n x t x x () t es el punto de partida para graduar el efecto de salida o remoción ; al redefinir la expresión (XLVIII), con z = x+ t, t 0, se tiene

Transcripción

1 CONCEPTUALIZACIÓN MODERNA TABLA DE DECREMENTOS MÚLTIPLES (Coninuación) HIPÓTESIS RELATIVA A LATASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD (5º pare) UNAM, Fac. Ciencias 28 Sepiebre, 2 If you are ou o escribe he ruh, leave elegance o he ailor.. Alber Einsein Los esarrollos presenaos a eiaos el siglo XIX por Anoine Augusin Courno y Willia Mahew Maeha, cenran su esuio eclusivaene en el concepo e oralia, proucia por la causa () e ecreeno e inepeniene e oras causas, sin ebargo, iepo espués se observó ue el oelo se puee apliar para proponer una eoría generalizaa, one al esablecer varias causas e salia (), iferenes e inepenienes e un colecivo o grupo e personas, el concepo e uere sólo forará pare e una causa; esablecieno así el concepo e reoción o salia e la persona e ea aa la causa (). Por lo ano, si referios a z l, coo el grupo epueso a causas e ecreeno, iferenes e inepenienes, sin paricularizar uienes ya esán preesinaos a la causa e ecreeno, coo suceía en los esarrollos aneriores; es válio enonces, consierar la epresión (L), al inicar la probabilia e ue la persona e ea, epueso a causas e ecreeno a caa -ésio e iepo, ése sea reovio eclusivaene por la causa (), en el perioo e n-años, es ecir. n ( ) ( ) p () n En paricular, la función ( ) () es el puno e paria para grauar el efeco e salia o reoción ; al reefinir la epresión (XLVIII), con z +,, se iene ( ) () + ( ) l l (LI) + En viru e ue la única inforación isponible e la población en esuio es anual, se esablece la hipóesis ue ésa, sigue una isribución unifore e salias o reociones por caa causa (), por lo ano, la ejor aproiación para l +, [,], se obiene eiane inerpolación lineal, one, ( ) ( ) ( ) l l + (LII) 4

2 , represena el núero e salias enre las eaes () y (+) originao por la causa () e ecreeno. al susiuir la epresión (LII) en (LI) l l + + l + ( ) l ; [, ] + (LIII) e inegrano con respeco al iepo en el rango anual e esuio (LIV) l + + Al consierar los isos supuesos e la función l + para la función l +, se reefine la epresión anerior, coo l ( ) ( ) + consierano el cabio e variable y u, se obiene u l + l+ ln l ln p ln p + (LV) 42

3 Al consierar en la epresión (XLIII), el cabio e variable z al susiuir en la epresión (XLIV) p ( ) ep ( 2) ( ) () ( 2) ( ) ep +, con [,] y () ( 2) ( ) (LV.a) 9 () ( 2) ( 3) ( ) ep + + p' p'. p' p' Πp ' Done p ', represena la probabilia anual e inepeniene e peranencia en el grupo para una persona e ea, aa la causa () e ecreeno, en paricular. p ( ) ( ) ' ep + (LVI) Su copleeno, sibolizao por ', represena la probabilia anual e inepeniene e salia o reoción en el grupo para una persona e ea (), aa la causa () e ecreeno, sin ajusar, así, ' ep + ( ) ( ) (LVII) al susiuir la epresión (LV) en (LVII), ( ) ' p (LVIII) Epresión ue relaciona la asa e ecreeno específico e la causa () inepeniene, con respeco al oal e ecreenos a ue esá epueso el grupo en un año. 9 Ver el esarrollo e la epresión (XL). 43

4 Done 2 l+ p, represena la probabilia e ue un iniviuo e ea (), l peranezca en el grupo al final e año, epueso a causas e ecreeno inepenienes; su copleeno, l+ l l+ (LIX) l l l one, ecreeno inepenienes, enre las eaes () y (+), en específico,, represena el núero e salias erivaas por las (LX) causas e al esarrollar la epresión (LVIII), se iene ( ) ( ) p ( ) ( ) ( ) 2 + ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) 6 + (LXI) el esarrollo a parir el cuaro érino, es un valor espreciable, por lo ue al conservar los res prieros érinos el esarrollo el binoio, se iene ( ) ( ) ( ) ' + 2 ( ) (LXII) De las relaciones (LIX) y (LX), ( ) ( i) ( ) i y en paricular al efinir, coo la probabilia e ue una persona e ea () salga o abanone el grupo por cualuier causa, ecepuano la causa, se obiene la relación enre la asa sin ajusar ' y la asa por ajusar o sipleene asa ajusaa, ; coo. ( ) ( ) ( ) ' + 2 (LXIII) 2 Probabilia clásica 44

