Relatividad General. curso de maestría. Olivier Sarbach Instituto de Física y Matemáticas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

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1 Relatividad General curso de maestría Olivier Sarbach Instituto de Física y Matemáticas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo 27 de enero de 2011

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3 Índice general Prólogo 5 1. Introducción Una breve historia de la gravitación Teoría de Newton Relatividad especial Las transformaciones de Poincaré Tensores de Lorentz Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante Las ecuaciones de movimiento para una partícula relativista La estructura causal del espacio-tiempo Apéndice: Transformaciones afines Teorías escalares de la gravedad Geometría diferencial Variedades diferenciables Campos vectoriales y tensoriales Vectores tangentes Transformaciones de coordenadas La diferencial de un mapeo Campos vectoriales Campos de covectores Campos tensoriales Conexiones afines La derivada covariante de campos tensoriales El transporte paralelo a lo largo de una curva Geodésicas Métricas pseudo-riemannianas La métrica como isomorfismo entre T p M y Tp M La conexión de Levi-Civita Integración de funciones sobre una variedad Derivada de Lie El flujo de un campo vectorial

4 4 ÍNDICE GENERAL El pull-back y el push-forward de un difeomorfismo La derivada de Lie La interpretación geométrica de la derivada de Lie Curvatura La interpretación geométrica de la curvatura La curvatura asociada a la conexión de Levi-Civita Apéndice: Derivaciones El principio de equivalencia La formulación física del principio La formulación matemática del principio Las ecuaciones de movimiento para una partícula El límite Newtoniano Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo La descripción a través de potenciales El límite geométrico en un fondo curvo Campos estacionarios y estáticos El principio de Fermat para campos estáticos El corrimiento al rojo Sistemas de referencia no-rotantes La diferencia física entre espacio-tiempos estáticos y estacionarios Las ecuaciones de Einstein La interpretación física de la curvatura Las ecuaciones de Einstein en vacío Las ecuaciones de Einstein con materia Fluidos relativistas El límite Newtoniano La solución de Schwarzschild La derivación de la solución de Schwarzschild Campos gravitacionales débiles Los universos de Friedmann-Lemaître 155

5 Prólogo Estas notas se basan en gran parte en los cursos de relatividad general de los Drs. Markus Heusler y Norbert Straumann de la Universidad de Zurich y en el libro del Dr. Straumann, General Relativity and Relativistic Astrophysics [1]. En particular, se trata de formular las leyes de la física en su forma independiente de coordenadas locales, es decir, directamente sobre la variedad del espacio-tiempo. Por esta razón, se introducen los conceptos de la geometría diferencial que son relevantes para la relatividad general. Estas notas también contienen material que no se encuentra en todos los libros estándares de relatividad general, como por ejemplo una teoría de integración de funciones sobre variedades pseudo-riemannianas que evita la introducción de formas diferenciales, una formulación Lagrangiana de los fluidos relativistas y (planeado) una derivación geométrica de la métrica de Schwarzschild. Para referencias adicionales sobre la relatividad general, el lector puede consultar el libro de Wald [2], el libro de Misner, Thorne y Wheeler [3] o el libro más reciente de Carroll [4]. Agradezco a mi esposa, Susana, y a mis estudiantes, sobre todo al Mtro. Néstor Ortiz Madrigal por varias correcciones o sugerencias que ayudaron a mejorar estas notas. Morelia, 2011, Olivier Sarbach 5

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Introducción 1.1. Una breve historia de la gravitación 1600: Galileo Galilei introduce la idea de sistemas de referencia en movimientos y encuentra que la aceleración de cuerpos en caída libre es universal. 1666: Isaac Newton formula la ley universal de la gravedad y las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica. 1854: Georg Friedrich Bernhard Riemann interpreta el espacio como un medio e introduce la noción de distancia a través de una métrica. Esto llevará a la formulación de la geometría diferencial. 1873: James Clerk Maxwell formula las ecuaciones completas de la electrodinámica. Además, la teoría de Maxwell ofrece un modelo de la luz como un efecto electromagnético y predice la velocidad de la luz. 1887: Michelson y Morley muestran a través de experimentos que la existencia del éter queda descartada. 1905: Albert Einstein formula la teoría de la relatividad especial y revoluciona los conceptos de espacio y de tiempo. 1915: Albert Einstein formula la teoría de la relatividad general que explica la precesión del perihelio del mercurio. La relatividad general también predice varios nuevos efectos (corrimiento al rojo, ondas gravitacionales) algunos de ellos que son sorprendentes (agujeros negros, expansión del universo). 1919: Eddington y Dyson miden la desviación de la luz durante un eclipse solar y encuentran que concuerda con la predicción de la relatividad general. Einstein se vuelve famoso. 7

8 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN La relatividad general juega un papel importante en varias ramas de la física actual. Por ejemplo, es fundamental para entender el colapso de una estrella y para entender el universo. También juega un papel importante en teorías modernas de unificación de las fuerzas Teoría de Newton En la teoría de Newton existen sistemas de referencias (t, x) = (t, x, y, z) preferidos que se llaman los sistemas inerciales. Están caracterizados por las siguientes propiedades: (i) Las partículas libres se mueven en trayectorias rectas, d 2 x dt 2 = 0. (ii) Sean (t 1, x 1 ) y (t 2, x 2 ) dos eventos, entonces la cantidad t 1 t 2 es independiente del sistema inercial. Además, sean (t, x 1 ) y (t, x 2 ) dos eventos simultáneos, entonces la cantidad x 1 x 2 es independiente del sistema inercial. Las propiedades (i) y (ii) implican que dos sistemas inerciales ( t, x) y (t, x) están conectados por una transformación de coordenadas de la forma t = λ t + a, (1.1) x = R x + v t + b, (1.2) donde λ = ±1, a R, b y v son vectores en R 3 y R O(3) es una transformación ortogonal. Para ver esto, observamos primero que la propiedad (i) implica que la transformación L : (t, x) ( t, x) mapea rectas sobre rectas. El Teorema 1 en el apéndice implica 1 que L debe ser una transformación afín. Entonces la propiedad (ii) lleva a la forma (1.1,1.2). (1.1,1.2) se llaman transformaciones de Galilei. Forman un grupo de dimensión 10. Las ecuaciones de movimiento de Newton para una partícula en un potencial gravitacional φ son m i ẍ = F (t, x) = m g φ(t, x), (1.3) φ(t, x) = 4πGρ(t, x), (1.4) 1 De ahora en adelante, vamos a suponer que todas las transformaciones de coordenadas son invertibles.

