Campo Gravitatorio. 3.- Razona por qué son planas las trayectorias de los planetas en torno al Sol. Canarias. Junio 1996

Transcripción

1 masa m en las proximidades de la superficie de un planeta, por ejemplo la Tierra, puede expresarse en la forma aproximada E Campo Gravitatorio p = m g h, donde h es la respecto a un cierto nivel de referencia. En qué circunstancias es válida esta expresión? El mencionado de referencia, debe ser necesariamente la superficie del planeta? Razona tus contestaciones. Zaragoza Junio La masa del Sol es veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el terrestre. a) Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la de la Tierra? b) Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba, desde la superficie solar, con una velocidad de 720 km h -l ; g= 10 m s 2. Andalucía. Junio, ,82; 73,4 m 2.- La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. a) Calcula la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna. b) Calcula el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partícula de masa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna y a una distancia del centro de la Tierra de 3, m. c) Si en la Luna se deja caer, sin velocidad inicial, un objeto desde una altura de 10 m, con qué velocidad llegará al suelo? Datos: G = 6, N m 2 kg 2. Masa de la Tierra: 6, kg. Radio de la Luna: 1, m. Canarias. Junio, , m; 9, Kg; 7,15 m/s 3.- Razona por qué son planas las trayectorias de los planetas en torno al Sol. Canarias. Junio Halla la expresión de la "velocidad de escape" de un cuerpo que se encuentra en la superficie de la Tierra. Canarias. Junio En un planeta cuyo radio es la mitad del radio terrestre, la aceleración de la gravedad en su superficie vale 5 m s 2.Calcular: a) La relación entre las masas del planeta y la Tierra. b) La altura a la que es necesario dejar caer desde el reposo un objeto en el planeta, para que llegue a su superficie con la misma velocidad con que lo hace en la Tierra, cuando cae desde una altura de 100 m. (En la Tierra: g = 10 m s 2 ) Galicia Junio 96. 0,125 ; 200 m. 6.- Suponiendo a la Tierra como una esfera homogénea de radio R y despreciando efectos que sobre la fuerza de atracción entre masas ejerce la rotación de la Tierra alrededor de su eje, determinar la altura h a la que hay que elevar sobre la superficie terrestre una masa de 1 kg para que su peso se reduzca a la mitad. Discutir los resultados. Valencia Junio 96. 0,414 R y 2,414 R 8.- Unos nos dicen que la velocidad con que habría que lanzarse un cohete desde la superficie de la luna para que escapara de su atracción gravitatoria es 300 m s 1. Pero otros nos aseguran que es sólo 213 m s 1. a) Calcula la velocidad de escape correcta. b) Calcula la diferencia entre lo que nos han dicho nuestros amigos y el resultado correcto que has obtenido. Exprésalas en tantos por ciento de valor correcto. Datos- La masa de la Luna es 7, kg y su radio es 1, m. Constante de la gravitación universal: G = 6, UI 237,2 m/s; 26,5%; 10,2% 9.- La Luna es aproximadamente esférica con radio R L = 1, m y masa M L = 7, kg. La constante de gravitación universal es G = 6, N m 2 kg 2. Desde la superficie de la Luna se lanza verticalmente un objeto que llega a elevarse una altura máxima sobre la superficie h = R L. Determina: a) la velocidad inicial con que se ha lanzado el objeto. b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en el punto más alto alcanzado por el objeto. Zaragoza Junio m/s 10.- Un satélite artificial describe una órbita elíptica, con el centro de la Tierra en uno de sus focos. a) En el movimiento orbital del satélite, se conserva su energía mecánica? Y su momento angular respecto al centro de la Tierra? Por qué? b) Supón que conocemos las distancias máxima y mínima del satélite al centro de la Tierra (apogeo y perigeo). R A y R P respectivamente. Plantea razonadamente, sin resolverlas, las ecuaciones necesarias para determinar las velocidades orbitales del satélite en el apogeo y en el perigeo, V A y V P. Datos: constante de gravitación universal. G. Masa de 7.- a) Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra de masa M? b) La energía potencial gravitatoria de una partícula de la Tierra. M. Zaragoza Septiembre 97 S D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 1 de 46

2 11.- Un enorme cañón dispara verticalmente un proyectil Tierra. desde la superficie de la Tierra que asciende pero a) Calcular la velocidad de la sonda en la órbita de es- vuelve a caer siendo la altura máxima alcanzada igual a tacionamiento. la décima parte del radio terrestre. Con idéntico armamento b) Comprobar que la velocidad que la sonda necesita, a repetimos la experiencia desde la superficie de esa altura, para escapar de la atracción de la Tierra es un planeta imaginario, cuyo radio es la cuarta parte del aproximadamente 6,2 km/s de la Tierra, observando ahora que el proyectil no regresa. Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra g = 9,81 ms 2 a) Calcula la máxima masa que puede tener el planeta Radio medio Terrestre R T = 6370 km. Madrid 97 imaginario (Masa de la tierra = kg ). 4378,2 m/s ; 6, m/s b) Si no conoces el valor de la constante de gravitación G, pero te dan el valor del radio de un planeta cualquiera, R 0, y el valor de la gravedad en su superficie, g 0, cómo podrías calcular su velocidad de escape? M T /44=1, kg ; 2g 0 R La N.A.S.A. coloca en órbita circular un satélite artificial de 300 kg de masa de forma que un observador terrestre, convenientemente situado, podría verlo inmóvil en el firmamento. Este tipo de satélite se denomina geoestacionario o geosincrónico, y se utiliza principalmente en comunicaciones. a) Calcula el radio de la órbita y su altura respecto a la superficie terrestre. b) Determina la energía mecánica del satélite en su órbita. Constante de Gravitación Universal, G = 6, U.S.I. Masa de la Tierra M = 5, kg Radio terrestre R = 6370 km.; 4, m ;35863 km; 1, J 13.- Si un gigante cósmico y mal intencionado detuviera la luna en su trayectoria alrededor de la Tierra y después la soltara y abandonara a sí misma, esta caería irremediablemente sobre nuestras cabezas. Calcula: a) Cual seria la energía cinética con que llegaría la Luna a la superficie terrestre? b) Sabes que para evaporar por calentamiento una masa de 1 kg de agua hay que emplear aproximadamente una energía de Julios. Qué cantidad de agua se evaporaría si toda aquella energía cinética se empleara en evaporar agua de mar? Da el resultado en millones de toneladas (no te asustes; recuerda que el tamaño de la Luna es comparable al del mar Mediterráneo). Datos: La masa de la Luna es 7, kg: Toma la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna 3, y el valor de la gravedad en la superficie de la Tierra como g 0 = 9,8 m s 2. El radio de la tierra es R T = 6, m. 4, J, 1, MT 14.- a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. b) La Tierra tarda un año en realizar su órbita en tomo al Sol. Esta órbita es aproximadamente circular con radio R = 1, m. Sabiendo que G = 6,67 l0 11 N m 2 kg 2, calcula la masa del Sol. Zaragoza 98. 1, kg 15.- Una sonda espacial se encuentra "estacionada" en una órbita circular terrestre a una altura sobre la superficie terrestre de 2,26 R T, donde R T es el radio de la 16.- Dos masas puntuales m = 6,4 kg se encuentran fijas en dos puntos separados d = 16 cm. Una tercera masa (m'= 100 g) se suelta en un punto A equidistante de los anteriores y situado a una distancia de 6 cm. por encima del punto medio B del segmento que une las masas m. Determinar: a) La aceleración de la masa m' en los puntos A y B. b) La velocidad que llevará cuando pase por el punto B. G = 6, N m 2 /kg 2. Baleares Junio, m/s 2 ; 768G j r ; 6, m/s 17.- Razona las respuestas a las siguientes preguntas: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra? b) Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria? Andalucía a) Momento angular de una partícula: definición; teorema de conservación.) b) Un satélite artificial, de masa m = 200 kg describe una órbita circular de radio R = 6700 km en torno a la Tierra- Calcula su momento angular respecto al centro de la Tierra. Es constante? Por qué? (1,5 p.) Datos: M T = 5, kg; G = 6, N m 2 kg 19.- Describe cualitativamente el cambio de peso que sufre una nave espacial de masa m en un viaje de la Tierra a la Luna. Supón que la Tierra y la Luna se encuentran en reposo y que la nave se mueve según la dirección que une los centros. Balares Es posible que un satélite artificial describa una órbita circular alrededor de la Tierra si su velocidad es de 1 km/s? Razona la respuesta. Datos: R T = 6370 km ; g T = 9,8 m/s 2 Distancia Tierra Luna 3, m Balares98. No es posible el radio de la órbita es 3, m 21.- Dos masas iguales de 300 kg se suponen concentradas en dos puntos, A y B, separados entre sí 0,16 m. Desde un punto C, situado sobre la perpendicular por el punto medio a la línea que une las dos masas anteriores y a una altura de 0,06 m, se suelta una tercera masa m de 1 kg, sometida exclusivamente a la acción de las dos primeras. Calcula: a) La aceleración de m en el instante en que es soltada. b) La velocidad de m cuando pasa por el punto medio de la línea que une A y B. D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 2 de 46