5 Por lo ano, la epresión anerior nos inuce a consierar ue, para consruir una abla e ecreeno úliple basaa en ablas e ecreeno siple, es necesario osrar en caa una e ellas las causas inepenienes e ecreeno.. ' Así, al consierar un grupo inicial, l, la abla e ecreeno para la causa () inepeneniene ebe cuplir.( ). l' l' ep z z '. ep + epresiones ue coincien con los érinos l y ya anes esarrollaos. En érinos e la probabilia clásica, para obener el núero e falleciienos,, el grupo e ea () epueso, l ; basará uliplicar la probabilia asociaa e falleciieno,, al núero e epuesos, es ecir, l Sin ebargo, al efecuar el iso proceso en una abla e ecreeno úliple conocieno la asa específica () e ecreeno sin ajusar ', sobre el grupo epueso al oal e ecreenos, el resulao es iferene al núero e salias efinias por la causa (); es ecir, e la abla, ya ue algunos el grupo epueso l, no esán por lo general epuesos a la causa () en el año e esuio y son eliinaos el grupo por oras causas, a ese núero e vias reovias se puee escribir coo ( ) ( i) ( ) i, epresión ue se obiene e (LX). Suponieno 2 ue las vias epuesas a la causa () e ecreeno se isribuye en fora unifore en el año e esuio, su valor esperao e reociones sobre el grupo epueso al oal e ecreenos es ( ) ( ) ( ) ' l 2 (LXIV) 2 La única inforación con ue se cuena es anual. 45

6 one ' 2 (LXV) La epresión anerior recoge el concepo e eposición el grupo a una causa () e ecreeno, por lo ano, el esarrollo e la epresión (LXV), eben e ser aproiaaene euivalene a la epresión (LXVIII), escribieno (LXV) coo ( ) ( ) ( ) ' 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + 2 se obiene (LXIII), en su esarrollo runcao el binoio; finalene, aa la aproiación y jusificación, la epresión a consierar será ' 2 (LXV.a) con ( ) ( i), cuya solución lleva a esablecer un sisea e ecuaciones i lineales epeniene el núero e ecreenos involucrao y el valor eaco e ebe ser viso coo una isribución en proporción a las asas, por lo ano, el ajuse ue se eberá efecuar a caa una e las causas e salia para ue la sua e ésas coincia con el oal ao será. () i i 46

7 NUEVO ENFOQUE TASA INSTANTANEA DE MORTALIDAD Hasa finales el siglo XIX se ha preenio escribir una función ue efina el coporaieno e la oralia, suponieno ue la población a la cual se aplica seguirá icho parón; sin ebargo, a principios el siglo XX ese enfoue ha cabiao, one ás ue seguir una ley eerinísica, la hipóesis propuesa es ue la oralia ebe seguir un parón aleaorio. Universia e Michigan Asoc. Prof Uno e los prieros ocuenos bajo ese concepo, fue forulao por el acuario esaouniense Waler O. Menge, uien en su rabajo A saisical reaen of acuarial funcions, efinió ue el iepo resane e via e una persona e ea, consiuye por si sola una variable aleaoria e ipo coninuo, la cual se represena hoy en ía coo T( ). Por lo ano, eise una función e probabilia ue iene ue ver con la variable aleaoria el iepo ranscurrio hasa el falleciieno, si se consiera ( ) para enoar a una via e años. El iepo fuuro e via e ( ), será X, enoaa coo T( ),. En esa viru, las funciones bioéricas relaivas a las probabiliaes e falleciieno, sobrevivencia o la isa asa insanánea e oralia, se pueen efinir con la caracerísica la variable aleaoria T( ). Así por ejeplo, la función 22 e isribución acuulaiva el iepo fuuro e, es () Pr [ ] si p +, enonces p FT ;. F T, T La función F () T represena la probabilia e ue la persona e ea uera enro los próios -años, suponieno ue ésa es conocia, la isribución e probabilia e T( ) y su función e ensia e probabilia es por lo ano. o bien 22 f < T < + T (LXVI) () Pr T f F T (LXVII) () An inroucion o he aheaics of life insurance W. O. Menge an J. W. Glover's, 935; The MacMillan Copany (2) Maheaics of life insurance. Menge an Fischer, 965, Macillan Copany (3) Life Insurance Maheaics Hans U. Gerber.997, Springer 47

