Dibujos, gráficas y diagramas

Transcripción

1 LECCIÓN CONDENSADA. Dibujos, gráficas y diagramas En esta lección usarás dibujos, diagramas y gráficas de coordenadas como ayuda para resolver problemas Crear un dibujo o un diagrama puede ayudarte a visualizar un problema y a hallar una solución. El Ejemplo A en tu libro usa un diagrama para resolver un problema que sirve como un modo conciso de presentar los pasos de la solución. Analiza ese ejemplo y después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Allyndreth necesita medir 4 litros de agua usando sólo una cubeta de litros y otra de 8 litros. Describe o ilustra un procedimiento que dé exactamente 4 litros de agua en una cubeta de 8 litros. Solución Esta secuencia de dibujos muestra una solución posible: Cubeta de litros Cubeta de 8 litros Investigación: Oso polar que cruza la región ártica La investigación en tu libro presenta un problema sobre un oso polar que debe transportar una carga de pescado a través de la región ártica. Lee atentamente el problema y asegúrate de que lo entiendes. Pasa algo de tiempo estudiando el problema por tu cuenta, antes de leer el siguiente texto. Si el oso polar intenta transportar libras de pescado a través de la región ártica, no tendrá pescado cuando llegue, y no podrá regresar a recoger más. Por lo tanto, el oso polar debe dejar algo de pescado en al menos un punto del camino. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 Key Curriculum Press

2 Lección. Dibujos, gráficas y diagramas (continuación) Éstas son algunas de las suposiciones que haremos: Para reducir el número de viajes innecesarios, el oso polar empieza cada viaje exactamente con libras de pescado. El oso polar transporta tanto pescado como le es posible hasta sucesivos puntos de la región ártica. Supón que el primer punto está a x millas de la salida. Crea un diagrama que represente esta situación. libras de pescado millas x millas millas El oso polar necesitará hacer tres viajes hasta este punto, empezando con libras de pescado cada vez. En el primer viaje, necesita comer x libras de pescado a lo largo del camino y dejar x libras de pescado para el camino de regreso. Por lo tanto, puede dejar 2x libras de pescado. En el segundo viaje puede también dejar 2x libras de pescado. En el tercer viaje, no necesita regresar, de modo que puede dejar x libras de pescado. El número total de libras de pescado en el primer punto de entrega es de 5x. libras de pescado 5x libras de pescado millas x millas millas Ahora, el oso polar debe transportar el pescado desde el primer punto de entrega. Supongamos que el oso polar inicia cada viaje con libras de pescado y que no deja ninguna. Para que esto suceda, 5x debe ser ó 2. Consideremos cada caso por separado y veamos cuál da el número mayor de libras de pescado al final. Haz un diagrama para cada caso. Primero, supón que 5x. Entonces x 4, de modo que el primer punto está a 4 millas. El oso polar transportaría entonces las libras de pescado desde el primer punto hasta su destino final, viajando 6 millas y terminando con 4 libras de pescado. Ahora, supón que 5x 2. Por lo tanto x 2, de modo que el primer punto está a 2 millas de la salida. Supón que el siguiente punto de entrega está a y millas del primero. El oso polar debe hacer dos viajes desde el primer punto hasta el segundo. En el primero, puede dejar 2y libras de pescado y, en el segundo, puede dejar y. Por lo tanto, habrá 2 y libras de pescado en el segundo punto. Usando las suposiciones anteriores, 2 y debe ser ; por lo tanto, y. Al oso polar ahora le quedan 2, ó millas por recorrer. Necesita hacer sólo un viaje y terminará con 467, ó 5 libras de pescado. (Necesita comer un número entero de libras de pescado). Esto es mayor que la respuesta que obtuvimos al suponer que 5x, de modo que es una mejor solución. El Ejemplo B en tu libro presenta un problema que se puede resolver haciendo una gráfica de coordenadas. Lee atentamente ese ejemplo y asegúrate de que lo entiendes. 2 CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press