9 1.2. TEORÍA DE NEWTON 9 donde ρ es la densidad gravitacional de masa, m i es la masa inercial de la partícula, m g su masa gravitacional, G = 6, m 3 kg 1 s 2 la constante de Newton, = ( x, y, z ) el operador nabla y = 2 x + 2 y + 2 z el operador de Laplace. Ejemplo: Considere un objeto puntual de masa M en el origen. Entonces, ρ(t, x) = Mδ(x) y φ(t, x) = GM. x Entonces, F (t, x) = GMm g x 3 x. Los experimentos de Galilei surgieren que la aceleración es independiente de la masa de los cuerpos, lo que implica que la masa inercial es igual a la masa gravitacional, m i = m g. Es fácil ver que las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantes bajo transformaciones de Galilei. Hasta aqui todo está consistente. Un problema aparece a la hora de considerar las ecuaciones de Maxwell, B = 0, E + 1 B = 0, c t (1.5) E = ρ c, B 1 c t E = 1 c j, c (1.6) donde E y B denotan el campo eléctrico y magnético, c es la velocidad de la luz, ρ c la densidad de carga y j c la densidad de corriente eléctrica. En la ausencia de fuentes (ρ c = 0, j c = 0) las ecuaciones de Maxwell implican que las componentes u de E y B satisfacen la ecuación de onda 1 2 c 2 u u = 0. (1.7) t2 En particular, la radiación electromagnética se propaga a la velocidad de la luz. Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) no son invariantes bajo transformaciones de Galilei. Por ejemplo, supongamos que E(t, x) y B(t, x) satisfacen las ecuaciones de Maxwell, y sean Ē(t, x) = E(t, x vt), B(t, x) = B(t, x vt) los campos transformados. Entonces Ē(t, x) + 1 c = E(t, x vt) + 1 c = 1 c 3 j=1 t B(t, x) B t (t, x vt) 1 c 3 j=1 B x j (t, x vt)v j (1.8) B x j (t, x vt)v j, (1.9)

10 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN y obtenemos un término extra. Físicamente, la falta de invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galilei tiene que ver con el siguiente problema: Considere un rayo de luz y un observador que viaja a la velocidad de la luz c = 299, 792, 458 m/s, en la misma dirección que el rayo de luz. El observador ve el rayo de luz (que fue emitido en el sistema de reposo) como una onda estacionaria y no un rayo de luz. Geometricamente, esta falta de invariancia esta relacionada con la falta de invariancia del cono de luz en un evento (t, x) C e := {(s, y) R 4 : c s t = y x }, bajo transformaciones de Galilei. Si L es una transformación de Galilei que lleva el evento e al evento e, entonces L(C e ) solamente es igual a C e para transformaciones con v = Relatividad especial Para resolver este problema, Albert Einstein postuló en 1905: (a) Los sistemas inerciales están caracterizados por las siguientes propiedades: (i) Las partículas libres se mueven en trayectorias rectas, d 2 x dt 2 = 0. (ii) La velocidad de la luz es independiente del sistema inercial. (b) Las leyes de la mecánica y de la electrodinámica son las mismas en cada sistema inercial Como vemos, la propiedad (ii) reemplaza la propiedad (ii) en la teoría Newtoniana. Implica que el cono de luz en un evento e = (t, x), C e := {(s, y) R 4 : c s t = y x }, es independiente del sistema inercial: Si L es una transformación entre dos sistemas inerciales tal que L(e) = e, entonces L(C e ) = C e. Los postulados de Einstein sugieren el siguiente programa: Primero, tenemos que encontrar el grupo de transformaciones de un sistema inercial a otro, es decir, tenemos que encontrar las transformaciones de coordenadas (t, x) ( t, x) que son compatibles con los puntos (i) y (ii) arriba. Las transformaciones que resultan se llaman las transformaciones de Poincaré y reemplazan las transformaciones de Galilei. Luego, tenemos que reformular las ecuaciones de movimiento de Newton (1.3,1.4) y las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) en una forma que es invariante bajo transformaciones de Poincaré.

11 1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL Las transformaciones de Poincaré Para encontrar las transformaciones que son compatibles con los puntos (i) y (ii) es conveniente introducir la notación que sigue x = (x µ ) = (ct, x), (µ = 0, 1, 2, 3). Además introducimos la matriz 2 simétrica (η µν ) := Con esta notación, y el convenio de sumación sobre índices repetidos, podemos caracterizar el cono de luz C por. 0 = η µν x µ x ν = c 2 ( t) 2 + x 2, donde x µ := x µ 2 xµ 1. η µν define una forma bilineal ( producto escalar Lorentziano ), (v, w) := η µν v µ w µ = v 0 w 0 + v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, v, w R 4, que no es positivo. El cono de luz consiste de los vectores x R 4 para los cuales ( x, x) = 0. De hecho, no es difícil mostrar que cualquier otra forma bilineal (.,.) que caracteriza el cono de luz de esta manera está relacionada con (.,.) a través de una constante multiplicativa, es decir, existe α 0 tal que (v, w) = α(v, w) para todos v, w R 4. Ahora sea L : x x una transformación de un sistema inercial a otro. Como antes, la propiedad (i) implica que L mapea rectas sobre rectas y el Teorema 1 en el apéndice implica que L debe ser una transformación afín. Entonces existen A GL(4, R) y a R 4 tales que x = Lx = Ax + a. Puesto que L debe dejar el cono de luz invariante (por la propiedad (ii) ), tenemos que (Av, Aw) = α(v, w) (1.10) para todos v, w R 4, donde α 0 es una constante. Esta constante debe ser positiva porque de otra manera, la transformación lineal A mapearía el interior, (v, v) < 0, del cono de luz (un conjunto desconectado) sobre el exterior, (v, v) > 0, del cono de luz (un conjunto conectado) lo que no es posible dado que A es continua. 2 Como vamos a ver pronto, η no es realmente una matriz sino un tensor.