3 c) La aceleración de m cuando se encuentra en este punto medio. G = 6, N m 2 /kg 2. Balares98. r a 6 2 = 2,4 10 j ms r ; 5, ms 1 ; La Luna describe una órbita circular en tomo a la Tierra en 28 días. La masa de la Tierra es 6, kg y G = 6, N. m 2 kg 2. a) Calcula la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna. b) Calcula el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partícula de masa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna, a una distancia del centro de la Tierra de 3,4 l0 8 m. c) Si en la Luna, cuyo radio es de 1, m, se deja caer sin velocidad inicial un objeto desde una altura de 10 m, con qué velocidad llegará al suelo? Canarias 98 3, m ; 1, kg ; 7,74 m/s 23.- Deduce la expresión de la energía necesaria para poner un satélite en órbita lanzándolo desde la superficie terrestre, justificándolo físicamente. Canarias El periodo de un péndulo simple de 1 m de longitud en la superficie de la Luna es T = 4,7 s. Sabiendo que el radio de la Luna es R L = 1738 km: a) Determina la gravedad en la superficie lunar. b) Determina la velocidad de escape en la superficie de la Luna. Datos: G = 6, N m 2 /kg 2. Cantabria 98 1,79 m/s 2 ; 2492,4 m/s 25.- Un satélite artificial de 100 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. Sabiendo que su periodo de revolución es T 1 = 5665 s, determina: a) Velocidad del satélite en la órbita. b) Energía cinética, energía potencial y energía total del satélite en la citada órbita. c) Energía necesaria para transferir este satélite a otra órbita de periodo T 2 = 7200 s. Datos: G = 6, N m 2 /kg 2. Radio de la Tierra = 6370 km. Cantabria m/s ; 2, J; 5, J; 2, J ; 0, J 26.- Calcula el periodo de un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra a una distancia de 10 km sobre la superficie terrestre. Datos: G = 6,67 l0 11 N m 2 /kg 2. Masa de la Tierra: M T = 5, kg. Radio de la Tierra: R T = km. Castilla la Mancha s 27.- Supón que la órbita de la Tierra en torno al Sol es una circunferencia de radio 1, m y que la Tierra tarda 3, s en completar dicha órbita. Determina: a) La masa del Sol. b) El potencial gravitatorio debido al Sol en el punto en que se halla la Tierra. G = 6, U.S.I. Castilla y León 98. 2, kg ; 8, J kg Razona por qué es imposible que un satélite artificial describa en torno a la Tierra una órbita que, como la de la figura, no está contenida en el plano del ecuador, sino en otro paralelo a él. Castilla y León Determina el campo gravitatorio módulo, dirección y sentido) resultante de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y del Sol, en un punto situado en la recta que une la Tierra y el Sol, y a una distancia de km del centro de la Tierra. Datos: G = 6, N. m 2 /kg 2. M Tierra = 5, kg; M Sol 1, kg; D Tierra-Sol = km. Comunidad Valenciana 98. 3, ms 2 hacia el Sol 30.- La distancia entre el Sol y Mercurio es de 57, km, y entre el Sol y la Tierra es de 149, km. Suponiendo que las órbitas de ambos planetas son circulares, calcula su velocidad de rotación alrededor del Sol. Comunidad Valenciana 98;3, y 4, ms Di si es CIERTO o FALSO y razona la respuesta: "El trabajo de una fuerza conservativa, al desplazarse entre dos puntos, es menor si se realiza a través de la recta que los une." Extremadura 98. Falso Fuerzas conservativas. Características. Extremadura Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en que su energía potencial vale 200 J hasta otro donde vale 400 J. Cuál es el trabajo realizado por o contra el campo?: a) 200 J. b) 200 J. e) 600 J. Galicia J. la masa se desplaza por si misma disminuyendo su energía potencial La menor velocidad de giro de un satélite de la Tierra, conocida como primera velocidad cósmica, es la que se obtendría para un radio orbital igual al radio terrestre R T. Calcula: a) La primera velocidad cósmica. b) El periodo de revolución correspondiente. Datos: G = 6, N m 2 kg 2 m T = 5, kg R T = 6, m Galicia ,84 m/s ; 5069,88 s 35.- La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determina: a) La velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita. Datos: Constante de gravitación: G =6, N m 2 kg 2 ; Masa de la Luna: M L = 7, kg ; Radio me- D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 3 de 46

4 dio lunar: R L = 1740 km Madrid ,4 m/s ; 7077,9 s ; 2310 m/s 36.- Un satélite de 1000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria (es decir, la vertical del satélite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre).calcula: a) Su velocidad angular. b) El módulo de su aceleración. c) Su energía total. Dato: radio de la Tierra = km. Murcia 98. 7, rad/s: 0,22 ms 2 ; 4, J 37.- Un astronauta, con 100 kg de masa (incluyendo el traje), está en la superficie de un asteroide de forma prácticamente esférica, con 2,4 km de diámetro y densidad media 2,2 g cm 3. Determina: a) Con qué velocidad debe impulsarse el astronauta para abandonar el asteroide? b) Cómo se denomina rigurosamente tal velocidad? c) El astronauta carga ahora con una mochila que pesa 40 kg. Le será más fácil salir del planeta? Por qué? Dato: G = 6, N. m 2 kg 2. Oviedo 98. 1,3 m/s; velocidad de escape; igual Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual al doble del terrestre. Calcula: a) Energía que hay que comunicar al satélite y velocidad orbital de éste. b) Energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. Datos: G = 6, N m 2 kg 2 R T = 6, m M T = 5, kg País Vasco 98. 2, J ; 5595 m/s; 7, J 39.- a) Explica el concepto de energía gravitatoria. Qué energía potencial tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra masa M? b) La energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m en las proximidades de la superficie de un planeta, por ejemplo la Tierra, puede expresarse en la forma aproximada Ep= mgh donde h es la altura respecto a un cierto nivel de referencia. En qué circunstancias es válida esta expresión El mencionado nivel de referencia, debe ser necesariamente la superficie del planeta? Razona tus contestaciones. Zaragoza Junio Un satélite artificial de masa m = 300 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra. Sabiendo su velocidad orbital es v = 6,3 km/s, que la masa de la Tierra es M T = 5, kg y que la constante de gravitación es G = 6, N m 2 kg 2, determina: a) El radio de la órbita del satélite. b) La energía mecánica. c) El momento angular respecto al centro de la Tierra del satélite. Zaragoza Septiembre m; J ; 1, kg m 2 s 1 S 41.- Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. b) La Tierra tarda un año en realizar su órbita en tomo al Sol. Esta órbita es aproximadamente circular con radio R = 1, m. Sabiendo que G = 6, N m 2 kg 2, calcula la masa de Sol. Zaragoza Junio 98. 1, kg S 42.- Qué es una fuerza central? Cuándo se dice que un campo de fuerzas es conservativo? Los campos de fuerzas centrales son conservativos? Razona la respuesta y utiliza ejemplos. Madrid Imagina un planeta sin atmósfera, perfectamente esférico, de radio R= 5000 km y masa M = kg. Desde su superficie, se dispara horizontalmente un proyectil. G = 6, N m 2 kg 2. a ) Calcula la velocidad con que debe dispararse el proyectil para que describa una órbita circular rasante a la superficie del planeta b) Explica qué es la "velocidad de escape" y calcúlala en nuestro caso. v = 8167 m/s ; 11549,9 m/s S 44.- Compara las fuerzas de atracción que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. A qué conclusión llegas? b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna? Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres. El radio de la Luna es de 0,27 veces el radio de la Tierra. Madrid N S 45.- a) Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre? Dónde será la mayor la gravedad, en los Polos o en un punto del Ecuador? b) Cómo varía la gravedad con la altura? Qué relación existe entre la gravedad a una altura h y la gravedad en la superficie terrestre? Razona las respuestas. Madrid a) Enuncia las leyes de Kepler. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Neptuno en tomo al sol es 30 veces mayor que el de la Tierra. Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? Zaragoza Junio 97 3 T N = 30 T S 47.- La luna es aproximadamente esférica, con radio R = 1, m y masa M = 7, kg. a) Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie lunar. (0,5 p.) b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 2 m sobre la superficie lunar, cuál será su velocidad al chocar con la superficie? (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2. Zaragoza Junio a) Enuncia la tercera ley de Kepler y comprueba que se cumple para órbitas circulares en torno a un planeta esférico de masa M. b) Los satélites de comunicaciones geoestacionarios describen órbitas circulares en el plano ecuatorial de la Tierra. El periodo de estas órbitas coincide con el de rotación de la Tierra (un día), de forma que cada satélite geoestacionario se encuentra siempre sobre el mismo D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 4 de 46

5 punto del ecuador. Calcula el radio de esta órbita. G = 6, N m 2 kg 2 ; M T = 5, kg. Zaragoza Junio 99 S 49.- Una nave espacial, con los motores apagados describe una órbita circular de radio R = 2, m en torno a la Tierra. a) Calcula la velocidad orbital de la nave y el periodo de la órbita. (1p) b) Calcula la energía cinética y la energía potencial gravitatoria de la nave, de masa m = kg c) Cuanto trabajo tendrían que realizar, como mínimo, los motores de la nave para escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra? Explica tu planteamiento. G = 6, N m 2 kg 2 ; Masa de la Tierra: M = 5, kg. Zaragoza Septiembre 99 S 54.- a) Enuncia la tercera ley de Keppler. b) Si el radio de la órbita circular de un planeta A es cuatro, veces que la de otro B, en qué relación están sus periodos? Castilla-La Mancha 99; La curva que se muestra representa la energía potencial gravitatoria de una masa de 1 kg en un planeta de radio R = km, en función de la altura h sobre la superficie del planeta Tres partículas iguales de masa M están fijas en tres vértices de un cuadrado de lado L. a) Determina el potencial gravitatorio en los puntos A y B, vértice vacante y centro del cuadrado respectivamente. b) Si situamos una cuarta partícula en el punto A y la soltamos con velocidad inicial nula, se moverá hacia B. Por qué? Determina la velocidad de esta partícula cuando pasa por B Supón conocida la constante de gravitación Universal Gm G. Zaragoza Septiembre 99 ; V A = 2, 7 ; L GM V B = 4, 24 ; Hacia potenciales menores; L 3,08GM L a) Cuál será la aceleración de la gravedad en dicho planeta? b) Deduce la expresión de la velocidad de escape y calcula su valor en el caso de este planeta. Cantabria Se lanza desde el ecuador un satélite artificial de masa 100 kg que se sitúa en una órbita circular geoestacionaria. Se desea saber: a) El valor de la altura h sobre la superficie terrestre de la órbita del satélite. b) La energía que habrá que comunicar al satélite para colocarlo en esa órbita, despreciando el rozamiento con la atmósfera. c) El suplemento de energía que habría que aportar al satélite para, una vez en órbita, sacarlo del campo gravitatorio terrestre. Datos: go = 9,8 m/s 2 ; Radio de la Tierra = km Cantabria 99; 3, m ; 5, J; 4, J S 57.- Calcula el valor del campo y del potencial gravitatorio creados por dos masas puntuales iguales y separadas 1 m entre sí, en el punto medio de la recta que une las dos masas. Expresa el resultado en función de G y m. Castilla-La Mancha 99 0 m/s 2 ; 4Gm J/kg 51.- Un satélite de 250 kg de masa está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula: a) Su velocidad y su periodo de revolución. b) La energía necesaria para poner al satélite en órbita con esa velocidad. Datos: G =6, Nm 2 /kg 2 ; M T =5, kg; R T =6370 km Castilla y León m/s; 5665 s; 8, J 52.- Si un cuerpo tiene un peso de 100 N sobre la superficie terrestre, calcula su peso en la superficie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio sea el triple que el de la Tierra. Comunidad Valenciana 99 ; 22,2 N 53.- Leyes de Kepler. Extremadura Un satélite artificial de 500 kg de masa se lanza desde la superficie terrestre hasta una altura H de dicha superficie, En esa posición se le comunica una velocidad de m/s para ponerlo en órbita circular alrededor de la Tierra.Se pide: a) La altura, H, a la que debe situarse el satélite para que las órbitas sean circulares. b) La energía necesaria para llevarlo hasta dicha altura H. Datos: G = 6, S.I ; M Tierra = 5, kg; R Tierra = km Comunidad Valenciana 99 9, m; 2, J 59.- Un satélite artificial gira en tomo a la Tierra describiendo una órbita situada a m de altura sobre la superficie terrestre y tarda 1,57 horas en dar una vuelta. Calcula la masa de la Tierra. Datos: Radio de la Tierra = 6, m; G (constante de gravitación universal) = 6,6 l0 11 N m 2 kg 2 Extremadura 99 6, kg D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 5 de 46