3 LECCIÓN CONDENSADA.2 Representación simbólica En esta lección escribirás problemas en forma simbólica y luego los resolverás con el álgebra A veces, el modo más fácil de resolver un problema es traducirlo a expresiones y ecuaciones simbólicas y después aplicar métodos algebraicos de solución. En los Ejemplos A y B de tu libro, se resuelven dos problemas con un procedimiento de cuatro pasos. Lee atentamente estos ejemplos y asegúrate de entender los cuatro pasos que resuelven los problemas. Después lee el ejemplo que sigue. Intenta resolverlo antes de leer la solución. EJEMPLO Solución La tienda de recuerdos del estadio de béisbol de los Summerville Sox, vende pelotas, gorras y camisetas con el logotipo del equipo. Samantha compró una gorra y cinco pelotas a $5. Las cuatro gorras que Carlos compró le costaron $2 más que la camiseta que compró su hermano. El señor Kurowski gastó $77 en tres pelotas y tres camisetas para sus nietos. Cuánto cuesta cada artículo? (Supón que el impuesto está incluido.) Haz una lista de las cantidades desconocidas y asígnales una variable a cada una. Sea b el costo de una pelota. Sea c el costo de una gorra. Sea j el costo de una camiseta. Luego, usa la información del problema para escribir ecuaciones. c 5b 5 4c j 2 b j 77 Ecuación : Compras de Samantha traducidas a una ecuación algebraica. Ecuación 2: Información sobre las compras de Carlos y su hermano. Ecuación : Compras del señor Kurowski. Después, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar los valores de las variables. 2c j 6 Multiplica ambos lados de la Ecuación 2 por. b j 77 Ecuación. 2c b 2 Suma las ecuaciones para eliminar la variable j. 4c b 7 4c 2b 24 9b Divide ambos lados de la suma anterior por. Multiplica ambos lados de la Ecuación por 4. Resta las ecuaciones para eliminar la variable c. b 7 Divide ambos lados por 9 y resuelve para b. c 5(7) 5 Sustituye b por 7 en la Ecuación. c 6 Resuelve para c. 4(6) j 2 Sustituye c por 6 en la Ecuación j Resuelve para j. Finalmente, interpreta tu solución. Una pelota cuesta $7, una gorra cuesta $6 y una camiseta cuesta $52. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 Key Curriculum Press

4 Lección.2 Representación simbólica (continuación) Investigación: Problemas, problemas, problemas La investigación en tu libro te pide que resuelvas uno de dos problemas dados. A continuación están la solución al Problema y una sugerencia para resolver el Problema 2. Solución del Problema Paso Sea C la letra que representa el salario por hora de los empleados. Sea S la letra que representa el salario por hora de los supervisores. Sea B la letra que representa el presupuesto diario de los sueldos. Paso 2 Escribe ecuaciones que representen la información del problema. 6C 8S B 2C 4S B 24C 4S B 2 Ecuación : Información del lunes. Ecuación 2: Información del martes. Ecuación : Información del miércoles. Paso Resuelve el sistema de ecuaciones. 4C Resta la Ecuación 2 de la Ecuación para eliminar S y B. C 7.5 Divide ambos lados por 4 y resuelve para C. 2 8S B Sustituye C por 7.5 en la Ecuación. 5 4S B Sustituye C por 7.5 en la Ecuación 2. 4S Resta la Ecuación 2 de la Ecuación para eliminar B. S Resuelve para S. 2 8 B Sustituye S por en la Ecuación. 2 B Resuelve para B. Paso 4 Los empleados ganan $7.5 por hora y los supervisores ganan $ por hora. El presupuesto diario de sueldo es de $2. Sugerencia para el Problema 2 Si hay s bolsas de arena, entonces el peso de la arena se puede representar como 5s. Escribe una ecuación que exprese el peso máximo que el camión puede cargar. Escribe una segunda ecuación que represente la razón de la arena con respecto al cemento. Cuando interpretes tu solución, recuerda que necesitarás números enteros de bolsas de arena y de cemento. 4 CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press