8 y la fuerza e oralia escria en el puno (I) ver inicio e la serie se puee efinir ahora coo ft () F (LXVIII) T() resulao ue se obiene al consierar el cabio e cabio e variable z + ; y las relaciones S( + ) + p l+ l S( + ) ; p Pr [ X > + / X ] ;, S p S + Pr X > + : función e isribución e sobrevivencia y one, [ ] ( ( + ) ) ( + ) T F + + F + f, cuano el. Por lo ano, la nueva concepualización, puee eener ás allá el esuio e la sobrevivencia huana-, si no abién a eniaes u organisos ue represenan en el iepo un esgase o faiga para obligar a la einción el iso o falla e servicio; ano origen así a la eoría e la confiabilia Uno e los precursores e ese concepo, fue el ingeniero sueco Erns Hjalar Waloi Weibull, uien en 939, publicó un ocueno relaivo a la isribución e probabilia ue lleva su nobre, one los concepos e confiabilia, urabilia, faiga y la rapiez e falla son aplicaos en el capo e la ingeniera. Supone una generalización e la ley eponencial, efinieno para la variable aleaoria X, la función e ensia + ( ) α α f α θ θ α ep ; > ; αθ, > Los paráerosα y θ, son llaaos e fora y e escala, respecivaene; su función e isribución es α F Pr ( X ) ep θ Al generalizar las epresiones para cualuier ea + y al susiuir en (LXVIII), se iene: α α () n + + α θ, α con paráeros fijos > ; n>. α θ ue correspone a una posible eensión e la isribución e Weibull en la oralia huana, así la probabilia e supervivencia uea efinia coo: p ep + n + 48 n+ n+

9 Coninuano con el oelo e sobreviviencia, en fora seejane se puee efinir una variable aleaoria iscrea asociaa con el iepo e via fuuro, en la ue enoe el núero e años fuuros copleaos por () anes e su falleciieno o el iepo e via fuuro runcao e (), es ecir, K T g G p +, Así para la variable aleaoria iscrea, ',, 2,3,... K K one Pr < T + Pr T < + (LXIX) p + : Probabilia e sobreviva años y una vez alcanzaa la ea + fallezca enro el año siguiene. Fora Generalizaa Tabla e Decreenos Múliples Al efinir la variable aleaoria T o sipleene T, poeos generalizar sobre un grupo epueso a causas e ecreenos inepenenienes, por lo ano, la probabilia e ue alcance la ea +, es [ ] p Pr T > (LXX) En esa viru, el apliar el oelo, se inrouce una seguna variable aleaoria, ue será la causa el ecreeno, represenao eiane J, y suponreos ue ésa, es una variable aleaoria iscrea, ese supueso esa basao en el concepo e coninuia e T; hasa en ano no eisa alguna causa eerna ue alere su esao en un puno el iepo fuuro e, es ecir, esa epueso a ecreenos inepenienes en el iepo. Bajo esos concepos el propósio ahora es escribir la isribución conjuna e las variables T, J y las isribuciones conicionales y arginales relacionaas. Al represenar f (, j ) coo función e ensia e probabilia conjuna e T, J; y h( j ), g coo la función e probabilia arginal e J y T respecivaene, son valias las siguienes afiraciones. j h j () g 49

