Representaciones de matrices
|
|
- Manuela Plaza Franco
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición unas matrices de transición Usarás las matrices para organizar información Sandra trabaja en una guardería infantil. El lunes el miércoles pasados por la tarde, los niños podían escoger entre pintar con las manos o jugar algún juego. De los niños que pintaron con las manos el lunes, el 8% volvieron a pintar el miércoles, mientras que el % jugaron algún juego. De los niños que jugaron el lunes, el 6% volvieron a jugar el miércoles, mientras que el % pintaron. Sandra hizo un diagrama para representar esta información. Las flechas los rótulos muestran los patrones de las actividades de los niños. Por ejemplo, la flecha circular rotulada.6 indica que el 6% de los niños que jugaron el lunes también jugaron el miércoles. La flecha rotulada. indica que el % de los niños que jugaron el lunes pintaron el miércoles. Los diagramas como el anterior se llaman diagramas de transición porque muestran cómo cambia algo de un momento al siguiente. Podrías mostrar la misma información en una matriz de transición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Aquí se ve una matriz de transición basada en la información de Sandra con respecto a la guardería. Lee los primeros tres párrafos de la lección en tu libro, donde se presenta otro ejemplo de un diagrama de transición una matriz de transición. Investigación: Decisiones frías Completa la investigación en tu libro por tu propia cuenta, después lee las respuestas dadas a continuación. Lunes.8 Pintar con las manos.. Pintar con las manos Jugar.8. Jugar Miércoles Pintar con las manos Jugar..6 Esta entrada muestra que el % de los niños que jugaron algún juego el lunes pintaron el miércoles..6 Paso.9..9 Paso Esta semana Helado Helado Yogurt congelado Siguiente semana Helado Yogurt congelado Yogurt congelado Paso En la segunda semana, el 9% de los que tomaron helado el % de los que tomaron ogurt congelado escogen helado. Esto significa que (.9) (.) estudiantes eligen helado. Con un razonamiento similar, (.) (.9) 9 estudiantes eligen ogurt congelado. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press
2 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 Lección 6. Representaciones de matrices (continuación) Paso En la segunda semana, ha que toman helado 9 que toman ogurt congelado. Estos cálculos dan los valores de la tercera semana: (.9) 9(.) que toman helado (.) 9(.9) 7 que toman ogurt congelado Paso Sea i n f n la cantidad de los que comen helado ogurt congelado en la semana n. Entonces la rutina recursiva es i f i n i n (.9) fi n (.) donde n f n i n (.) fi n (.9) donde n Paso 6 El número de los que toman helado se acercará a 6, el número de los que toman ogurt congelado se acercará a 8. Una manera de llegar a esta conclusión es introducir las fórmulas recursivas para i n f n en tu calculadora, calcular sus valores para los valores grandes de n. Las matrices son útiles para organizar información. La matriz [B] presentada aquí representa el número de estudiantes por grado en las North High School South High School. Las filas, de arriba hacia abajo, representan a los de primer año, segundo año, tercer año, último año, respectivamente; las columnas, de izquierda a derecha, representan a la North High School la South High School. Por ejemplo, el indica que ha del tercer año en la North High School. Las dimensiones de una matriz son el número de filas columnas. La matriz [B] tiene dimensiones de. Cada número de una matriz se llama una entrada, o elemento, se identifica como b ij, donde i j son los números de las filas las columnas, respectivamente. En la matriz [B], b, la entrada de la fila, la columna. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo puedes usar una matriz para representar los vértices de un polígono. Lee ese ejemplo atentamente. El Ejemplo B regresa a la encuesta de Karina sobre esquiadores snowboarders del principio de la lección de tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. Para asegurarte de que entiendes las ideas, sigue una serie parecida de pasos para resolver este problema: En la guardería de Sandra, niños pintaron con las manos el lunes jugaron. Cuántos niños hicieron cada actividad el miércoles? Organiza la información del miércoles en una matriz de la forma [B] [número de los que pintaron número de los que jugaron] Observa que los diagramas matrices de transición muestran el cambio en un sistema cerrado es decir, un sistema en el cual no se agrega ni se elimina nada. Los diagramas funcionan bien en la representación de problemas relativamente sencillos, pero pueden ser difíciles de usar en situaciones en las que eisten muchas condiciones iniciales. En tales situaciones, por lo general, una matriz de transición es más clara más fácil de interpretar. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