12 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN En forma matricial, la condición (1.10) también se puede escribir como v T A T ηaw = αv T ηw para todos v, w R 4. Entonces, A tiene la forma A = ΩΛ, (1.11) donde Ω > 0 es una constante positiva y Λ GL(4, R) satisface Λ T ηλ = η. (1.12) Una transformación lineal Λ : R 4 R 4 que satisface (1.12) se llama transformación de Lorentz. El conjunto de todas estas transformaciones forma un grupo que se llama el grupo de Lorentz. Elementos particulares de este grupo son: (1) Un boost (empuje) con velocidad v ( v < c) en la dirección x: γ γβ 0 0 Λ = γβ γ , γ = 1, β = v 1 β 2 c (2) Rotaciones: ( 1 0 T Λ = 0 R ), R SO(3). (3) Inversión del sentido del tiempo: Λ = (3) Inversión de la paridad: Λ = Se puede mostrar que cualquier transformación de Lorentz se puede escribir como una composición de estos elementos particulares. Existe un boost y una rotación en cada dirección, por lo tanto, el grupo de Lorentz es hexadimensional. Ahora regresamos al resultado (1.11), A = ΩΛ. Queremos concluir que el factor de escala, Ω, debe ser uno. Para mostrar esto vamos a suponer que cada

13 1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL 13 sistema inercial posee una escala fija. Esto implica que Ω debe ser constante para Λ fijo y que A solamente puede depender de Λ, A = A(Λ) = Ω(Λ)Λ, Ω(Λ) > 0. Además, tenemos que A(Λ 1 ) A(Λ 2 ) = A(Λ 1 Λ 2 ) para todas las transformaciones de Lorentz Λ 1, Λ 2. Entonces, Ω(Λ 1 ) Ω(Λ 2 ) = Ω(Λ 1 Λ 2 ) (1.13) para todas las transformaciones de Lorentz Λ 1, Λ 2. Pero esta condición y la positividad de Ω implican que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones de Lorentz, como vamos a mostrar ahora: Primero, eligiendo Λ 1 = Λ 2 = I (la identidad) en (1.13) obtenemos Ω(I) = 1. Luego, si Λ es una inversión de paridad o del sentido del tiempo, tenemos que Λ 2 = I y (1.13) implica que Ω(Λ) = 1. Luego, sea Λ una rotación por el eje e, y sea S una rotación con el ángulo π por un eje perpendicular a e. Entonces, S 2 = I y Λ 1 = SΛS. Por lo tanto, (1.13) implica que Ω(Λ) = 1. De manera similar, sea Λ un boost en la dirección x y S la rotación con el ángulo π por el eje z. Entonces S 2 = I y Λ 1 = SΛS y concluimos que Ω(Λ) = 1, como antes. Finalmente, ya que cualquier transformación de Lorentz se puede representar por la composición de transformaciones analizadas hasta el presente, concluimos que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones de Lorentz. Concluimos que las transformaciones L que llevan de un sistema inercial a otro tienen la forma Lx = Λx + a, x R 4, (1.14) donde Λ es una transformación de Lorentz y a R 4. El conjunto de todas estas transformaciones generan un grupo de dimensión 10 llamado grupo de Poincaré. Notamos que las rotaciones, las translaciones y la inversión de la paridad y del sentido del tiempo también son elementos del grupo de Galilei. Los boosts reemplazan las transformaciones de Galilei t = t, x = x + vt. Por ejemplo, un boost en la dirección x tiene la forma t = γ (t + v ) c 2 x, (1.15) x = γ(x + vt) (1.16) (y ȳ = y, z = z), donde γ = [1 (v/c) 2 ] 1/2. Entonces recuperamos las transformaciones de Galilei en el límite formal c. Para c finito ocurren efectos cinemáticos que no se dan en la teoría Newtoniana: (a) Dilatación del tiempo: Considere un reloj en reposo en el sistema inercial (t, x), y sea t una unidad de tiempo fija medida por este reloj. Un observador que se mueve en un sistema inercial ( t, x) con velocidad v 0 con respecto a (t, x) nota que t = γ t > t.

14 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN (b) Contracción del espacio: Considere un objeto de tamaño L que se encuentra en reposo en el sistema inercial (t, x). Un observador que se mueve en un sistema inercial ( t, x) con velocidad v 0 con respecto a (t, x) mide que el objeto tiene el tamaño L/γ < L. (c) Adición de velocidades: Considere la composición de dos boosts en la dirección de x con velocidades v 1 y v 2, γ 1 γ 1 β γ 2 γ 2 β Λ 1 = γ 1 β 1 γ , Λ 2 = γ 2 β 2 γ , donde β m = v m /c, γ m = (1 βm) 2 1/2, m = 1, 2. Entonces, γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) 0 0 Λ 1 Λ 2 = γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) = γ γβ 0 0 γβ γ donde β = (β 1 + β 2 )/(1 + β 1 β 2 ), γ = (1 β 2 ) 1/2. Entonces, Λ 1 Λ 2 es un boost con velocidad v = cβ = v 1 + v v1v2 c 2. (1.17) En particular, v < c si v 1 < c y v 2 < c Tensores de Lorentz Definimos el espacio de Minkowki M := (R 4, (.,.)), donde (.,.) es el producto (v, w) := η µν v µ w µ = v 0 w 0 + v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, v, w R 4. Las definiciones que siguen podrían parecer un poco artificiales a primera vista. Las transformaciones que se encuentran a continuación se volverán claras en el contexto más general de tensores sobre variedades (ver el capítulo 3). Definición 1 Sea x µ = Λ µ νx ν + a µ una transformación de Poincaré, donde Λ µ ν denotan las componentes de la matriz Λ con respecto a la base canónica en R Una función Φ : M R se llama un escalar de Lorentz si Φ( x) = Φ(x), x M. 2. Un campo vectorial X : M R 4 se llama un vector de Lorentz (o cuadrivector) si X µ ( x) = Λ µ νx ν (x), x M. Además, un cuadrivector v M se llama tipo tiempo si (v, v) < 0, tipo espacio si (v, v) > 0, y nulo si (v, v) = 0.,