10 La función e probabilia f (, j ) puee escribirse coo f (, j) Pr [ < T +, J j] y Pr T, J j f s, j s [ ] (LXXI) < (LXXII) Por lo ano, la probabilia e ecreeno anes el iepo, ebio a la causa j se epresa coo f s, j s;,,2,... (LXXIII) La isribución arginal e J, es Para g( ) y () G, se iene ( j ) h j f s, j s ; j,2,..., () f (, j) g j () () G g s s (LXXIV) Uilizano el ínice para inicar ue la función se refiere a oas las causas e ecreeno epueso, se iene y Pr[ ] () T G g s s [ ] p Pr T > () g () p G () p p Ln p (LXXV) (LXXVI) Bajo esas coniciones, la fuerza el ecreeno a la ea +, efinia en la epresión LXXI, puee analizarse conicionano la sobrevivencia al iepo, es ecir, la función e ensia e probabilia conicional conjuna e T y J ao la sobrevivencia a +, es (, ) Pr[ ] Pr f j T > < T + J j T > (LXXVII) 5

11 O sipleene, la probabilia e ue alcance la ea +, epueso a oos los posibles ecreenos, conicionano ue una vez alcanzaa la ea +, la fuerza e ecreeno e la causa j, ocurra enre y +; ao ue el ecreeno no ha ocurrio anes el iepo ; es (, ) ( j ) f j p j,2,..., (LXXVIII) Por analogía con la epresión (LXXVI) G() ( j ) f, j f, j () p (LXXIX) al iferenciar (LXXIII) 24 y usano la epresión anerior, se obiene (LXXX) ( j ) () p al consierano ahora las epresiones (LXXIII) y (LXXIV) en (LXXV) (, ) g s s f s j s j (, ) f s j s j j (LXXXI) 24 f ( s, j) s f, j ;,, 2,... 5

12 Al consierar las epresiones (LXXX) y (LXXXI) en (LXXVI) se reefine +, coo: () () () ( j ) () () p p j 2 j ( ) () () ( 2) p p p ( ) (LXXXII) Epresión ue ya previaene se había obenio bajo en el enfoue clásico, es ecir, la fuerza oal e ecreeno es la sua e las fuerzas e ecreeno ebio a las causas inepenienes, eosrano con ello la valiez e la función e ensia e probabilia conicional conjuna e T y J Finalene al consierar la epresión (LXXVIII) en (LXXII) se obiene (, ) f s j s p ( j ) s s s (LXXXIII) Probabilia e ecreeno anes el iepo, ebio a la causa j o sipleene la asa ajusaa e la causa j e ecreeno. Al obener la iferencia e la epresión anerior, se obiene la función e probabilia ya anes efinia. f ( s, j) s (LXXXIV) f (, j) y usano (LXXIX), ( j ) f (, j) f (, j) () G() p (LXXXV) p 52

13 De las epresiones, (LXXV), (LXXIV) y (LXXIII) g() s s f(, s j) s f (, s j) s j j j (LXXXVI) Epresión ya failiar. Cobinano (LXXVI) y (LXXV), se vuelve a obener (LXXXII). () p ( ) p p p p j p j () (2) ( ) p p p (LXXXVII) j ( j ) () En resuen, la función e probabilia conicional e J ao el ecreeno al iepo, es one () () () f(, j) p h( jt ) g () p f (, j) p j h f s, j s, j,2,..., () g p (LXXXVIII) 53

14 Finalene, la probabilia efinia en la epresión (LXXIII) puee epresarse coo s p s s (LXXXVIII.a) Se sigue, al iferenciar (LXXIII) 25, se obiene abién (LXXXV), es ecir, f ( s, j) s (, ) f j p () (LXXXVIII.b) j () p Epresión ue represena la fuerza e ecreeno por causa o asa insanánea e la causa j ; epresión previaene obenia. ver LXXX y fora clásica XLI (, ) f j p +, es la función e probabilia * e ecreeno e la causa j. La aplicación paricular e la epresión (LXXXIII) reuerir una oificación, si al efinir la variable aleaoria K, ue enoa los años fuuros runcaos anes el ecreeno e, enonces la función e probabilia conjuna e la variable aleaoria K y el ecreeno J, esará aa por Pr[ K J, j] Pr[ < T +, J j] + p () al consierar el cabio e variable + s,,,2,... s [,] one s + + p + p p s s + s + + p s s relación esablecia en la epresión LXXXIII (LXXXIX) (XC) (XCI) f j p 25 Se euesra ue, 54