3 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 LECCIÓN CONDENSADA 6. Operaciones con matrices En esta lección Sumarás restarás unas matrices multiplicarás una matriz por un escalar Usarás operaciones con matrices para transformar una figura geométrica Resolverás unos problemas reales que requieren que multipliques matrices Una matriz es una manera compacta de organizar los datos. El uso de matrices te permite llevar a cabo operaciones con tus datos. En esta lección, verás su utilidad. El teto en la página 7 de tu libro ilustra cómo sumar dos matrices. En general, sumas (o restas) dos matrices sumando (o restando) las entradas correspondientes. Puedes sumar o restar matrices solamente si tienen las mismas dimensiones. Este ejemplo muestra cómo calcular la diferencia de dos matrices El Ejemplo A en tu libro ilustra cómo puedes usar las operaciones con matrices para transformar un triángulo. Lee ese ejemplo. En general, trasladas un triángulo h unidades horizontalmente k unidades verticalmente al sumar la matriz 8 h k 7 h k h k 8 7 a la matriz de coordenadas, dilatas el triángulo por un factor de a multiplicando la matriz de coordenadas por el escalar a. Puedes usar los mismos métodos para transformar cualquier polígono. Tal vez te convenga dibujar tu propio polígono en una cuadrícula de coordenadas, representarlo con una matriz, después eperimentar usando unas operaciones con matrices para transformarlo. La multiplicación de matrices es un poco más complicado que la suma de matrices o la multiplicación de una matriz por un escalar. En el Ejemplo B en tu libro se usa un problema de la Lección 6. para mostrar cómo multiplicar una matriz con sólo una fila por otra matriz. Lee este ejemplo con mucha atención. La investigación el Ejemplo C te darán más práctica con la multiplicación de matrices. 6 Investigación: Encuentra tu lugar Lee la introducción el Paso de la investigación en tu libro. Completa el resto de la investigación por tu cuenta. No podrás responder el Paso. Supón que autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B, en la Ciudad C. Cuando haas terminado la investigación, lee las respuestas siguientes. Paso El diagrama a continuación presenta las reglas de la simulación. El diagrama indica, por ejemplo, que teóricamente, en cada vuelta el % de los autos de la Ciudad C se desplazarán a la Ciudad B, el % se desplazarán a la (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press
4 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 Lección 6. Operaciones con matrices (continuación) Ciudad A, el 7% se quedarán en la Ciudad C. Aquí se muestra la matriz de transición de la situación. Asegúrate de entender lo que representa cada entrada Paso Supón que autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B, en la Ciudad C. Estas condiciones se representan con la matriz [ ]. La multiplicación de las matrices se presenta a continuación. Las entradas de la matriz producto son el número de autos que ha en las Ciudades A, B, C, respectivamente, después de la primera transición.... [.. [. 8. ] ]...7 Piensa en cómo se relacionan los cálculos con la situación. Por ejemplo, en la primera transición, el % de los autos de la Ciudad A se quedan ahí, el % de los autos de la Ciudad B se desplazan a la Ciudad A, el % de los autos de la Ciudad C se desplazan a la Ciudad A. Por tanto, el nuevo número de autos que ha en la Ciudad A es (.) (.) (.). Éste es la suma de los productos de las entradas de la matriz de las condiciones iniciales las entradas de la primera columna de la matriz de transición. Cómo se calculan las otras entradas de la matriz producto? Paso Estas matrices muestran el número de autos que ha en cada ciudad durante cada una de las siguientes cuatro semanas. Semana : [ ] Semana : [ ] Semana : [ ] Semana : [ ] Si continúas multiplicando cada resultado por la matriz de transición, encontrarás que los valores a la larga son [9 6 ].. A.... C.7 B.. En los productos que has calculado hasta ahora, la matriz del lado izquierdo sólo tenía una fila. El Ejemplo C en tu libro muestra cómo hallar el producto cuando la matriz de la izquierda tiene más de una fila. Continúa con este