6 60.- Magnitudes que caracterizan el campo gravitatorio: intensidad y potencial gravitatorio. Extremadura Se desea poner en órbita un satélite artificial a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital que se ha de comunicar al satélite. b) El periodo de rotación. Datos: G = 6, N m 2 /kg 2 ; R T = km; M T = 5, kg Galicia Cuando un satélite que está girando alrededor de la Tierra pierde parte de su energía por fricción, el radio de su nueva órbita es: a) Mayor. b) Menor. c) Se mantiene constante. Galicia 99; menor Un satélite artificial se dice que es geoestacionario si está siempre en la vertical de un cierto punto de la Tierra. a) A qué altura están los satélites geoestacionarios? b) Qué momento cinético respecto al centro de la Tierra tiene un satélite geoestacionario si su masa es de 100 kg? c) Por qué no puede haber un satélite geoestacionario en la vertical de las Islas Baleares? Datos: Aceleración de la gravedad al nivel de la superficie terrestre 9,81 ms 2. Radio de la Tierra, km. Baleares 99 ; km; 1, m 2 kgs En la superficie de un planeta de 2000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 3 m s -2. Calcula: a) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. b) La masa del planeta. Dato: G = 6, N m 2 kg 2 Canarias 99; 3464 m/s; 1, kg 65.- Un lejano planeta posee un radio que es el doble del radio de la Tierra, y su densidad media de masa es la misma que la de la Tierra. Dónde será mayor el peso de un objeto, en el planeta o en la Tierra? Especifica cuánto. La Rioja 99; en el planeta el doble El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio(posición mas próxima) el cometa está a 8, km del Sol, y en el afelio (posición más alejada) está a 5, km del Sol. a) En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad? Y mayor aceleración? b) En qué punto tiene mayor energía potencial? Y mayor energía mecánica? Madrid 99; v p >v a ; a p >a a ;E p (P)>E p (A); E m (P)> Em (A) 67.- Se coloca un satélite meterológico de 1000kg en órbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determina: a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo en la órbita. b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite. Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m s -2 Radio medio terrestre: R T = 6370 km Madrid 99; 7721 m/s; 8,9 m/s 2 ; 5428 s; 3, J Un satélite de 1000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria (es decir, la vertical del satélite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre). Calcula: a) Su velocidad angular. b) El módulo de su aceleración. c) Su energía total. Dato: Radio de la Tierra: km. Murcia 99; 7, Rad/s; 0,223 m/s 2 ; 4, J 69.- Dibuja las líneas del campo gravitatorio producido por dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. Existe algún punto donde la intensidad del campo gravitatorio sea nula? En caso afirmativo, indica dónde. Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea nulo? En caso afirmativo, indica dónde. Oviedo El radio de la Tierra es, aproximadamente, de 6370 km. Si elevamos un objeto de 20 kg de masa a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra: a) Cuánto pesa el obieto a esa altura? b) Cuál será el incremento de su energía potencial? c) Si se le dejara caer desde esa altura, con qué velocidad llegaría a la superficie de la Tierra? Datos: Constante de la gravitación universal: G = 6, N. m 2 kg -2 Masa de la Tierra: M T = 5, kg País Vasco 99; 179,3 N; 5, N; 2449 m/s 71.- Deduce, para una órbita circular, la tercera ley de Kepler, que relaciona el periodo con el radio de las órbitas de los planetas. País Vasco a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. (1 p.) b) Calcula el radio de la órbita de Neptuno en torno al Sol, supuesta circular, sabiendo que tarda 165 años terrestres en recorrerla. (1,5 p.) G = 6, N m 2 kg -2 ; M sol = 1, kg. Zaragoza Junio 2000 ; 4, m 73.- a) La intensidad media del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es g = 9,81 N/kg. Calcula la masa de la Tierra. (1 p.) b) A qué altura sobre la superficie se reduce g a la mitad del valor indicado? (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2 ; radio de la Tierra: R = 6, m Zaragoza Junio 2000 ; 5, kg ; 2, m 74.- Una sonda de exploración, de masa m = 500 kg, describe una órbita circular en torno a Marte. Sabiendo que el radio de dicha órbita es R = 3, m, que la masa de Marte es M = 6, kg y que G = 6, N m 2 kg -2, calcula: a) La velocidad orbital de la sonda y su momento angular respecto al centro de Marte. (1,5 p.) b) Las energías cinética, potencial y mecánica de la sonda. (1 p.) Zaragoza Septiembre 2000; m/s; 6, kgm 2 s; J; J; J D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 6 de 46

7 81.- Un satélite artificial de la Tierra orbita alrededor de esta describiendo una elipse. El punto A de la órbita que está más alejado del centro O terrestre se denomina apogeo; el perigeo P es el punto más próximo. Demuestra que el momento angular del satélite con res- I.E.S. Francisco Grande Covián Campo Gravitatorio 75.- a) Explica pecto a O es constante. los conceptos b) Usando la constancia de ese momento angular, demuestra de energía potencial que OA OA v( A) = OP v( P)., donde v (A) y gravitatoria y povamente. Castilla y León 2000 v (P) son las velocidades del satélite en A y P, respectitencial gravitatorio. Qué 82.- En la superficie de un planeta de 3000 km de radio potencial gravitatorio crea una partícula de masa M? la aceleración de la gravedad es de 4 m s 2. A una altura Cómo son las superficies equipotenciales? (1,5 p.) de 2, km sobre la superficie del planeta, se mueve b) Imagina dos esferas iguales de masa M y radio R. Se en una órbita circular un satélite con una masa de 100 sitúan de forma que la distancia entre sus centros es kg. 10R y se libera una de ellas con velocidad inicial nula. a) Dibuja la fuerza que actúa sobre el satélite y escríbela Con qué velocidad se moverá cuando llegue a chocar en forma vectorial. con la otra? Supón conocida la constante de gravitación b) Calcula la masa del planeta. universal, G. (1 p.) Zaragoza Septiembre 2000 c) Calcula la velocidad y la energía total que debe tener 76.- a) Qué se entiende por fuerza conservativa? Y por energía potencial? Indica algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas. b) Puede un mismo cuerpo tener más de una forma de energía potencial? Razona la respuesta aportando algunos ejemplos. Andalucia Dos satélites de masas m 1 = m y m 2 = 4m describen sendas trayectorias circulares alrededor de la Tierra, de radios R 1 = R y R 2 = 2R respectivamente. Se pide: Cuál de las masas precisará más energía para escapar de la atracción gravitatoria terrestre? b) Cuál de las masas tendrá una mayor velocidad de escape? Cantabria 2000; E(2)=2 E(1); ve(1)= 2 ve(2) 78.- Dos satélites de igual masa están en órbitas de radios R y 2R, respectivamente. Cuál de los dos tiene más velocidad? Si las masas fueran distintas, influirían en sus velocidades? Justifica las respuestas. Castilla La Mancha; el de órbita R; No 79.- Cuál sería el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre, si aumenta el radio de la Tierra al doble de su valor, conservándose su masa? Dato: go = 9,8 N/kg Castilla-La Mancha 2000 el satélite para que no caiga sobre la superficie del planeta. Dato: G = 6, N m 2 kg 2 Islas Canarias Se conoce como "primera velocidad cósmica " la que lleva un satélite que gira muy próximo a la superficie de la Tierra. La "segunda velocidad cósmica" es con la que debe salir un móvil para que pueda escapar justamente del campo gravitatorio. Teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es de 6378 km, g = 9,8 m/s 2 y la densidad media de la Tierra es 5,5 g/cm 3, estima las dos velocidades cósmicas. La Rioja 2000; 7906 m/s; m/s 84.- Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el del mar, calcula: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite? b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de gravitación: G = 6, N m 2 kg 2 ; Masa de la Tierra: M T =5, kg ; Radio medio de la Tierra: R T =6, m Madrid 2000; 5, J; 1, J 80.- Dos masas puntuales, m 1 = 5 kg y m 2 = 10 kg, se encuentran situadas en el plano XY en dos puntos de coordenadas(0,1) y (0,7) Determina: a) La intensidad del campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto de coordenadas (x, y) = (4, 4). b) El trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4) en presencia de las otras dos masas, indicando la interpretación física que tiene el signo del trabajo. Todas las coordenadas están expresadas en metros. Dato: G = 6, r 3 r N S.I. Castilla y León 2000; G i + G j kg ; 2G J 85.- Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler., la relación R 3 /T 2 es constante y vale 3, m 3 /s 2 siendo R el.radio de sus órbitas y T el período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol. Dato: G = 6, S.I. Comunidad Valenciana 2000; 1, kg 86.- Una de las lunas de Júpiter, Io, describe una trayectoria de radio medio r = 4, m y período T = 1, s. Se pide: a) El radio medio de la órbita de otra luna de Júpiter, Calisto, sabiendo que su período es 1, s b) Conocido el valor de G, encontrar la masa de Júpiter. Dato: G = 6, unidades S.I. Cantabria Qué trabajo hay que realizar para trasladar un cuerpo de 1000 kg de masa desde la superficie terrestre hasta un punto situado a una altura sobre esta igual a D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 7 de 46

