará para la investigación. Trabaja los tres ejemplos, y después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Solución Cuántos litros de una solución salina, con una concentración de 2 gramos de sal por litro, deben agregarse a 8 litros de una solución con una concentración de 5 gramos de sal por litro para crear una solución con una concentración de gramos de sal por litro? Hay tres soluciones salinas implicadas: la solución de 5 g/l, la solución de 2 g/l, y la solución combinada. Llámalas Solución, Solución 2, y Mezcla, respectivamente. Haz que x represente la cantidad de Solución 2 necesaria. Organiza la información creando una tabla con las filas y las columnas rotuladas como se muestra a continuación. Empieza por poner los valores que conoces. (Estos valores están subrayados en la tabla.) Las unidades indican que la concentración de una solución es igual a la masa de sal dividida entre el volumen. Usa esta relación para poner en la tabla la masa de sal de las dos soluciones. Para hallar la masa y el volumen de la mezcla, suma las masas y los volúmenes de las Soluciones y 2. La concentración de la mezcla es igual a g/l, pero también es igual a 28 2x. Escribe una ecuación y resuélvela para x. masa de sal en la mezcla volumen de sal x 2x Ecuación de concentración. x Solución Solución 2 Mezcla Concentración de solución (en g/l) 5 2 Volumen de solución (en L) 8 x 8 x Masa de sal (en g) 28 2x 28 2x 2 x 28 2x Multiplica ambos lados por 8 x. x Resta 2 de ambos lados. x Divide ambos lados entre. Así, deben agregarse gramos de la Solución 2 para crear la mezcla. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 2 Key Curriculum Press

6 DAACLS_678_.qxd /5/ :8 PM Page 6 Lección. Organización de la información (continuación) Investigación: Quién es el dueño de la cebra? Lee la investigación en tu libro. Existen muchas formas de abordar este problema. Un método implica el hacer una tabla en la que se muestren todos los colores de casa, tipos de autos, mascotas, periódicos, y plantas posibles para cada casa. Posición (izquierda) 2 5 (derecha) Color de casa Rojo Rojo Rojo Rojo Rojo Verde Verde Verde Verde Verde Blanco Blanco Blanco Blanco Blanco Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo Azul Azul Azul Azul Azul Vehículo Station wagon Station wagon Station wagon Station wagon Station wagon SUV SUV SUV SUV SUV Van Van Van Van Van Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo Compacto Compacto Compacto Compacto Compacto Usa las pistas para tachar las posibilidades que sabes están mal y encerrar en un círculo aquellas que sabes correctas. Tendrás que repasar las pistas varias veces; algunas de ellas no serán útiles de inmediato. He aquí algunos pasos para que empieces: La primera pista que es útil de inmediato es la octava, que indica que la familia de la casa de en medio lee el Times. Así pues, en la posición, encierra en un círculo Times. Tacha los otros periódicos de la posición y Times en las demás posiciones. Si usas la novena pista, puedes encerrar Compacto en la posición, tachar los demás vehículos de esa misma posición y tachar también Compacto en todas las otras posiciones. Si usas la duodécima pista, puedes tachar Remolachas (Beet) de la posición. Si usas la decimotercera pista, puedes tachar Quimgombó (Okra) de la posición. Si usas la decimocuarta pista, puedes encerrar Azul en la posición 2, tachar los otros colores de casa de la posición 2 y tachar Azul en las otras posiciones. Si usas la primera pista, puedes tachar Station wagon de la posición 2 y tachar Rojo de la posición. Si usas la segunda pista, puedes tachar Perro en la posición. Continúa leyendo las pistas y marcando la información que conoces. De vez en cuando detente y observa tu tabla atentamente. Puedes encontrar que tachaste todas las posibilidades, menos una en una sección o fila particular. Entonces, puedes encerrar en un círculo la posibilidad restante. Cuando termines, debes tener que la familia de la cuarta casa es dueña de la cebra. 6 CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press