ejemplo, usando papel lápiz. Ten presente que aprender cómo multiplicar matrices requiere de práctica. Cuando trabajes los ejercicios de tarea, te sentirás más a gusto con el proceso. En el Ejemplo C se señala que solamente puedes multiplicar dos matrices si el número de columnas en la matriz de la izquierda es igual al número de filas en la de la derecha o sea, si las dimensiones internas de las matrices son iguales. Las dimensiones eternas te dicen las dimensiones de la matriz producto. Por ejemplo, sí puedes multiplicar una matriz de 6 por una matriz de 6, porque las dimensiones internas son ambas 6. El resultado será una matriz de. No puedes multiplicar una matriz de 6 por una matriz de 6, porque las dimensiones internas,, no son iguales. En el teto del recuadro Matri Operations (Operaciones con matrices) en la página de tu libro, se resume lo que has aprendido en la lección. Lee este teto después practica las operaciones hasta que te sientas a gusto con ellas. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
5 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 8 LECCIÓN CONDENSADA 6. Método de reducción de filas En esta lección Escribirás unos sistemas de ecuaciones como las matrices aumentadas Resolverás unos sistemas de ecuaciones usando el método de reducción de filas La Lección 6. introduce un método para resolver sistemas de ecuaciones usando matrices. Lee la lección en tu libro hasta el Ejemplo A. El teto que sigue inmediatamente al Ejemplo A muestra cómo representar las operaciones con filas de manera simbólica. En el ejemplo siguiente, se utiliza dicha notación para resumir cada paso. Trata de resolver el sistema dado en el ejemplo por tu propia cuenta, antes de leer la solución. EJEMPLO Solución Usa el método de reducción de filas para resolver este sistema. Las ecuaciones se dan en forma estándar, así que copia los coeficientes las constantes a una matriz aumentada. Realiza las operaciones en filas para transformar esta matriz en la matriz solución. 9 R Divide la fila entre 7 para obtener para m : 7 R Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R Suma multiplicado por la fila a la fila para obtener para m : R R R La última columna de la matriz solución indica que la solución es (, ). Investigación: Juego de liga Completa la investigación de tu libro. Los resultados se dan a continuación. Observa que los resultados utilizan los puntos (, ), (, ), (, ) del Paso. Tal vez te convenga usar estos puntos también, para poder verificar tu trabajo con más facilidad. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press
6 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 86 Lección 6. Método de reducción de filas (continuación) Paso Aquí se muestra una gráfica de dispersión de los datos. La gráfica no es lineal. Parece ser cuadrática. Paso Usando los puntos (, ), (, ), (, ), obtienes el siguiente sistema de tres ecuaciones. Paso La matriz aumentada para el sistema del Paso es Paso Suma multiplicado por la fila a las filas. En notación compacta, esto es R R R R R R. La matriz resultante es a b c a b c 6a b c 6 6 Paso Aquí se presenta una posible serie de pasos: R 6 R R 6 R 6 R R R 6 R R R [,,,,, ] R R R R R R Paso 6 R R R R La solución aparece en la última columna: a, b, c. Entonces, la ecuación es. Paso 7 Las respuestas variarán. Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de intentar resolver el Ejemplo B, antes de leer la solución. 86 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
7 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 87 LECCIÓN CONDENSADA 6. Resolución de sistemas con matrices inversas En esta lección Encontrarás una matriz de identidad Encontrarás el inverso de una matriz Usarás unas matrices inversas para resolver ecuaciones En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que el número es la identidad multiplicativa. Esto significa que cuando multiplicas cualquier número real por, el número no cambia. Del mismo modo, cuando multiplicas una matriz por una matriz de identidad, la matriz no cambia. Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra cómo encontrar la matriz de identidad para. El resultado,, es la identidad para todas las matrices de. Prueba esto con otra matriz de, multiplicándola en cualquier de los dos lados por. En general, una matriz de identidad es una matriz cuadrada con un número colocado en cada columna, a través de la diagonal principal, del etremo izquierdo superior al etremo derecho inferior, con en las demás entradas. La notación compacta [I] se utiliza a menudo para representar una matriz de identidad. Las matrices de identidad eisten para todas las dimensiones (cuadradas). Por ejemplo, la matriz de identidad para las matrices de es En cursos anteriores de matemáticas, también aprendiste que todo número real que no sea cero tiene un inverso multiplicativo, que es el número por el cual multiplicas el número real para obtener la identidad multiplicativa,. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es,porque. De igual modo, algunas (aúnque no todas) matrices cuadradas tienen una matriz inversa. El inverso de una matriz [A] se denota como [A].Cuando multiplicas una matriz en cualquier lado por su matriz inversa, obtienes la matriz de identidad. Esto es, [A][A] [I] [A] [A] [I]. En la investigación, encontrarás el inverso de una matriz de. Investigación: La matriz inversa Sigue los Pasos 7 de la investigación en tu libro. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso Una matriz multiplicada por su matriz inversa es igual a la matriz de identidad. Así que a b c d (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 87 Ke Curriculum Press
8 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 88 Lección 6. Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación) a c b d Paso Paso a c b d a c b d Sumando multiplicado por a c a a c, se obtiene c. Así que a, lo cual significa que a.. Sumando multiplicado por b + d a b d, se obtiene d. Así que b, lo cual significa que b.. Así que a., b., c, d. La matriz inversa es, por tanto, Paso Con tu calculadora, debes confirmar que [A]. Paso.. (.) () (.) ()....().().().() a c. b d (.) () () () (.) () () (). Ambos productos son iguales, pero la multiplicación de matrices no siempre es conmutativa. Por ejemplo, sea [B], compara [A][B] con [B][A]. Paso 6 Usa tu calculadora para intentar encontrar los inversos de las matrices. Obtendrás un mensaje de error en cada caso, lo que indica que las matrices no tienen inversos. Una matriz de dimensiones no tiene inverso cuando una fila es el múltiplo de la otra. Paso 7 Solamente las matrices cuadradas tienen inversos. Una posible eplicación: Supón que una matriz [B] de dimensiones m n tiene inverso. Entonces, [B][B] [I]. Una matriz de identidad debe ser cuadrada, de modo que [I] debe tener las dimensiones m m. Sin embargo, debido a que también es cierto que [B] [B] [I], [I] debe tener las dimensiones n n. Por tanto, m debe ser igual a n, así que [B] es cuadrada.. Recuerda que puedes resolver una ecuación de la forma a b multiplicando ambos lados por el inverso multiplicativo de a. Por ejemplo, para resolver, multiplicas ambos lados por para obtener.de forma parecida, si rescribes un sistema de ecuaciones en forma de matriz, puedes resolverlo multiplicando ambos lados por el inverso de la matriz coeficiente. Lee el recuadro Solving a Sstem Using the Inverse Matri (Resolución de un sistema usando la matriz inversa) en tu libro, luego lee el Ejemplo B con mucha atención, siguiéndolo con papel lápiz. Para asegurarte de que entiendes el método, intenta el siguiente ejemplo. (continúa) 88 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
9 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 89 Lección 6. Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación) EJEMPLO Solución Resuelve este sistema usando una matriz inversa. La matriz para este sistema es Usa una calculadora para encontrar que Multiplica ambos lados de la ecuación por la matriz inversa en el lado izquierdo Entonces, la solución al sistema es (,.). Ahora lee el resto de la lección, incluendo el Ejemplo C, que implica la resolución de un sistema de tres ecuaciones. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 89 Ke Curriculum Press
10 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9
11 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 LECCIÓN CONDENSADA 6. Sistemas de desigualdades lineales En esta lección Escribirás unos sistemas de desigualdades lineales para describir unas situaciones reales Graficarás la solución, o región factible, de un sistema de desigualdades Encontrarás los vértices de una región factible A menudo, las situaciones reales que implican un rango de valores pueden representarse mediante desigualdades. La tabla al inicio de la Lección 6. en tu libro proporciona varios ejemplos. Puedes realizar operaciones en ambos lados de una desigualdad, del mismo modo en que lo haces con las ecuaciones. Sin embargo, cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa, debes invertir el símbolo de