5 LECCIÓN CONDENSADA. Organizar la información En esta lección organizarás la información de los problemas en categorías Cuando te enfrentas un problema difícil, a menudo es mejor empezar por organizar de algún modo la información dada. Esto te puede ayudar a ver lo que sabes y a determinar lo que necesitas averiguar. En los Ejemplos A y B, se usan las unidades de medida para vincular la información y una tabla para organizar lo que ya sabes y lo que necesitas saber. El Ejemplo C muestra otro modo de organizar y de categorizar la información. Analiza los tres ejemplos, y después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Solución Cuántos litros de una solución salina, con una concentración de 2 gramos de sal por litro, deben agregarse a 8 litros de una solución con una concentración de 5 gramos de sal por litro para crear una solución con una concentración de gramos de sal por litro? Se trata de tres soluciones salinas: la solución de 5 g/l, la solución de 2 g/l y la solución combinada. Llámalas Solución, Solución 2 y Mezcla, respectivamente. Sea que x represente la cantidad necesaria de Solución 2. Organiza la información creando una tabla con las filas y las columnas rotuladas como se muestra a continuación. Empieza por poner los valores que conoces. (Estos valores están subrayados en la tabla.) Las unidades indican que la concentración de una solución es igual a la masa de sal dividida por el volumen. Usa esta relación para poner en la tabla la masa de sal de las dos soluciones. Para hallar la masa y el volumen de la mezcla, suma las masas y los volúmenes de las Soluciones y 2. Solución Solución 2 Mezcla Concentración de la solución (en g/l) 5 2 Volumen de la solución (en L) 8 x 8 x Masa de sal (en g) 28 2x 28 2x La concentración de la mezcla es igual a g/l, pero también es igual a masa de sal en la mezcla 28 2x volumen de sal 8 x. Escribe una ecuación y resuélvela para hallar x. 28 2x Ecuación de la concentración. 8 x 24 x 28 2x Multiplica ambos lados por 8 x. x 4 Resta 24 y 2x de ambos lados. x 4 Divide ambos lados por. Por lo tanto, para crear la mezcla deben agregarse 4 gramos de la Solución 2. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 2 Key Curriculum Press

6 Lección. Organizar la información (continuación) Investigación: Quién es el dueño de la cebra? Lee la investigación en tu libro. Existen muchos modos de enfocar este problema. Un método implica hacer una tabla en la que se muestren todos los colores de casas, tipos de autos, mascotas, periódicos y plantas posibles para cada casa. Posición (izquierda) (derecha) Color de casa Rojo Rojo Rojo Rojo Rojo Verde Verde Verde Verde Verde Blanco Blanco Blanco Blanco Blanco Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo Azul Azul Azul Azul Azul Vehículo Carro familiar Carro familiar Carro familiar Carro familiar Carro familiar Camioneta Camioneta Camioneta Camioneta Camioneta Van Van Van Van Van Carro deportivo Carro deportivo Carro deportivo Carro deportivo Carro deportivo Compacto Compacto Compacto Compacto Compacto Haz una tabla que muestre todas las posibilidades. Después usa las pistas para tachar las posibilidades que sabes son incorrectas y encerrar en un círculo las que sabes que son correctas. Tendrás que repasar las pistas varias veces; algunas de ellas no serán útiles de inmediato. Éstos son algunos pasos para que empieces: La primera pista que es útil de inmediato es la octava, que indica que la familia de la casa de en medio lee el Times. Por lo tanto, en la posición, encierra en un círculo Times. Tacha los otros periódicos que están en la posición y Times en las demás posiciones. Con la novena pista, puedes encerrar en un círculo Compacto en la posición, tachar los demás vehículos que están en esa misma posición y tachar Compacto en las demás posiciones. Con la duodécima pista, puedes tachar Remolachas (Beet) en la posición. Con la decimotercera pista, puedes tachar Quingombó (Okra) en la posición. Con la decimocuarta pista, puedes encerrar en un círculo Azul en la posición 2, tachar los otros colores de casa en la posición 2 y tachar Azul en las demás posiciones. Con la primera pista, puedes tachar Carro familiar en la posición 2 y tachar Rojo en la posición. Con la segunda pista, puedes tachar Perro en la posición. Continúa leyendo las pistas y marcando la información que conoces. De vez en cuando, detente y observa atentamente tu tabla. Puedes encontrar que tachaste todas las posibilidades, menos una en una sección o fila particular. Entonces, puedes encerrar en un círculo la posibilidad restante. Cuando termines, debes haber concluido que la familia de la cuarta casa verde es dueña de la cebra. 6 CHAPTER Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 2 Key Curriculum Press