15 1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL Un covector de Lorentz es un mapeo V : M R 4 tal que V µ ( x) = Λ µ ν V ν (x), x M, donde Λ µ ν denota las componentes de (Λ 1 ) T. Notamos que Λ α µλ α ν = Λ µ α Λ ν α = δ µ ν y que la contracción de un vector con un covector de Lorentz es un escalar de Lorentz: X µ Vµ = Λ µ αx α Λ µ β V β = δ α β X α V β = X α V α. 4. De manera más general, un tensor de Lorentz del tipo (r, s) es un mapeo T : M R 4(r+s), x T µ1µ2...µr ν 1ν 2...ν s (x) tal que T µ1... µr ν 1... ν s ( x) = Λ µ1 µ 1 Λ µr µ r Λ ν1 ν1 Λ νs ν s T µ1...µr ν 1...ν s (x), x M. Notamos que si T µ1µ2...µr ν 1ν 2...ν s 0 en un sistema inercial, T µ1... µr ν 1... ν s también es cero en cualquier otro sistema inercial. Ejemplos: 1. η µν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (0, 2) dado que η µ ν = Λ µ µ Λ ν ν η µν = [ (Λ 1 ) T ηλ = η µ ν. 1] µ ν 2. η µν := (η 1 ) µν = η µν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (2, 0) puesto que Λ µ µλ ν νη µν = [ ΛηΛ T ] µ ν = η µ ν. 3. Los tensores η µν y η µν se pueden usar para subir y bajar los índices de tensores. Por ejemplo, sea X µ (x) un campo vectorial de Lorentz, entonces es un covector de Lorentz: V µ (x) := η µν X ν (x) V µ = η µ ν X ν = η µ ν Λ ν νx ν = [ηλ] µν X ν = [(Λ 1 ) T η] µν X ν = Λ µ α η αν X ν = Λ µ α V α. De manera similar, X µ (x) := η µν V ν (x) es un campo vectorial de Lorentz si V µ (x) es un covector de Lorentz. Ejercicio 1. (a) Muestre que η µ ν = η ν µ = δ µ ν, y que el tensor del tipo (2, 0) que se obtiene al subir los índices de η µν es consistente con la definición de η µν. (b) Muestre que el operador µ := x µ (1.18) se transforma como un covector de Lorentz bajo tansformaciones de Poincaré.

16 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN (c) Defina el siguiente tensor totalmente antisimétrico: +1, si αβγδ es una permutación par de 0123, ε αβγδ := 1, si αβγδ es una permutación impar de 0123, 0, de otra manera. (1.19) Muestre 3 que ε αβγδ se transforma como un tensor del tipo (0, 4) si nos restringimos a las transformaciones de Poincaré con det(λ) = 1. (d) Sean S µ1...µr ν 1...ν s y T α1...αp β 1...β q tensores de Lorentz del tipo (r, s) y (p, q), respectivamente. Muestre que (S T ) µ1...µrα1...αp ν 1...ν sβ 1...β q (x) := S µ1...µr ν 1...ν s (x) T α1...αp β 1...β q (x) define un tensor de Lorentz del tipo (r + p, s + q) Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante Consideramos primero las ecuaciones de Maxwell homogéneas, B = 0, E + 1 c t B = 0. Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un potencial escalar Φ y un potencial vectorial A tales que B = A, (1.20) E = Φ 1 A. (1.21) c t Los potenciales (Φ, A) no son únicos; la transformación de norma Φ Φ 1 c χ, A A + χ, (1.22) t donde χ es una función diferenciable arbitraria, dejan E y B invariantes. Como vemos de (1.22) es conveniente definir el cuadrivector A = (A µ ) ( Φ, A). (1.23) Con el operador ( µ ) = (c 1 t, ) definido en (1.18) la transformación (1.22) se puede escribir como A µ A µ + µ χ. (1.24) 3 Para este ejercicio es conveniente mostrar la identidad para una matriz 4 4 A = (A µ ν) arbitraria. ε αβγδ A α µa β νa γ τ A δ ρ = det(a)ε µντρ

17 1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL 17 Por otro lado, las componentes de (1.20,1.21) son B 1 = 2 A 3 3 A 2, y permutaciones cíclicas de 123, (1.25) E j = j A 0 0 A j, j = 1, 2, 3. (1.26) Entonces, si definimos obtenemos (F µν ) = ( F νµ ) = F µν := µ A ν ν A µ, (1.27) 0 E 1 E 2 E 3 E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0. (1.28) Puesto que el tensor ε αβγδ definido en (1.19) es totalmente antisimétrico, tenemos que ε αβγδ β F γδ = 2ε αβγδ β γ A δ = 0. Estas son las ecuaciones homogéneas de Maxwell. Ahora consideramos las ecuaciones inhomogéneas, E = ρ c, Definiendo el cuadrivector B 1 c no es difícil ver que se pueden escribir de la forma t E = 1 c j c. (j µ ) := (cρ c, j c ) (1.29) β F αβ = 1 c jα. (1.30) Resumiendo, si consideramos E y B como componentes del tensor antisimétrico 0 E 1 E 2 E 3 (F µν ) = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1, (1.31) E 3 B 2 B 1 0 y si introducimos el cuadrivector (j µ ) := (cρ c, j c ), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como ε αβγδ β F γδ = 0, (1.32) β F αβ = 1 c jα. (1.33) Pidiendo que F µν se transforme como un tensor de Lorentz del tipo (2, 0) y que j µ se transforme como un vector de Lorentz, (1.32,1.33) se vuelven ecuaciones entre tensores de Lorentz y por lo tanto tienen la misma forma en cualquier sistema inercial.