desigualdad. Investigación: Pagando los estudios universitarios Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro, después completa los Pasos. Cuando haas terminado, compara tus resultados con los siguientes. Paso,, Paso He aquí algunos pares (, ) posibles: (, ), (, ), (, ), (, 9999), (, ). La suma de puede ser menor que $,, a que los administradores no tienen que invertir todo el dinero. Paso Las soluciones de están debajo de la recta. Paso Los puntos para los cuales una o ambas coordenadas son negativas, como (, ) ó (, 6), no tienen sentido en esta situación. Paso Lee el párrafo que precede el Paso. En el Paso se te pide traducir todas las limitaciones, o restricciones, de dicho párrafo a un sistema de desigualdades. Inténtalo por tu cuenta, después compara tu sistema con el que te presentamos a continuación.,,,, La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $. La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos es al menos el doble de la cantidad invertida en acciones. La cantidad total invertida debe ser menos de o igual a $,. (continúa),, Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 9 Ke Curriculum Press
12 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 Lección 6. Sistemas de desigualdades lineales (continuación) Paso 6 Las soluciones de este sistema son los valores que satisfacen todas las desigualdades. No puedes hacer una lista de todas las soluciones (eiste un número infinito de ellas), pero puedes mostrar la región en una gráfica. Para hacer esto, grafica la solución de cada una de las desigualdades. La solución del sistema es el área en la que todas las gráficas se traslapan. La solución son todos los puntos que están sobre o a la derecha de están sobre o por encima de sobre o, por encima de sobre o por debajo de. C La gráfica se presenta aquí. La solución se llama región factible. B Para encontrar las esquinas, o los vértices, de la región, necesitas,, encontrar los puntos en los que las rectas que forman cada A esquina se intersecan. Esto implica resolver estos sistemas:,, Las soluciones de estos sistemas son (, ),, 6666, (, ). Puedes describir la región factible para el sistema como el triángulo con los vértices (, ),, 6666, (, ), suinterior. El teto que se encuentra entre la investigación el ejemplo en tu libro resume el trabajo que hiciste en la investigación. Lee ese teto después trabaja el ejemplo. Aquí ha otro ejemplo. EJEMPLO Dibuja la región factible de este sistema de desigualdades, e identifica sus vértices.. Solución Aquí se presentan las gráficas de cada desigualdad:. La región factible es el traslapo de las gráficas, como se muestra a la derecha. Puedes leer los vértices de la gráfica o encontrarlos resolviendo estos sistemas:.. Las soluciones son (,.), (, ), (, ). Lee el resto de la lección en tu libro. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
13 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 LECCIÓN CONDENSADA 6.6 Programación lineal En esta lección Usarás el método de programación lineal para resolver unos problemas que implican maimizar o minimizar el valor de una epresión. La programación lineal es el proceso de encontrar una región factible después encontrar el punto dentro de la región que da el valor máimo o mínimo para una epresión específica. Lee sobre la programación lineal en los primeros tres párrafos de la lección en tu libro. Investigación: Maimización de ganancias Paso Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro. A continuación la información dada está organizada en una tabla. Además de esta información, observa que el número de pilas no vidriadas para pájaros,, debe ser maor que o igual a 6. Por cada pila no Por cada pila vidriada para pájaros vidriada para pájaros Valor de restricción Horas de torno. 8 Horas de horno 8 6 Ganancia $ $ Maimizar Paso Usa tu tabla para escribir desigualdades que reflejen las restricciones dadas, junto con cualquier restricción que te imponga el sentido común. Después compara tus desigualdades con las siguientes La restricción de las horas de torno. La restricción de las horas de horno. La restricción sobre el número de pilas no vidriadas. Sentido común. Sentido común. Ahora, haz una gráfica de la región factible del sistema de desigualdades, rotula los vértices. Compara tu gráfica con la que presentamos aquí. Paso Tiene sentido sólo producir números enteros de pilas para pájaros. Haz una lista de las coordenadas de todos los puntos dentro de la región factible, para los cuales ambas coordenadas son enteras. Asegúrate de incluir los puntos sobre las rectas limítrofes. Tu lista debe incluir estos puntos: (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, ), (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, ), (7, ), (8, ) Estos puntos representan todas las combinaciones posibles de pilas vidriadas no vidriadas que el taller puede producir. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 9 Ke Curriculum Press