8 tres veces el radio de la Tierra? 93.- Supongamos que la Tierra, manteniendo su masa, Datos: Radio de la Tierra = 6, m; G (constante de aumentara su radio medio. Cómo variaría la velocidad gravitación universal) 6, N m2 kg ; Masa de la de escape? Castilla La Mancha 2001 Tierra = kg Extremadura a) Enuncia las Leyes de Kepler. (1 p.) b) Europa es un satélite de Júpiter que tarda 3,55 días en recorrer su órbita, de 6, m de radio medio, en torno a dicho planeta. Otro satélite de Júpiter, Ganímedes, tiene un periodo orbital de 7,15 días. Calcula el radio medio de la órbita de Ganímedes y la masa de Júpiter. (1,5 p.) Constante de gravitación: G = 6, N m 2 kg 2. Zaragoza Junio 2001; 1, m; 1, Kg 89.- a) Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. (1,5 p.) b) Dos partículas de masas M 1 y M 2 = 4M 1 están separadas una distancia d = 3 m. En el punto P, situado entre ellas, el campo gravitatorio total creado por estas partículas es nulo. Calcula la distancia x entre P y M 1. (1 p.) Zaragoza Junio 2001; 1 m 90.- a) Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra de masa M? (1,5 p.) b) Seguro que la expresión Ep = mgh para la energía potencial gravitatoria te resulta familiar. Explica su significado y las circunstancias en que es aplicable. (1 p.) Zaragoza Septiembre Considera que la energía potencial de un cuerpo en el campo gravitatorio de la Tierra es cero en el infinito. a) Halla la energía potencial de una masa de 100 kg en la superficie de la Tierra. b) Halla la energía potencial de la misma masa a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra. c ) Cuál es la velocidad de escape del cuerpo considerado en el apartado b) Datos: G=6, N m 2 /kg 2 ; R T = 6370 km Baleares 2001; 6, J; 3, J 7904 m/s 95.- Una sonda es lanzada desde la Tierra hacia el Sol de forma que su trayectoria está siempre en la recta que une los centros de ambos, astros. a) A qué distancia del centro de la Tierra estará la sonda cuando la fuerza que ejerce el Sol sobre ella sea igual y opuesta a la que ejerce la Tierra sobre ella? b) Teniendo en cuenta las fuerzas ejercidas sobre la sonda por la Tierra, la Luna y el Sol, determina el módulo de la fuerza resultante sobre la sonda, cuando está a m de la Tierra, para las siguientes fases de la Luna: luna nueva, luna llena y cuarto creciente. Ayuda: El ángulo entre las líneas que unen la Luna con el Sol y la Tierra en el cuarto creciente es de 90º Datos: Masa de la Tierra = 5, kg; Masa del Sol = 1, kg ; Masa de la Luna = 7, kg ; Distancia Tierra-Sol = 1, m ; Distancia Tierra-Luna = 3, m La Rioja a) Momento angular de una partícula: definición; teorema de conservación. (1,5 p.) b) Un cometa realiza una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. El cociente entre las distancias máxima (afelio) y mínima (perihelio) del cometa al ra centro del Sol es = 100. Calcula la relación entre las r p velocidades del cometa en estos dos puntos, Zaragoza Septiembre 2001; 0,01 v v a p. (1 p.) 92.- Dos proyectiles son lanzados hacia arriba en dirección perpendicular a la superficie de la Tierra. El primero de ellos sale con una velocidad de 5 km/s, y el segundo, con 15 km/s. Despreciando el rozamiento con el aire y la velocidad de rotación de la Tierra, se pide: a) Cuál será la máxima altura que alcanzará el primer proyectil? b) Cuál será la velocidad del segundo proyectil cuando este se encuentre muy lejos de la Tierra? Datos: g = 9,8 m/s 2 R T = 370 km. Cantabria OTAS/planetatierra/faseexplicacion.htm Explica la formación de las diversas fases lunares Indica sobre la trayectoria de un planeta con órbita elíptica alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos, los puntos de máxima y mínima velocidad. Razona la respuesta. La Rioja Dos satélites artificiales de la Tierra describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares contenidas en el mismo plano de radios r 1 = 8000 km y r km, respectivamente: En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro, de la Tierra y situados del mismo lado. a) Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 8 de 46

9 b) Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites? Qué posición ocupará el satélite S 2 cuando el satélite S 1, haya completado seis vueltas desde el instante inicial) Madrid 2001; 1,01; 0,83;5,02 vueltas La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es de 3,7 m/s 2. El radio de la Tierra es de 6370 km, y la masa de Marte es un 11 % la de la Tierra. Calcula: a) El radio de Marte. b) La velocidad de escape desde la superficie de Marte. c) El peso en dicha superficie de un astronauta de 80 kg de masa. Murcia 2001; 3, m; 5046 m/s; 296 N Determina la variación de la energía potencial de la Luna, correspondiente a su interacción gravitatoria con el Sol y la Tierra, entre las posiciones de eclipse de Sol (figura 1) y eclipse de Luna (figura 2). (Supón circulares tanto la órbita de la Tierra alrededor del Sol como la de la Luna alrededor de la Tierra) a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal(1p) b)recientemente ha sido puesto en órbita el satélite europeo Envisat (environament satellite; satélite del medio ambiente). La altura de su órbita sobre la superficie de la Tierra es h= 800 km. Calcula la velocidad orbital del Envisat y el periodo de su órbita(1,5p) G=6, Nm 2 kg 2 ; M T =5, kg; R T = 6, m Zaragoza Junio a) Calcula la intensidad de campo gravitatorio, g, en la superficie de Júpiter. A qué altura sobre la superficie de Júpiter, h, se reduce g al valor superficial terrestre de 9,81 N/kg (1,5 p) G=6, Nm 2 kg 2 ; M J =1, kg; R J =6, m b) El periodo de oscilación de un péndulo simple en la superficie de la Tierra es T= 1,2 s. Cuál sería su periodo de oscilación en la superficie de Júpiter? (1p) Zaragoza Junio 2002; 26 ms 2 ; 4, m; 0,74 s Datos: Radio de la órbita Luna-Tierra = 3, m ; Radio de la órbita Tierra-Sol = 1, m; Masa de la Tierra 5, kg ; Masa de la Luna 7, kg ; Masa del Sol = 1, kg ; G = 6, N m 2 /kg 2 Oviedo 2001; J La Luna Un meteorito, de 100 kg de masa, se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra a) Cuánto pesa en ese punto? b) Cuánta energía mecánica posee? c) Si cae a la Tierra, con qué velocidad llegará a la superficie? Datos: Constante de gravitación universal: G = 6, N m 2 kg 2 ; Masa de la Tierra: M T = 5, kg; Radio de la Tierra: R T =6, m País Vasco 2001; 20,06 N; 8, J; 1, m/s a) Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M? (1,5 p.) b) Un asteroide se aproxima radialmente hacia un planeta esférico sin atmósfera, de masa M y radio R. Cuando la distancia entre el asteroide y la superficie del planeta es h = 3R, la velocidad del asteroide es v o. Determina su velocidad cuando choca con la superficie del planeta. (1 p.) Supón conocida la constante de gravitación universal G. Zaragoza Septiembre 2002; 3GM + v 2R Los satélites de comunicaciones son geoestacionarios, es decir, describen órbitas ecuatoriales en torno a la Tierra con un periodo de revolución de un día, igual al de rotación de nuestro planeta. Por ello, la posición aparente de un satélite geoestacionario, visto desde la Tierra, es siempre la misma. a) Calcula el radio de la órbita geoestacionaria y la velocidad orbital del satélite. (1,5 p.) b) Calcula la energía mecánica de un satélite geoestacionario de masa m = 500 kg. (1 p.) G=6, Nm 2 kg -2 ; M T =5, kg Zaragoza Septiembre 2002; 4, m; 3070 m/s; 2, J La órbita del Columbia'. Una nave se encuentra en una órbita circular ecuatorial a una altura h = 278 km y moviéndose en el mismo sentido que la rotación de la Tierra en torno a su eje, tal como muestra la figura 1, que no está dibujada a escala. a) Determina la velocidad orbital de la nave, v o, y su periodo de revolución, T. 2 0 D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 9 de 46

10 113.- La nave espacial Apolo XI orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una distan- I.E.S. Francisco Grande Covián Campo Gravitatorio cia media al centro de la Luna de 1, m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme: a) Determina la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave. b) Cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble? Razona la respuesta. Dato:G = 6, N m 2. kg 2 Andalucía 2002 b) Para regresar a su base, en las inmediaciones del punto A (figura 2) y durante un corto intervalo de tiempo, la nave enciende unos motores retrocohetes, logrando así reducir su velocidad a un valor v A, de forma que abandona su órbita circular y pasa a describir una trayectoria elíptica. Determina la velocidad v A para que esta órbita pase por el punto B, cercano a la superficie de la Tierra. c) Calcula la velocidad de la nave cuando pasa por el punto C, situado a una altura h'= 60 km, donde la nave comienza a penetrar en la atmósfera terrestre. d) En la trayectoria desde C hasta el punto de aterrizaje, la fricción con la atmósfera es la principal responsable de reducir la velocidad de la nave. Calcula la energía por unidad de masa disipada por la fricción. Datos: g = 9,81 m/s 2 ; R T = 6, m Enuncia la ley de gravitación de Newton y deduce, a partir de ella, la tercera ley de Kepler (ley de los periodos), suponiendo órbitas planetarias circulares. Asturias Un planeta gira alrededor del Sol según una órbita elíptica. Cuando se encuentra más cerca del Sol, a una distancia de m, su velocidad es de m/s. Cuál será la velocidad del planeta cuando se encuentre en la posición más alejada del Sol, a una distancia de m? Asturias Sabemos que el cometa Halley tiene un período T = 76 años. Durante su última visita a las proximidades del Sol, en 1986, se midió la distancia al Sol en el perihelio: d 1 = 8, km. a) Cuál es la distancia al Sol en el afelio? b) En qué punto de su órbita alcanza el cometa su máxima velocidad y cuánto vale esta? Datos: G = 6, N; Masa del Sol: M S = kg Cantabria 2002; r afelio =5, m; v perihelio =21514 m/s En el campo gravitatorio creado por una masa puntual se superponen dos campos: uno escalar y otro vectorial. De qué campos se trata? Qué relación existe entre ellos? Represéntalos gráficamente Castilla-La Mancha 2002 Queremos dedicar este problema a la tripulación del Columbia, fallecida en el trágico accidente acaecido el pasado día 1 de febrero, cuando, precisamente, se estaba redactando este ejercicio. 2 Esta trayectoria de transferencia se conoce como órbita de Hohmann. Tiene la importante particularidad de ser la que, tanto para entrar en ella como para abandonarla pasando a otra órbita circular de menor radio, requiere un aporte de energía mínimo. Olimpiada Física Zaragoza a)enuncia la ley de gravitación universal y comenta el significado físico, de las magnitudes que intervienen en ella. b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste; Por qué no caen mas deprisa los cuerpos con mayor masa? Andalucía Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio R 1 = km con un período de rotación T 1 = 2 años,'mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es R 1 = km, y la más alejada es R 2 = 1, km, tal coma muestra la figura Obtén el período de rotación del planeta 2 y la masa de la estrella b) Calcula el cociente entre la velocidad lineal del planeta 2 en los puntos P y A. Castilla v León Movimiento planetario: leyes de Kepler. Castilla v León Se determina, experimentalmente, la aceleración con la que cae un cuerpo en el campo gravitatorio terrestre en dos laboratorios diferentes, uno situado al nivel del mar y otro situado en un globo que se encuentra a u altura h = m sobre el nivel del mar. Los resultados obtenidos son g = 9,81 m/s 2 en el primer laboratorio y g' = 9,75 m/s 2 en el segundo laboratorio. a) Determina el valor del radio terrestre. b) Sabiendo que la densidad media de la Tierra es ρ T = D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 10 de 46