15 Se concluye e la epresión (XC) ue la función e probabilia e la variable aleaoria K() el ecreeno e, es g(, ) g(, j) p + (XCI.a) j j Finalene, la probabilia e ecreeno e oas las causas, enre las eaes + y + +, aa la sobrevivencia a la ea +, represenaa coo +, es p s s (XCII) + s + + Consierano la relación esablecia en la epresión LXXXIII, se concluye ue + s + + s + + j j j p s s p s s + j (XCIII) Las epresiones (XCI) y (XCII) uesran por ué a la eoría el ecreeno úliple se le enoina abién coo la eoría e copeencia enre riesgos Kalbfleisch, J. D. an Prenice, R. L. (98) The Saisical Analysis of Failure Tie Daa. New Yor: John Wiley & Sons, Inc., Lawless, J. F. (982) Saisical Moels an Mehos for Lifeie Daa. New Yor: John Wiley & Sons, Inc. Co, D. R. an Oaes, D. (984) Analysis of Survival Daa. Lonon: Chapan & Hall. 55

16 TASAS AJUSTADAS DE DECREMENTO NUEVO ENFOQUE Las epresiones aneriores, esán relacionaas con el concepo e la variable aleaoria coninua T; por consrucción al reefinir la epresión (LV.a) para oa ea +,,,2, y j la causa e ecreeno, se iene p Π p ' (XCIV) + + j ( ) e one, por consrucción p + Π j ' +, se inuce por (XCI) ue la asa sin ajusar el ecreeno j es ' j p' j j s s (XCV) + s + + por lo ano, al consierar la epresión (XCIV) en la epresión (XCI), se iene ue la asa ajusaa e la causa e ecreeno j es reorenao + Π s + + j j ' (XCVI) p s s + Π s + n j n,2,... ( n) ' ' s p + + s (XCVII) p s bajo el supueso e isribución unifore e ecreenos en el perioo anual, la fuerza e ecreeno ue ineracúa sobre la causa j, puee aproiarse coo ' +, así, la relación enre la asa sin ajusar e la causa e ecreeno y la asa ajusaa, es aproiaaene ( n) + ' + Π ' sp + s (XCVIII) n j n,2,... se sigue (a seejanza e la epresión LII), ue una buena aproiación enre las asas es: ( n) ( n) + ' + Π ' ' ' s + + s + n j Π n j n,2,... n,2,... ' + Π ' + n j n,2,... p s s ( n) ( ) s s (XCIX) Finalene si z +,,,2,... ( n) z ' z Π ( s ' ) z s (XCX) n j n,2,... 56

17 DESARROLLO Consiereos 3 causas e ecreeno,2,3 Moelo A Epresión LXV.a ' 2 con ( ) ( i), la solución para las asas ajusaas e las causas,2,3 bajo la i Regla e Craen (A) 3 3 ( ) () i () i i i i i 3 3 () i () i 4 + i i i< j Consiereos 3 causas e ecreeno j, 2, 3 Moelo B Epresión XCX ( n) z ' z Π ' z n j n,2,... s s la solución para las asas ajusaas e las causas,2,3 es. 3 3 ( n) ( n) + 2 n 3 n n j n j (A) Teorea en álgebra lineal, ue a la solución e un sisea lineal e ecuaciones en érinos e eerinanes. Gabriel Craer (74-752), Inroucion à l'analyse es lignes courbes algébriues 75 57

18 Bibliografía Bower, Gerber, Hican, Jones & Nesbi Acuarial Maheaics, Sociey of Acuaries. Iasca, Illinois Cheser Wallace Joran, Life Coningencies, Sociey of Acuaries (967) Chicago, Illinois Hal, A. (987) On he Early Hisory of Life Insurance Maheaics. Scaninavian Acuarial Journal. Vega Aaya, Oscar. 22. Surgiieno e la Teoría Maeáica e Probabilia. Apunes e la Hisoria e las Maeáicas, vol. I.España. Hal, A. (987) On he Early Hisory of Life Insurance Maheaics. Scaninavian Acuarial Journal. Davi Jenins y Taau Yoneyaa. The Hisory of Insurance, Picering & Chao Publishers Arana Marínez Oscar & Casillo García Naia Araceli. 2 Apunes personales, icaos en el curso regular e la aerial e Maeáicas Acuariales el Seguro e Personas I, Fac. e Ciencias UNAM. C. Universiaria 28 e sepiebre 2 oarana@ciencias.una. procesosacuariales@gail.co 58