18 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Observaciones 1. La ecuación de continuidad t ρ c + j c = 0 es una consecuencia inmediata de (1.33): µ j µ = c µ ν F µν = Aplicando la regla de transformación F µν = Λ µ αλ ν βf αβ a un boost con velocidad v = cβ en la dirección x, x 0 = γ(x 0 + βx 1 ), x 1 = γ(βx 0 + x 1 ), γ = (1 β 2 ) 1/2, y x 2 = x 2, x 3 = x 3, encontramos que Ē 1 = E 1, Ē 2 = γ(e 2 + βb 3 ), Ē 3 = γ(e 3 βb 2 ),(1.34) B 1 = B 1, B2 = γ(b 2 βe 3 ), B3 = γ(b 3 + βe 2 ).(1.35) Entonces un boost mezcla el campo eléctrico con el campo magnético. Por ejemplo, si q es una carga eléctrica en reposo con respecto al sistema inercial (t, x) un observador que se mueve a una velocidad constante no cero con respecto al sistema inercial (t, x) detecta un campo magnético ( B 0) aún si B = 0. Ejercicio 2. (a) Analice de que manera se transforman los campos E y B bajo rotaciones y bajo la inversión de la paridad. (b) Cómo se transforman E, B, ρ c y j c bajo la inversión del sentido del tiempo? Las ecuaciones de movimiento para una partícula relativista Logramos formular las ecuaciones de Maxwell de tal manera que son invariantes bajo transformaciones de Poincaré. Ahora generalizamos la ecuación de movimiento de Newton, m i ẍ = F (t, x), (1.36) al caso relativista. Para esto, pensamos primero cómo definir la velocidad en relatividad. Una posibilidad es dx µ /dt, pero el problema con esta definición es que no resulta en un vector de Lorentz puesto que t no es un escalar de Lorentz. Sea x µ (λ) la linea de mundo de una partícula con masa inercial m i, donde λ es un parámetro de curva. Suponemos que la partícula se mueve con una velocidad menor que la de la luz. Geometricamente, esto significa que para todo

19 1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL 19 λ el cuadrivector dx µ /dλ es de tipo tiempo. En vez de t introducimos el tiempo propio τ definido por dτ = 1 c ds, ds dλ := dx η µ dx ν µν dλ dλ. (1.37) Por definición, τ es un escalar de Lorentz que no depende de la parametrización λ de la curva. Entonces u µ := dxµ (1.38) dτ es un vector de Lorentz independiente de λ, llamado cuadrivelocidad. Las definiciones (1.37,1.38) son independientes del parámetro λ. Si usamos λ = t para parametrizar la trayectoria de la partícula encontramos que dτ = 1 v 2 c 2 dt dt = γ y por lo tanto, (u µ ) = γ(c, v), donde v := dx/dt. En el límite Newtoniano v /c 1 vemos que dτ dt y u j v j, j = 1, 2, 3. Con estas definiciones es obvio cómo generalizar (1.36) al caso relativista: Reemplazamos v = dx/dt por la cuadrivelocidad u µ = dx µ /dτ, el momento lineal p = m i v por el cuadrimomento p µ = m i u µ y (1.36) por dp µ dτ = F µ, (1.39) donde pedimos que F µ se transforme como un vector de Lorentz bajo transformaciones de Poincaré. La energía cinética relativista está definida por E = cp 0. Puesto que ( ) 2 E p 2 = p µ p µ = m 2 i γ 2 (c 2 v 2 ) = m 2 i c 2, c encontramos que E = c m 2 i c2 + p 2 = γm i c 2. La pregunta que queda es cómo elegir el cuadrivector F µ de fuerza. Para dar un ejemplo, consideremos una partícula con masa inercial m i y carga q que se mueve bajo la influencia de un campo electromagnético F µν. En un sistema inercial tal que v(0) = dx/dt t=0 = 0 (reposo momentáneo) la partícula no siente el campo magnético al tiempo t = 0, y m i d 2 x dt 2 Esta ecuación es equivalente a = qe(0, x(0)). t=0 dp µ dτ = q c F µν u ν (1.40)

20 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN al tiempo t = 0. No obstante, (1.40), siendo una ecuación para vectores de Lorentz, vale en cualquier sistema inercial y por esta razón, F µ = qc 1 F µν u ν. Si v 0, obtenemos d dt γm ic 2 = q v E, (1.41) d dt γm iv = q (E + v ) c B. (1.42) La primera ecuación expresa la conservación de la energía. El lado derecho de la segunda ecuación es la fuerza de Lorentz. En los capítulos que siguen veremos cómo definir la fuerza relativista F µ para una partícula que se mueve bajo la influencia de un potencial gravitacional La estructura causal del espacio-tiempo En la teoría Newtoniana, el tiempo es absoluto. Dado un evento e = (t, x), cualquier otro evento ocurre o en el futuro de e, o en el pasado de e o bien al mismo tiempo que el evento e. Existen las superficies distinguidas Σ t = {(t, x) : x R 3 }, t R que caracterizan el conjunto de eventos simultáneos. Los sistemas inerciales están relacionados a través de las transformaciones de Galilei. En la relatividad especial, la simultaneidad es una noción relativa. Las estructuras invariantes son los conos de luz C e := {(s, y) R 4 : c 2 (s t) 2 + y x 2 = 0}, en cada evento e = (ct, x). Dado dos eventos e 1 = (ct 1, x 1 ) y e 2 = (ct 2, x 2 ), los observadores inerciales solamente pueden ponerse de acuerdo si e 1 y e 2 están relacionados de manera causal: (e 1 e 2, e 1 e 2 ) 0, estrictamente causal: (e 1 e 2, e 1 e 2 ) < 0, acausal: (e 1 e 2, e 1 e 2 ) > 0. Los sistemas inerciales están relacionados a través de las transformaciones de Poincaré. La estructura causal del espacio-tiempo no es fija en la relatividad general como en la teoría Newtoniana o en la relatividad especial, sino que está influenciada por la presencia de materia y de radiación. Como en la relatividad especial, la estructura causal se define a través de un cono de luz g µν X µ X ν = 0, pero en la relatividad general el tensor métrico g µν (x) puede variar de un punto del espacio-tiempo a otro. Además, la topología del espacio-tiempo no tiene por