11 5 523 kg/m 3 determina el valor de la constante de gravitación G. Comunidad Valenciana Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circular a m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s 2 y que su radio es 3400 km, calcula: a) La fuerza gravitatoria sobre el satélite. b) La velocidad y el período del satélite. c) A qué altura debería encontrarse el satélite para que su período fue el doble? Comunidad Valenciana Dos masas iguales, de 2000 kg cada una, están separadas 5 metros. Calcula la fuerza con que se atraen y el valor de la intensidad del campo en el punto medio de la recta que las une. Dato: Constante de gravitación universal: G = 6, N m 2 kg 2 Extremadura Calcula el valor del campo gravitatorio en la superficie de Júpiter sabiendo que su masa es 300 veces mayor que la de la Tierra y su radio 11 veces más grande que el terrestre. Dato: La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es g= 9,8 m/s 2 Extremadura Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2 R T en torno a la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital. b) El peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra su peso es de 5000 N (dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite). Datos: R T = km; G = 6, N; g o = 9,8 m/s 2 Galicia 2002; 4,9RT ; 1250 N La velocidad de escape que se debe comunicar a un cuerpo de masa m que inicialmente se encuentra en reposo en la superficie de la Tierra, cuya masa es M 7. y su radio R T, para que "escape" fuera de la atracción gravitacional de esta es: 2GM T a) Mayor que R b) Menor que c) Igual a R T R T 2GM T T g 0 Galicia a) A qué se denomina momento angular de una partícula? b) En qué condiciones se mantiene constante el momento angular? Islas Baleares La masa de la Luna es, aproximadamente, 7, kg, y su radio 1, m. a) Si lanzamos un objeto con una velocidad inicial v o = 5 m/s, verticalmente hacia arriba, cuánto tiempo tarda en volver al punto de lanzamiento? b) Cuánto pesaría en la superficie de la Luna una persona de 70 kg de masa?: c) Hasta qué altura podría saltar esta persona en la superficie de la Luna si en la Tierra alcanza un metro? G=6, Nm 2 kg 2 ; Islas Baleares. 2002; 5,9 s; 119 N; 5,76 m Un cuerpo, A, de masa m A = 1 kg, y otro, B, de masa m e = 2 kg, se encuentran situados en los puntos (2, 2) y (-2, 0) respectivamente. Las coordenadas están expresadas en metros. Calcula: a) El vector intensidad de campo gravitatorio creado por el cuerpo A en el punto (-2, 0). b) El vector intensidad de campo gravitatorio creado por B en (2, 2). c) La fuerza gravitatoria que ejerce el cuerpo A sobre el B. Datos: G = 6, N m 2 kg -2 Islas Canarias Una órbita geosíncrona es una órbita en la que el satélite permanece en la vertical de un punto de la superficie terrestre. Cuál debe ser el período, de dicha órbita? Existe algún plano particular en el que debe estar contenida la órbita? Si existe, identifica el plano. La Rioja Un planeta esférico tiene un radio de 3000 km, y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s 2. a) Cuál es su densidad media? b) Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta? Constante de gravitación universal: G = 6, Nm 2 kg 2 Madrid La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus 4 es ω 1 = 1,45 10 rad / s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L l = 2, kg m 2 s 1. a) Determina el radio r 1 de la órbita del satélite y su masa. b) Qué energía sería preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω = rad / s Datos: Constante de gravitación universal: G = 6, Nm 2 kg 2 ; Masa de Venus: M V = 4, kg Madrid Un satélite de 4000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria (es decir, la vertical del satélite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre). Calcula: a) El módulo de la velocidad del satélite. b) El módulo de su aceleración. c) Su energía total. Dato: Radio de la Tierra: R T = km Murcia 2002; 3069 m/s; 0,22 m/s 2 ; 1, J Con la misión de observar la superficie de la Luna, se coloca un satélite de 500 kg en órbita lunar de modo que su altura sobre la superficie de la Luna es de 260 km.. Calcula: D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 11 de 46

12 a) La velocidad orbital de satélite. Luna.(1p.) Zaragoza Septiembre 2003; 3, m b) El periodo de revolución del satélite. c) La energía potencial del satélite debida al campo gravitatorio originado por la Luna. d) La energía total del satélite si se considera solo la interacción con la Luna Datos: Masa de la Luna: M L = 7, kg; Radio de la Luna: R L = 1740 km ;G=6, Nm 2 kg 2 ; Dos planetas esféricos tienen masas diferentes, País Vasco. 2002; 1564,6 m/s; 8031 s; 1, J; M l y M 2 = 9M 1, pero en sus superficies la intensidad 0, J del campo gravitatorio es la misma, g 1 =g a) Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M? (1,5 p.) b) Un planeta esférico sin atmósfera tiene masa M = 1, kg y radio R = 1, m. Desde su superficie se lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima h = R/2 antes de volver a caer hacia la superficie. Con qué velocidad inicial se ha lanzado el proyectil? (1 p.) G = 6, N m 2 kg -2. Zaragoza Junio 2003; 3 11 GM 2R = 6,67 10 m / s Un satélite artificial describe una órbita elíptica, con el centro de la Tierra en uno de sus focos. a) En el movimiento orbital del satélite, se conserva su energía mecánica? Y su momento angular respecto al centro de la Tierra? Razona tus respuestas. (1,5 p.) b) Supón que se conocen las distancias máxima y mínima del satélite al centro de la Tierra (apogeo y perigeo), R A y R P respectivamente. Plantea razonadamente, sin resolverlas, las ecuaciones necesarias para determinar las velocidades orbitales del satélite en estos puntos, V A y V P. (1 p.) Datos: constante de gravitación universal, G. Masa de la vapogeo rperigeo Tierra, M. Zaragoza Junio 2003; = v r perigeo apogeo a) Calcula la relación entre los radios de los planetas, ρ 2 R 2 /R 1, y entre sus densidades de masa, (1,5 p) ρ b) Son iguales las velocidades de escape desde las superficies de los dos planetas? Razona tu respuesta. (1 p.) Zaragoza Septiembre 2003; 1/3; v 2 = 3 v Un satélite artificial de 300 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de km de radio. Calcula: a) La velocidad del satélite en la órbita. b) La energía total del satélite en la órbita. Datos: R r = 6378 km g o = 9,80 m/s 2 Galicia Cada uno de los 24 satélites del sistema de posicionamiento GPS tiene una masa de 840 kg y se encuentra en una órbita circular de km radio. Determina para uno de. estos satélites: a) Su período de rotación alrededor de la Tierra b) El peso del satélite en la órbita. c) La energía potencial y la energía cinética que posee en dicha órbita. RT=6370 km Islas Baleares 2003;43153 s, 473 N; 1, J; 6, J En la superficie de un planeta de 3000 km de radio la aceleración de la gravedad es de 5 m s 2. A una altura de 2, km sobre la superficie del planeta, se mueve en una órbita circular un satélite con una masa d 100kg: a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite. b) Calcula la masa del planeta. c) Calcula la energía total que tiene el satélite. Datos: G = 6, N m 2 kg - 2 Islas Canarias a) Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. (1,5 p.) b) La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es d = 3, m. En un cierto punto P, situado entre ambas, el campo gravitatorio total es nulo. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces superior a la de la Luna, calcula la distancia x entre P y el centro de la Supón que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular con un radio de 1, m.calcula: a) La velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol. b) La masa del Sol. c) El módulo de la aceleración lineal de la Tierra. Dato: G = 6, N m 2 kg 2 Murcia Enuncia las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del Sol. A partir de la ley de gravitación de Newton, demuestra la tercera ley de Kepler para una órbita circular. País Vasco Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa: a) Cual sería la intensidad de la gravedad en su superficie? D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 12 de 46

13 b) Cuánto valdría la velocidad de escape desde su superficie? 8 l0 8 m, respectivamente. Calcula la relación entre sus Castilla y León 2003 velocidades (tangenciales) respectivas. Asturias Calcula el cociente entre la energía potencial y la energía cinética de un satélite en órbita circular. Comunidad Valenciana Una partícula puntual de masa 3M se coloca en el origen de un cierto sistema de coordenadas, mientras que otra, de masa M, se coloca sobre el eje X a una distancia de 1 m respecto al origen. Calcula las coordenadas del punto donde el campo gravitatorio es nulo. Comunidad Valenciana Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M: a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razona si la partícula se acerca o se aleja de M. b) Explica las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escribe su expresión. Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea? Andalucía A qué distancia del centro de la Tierra se compensaría el campo gravitatorio terrestre con el lunar? Datos: M Tierra = 5, kg; M Luna = 7, kg ; D Tierra-Luna = 3, m; Asturias 2003; 3, m a) Distingue entre intensidad del campo gravitatorio y potencial gravitatorio creados por una masa M. b) La velocidad de un satélite en orbita alrededor de un planeta, será mayor o menor que la velocidad de escape desde la superficie del planeta? Justifícalo. Cantabria Un modulo lunar de 3000 kg. de masa esta en orbita circular a una altura de 2000 km por encima de la superficie de la Luna: a) Cual es la velocidad y la energía total del modulo en su orbita? b) Cuanto variara la energía total si el modulo sube a una orbita circular de 4000 km sobre la superficie de la Luna? Datos: G = 6, Nm 2 /kg 2 ;M Luna = 7, kg; R Luna = 1740 km Castilla-La Mancha Si el Sol se colapsara de pronto, transformándose en una enana blanca. (igual masa en un volumen mucho menor), como afectaría al movimiento de la Tierra alrededor del Sol? Castilla-La Mancha Comenta si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Si la Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo un movimiento circular uniforme, no tiene aceleración». Asturias Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo orbitas circulares de radios m y Un objeto pesa en la Tierra 600 N Cuál sería su peso en un planeta de radio la mitad que el de la tierra y de masa la décima parte que la de la Tierra? Extremadura Se ha descubierto un nuevo planeta que está girando alrededor del Sol. Cómo podrías estimar la distancia que lo separa de este si conoces el período del planeta? La Rioja Suponiendo un planeta esférico que tenga un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, calcula: a) La aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. b La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s. Datos: g= 9,81 m s 2 Madrid Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio, su distancia al Sol es de 6, m, y su velocidad orbital es de 3, m/s siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4, m: a) Calcula la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. b) Calcula las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. c) Calcula el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, di cuáles son iguales en el afelio. Datos: Masa de Mercurio: M M = 3, kg Masa del Sol: M s = 1, kg; Constante de gravitación universal: G = 6, N Madrid 2003 ;5, m/s ; 5, ; 9, ; 3, J; 1, ; 8, kgm/s ; Energía mecánica y Momento Angular Se lleva un cuerpo, mediante un cohete, hasta una altura de 630 km s o bre el nivel del mar: a) Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura b) Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo (colocado a esa altura) en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que describiese una órbita circular? c) Cuál sería el período de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra? Datos: Constante de gravitación universal: G = 6, N m 2 ; Masa de la Tierra: M T = 5, kg ; Radio de la Tierra: R T = 6, m País Vasco 2003;8,14 m/s 2 ; 7548,5 m/s; 5826,6 s Un astronauta aterriza sobre un planeta de radio 0,71R T, siendo R T el radio de la Tierra mide el periodo de un péndulo de 1 m de longitud y obtiene T = 2,5 s a ) Cual es la masa del planeta? Exprésala en función de la masa de la Tierra, M T. b) Si en la Tierra, y cargando el mismo equipo que en D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 13 de 46