14 DAACLS_678_6.qd // : PM Page 9 Lección 6.6 Programación lineal (continuación) Paso El taller obtiene $ por cada pila no vidriada $ por cada pila vidriada. La ecuación para la ganancia, P, si la empresa produce pilas no vidriadas pilas vidriadas, es P. Encuentra la ganancia para cada uno de los puntos factibles incluidos en el Paso. Debes obtener los resultados siguientes. Punto Ganancia (6, ) $6 (9, ) $9 (, ) $ (, ) $ (7, ) $ (, ) $ (, ) $7 (7, ) $ Punto Ganancia (7, ) $7 (, ) $ (, ) $ (6, ) $6 (8, ) $ (, ) $ (, ) $8 (8, ) $6 Punto Ganancia (8, ) $8 (, ) $ (, ) $ (6, ) $ (9, ) $ (, ) $6 (6, ) $ Paso El taller obtendrá una ganancia máima de $8 si produce pilas no vidriadas vidriada. El punto (, ) es un vértice de la región factible. Completa los Pasos 6 a 8, después compara tus resultados con los siguientes. Paso 6 Paso 7 Paso 8 ; observa la gráfica que se presenta aquí. ; observa la gráfica que se presenta aquí. 7; observa la gráfica que se presenta aquí. Paso 9 Observa las rectas de ganancia de los Pasos 6 a 8. Observa que todas son paralelas entre sí que, a medida que aumenta la ganancia, las rectas se desplazan hacia arriba hacia la derecha. Si imaginas que la recta de ganancia se sigue desplazando hacia arriba hacia la derecha, manteniendo siempre la misma pendiente, el último punto en la región factible por el que pasará es (, ). Por tanto, (, ) debe ser el punto que maimiza la ganancia. Este mismo método funcionaría también en otras situaciones. Si el vértice no tuviera coordenadas enteras, podrías probar los puntos enteros cercanos al vértice. Para minimizar la ganancia, podrías imaginar que la recta de ganancia se desliza hacia abajo hacia la izquierda. El último punto de la región factible por el que pasaría es (, ), que es el punto que da la mínima ganancia. En el ejemplo en tu libro se proporciona un ejemplo en el que se usa la programación lineal para minimizar los costos. Trabaja ese ejemplo lee el resto de la lección. La lección termina con un recuadro donde se resumen los pasos para resolver un problema de programación lineal. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press
Traslación de puntos
LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que
Más detallesUna fórmula para la pendiente
LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta
Más detallesMedidas de la tendencia central y las gráficas de caja
LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja En esta lección Encontrarás e interpretarás la media, la mediana, y la moda para unos conjuntos de datos Crearás e interpretarás
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesGráficas de caja. El borde derecho de la caja es el tercer cuartil, Q 3, que es la mediana de los valores que están por encima de la mediana.
LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Gráficas de caja En esta lección crearás e interpretarás las gráficas de caja para conjuntos de datos usarás el rango intercuartil (IQR) para identificar valores extremos potenciales
Más detallesFunciones exponenciales
LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Funciones exponenciales En esta lección Escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo Encontrarás una función exponencial que pasa por los puntos de una sucesión
Más detallesSecuencias definidas de manera recursiva
LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Secuencias definidas de manera recursiva En esta lección Escribirás definiciones y fórmulas recursivas para patrones y secuencias Aprenderás a reconocer y escribir fórmulas para
Más detallesGrado polinomial y diferencias finitas
LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesRepresentaciones de matrices
LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección representarás sistemas cerrados con diagramas de transición matrices de transición usarás matrices para organizar información Sandra trabaja
Más detallesUnidad I. 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)
Unidad I Sistemas numéricos 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal) Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS.