21 1.5. APÉNDICE: TRANSFORMACIONES AFINES 21 qué ser R 4, puede ser más complicada. Como vamos a ver, el tensor métrico g µν no solamente describe la estructura causal del espacio-tiempo sino también el campo gravitacional. Las ecuaciones de Einstein relacionan la (curvatura de) la métrica con el tensor de energía-impulso. Una propiedad importante de la relatividad general es que no existen sistemas de referencia preferidos. Las ecuaciones de campo valen en todos los sistemas de referencia Apéndice: Transformaciones afines En este apéndice demostramos el teorema siguiente: Teorema 1 Sean n 2 y L : R n R n una biyección de R n que mapea rectas sobre rectas. Entonces L es una transformación afín, es decir, existen una transformación lineal A : R n R n invertible y un vector b R n tales que para todo x R n. L(x) = Ax + b Observación: El teorema no vale para n = 1 porque en este caso todas las biyecciones de R a R mapean rectas sobre rectas. Demostración del Teorema 1 4. Definimos la aplicación A : R n R n, x A(x) := L(x) L(0) que satisface A(0) = 0. El objetivo consiste en demostrar que A es lineal. Paso 1: Notamos primero que si R y R son dos rectas distintas paralelas, entonces L(R) y L(R ) también son rectas distintas paralelas. De otra manera, L(R) y L(R ) tendrían un punto en común lo que violaría la inyectividad de L. Paso 2: Sean x, y R n dos vectores linealmente independientes, y considere el paralelogramo P con vértices 0, x, x + y, y. Dado que A mapea rectas paralelas sobre rectas paralelas, la imagen de P también es un paralelogramo con vértices 0, A(x), A(x + y), A(y). Entonces, encontramos que A(x + y) = A(x) + A(y), para x, y R n linealmente independientes. Paso 3: Sea x R n \ {0} y considere las rectas R := {k x : k R}, R := A(R) = {k A(x) : k R}. Entonces, la función A : R R y la función inducida σ = σ R : R R, k k son biyectivas. Ahora mostramos que σ es un automorfismo, es decir, satisface σ(λ + µ) = σ(λ) + σ(µ), σ(λ µ) = σ(λ) σ(µ) 4 Adaptado de M. Berger, Geometry, Springer-Verlag, Volume 1 y de un comunicado privado de D. Giulini

22 22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN para todos λ, µ R. Esto se puede ver de manera similar a la demostración en el paso 2 tomando un punto y R n \ R y usando el resultado del paso 1. Paso 4: La función σ : R R no depende de la recta R: Sea λ R \ {0} y sean x, y R n linealmente independientes. Considere la recta R que pasa por los puntos 0, x y la recta R 1 que pasa por los puntos 0, y. Entonces, la recta que pasa a través de x y de y es paralela a la recta que pasa a través de λx y λy. Dado el resultado del paso 1, la recta que pasa a través de los puntos A(x) y A(y) es paralela a la recta que pasa a través de los puntos A(λx) = σ R (λ) A(x) y A(λy) = σ R1 (λ) A(y). Entonces, A(λy) = σ R (λ) A(y) y σ R1 (λ) = σ R (λ). Paso 5: De los pasos anteriores concluimos que A : R n R n es una transformación semi-lineal. Esto significa que existe un automorfismo σ : R R tal que para todos x, y R n, λ, µ R. A(λx + µy) = σ(λ) A(x) + σ(µ) A(y) (1.43) Paso 6: Sea σ : R R un automorfismo de R. Entonces σ debe ser la identidad. Para demostrar esta afirmación notamos primero que q R \ {0} implica que σ(q) 0. De otra manera, σ(p) = σ(q)σ(p/q) = 0 para todo p R y σ sería identicamente cero. Luego, notamos que = 0 y 1 1 = 1 implican que σ(0) = 0 y σ(1) = 1. Sea n = N. Entonces σ(n) = σ(1) + σ(1) σ(1) = = n. Luego, p + ( p) = 0 implica que σ( p) = σ(p) para todos p R. En particular, σ( n) = σ(n) = n para n N. Ahora, p 1/p = 1 implica que σ(1/p) = 1/σ(p) para p 0. Entonces si m, n Z, n 0, tenemos que σ(m/n) = σ(m 1/n) = σ(m)/σ(n) = m/n. Concluimos que σ : Q Q es la identidad. Finalmente, sea p = q 2 > 0. Entonces σ(p) = σ(q) 2 > 0. Esto muestra que p 1 < p 2 implica que σ(p 1 ) < σ(p 2 ). Ahora sea p R arbitrario, y sean a k y b k sucesiones en Q que convergen a p por debajo y por arriba de p, respectivamente. Puesto que a k = σ(a k ) < σ(p) < σ(b k ) = b k, k N, obtenemos que σ(p) = p tomando el límite k a ambos lados. Esto concluye la demostración del teorema.

23 Capítulo 2 Teorías escalares de la gravedad En este capítulo nos preguntamos si es posible reemplazar las ecuaciones de movimiento de Newton, m i ẍ = F (t, x) = m g φ(t, x), (2.1) φ(t, x) = 4πGρ(t, x), (2.2) por ecuaciones que son covariantes (es decir, su forma es invariante) bajo transformaciones de Poincaré. En la sección ya encontramos una generalización covariante de la primera parte de la ecuación (2.1), m i d 2 x µ dτ 2 = F µ, donde τ es el tiempo propio de la partícula y F µ es un vector de Lorentz. Para obtener una generalización covariante de (2.2) reemplazamos por 1 2 c 2 t 2 + = ηµν µ ν (un escalar de Lorentz), ρ por T µ µ = η µν T µν (un escalar de Lorentz), donde T µν es el tensor de energía-impulso de la materia. Entonces, obtenemos Φ = 4πGT µ µ. (2.3) Si existe un sistema inercial (t, x) tal que Φ = 0, T 00 = ρ y T x x +T y y +T z z = 0, entonces la ecuación (2.3) se reduce a la ecuación (2.2). Cómo definir el cuadrivector de fuerzas, F µ? Para esto notamos primero que las trayectorias de partículas libres se pueden obtener a través del siguiente principio variacional: Sean e 1 = (ct 1, x 1 ) y e 2 = (ct 2, x 2 ) dos eventos fijos tales que (e 1 e 2, e 1 e 2 ) < 0, y sea x µ : [0, 1] M una curva causal que 23