14 el planeta, el astronauta alcanzaba una altura de 20 cm al saltar verticalmente hacia arriba, qué altura alcanzará en dicho planeta? Dato: g = 9,8 m/s 2 Cantabria 2003; 6,31 ms 2 ; 0,33M T ; 0,32 m a) Enuncia las Leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares. (1,5 p.) b) Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de la primera órbita treinta veces mayor que el de la segunda. Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? (1 p.) Zaragoza Junio 2004, 30 3/2 =164,32 Años Terrestres a) Explica cómo es y qué intensidad tiene el campo gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m en presencia de este campo? Explica tu contestación. (1,5 p.) b) Desde una altura respecto al suelo h = 10 m se lanza una partícula con velocidad inicial v i = 20 m/s, formando un ángulo α= 30 con la horizontal. Supuesta despreciable la fricción con el aire, determina la velocidad de la partícula cuando choca con el suelo,v f (módulo, v f, y ángulo respecto al suelo, 0). (1 p.) Considera g = 10 m/s 2. Zaragoza Junio r r r r 2004; v = 17,32i 17,30 j ; v = 24,48m / s ; ө=45 º a) La energía potencial de un cuerpo de masa m. en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m' depende de la distancia entre ambos. Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? Por qué? b) Que mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razona la respuesta. Andalucía Qué se entiende por velocidad de escape de la superficie de un planeta: Deduce su expresión. Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a 3, m de su superficie. Calcula: a) La velocidad del satélite. b) Su aceleración. c) El periodo de rotación del satélite alrededor de la Tierra, expresado en días. Qué nombre reciben los satélites de este tipo? Datos: R T = 6, m; M T = 5, kg; G = 6, N Asturias Un péndulo simple que realiza pequeñas oscilaciones tiene un periodo de 2,000 s cuando está situado en un punto a nivel del mar. Cuando lo situamos en lo alto de una montaña, su periodo es de 2,002 s. Calcula la altura de la montaña. Dato: Radio de la Tierra: R T = 6370 km Navarra 2004; 6370 m a) Determina la densidad media de la Tierra. b) A qué altura, sobre la superficie de la Tierra, la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte? Datos: G = 6, N m 2 kg 2, R T = 6370 km; g = 10 m s 2 Andalucía 2004; 5615,6 kg/m 3 ; 4663,2 km a) Momento angular de una partícula: definición; teorema de conservación. (1 p.) b) Un satélite artificial de masa m = 500 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra, a una altura h = 600 km sobre su superficie. Calcula el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. Si la órbita está en el plano ecuatorial, qué dirección tiene el vector momento angular, L r? Es L r un vector constante? Por qué? (1,5 p.) G = 6, N m 2 kg 2. Masa y radio de la Tierra: M T = 5, kg, R T = 6, m. Zaragoza Septiembre 2004; 2, k m 2 s 2 ; si; fuerza central; M r r = 0 ; L = cte R a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. (1 p.) b) Se deja caer un cuerpo desde una altura h = 2 m sobre la superficie de la Luna. Calcula su velocidad cuando choca con la superficie y el tiempo de caída. (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2. Masa y radio de la Luna: M L = 7, kg; R L = 1, m. Zaragoza Septiembre 2004; 2,54 m/s ; 1,57 s a) Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. (1 p.) La Tierra es aproximadamente esférica, de radio R T = 6, m. La intensidad media del campo gravitatorio en su superficie es g 0 =9,81 m/s 2 b) Calcula la densidad de masa media de la Tierra, ρ. (1 p.) c) A qué altura h sobre la superficie de la Tierra se reduce g a la cuarta parte de g o? (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2 Zaragoza Junio a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna. (1 p.) b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. A qué distancia del centro de la Luna se reduce su velocidad a la mitad de la inicial? (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2. Masa y radio de la Luna: M L = 7, kg, R L = 1, m Zaragoza Junio 2005; 5512,7 kg/m 3 ; 2R T ; 2372,2 m/s;6, m La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es g =3,87 m/s 2. a) Calcula la masa de Marte. (1 p.) b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de Marte, con velocidad inicial igual a la mitad de la de escape. Calcula la máxima altura sobre la superficie, h, D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 14 de 46

15 que llega a alcanzar el objeto. (1,5 p.) G =6, N m 2 kg -2. Radio de Marte: R M =3, m.zaragoza Septiembre 2005; 6, kg Un satélite de masa m = 500 kg describe una órbita circular de radio R = 7, m en torno a la Tierra. a) Calcula la velocidad orbital del satélite. (1 p.) b) Para pasar a otra órbita circular de radio 2R, cuánto trabajo deben realizar los motores del satélite? (1,5p.) G=6, N m 2 kg 2. Masa de la Tierra: M T = 5, kg. Zaragoza Septiembre 2005 Aceleración de la gravedad La aceleración de la gravedad no es la misma en todos los lugares del planeta: en los polos es de 9,832 m/s 2 y en el ecuador de 9,780 m/s 2 ; por convención internacional se considera el valor normalizado de g= 9, m/s 2 el cual corresponde a una latitud de 45,5 y 0 m s.n.m. (sobre el nivel medio del mar). Cálculo de la aceleración de la gravedad local La aceleración de la gravedad local puede calcularse de acuerdo con la ecuación, con una exactitud del 0,01 %. * 2 2 g = g 1+ f sen Φ f sen 2Φ 3, l e 6 ( ) H donde: gl = aceleración de la gravedad local, en m/s 2 ge = 9, m/s 2, aceleración de la gravedad en el ecuador (Φ = 0 ) f* = 0, (aplastamiento gravitacional) f 4 = 0, Φ = latitud, en grados ( ) H = altitud (ortométrica) sobre el nivel medio del mar, en metros (m) gl.pdf s/jun/s4/mars.html Dibuja en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual, M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M: a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, aumenta o disminuye su energía potencial? Por qué? b) Si una masa, m, esta situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, aumenta o disminuye su energía potencial? Razona tu respuesta Andalucía 2005; Desde la superficie de la Tierra se lanza un objeto con una velocidad doble que la de escape. Calcula la velocidad del objeto cuando está muy lejos de la Tierra. Dato g= 9,8 m/s 2 Asturias Un satélite artificial de 500 kg de masa, que se encuentra en una órbita circular, da una vuelta a la Tierra en 48 horas: a) A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra? b) Calcula la aceleración del satélite en su órbita. c) Cuál será su período cuando se encuentre a una altura de la superficie terrestre igual a dos veces el radio 4 de la Tierra? Datos: G = 6, Nm 2 kg 2 ; M Tierra = 5, kg; R Tierra =6380 km Canarias 2005; 6, m; 0,089 m/s 2 ; s Un satélite artificial de 100 kg de masa gira en una órbita circular de 7000 km de radio alrededor de la Tierra: a) Cuál es la velocidad del satélite en dicha órbita? b) Cuál es la energía total del satélite en su órbita? c) Con qué velocidad ha sido lanzado dicho satélite desde la superficie; terrestre para ponerlo en esa órbita? Datos: G = 6, Nm 2 kg 2 ; M Tierra = 5, kg; R Tierra =6380 km Castilla La Mancha Se lanza verticalmente un cuerpo desde la superficie terrestre Despreciando la fricción con el aire, qué velocidad inicial debe comunicársele para que alcance una altura máxima de 2000 km? Datos: G = 6, Nm 2 kg 2 ; M Tierra = 5, kg; R Tierra =6380 km Castilla La Mancha La nave espacial Cassini-Huygens se encuentra orbitando alrededor de Saturno en una misión para estudiar este planeta y su entorno. La misión llegó a Saturno en el verano de 2004 y concluirá en 2008, después de que la nave complete un total de 74 órbitas de formas diferentes. La masa de Saturno es de 5684, kg y la masa de la nave es de 6000 kg: a) Si la nave se encuentra en una órbita elíptica cuyo periastro (punto de la órbita más cercano al astro) está a km de Saturno y cuyo apoastro (punto más alejado) está a km, calcula la velocidad orbital de la nave cuando pasa por el apoastro. (Utiliza el principio de conservación de la energía y la segunda ley de Kepler). b) Calcula la energía que hay que proporcionar a la nave para que salte de una órbita circular de 4,5 millones de km de radio a otra órbita circular de 5 millones de km de radio. c) Cuando la nave pasa a 1270 km de la superficie de Titán (la luna más grande de Saturno, con un radio de km y kg de masa), se libera de ella la sonda Huygens. Calcula la aceleración a que se ve sometida la sonda en el punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia Titán. (Considera solo la influencia gravitatoria de Titán). Dato: G = 6, m 3 kg 1 s 2 Murcia 2005; 658,48 m/s; 2, J; 0,61 m/s La distancia media entre los centros de la Tierra y de la Luna es de km. Es fácil ver que, entre ambos cuerpos, existe un punto (P) situado en la recta que los une, en el que la gravedad aparente es nula, ya que ambas fuerzas de atracción se anulan. Sabiendo que la masa de la Tierra es, aproximadamente, 80 veces la de la Luna: a) Determina la distancia de P al centro terrestre. Existe algún otro punto sobre esa recta en el que las fuerzas también se anulen? b) Calcula el potencial gravitatorio en ese punto, debido a la acción conjunta de la Tierra y de la Luna. c) Calcula la velocidad que debe imprimirse a un cuer- D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 15 de 46