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesUna desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesTransformación de gráfica de funciones
Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesPROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático
PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Información importante que debes
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesEcuaciones lineales y secuencias aritméticas
LECCIÓN CONDENSADA 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas En esta lección escribirás fórmulas eplícitas para secuencias aritméticas escribirás ecuaciones lineales en forma de intersección En el
Más detallesEl Teorema de Pitágoras
LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo
Más detallesRazones trigonométricas
LECCIÓ CODESADA 12.1 Razones trigonométricas En esta lección Conocerás las razones trigonométricas seno, coseno, y tangente Usarás las razones trigonométricas para encontrar las longitudes laterales desconocidas
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesMinisterio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano. Programación lineal
Ministerio de Educación Nuevo Bachillerato Ecuatoriano Programación lineal Con el fin de motivar a sus estudiantes, un profesor de Matemática decide proporcionarles dos paquetes de golosinas: uno con 2
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesMatrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa
Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detalles6. VECTORES Y COORDENADAS
6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesLa Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.
LF.3.A1.2-Steve Cole-Determining Domain and Ranges- La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.2 Qué es Dominio? Es
Más detallesx 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas
Más detallesINSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ
Más detallesReduce expresiones algebraicas (páginas 469 473)
A NOMRE FECHA PERÍODO Reduce expresiones algebraicas (páginas 469 473) Reduce expresiones algebraicas Los expresiones 3(x 4) 3x 2 son expresiones equivalentes, porque tienen el mismo valor sin importar
Más detallesProporciones. Puedes verificar que las proporciones son verdaderas por hallar el equivalente. 5 9 no es verdadera; 0.2 no es igual a 0.5.
LECCIÓN CONDENSADA.1 Proporciones En esta lección aprenderás varias maneras de escribir una razón aprenderás métodos para resolver proporciones resolverás problemas escribiendo y resolviendo proporciones
Más detallesDiagrama de barras y gráficas de puntos
LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Diagrama de barras y gráficas de puntos En esta lección interpretarás y crearás diferentes gráficos encontrarás algunos valores sumarios de un conjunto de datos llegarás a conclusiones
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detalles3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector
3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................
Más detallesCapítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES
Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detallesguía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN QUINTO GRADO MATEMÁTICAS
TM guía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN QUINTO GRADO MATEMÁTICAS 5 Las escuelas de los Estados Unidos de América están trabajando para brindar una enseñanza de mayor calidad nunca antes vista. La
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesUnidad 6 Cálculo de máximos y mínimos
Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos
Más detallesFunciones polinomiales de grados 3 y 4
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados
Más detallesCurso de Procesamiento Digital de Imágenes
Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408 http://turing.iimas.unam.mx/~elena/teaching/pdi-lic.html elena.martinez@iimas.unam.mx
Más detallesDESIGUALDADES E INTERVALOS
DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen
Más detallesMódulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias
Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional
Más detallesPARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:
Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay
Más detalles5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades
5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio
Más detallesDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:
Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela
Más detallesCurso Excel Básico - Intermedio
Curso Excel Básico - Intermedio Clase 4 Relator: Miguel Rivera Adonis Introducción Base de Datos: Definición de Base de Datos Ordenar datos Formulario Filtros Trabajar con Sub-Totales Validación de Datos
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b
La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente
Más detallesEnunciado unidades fraccionarias fracción fracciones equivalentes comparar operaciones aritméticas fracciones propias Qué hacer deslizador vertical
Enunciado Si la unidad la dividimos en varias partes iguales, podemos tomar como nueva unidad de medida una de estas partes más pequeñas. Las unidades fraccionarias son necesarias cuando lo que queremos
Más detallesVII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
Más detallesDatos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina
Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción
Más detallesUCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)
PAEG Junio 0 Propuesta A Matemáticas aplicadas a las CCSS II º Bachillerato UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales
Más detallesEstadística con Excel Informática 4º ESO ESTADÍSTICA CON EXCEL
1. Introducción ESTADÍSTICA CO EXCEL La estadística es la rama de las matemáticas que se dedica al análisis e interpretación de series de datos, generando unos resultados que se utilizan básicamente en
Más detallesPorcentajes. Cajón de Ciencias. Qué es un porcentaje?