24 24 CAPÍTULO 2. TEORÍAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD empieza en x µ (0) = e 1 y termina en x µ (1) = e 2. Entonces la trayectoria física está determinada por los puntos estacionarios del funcional e 2 S[x µ (λ)] = ds = e ηµν ẋ µ ẋ ν dλ, ẋ µ dxµ dλ. (2.4) Notamos que para una curva x µ (λ) dada, la cantidad S[x µ (λ)]/c da el tiempo propio de e 1 a e 2. Entonces la trayectoria física es aquella que maximiza 1 el tiempo propio entre dos eventos e 1 y e 2 que son causalmente relacionados. Sea x µ (λ) una curva que maximiza S. Podemos suponer que para esta curva λ = τ/t es proporcional al tiempo propio de tal manera que η µν ẋ µ ẋ ν = T c. Ahora consideramos una variación δx µ (λ) de esta curva. Dado que e 1 y e 2 son fijos, tenemos que δx µ (0) = δx µ (1) = 0. La variación de S da 0 = δs[x µ (λ)] = 1 ct 1 = 1 ct η µνẋ µ δx ν 1 λ=0 + 1 ct = 1 0 η µν ẍ µ δx ν dλ, 0 η µν ẋ µ δẋ ν dλ 1 0 η µν ẍ µ δx ν dλ donde hemos usado integración por parte en el segundo paso. Esto vale para todas las variaciones δx µ (λ) con δx µ (0) = δx µ (1) = 0. Entonces, encontramos que d 2 x µ = 0, (2.5) dτ 2 la ecuación para una partícula libre en relatividad especial. Ahora postulamos que una partícula que se mueve bajo la influencia del potencial gravitacional Φ obedece el principio variacional definido por (2.4) donde reemplazamos η µν por el tensor métrico 2 g µν = Entonces, buscamos curvas estacionarias del funcional S[x µ (λ)] = Porqué se trata de un máximo y no de un mínimo? 2 Notamos que Φ tiene las unidades m 2 /s 2. ( 1 + Φ c 2 ) 2 η µν. (2.6) (1 + Φc 2 ) ηµν ẋ µ ẋ ν dλ, ẋ µ dxµ dλ. (2.7)

25 25 Con respecto a un parámetro λ que es proporcional al tiempo propio τ, donde ahora dτ dλ = 1 gµν ẋ c µ ẋ ν = 1 ( 1 + Φ ) ηµν c c 2 ẋ µ ẋ ν, la variación de S da la ecuación de movimiento [ ( d 1 + Φ ) ] 2 d dτ c 2 dτ xµ = ηµν ν Φ 1 + Φ. (2.8) c 2 En el límite Newtoniano donde v /c 1 y Φ c 2 esta ecuación se reduce a d 2 x/dt 2 = Φ, la ecuación de Newton (2.1) con m i = m g. Para resumir, las ecuaciones (2.8,2.3) ofrecen una generalización relativista de las ecuaciones de movimiento de Newton (2.1,2.2). Teorías similares fueron contempladas por el físico teórico finlandés Gunnar Nordström en 1912 y Sin embargo, la teoría que acabamos de describir debe ser descartada por las siguientes razones experimentales: 1. Puesto que las geodésicas nulas son invariantes bajo transformaciones conformes de la métrica, g µν Ω 2 g µν (como vamos a ver en el ejercicio 16, los rayos de luz siguen rectas en la teoría de Nordström, y la teoría no predice la desviación de la luz. 2. La precesión del perihelio de mercurio no concuerda con el experimento (otro ejercicio en el futuro). Para un objeto que gira alrededor de una estrella de masa M con momento angular L la teoría de Nordström predice un ángulo de precesión ( ) GM 2 2 φ = π = 1 cl 6 φ Einstein por órbita. Para la órbita de mercurio alrededor del sol, se encuentra que φ 100y 43 φ Einstein,100y, después de restar los efectos inducidos por los otros planetas. 3. Para campos materiales que satisfacen T µ µ = 0 (como el electromagnetismo, por ejemplo), la única solución estacionaria y asintóticamente plana de (2.3) es la solución trivial, Φ 0. En este caso, las trayectorias de partículas son rectas. Ejercicio 3. (a) Muestre que la ecuación (2.3) se puede obtener al variar la acción S[Φ] = L d 4 x, L = 1 2 µ Φ µ Φ + gφt, donde g = 4πG y T = T µ µ es la traza del tensor de energía-impulso de la materia.

26 26 CAPÍTULO 2. TEORÍAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD (b) Muestre que el tensor de energía-impulso del campo gravitacional Φ está dado por τ µν = L ( µ Φ) ν Φ + η µν L = µ Φ ν Φ 1 2 ηµν ( α Φ α Φ 2gΦT ). (c) Muestre que para una configuración estática, la energía W = τ 00 d 3 x está dada por W = g2 T (x)t (y) d 3 x d 3 y. 8π x y En particular, la fuerza es atractiva si T es positivo. (d) Considere la posibilidad de describir la gravitación a través de un campo vectorial A µ, como en la teoría de Maxwell: S[A] = L d 4 x, L = 1 4 F µν F µν + ga µ J µ, donde g es una constante de acoplamiento, F µν := µ A ν ν A µ y J µ describe las corrientes materiales. Muestre que para configuraciones estáticas con distribución de masa ρ = J 0 positiva, la fuerza resultante es repulsiva.

27 Capítulo 3 Geometría diferencial El espacio-tiempo es un medio cuadridimensional en el sentido que se necesitan cuatro números reales para caracterizar un evento. Entonces se ve como R 4 localmente. A pesar de esto, la topología del espacio-tiempo puede ser más complicada que R 4. Una descripción matemática adecuada del espacio-tiempo está dada por la definición de una variedad diferenciable. Esta definición que se discute en la sección 3.1 captura la idea de que el espacio-tiempo se ve como R 4 localmente. Para describir cantidades físicas como la velocidad de partículas, el campo electromagnético, la estructura causal del espacio-tiempo etc. necesitamos introducir campos tensoriales sobre la variedad, lo que se discute en la sección 3.2. A continuación, analizaremos en la sección 3.3 como transportar vectores de manera paralela a lo largo de una curva. Esto nos llevará a la noción de conexiones que también nos permite definir una derivada covariante para campos tensoriales. Para medir la distancia entre dos puntos de una variedad se introduce una métrica. Como vamos a ver en la sección 3.4, dado una variedad con una métrica existe una conexión preferida llamada la conexión de Levi-Civita o conexión de Riemann. En relatividad general, es esta la conexión que se usa para definir el transporte paralelo y la derivada covariante de campos tensoriales. A parte de definir el transporte paralelo de vectores y tensores la conexión también se puede usar para definir la curvatura de una variedad. Esto se explica en la sección 3.6. Las derivadas de Lie toman un papel importante para el estudio de simetrías de variedades y se estudiarán en la sección 3.5. Puesto que no hay ninguna ventaja en restringuirnos al caso de variedades cuadridimensionales dejaremos la dimensión arbitraria Variedades diferenciables Definición 2 Sea n N. Una variedad (C ) diferenciable de dimensión n es un conjunto M con una familia de mapeos biyectivos φ α : U α M V α 27