16 po situado sobre la superficie terrestre para que alcance choca con la superficie. (1 p.) el punto P con velocidad nula. (Desprecia en este caso G= 6, Nm 2 kg 2 Zaragoza Junio 2006 el potencial gravitatorio lunar en la superficie terrestre Datos: G = 6, Nm 2 kg 2 ; M Tierra = 5, kg; R Tierra =6380 km Pais ; Vasco La Luna gira alrededor de la Tierra en una órbita prácticamente circular Sabiendo que el radio de la órbita es 60,2 veces el radio de la Tierra, calcula el período de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra (expresa el resultado en días). Datos: Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra g 0 = 9,81 m/s 2 ; R T = km. Navarra La sonda espacial europea Mars Express orbita en la actualidad en torno a Marte recorriendo una órbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa de, aproximadamente, 120 kg: a) Suponiendo una órbita circular, calcula su radio, la velocidad con que la recorre la sonda y su energía en la órbita. b) En realidad, esta sonda describe una órbita elíptica de forma que puede aproximarse lo suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a la superficie marciana en el punto más próximo es de 258 km y de km en el punto más alejado. Obtén la relación entre las velocidades de la sonda en estos dos puntos. Datos: Radio de Marte = 3390 km; masa de Marte = 6, kg. Castilla y León Razona cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg b) Calcula la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explica las variaciones de sus energías cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento Datos G = 6, N m 2 kg 2 ; M L =7, kg; R L =1, m Andalucía 2005; 116,3 N; 7,5 m Desde la superficie de un planeta esférico sin atmósfera, de radio R = 2, m y masa M = 8, kg, se dispara un proyectil con velocidad v o horizontal, es decir en dirección tangente a la superficie. a) Calcula el valor de v o para que el proyectil describa una órbita circular rasante a la superficie del planeta. Cuál es el periodo de esta órbita? (1,5 p.) b) Si el proyectil se dispara con una velocidad doble de la anterior, escapará de la atracción gravitatoria del planeta? Justifica tu respuesta. (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2 Zaragoza Junio a) Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M? (1,5 p.) b) Un meteorito se dirige hacia la Luna, de masa M L =7, kg y radio R L =1, m. A una altura h = 3R L sobre la superficie de la Luna, la velocidad del meteorito es v o = 500 m/s. Calcula su velocidad cuando a) Enuncia las Leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares.(1,5p.) b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5, m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno. (1 p.) G = 6, N m 2 kg 2. Zaragoza septiembre a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. (1 p.) b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M 1 = M 2, pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo, g 1 = 4g 2. Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, R 1 /R 2, y entre sus densidades medias de masa, ρ 1 /ρ 2. (1,5p.) Zaragoza septiembre Deduce la expresión correspondiente a la velocidad mínima con la que tiene que lanzarse verticalmente un cuerpo desde la superficie de un planeta para que escape de su atracción gravitatoria. Asturias Un meteorito, de 200 kg de masa, se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 7 veces el radio de la Tierra. a) -,Cuánto pesa en ese punto? b) Cuanta energía mecánica posee? c) Si cae a la Tierra, suponiendo que no hay rozamiento con el aire, con qué velocidad llegaría a la superficie terrestre`? Datos: G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; M T = 5, kg. Castilla La Mancha Supongamos conocidas las siguientes magnitudes referentes a la Tierra: masa de la Tierra: 5, kg; radio de la Tierra: 6, m; distancia Tierra-Sol: 1, m; período de la órbita terrestre: 3, s; g = 9,8 m/s 2. Con estos datos, calcula la masa del Sol. Nota: Supón circular la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol. Asturias La distancia media entre la Luna y la Tierra es 3, m, y la distancia medía entre la Tierra y el Sol es m. Las masas valen: 1,99 10 s kg; 5, kg, y 7, kg para el Sol, la Tierra y la Luna, respectivamente. Consideramos las órbitas circulares y los astros puntuales. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio que crea la Tierra en la Luna. b) Cuántas veces más rápido gira la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor de la Tierra? c) En el alineamiento de los tres astros que corresponde a la posición de un eclipse de Sol, calcula la fuerza neta que experimenta la Luna debido a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indica el sentido (signo) de dicha fuerza. Dato: G = 6, N m 2 /kg 2. Murcia 2006 D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 16 de 46

17 190.- El primer satélite español "Minisat", que fue Una sonda espacial de masa m = 1200 kg se sitúa lanzado en 1997 desde las Islas Canarias, se encuentra en una órbita circula de radio r-= 6000 km, alrede- actualmente en una órbita circular alrededor de la Tierra dor de un planeta. Si la energía cinética de la sonda es con un período de revolución de 10,5 horas. Ee = J, calcula: a) Calcula el radio de la órbita. a) El período orbital de la sonda. b) Calcula la energía mecánica del satélite. b) La masa del planeta. c) Calcula el radio de la órbita que debería tener el satélite Dato: G = 6, N m 2 /kg 2 Comunidad Valenciana para que su período de revolución fuera el doble 2006 que el actual. Datos: G = 6, N m 2 kg 2 M T = 5, kg; m satélite =100 kg Canarias La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es de 3,7 m/s 2 y su masa es un 11% la de- la Tierra. Con estos datos, y recordando que el radio de la Tierra es de 6370 km y que la gravedad en la superficie terrestre es g = 9,8 m/s 2, calcula a) El radio de Marte. b) El peso en la superficie de Marte de un astronauta de 75 kg de masa. c) La velocidad de escape desde la superficie de Marte. Cantabria Calcula la masa terrestre a partir de los valores del período de rotación la Luna en torno a la Tierra, T = 27,3 días, y del radio medio de su órbita, R = 3, m. Datos: G = 6, N m 2 /kg 2. Castilla La Mancha Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita, la energía mecánica del satélite es -4,5 109 J y su velocidad es 7610 m s 1. Calcula: a) El módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. b) El período de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite. Datos: Constante de gravitación universal: G = 6, N m 2 kg -2.; Masa de la Tierra: M T = 5, kg.; Radio de la Tierra: R T = 6, m. Madrid Un satélite artificial de 100 kg describe órbitas circulares a una altura 6000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) El tiempo que tarda en dar una vuelta completa. b) El peso del satélite a esa altura. Datos: g () = 9,80 m/s 2 ; R T = 6400 km. Galicia La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra y su radio 11 veces el de la Tierra. Su satélite llamado Io se mueve en una órbita aproximadamente circular, con un período de 1 día, 18 horas y 27 minutos. Calcula: a) El radio de la órbita de este satélite, su velocidad lineal y su aceleración. b) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Júpiter. Dato: M T =5, kg; R T =6, m Castilla y León 2006; 421, m; m/s; 0,71 m/s 2 ; 25,76m/s Febos es un satélite que gira en una órbita circular de radio r = km alrededor del planeta Marte con un período de 14 horas, 39 minutos 25 segundos. Sabiendo que el radio de Marte es R M = 3394 km, calcula a) La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte. b) La velocidad de escape de Marte de una nave espacial situada Febos. Comunidad Valenciana Un satélite artificial de 500 kg gira en una órbita circular a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcula: a) Su velocidad. b) Su energía total. c) La energía necesaria para que, partiendo de esa órbita, se coloque en otra órbita circular a una altura de km. d) En este proceso, cuánto cambia su momento angular? Datos: R T = 6, m; M T = 5, kg; G = 6, N m 2 kg 2 País Vasco 2006; 5923 m/s; 8, J; 2, J La relación entre los radios medios de las órbitas de Marte y la Tierra en torno al Sol es RM/RT = 1,53. Calcula el periodo de la órbita de Marte en torno al Sol (duración del "año marciano"). (2p)Zaragoza junio 2007; 1,89 años terrestres La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es R a /R p = 5/3. Razonando tus respuestas, calcula la relación (cociente) entre los valores en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes de Plutón: a) Momento angular respecto al centro del Sol. (1 p) b) Energía cinética. (1 p) c) Energía potencial gravitatoria. (1 p) D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 17 de 46

18 205.- Plutón recorre una órbita elíptica en tomo al Sol situándose a una distancia r p = 4, m en el punto más próximo (perihelio) y r a = 7, m en el punto más alejado (afelio): a) Obtén el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón en el perihelio y en el afelio. b) En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón? Razona tu respuesta. Datos: Considera que la energía potencial tiende a cero cuando la distancia tiende a infinito. G = 6,67 l0-11 N m 2 kg -2 ; M So l = 1, kg;; M Plutón = 1, kg. Asturias. Junio, 2007 Zaragoza junio 2007; cte; 9/25; 3/ lo es un satélite de Júpiter cuya masa es M Io = kg y su radio R Io = m. El radio de la órbita, supuesta circular, en torno a Júpiter es r = m. a) Cuál es el periodo de rotación de Io en tomo a Júpiter? (1 p.) b) Determina la velocidad y la aceleración de Io en su órbita, (modulo y dirección), (1,5 p.) G=6, Nm 2 kg 2 ; M Júpite r=1, ; R Júpiter = 6, m Zaragoza septiembre 2007; 1, s; 1, m/s; 0,72 m/s a) Defina el concepto de fuerza conservativa indicando dos ejemplos reales. (1 p.) b) Justifique la relación entre la fuerza y la energía potencia] gravitatoria. (1 p.) c) La Estación Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita prácticamente circular a una altura h = 390 Km sobre la superficie terrestre. Calcula su energía cinética, y su energía potencial respecto al campo gravitatorio, sabiendo que su masa es de 4, kg. (1 p.) G = 6, Nm 2 kg 2 ; M Tierra =5, kg; R Tierra=6, m Zaragoza septiembre 2007; 1, J; 2, J Supón que la masa de la Tierra se duplicara: a) Calcula razonadamente el nuevo período orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? Datos: G = 6, N m 2. kg -2 ; M T = kg,; R T = km; Rorbital Luna = 1, m. Andalucía. Junio, Un satélite realiza una órbita circular de radio km en torno a la Tierra en un tiempo de 4 horas. Qué radio tendría la órbita de un satélite cuyo período sea 1 día? Cómo se llaman este tipo de satélites? Asturias. Junio, El campo gravitatorio creado por dos masas, m 1 y m 2, que podemos considerar puntuales y separadas una distancia d, se anula a d/3 de 1 masa m 1 Cuánto vale la relación entre las masas, m 1 /m 2? Baleares. Junio, Considera una órbita elíptica alrededor de una estrella, en la que la distancia de la estrella al punto más lejano de la órbita, llamado apoastro, es 1,2 veces la distancia al punto más próximo de la órbita, llamado periastro. Si la velocidad de un cuerpo en esta órbita es de 25 km/s en el periastro, cuál será su velocidad en el apoastro? Razona la respuesta. Baleares. Junio, La masa de la Luna es, aproximadarnente, 7, kg, y su radio. 1, m: a) Cuánto pesaría en la superficie de la Luna una persona de 70 kg? b) Cuánto podría saltar, en altura, esta persona en la superficie de la Luna si en la Tierra salta 1 m? Datos: G = 6, N m 2 kg -2 ; g = 9,8 m/s 2. Baleares. Junio, Satumo es el sexto planeta del sistema solar, es el segundo en tamaño después de Júpiter y es el único con un sistema de anillos visible desde la Tierra. Su masa es 95,2 veces la masa terrestre, y su radio es 9,5 veces el radio de la Tierra. Determina: a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie en relación con el terrestre (g S /g T ) b) El período de revolución de Titán, uno de sus satélites, sabiendo que se encuentra a una distancia de km de Saturno y en órbita circular. c) El período de revolución de Satumo alrededor del Sol, sabiendo que la Tierra tarda 365 días en completar una órbita y que podemos considerar ambas órbitas circulares. Datos: G = 6, N m 2. kg -2 ; M T = 5, kg; R T = 6370 km; D Tierra-Sol = 1, km; D Saturno-Sol = 1, km. Canarias. Junio, Sea g la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, y v la velocidad de escape desde la superficie. Ahora supongamos que la Tierra reduce su radio a la mitad conservando su masa; llamemos g' y v' a los nuevos valores de la aceleración de la gravedad y la velocidad de escape, respectivamente: a) Cuál sería la relación entre las aceleraciones de la gravedad (g7/g)? D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 18 de 46