Porcentajes Qué es un porcentaje? Para empezar, qué me están preguntando cuando me piden que calcule el tanto por ciento de un número? "Porcentaje" quiere decir "de cada 100, cojo tanto". Por ejemplo,
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesEjercicios de Trigonometría
Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesDuplicación de segmentos yángulos
LECCIÓN CONDENSD 3.1 Duplicación de segmentos yángulos En esta lección prenderás lo que significa crear una construcción geométrica Duplicarás un segmento usando una regla no graduada y un compás, y usando
Más detallesBREVE MANUAL DE SOLVER
BREVE MANUAL DE SOLVER PROFESOR: DAVID LAHOZ ARNEDO PROGRAMACIÓN LINEAL Definición: Un problema se define de programación lineal si se busca calcular el máximo o el mínimo de una función lineal, la relación
Más detallesFUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO
1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad
Más detallesREPRESENTACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA
REPRESENTACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Similar a las distribuciones de frecuencia, una distribución de probabilidad discreta puede ser representada (descrita) tanto gráficamente como
Más detallesProblemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal
Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesMatemáticas Grado 1 Curso escolar completo (EJEMPLO)
Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6 Unidad 7 Manejo de sumas y deferencias hasta el 20 y problemas que manejan números hasta el 100 Suma y Resta relacionada con medidas y el tiempo Valor
Más detallesI. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }
I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
Más detallesÁreas de rectángulos y paralelogramos
LECCIÓN CONDENSADA 8.1 Áreas de rectángulos y paralelogramos En esta lección Revisarás la fórmula del área de un rectángulo Usarás la fórmula del área de un rectángulo para encontrar las áreas de otras
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesGeometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA
Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro
Más detallesguía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN SÉPTIMO GRADO MATEMÁTICAS
TM guía para LOS PADRES APOYANDO A SU HIJO EN SÉPTIMO GRADO MATEMÁTICAS 7 Las escuelas de los Estados Unidos de América están trabajando para brindar una enseñanza de mayor calidad nunca antes vista. La
Más detallesTema 3. Medidas de tendencia central. 3.1. Introducción. Contenido
Tema 3 Medidas de tendencia central Contenido 31 Introducción 1 32 Media aritmética 2 33 Media ponderada 3 34 Media geométrica 4 35 Mediana 5 351 Cálculo de la mediana para datos agrupados 5 36 Moda 6
Más detallesPara crear una lista como la anterior, primero escribe la información, y después selecciona el texto y aplícale el formato de viñetas.
Módulo 3 Herramientas de Cómputo Listas, tabulaciones, columnas y cuadros de texto Listas En muchas ocasiones es necesario que enumeres diferentes elementos en tus documentos. Word no sólo reconoce números
Más detallesEcuaciones de segundo grado
3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesEn la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b.
FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son
Más detallesActividades con GeoGebra
Conectar Igualdad - "Netbooks Uno a Uno" Actividades con GeoGebra Nociones básicas, rectas Silvina Ponce Dawson Introducción. El GeoGeobra es un programa que permite explorar nociones matemáticas desde
Más detallesCovered California Créditos fiscales para Primas de Salud y Reconciliación de impuestos
Hoja de información OCTUBRE 2015 Covered California Créditos fiscales para Primas de Salud y Reconciliación de impuestos Resumen Podrías ser uno entre más de 1.2 millones de personas que compran seguros
Más detallesTema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Más detallesSe llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.
ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.
Más detallesOPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES
VECTORES EN 3D (O EN R 3) Presentación: este apunte te servirá para repasar y asimilar que son los vectores en un espacio tridimensional, sólo hablamos de los vectores como se utilizan en Álgebra, para
Más detallesOperaciones Booleanas y Compuertas Básicas
Álgebra de Boole El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener
Más detallesguía para LOS PADRES Apoyando a su hijo en segundo grado matemáticas
TM guía para LOS PADRES Apoyando a su hijo en segundo grado matemáticas 2 Las escuelas de los Estados Unidos de América están trabajando para brindar una enseñanza de mayor calidad nunca antes vista. La
Más detallesInecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg
PreUnAB Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita Clase # 11 Agosto 2014 Intervalos Reales Orden en R Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b, a < b, si b
Más detalles