19 b) Cuál sería la relación entre las velocidades de escape (v /v)? Cantabria. Junio, La Estación Espacial Internacional (ISS) describe una órbita práctica mente circular alrededor de la Tierra a una altura h = 390 km sobre la su perficie terrestre, siendo su masa m = 415 toneladas: a) Calcula su período de rotación, en minutos, así como la velocidad con la que se desplaza. b) Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra una altura doble? c) Cuál sería el período de rotación en esta nueva órbita? Datos: G = 6, N.m 2 kg -2 ; R T = km; M T = 5, kg Cantabria. Junio, Si, por una causa interna, la Tierra sufriese un colapso gravitatorio y redujese su radio a la mitad, manteniendo constante la masa, su período de revolución alrededor del Sol sería: a) El mismo. b) 2 años. c) 0,5 años. Galicia. Junio, Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas (m A > m B ). giran alrededor de la Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo r A <r B a) A gira con mayor velocidad lineal. b) B tiene menor período de revolución. c) Los dos tienen la misma energía mecánica. Galicia. Junio, Calcula la distancia al centro de la Tierra de un punto donde la aceleración de la gravedad es g/4. Dato: Radio terrestre = 6, m. Castilla-La Mancha. Junio Un satélite en órbita geoestacionaria describe una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra, de forma que se encuentra siempre encima del mismo punto de la Tierra; es decir, su período orbital es 24 horas. Determina: a) El radio de su órbita y la altura a la que se encuentra el satélite sobre la superficie terrestre. b) La velocidad orbital. c) Su energía mecánica si la masa del satélite es 72 kg. Datos: G = 6, N. m 2 /kg 2 ; m Tierra = 5, kg; R Tierra = km. Castilla-La Mancha. Junio Dos satélites de igual masa orbitan en tomo a un planeta de masa mucho mayor siguiendo órbitas circulares coplanarias de radios R y 3 R, y recorriendo ambos las órbitas en sentidos contrarios. Deduce y calcula: a) La relación entre sus períodos. b) La relación entre sus momentos angulares (módulo, dirección y sentido). Castilla y León junio Un planeta sigue una órbita elíptica alrededor de una estrella. Cuando pasa por el periastro, P, punto de su trayectoria más próximo a la estrella, y por el apoastro, A, punto más alejado, explica y justifica las siguientes afirmaciones: a) Su momento angular es igual en ambos puntos, y su celeridad es diferente. b) Su energía mecánica es igual en ambos puntos. Castilla y León junio Sabiendo que el radio orbital de la Luna es de 3, m y que tiene un período de 27 días, calcula: a) El radio de la órbita de un satélite de comunicaciones que da una vuelta a la Tierra cada 24 horas (satélite geoestacionario). b) La velocidad de dicho satélite. Comunidad Valenciana. Junio, Dos masas de 4 kg y 10 kg se encuentran separadas 1 m de distancia, Calcula la posición del punto del segmento que las une en el que se anula el campo creado por ambas. Extremadura. Junio, Una de las lunas de Júpiter, Ío, describe una órbita de radio medio 4, m y período de 1, s: a) Calcula el radio medio de otra de las lunas de Júpiter, Calixto, cuyo período es de 1, s. b) Sabiendo que G = 6, N m 2 /kg 2, obtén la masa de Júpiter. La Rioja junio Dos esferas homogéneas, S 1, y S 2, tienen masas iguales pero radios distintos, R 1, y R 2 Si la aceleración de la gravedad en la superficie de la esfera S 1, es g 1, cuál es la aceleración de la gravedad en la esfera S 2? La Rioja junio Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es, aproximadamente, 0,27 R T (siendo R T el radio terrestre), calcula: a) La relación entre las densidades medias, ρ Luna /ρ Tierra b) La relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (Ve) Luna /(Ve) Tierra Madrid. Junio, Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de km de radio, respecto al centro del planeta, con un período de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de km de radio. Determina: a) La masa de Marte. b) El período de revolución del satélite Deimos. c) La energía mecánica del satélite Deimos. d) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = N m 2 Masa de Fobos = 1, kg. Masa de Deimos = 2, kg. Madrid. Junio, La astronauta Sunita Williams participó desde el espacio en la maratón de Boston de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cinta de correr dentro de la Estación Espacial Internacional. Sunita completó la maratón en 4 horas, 23 minutos y 46 segundos. La Estación Espacial orbitaba, el día de la carrera, a 338 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) El valor de la gravedad terrestre en la Estación Espa- D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 19 de 46

20 cial. línea que une el centro de la Luna con el de la Tierra. b) La energía potencial y la energía total de Sunita sabiendo creado por la Luna, con el valor, en ese mismo punto, que su masa es de 45 kg. del campo creado por la Tierra. (1 p) c) Cuántas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo? Datos: G = 6, N m 2 /kg 2 ; masa de la Tierra = 5, kg; radio terrestre = km. Murcia. Junio, El período de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, calcula la distancia de Marte al Sol. (Supón que las órbitas descritas son circunferencias). Navarra La Estación Espacial Internacional (ISS) gira alrededor de la Tierra en una órbita que consideramos circular, a una altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad lineal de la Estación y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra (período). b) La energía mínima necesaria para colocar en esa órbita una masa de 1 kg partiendo de un punto de la superficie terrestre*. c) La velocidad necesaria para escapar de la atracción terrestre desde esa órbita. Datos: Radio terrestre = 6, m; Masa de la Tierra = 5, kg; constante de gravitación universal: G = 6, N m 2 kg -2. *Prescinde de la velocidad de rotación de la Tierra Un objeto de masa M 1 = 100 kg está situado en el punto A de coordenadas (6, 0) m. Un segundo objeto de masa M 2 = 300 kg está situado en el punto de coordenadas (-6, 0) m. Calcula: a) El punto sobre el eje X para el cual el campo gravitatorio es nulo. b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa M 1 se traslada desde el punto A hasta el punto C de coordenadas (-6, 6) m. Comunidad Valenciana. Junio, a) Enuncia y comenta la Ley de Gravitación Universal. A partir de dicha ley establece el concepto de energía potencial gravitatoria. (1. 5 p) b) Un satélite de m = 100 kg describe una órbita circular, sobre el ecuador terrestre, a una distancia tal que su periodo orbital coincide con el de rotación de la Tierra (satélite geoestacionario). Calcula el radio de la órbita, la energía mínima necesaria para situarlo en dicha órbita y el momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra. (1 p) (1. 5 p) Datos: G = N m 2 kg 2 ; R, = m; M T = kg. Zaragoza junio a) Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. (1. 5 p). Consideramos la Tierra y la Luna aproximadamente esféricas, de radios R T = 6, m y R L = m. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es d = m. b) Compara el valor de la intensidad de campo gravitatorio en el punto P de la superficie lunar, situado en la Datos: G = N m 2 kg -2 ; M T = kg; M L = kg Zaragoza junio El satélite Giove-B tiene una masa m = 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de km de la superficie terrestre. Determina: a) Energías potencial y cinética del satélite en su órbita. (0,8 p.) b) Periodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la Tierra. (0,8 p) c) Energía mínima necesaria para ponerlo en dicha órbita y velocidad de escape de la misma. (0,9 p.) Datos: G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = 6, m; M T = 5, kg. Zaragoza septiembre a) Enuncia y explica las Leyes de Kepler. (1 p.) b) Io es un satélite de Júpiter que tarda 1,77 días en recorrer su órbita de radio medio R Io = 4, m. Ganímedes, otro satélite de Júpiter, tiene un periodo orbital de 7,15 días. Calcula el radio medio de su órbita. (1p) Datos: G = 6, N m 2 kg 2. Zaragoza septiembre a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal (1 punto) b) El satélite metereológico SMOS (Soil moisture and ocean salinity) de masa m = 683 kg se pretende colocar en una órbita circular (polar) a una altura h = 755 km sobre la superficie terrestre. (Fecha prevista de lanzamiento ). b1) Calcula la variación que experimentará el peso del satélite en la órbita, respecto del que tiene en la superficie terrestre. (1 punto). b2) Determina la velocidad orbital del satélite y el número de veces que recorrerá la órbita cada día. (1 punto) G = 6, N m 2 kg 2 ; M T = 5, kg; R T = 6, m Zaragoza junio a) Enuncia y explica las Leyes de Kepler. Demuestra la tercera en el caso de órbitas circulares. (1,5 puntos). b) Ganímedes y Calixto son dos de los más de 60 satélites que tiene Júpiter. El primero, el satélite más grande del sistema solar, tarda 7,15 días en recorrer su órbita en torno a Júpiter de 1, m de radio medio. Calixto, el satélite con más cráteres del sistema solar, describe una órbita con un radio medio de 1, m. Determina el periodo orbital de Calixto y la masa de Júpiter. (1 punto). G = 6, Nm 2 kg 2 ; Zaragoza septiembre 2009 D:\2ºbachiller\cagravitatorio\cagra08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 20 de 46