28 28 CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA DIFERENCIAL R n de U α M sobre conjuntos abiertos V α en R n tal que (i) α U α = M, (ii) para todos α, β tales que U αβ := U α U β, los conjuntos φ α (U αβ ) y φ β (U αβ ) son abiertos en R n y los mapeos son C diferenciables. φ αβ := φ β φ 1 α : φ α (U αβ ) φ β (U αβ ) (iii) La familia {(U α, φ α )} es máxima con respecto a las condiciones (i) y (ii), es decir, si {(V α, ψ α )} es otra familia que satisface (i) y (ii), entonces {(V α, ψ α )} {(U α, φ α )}. Cada par (U α, φ α ) se llama una carta local o un sistema local de coordenadas. Una familia de cartas locales {(U α, φ α )} que satisface los puntos (i) y (ii) se llama un atlas diferenciable de M. Un atlas diferenciable de M que es máximo en el sentido del punto (iii) se llama una estructura diferenciable sobre M. Observaciones 1. La condición (iii) en la definición de la variedad asegura que no se puede obtener una nueva variedad al añadir o eliminar cartas locales. Dado un atlas diferenciable {(U α, φ α )} es posible completarlo a un atlas diferenciable máximo tomando la unión de {(U α, φ α )} con el conjunto de todas las cartas locales (U, φ) que satisfacen la condición (ii) con cualquiera de las cartas (U α, φ α ). 2. Obviamente, tenemos que φ αα = id, φ βγ φ αβ = φ αγ, de tal manera que φ 1 αβ C diferenciable. = φ βα : φ αβ : φ β (U αβ ) φ α (U αβ ) también es 3. Dada una variedad diferenciable M existe una topología natural sobre M: Definimos que U M es abierto si y sólo si φ α (U U α ) es abierto en R n para todo α. No es difícil verificar que esto define una topología sobre M con la propiedad que todos los conjuntos U α son abiertos y tal que los mapeos φ α : U α V α son continuos. 4. Por razones técnicas vamos a requerir que M satisfaga la condición de Hausdorff y que M posee una base contable. La primera condición significa que para dos puntos distintos de M existen vecindades abiertas de estos dos puntos que no se intersectan. La segunda condición significa que M puede ser cubierta por un número contable de cartas locales. Estas

29 3.1. VARIEDADES DIFERENCIABLES 29 condiciones se necesitan para construir una partición de la unidad lo que permite de globalizar varios resultados locales (ver la referencia [5]). Vamos a ver una aplicación de la partición de la unidad a la integración de funciones sobre variedades en la sección Ejemplos de variedades diferenciables 1. M = R n. Un atlas diferenciable se puede formar al tomar la única carta local (R n, id). 2. Cualquier subconjunto abierto U de R n también es una variedad diferenciable (con el atlas diferenciable máximo obtenido al completar la carta local (U, id)). 3. Sea M = S 2 = {x R 3 : x x x 2 3 = 1} la esfera con radio uno. S 2 es una variedad diferenciable de dimensión 2 que no se puede cubrir con una sola carta local. Para construir un atlas introducimos las cartas locales que siguen: U i+ := {x S 2 : x i > 0}, U i := {x S 2 : x i < 0}, i = 1, 2, 3, φ 1± (x) := (x 2, x 3 ), φ 2± (x) := (x 1, x 3 ), φ 3± (x) := (x 1, x 2 ), para x S 2. No es difícil verificar que las funciones de transición φ i±j± = φ j± φ 1 i± son C. Por ejemplo, φ 1 φ 1 2+ (x 1, x 3 ) = ( 1 x 2 1 x2 3, x 3), x x 3 < 1, x 1 < 0. Un atlas más económico de S 2 está dado por la proyección estereográfica: Sean N := (0, 0, 1) y S := (0, 0, 1) el polo norte y el polo sur, y defina ( ) U 1 := S 2 x1 x 2 \ {N}, φ 1 (x) :=,, x U 1, 1 x 3 1 x 3 ( ) U 2 := S 2 x1 x 2 \ {S}, φ 2 (x) :=,, x U x x 3 Como se puede verificar, la función de transición φ 12 = φ 2 φ 1 1 : R 2 \ {(0, 0)} R 2 \ {(0, 0)} está dada por φ 12 (X, Y ) = y es indefinidamente diferenciable. 4. Sean m > 0 y 1 X 2 (X, Y ), (X, Y ) (0, 0), + Y 2 H + m := {(t, x) R 4 : t 2 x 2 1 x 2 2 x 2 3 = m 2, t > 0}. En los ejercicios se verifica que H m + es una variedad diferenciable de dimensión 3. Qué pasa para m = 0? Es H 0 + una varidad diferenciable?

30 30 CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA DIFERENCIAL 5. Considere el conjunto GL(2, R) := {A : R 2 R 2 : A es lineal e invertible}. (3.1) Con la multiplicación definida por la composición de transformaciones lineales, GL(2, R) es un grupo. Además, podemos identificar un elemento de GL(2, R) con una matriz real de la forma ( a b A = c d ), det(a) = ad bc 0. Con esto, obtenemos una carta global Φ : GL(2, R) V R 4, A (a, b, c, d), donde V = {(a, b, c, d) R 4 : ad bc 0}. (3.2) Puesto que V R 4 es abierto, concluimos que GL(2, R) es una variedad diferenciable de dimensión 4. Es un ejemplo particular de un grupo de Lie. Observación: Los ejemplos 3 y 4 son casos particulares de superficies de dimensión n 1 en R n. Para tratar estos casos tenemos el siguiente resultado: Teorema 2 Sean n 2 y F : R n R una función C -diferenciable. Considere el conjunto S := {x R n : F (x) = 0}. Entonces S define una variedad C -diferenciable de dimensión n 1 si F (x) 0 para todo x S. Demostración. Con el teorema de la función implícita. Ejemplo: Para el caso de la esfera podemos definir F : R 3 R, x x x x Entonces F es C -diferenciable, {x R n : F (x) = 0} = S 2 y F (x) = 2(x 1, x 2, x 3 ) 0 para todo x = (x 1, x 2, x 3 ) S. Definición 3 Sean M y N variedades diferenciables de dimensión m y n, respectivamente. Un mapeo continuo F : M N se llama diferenciable en un punto p M si dado una carta local (U, φ) con p U y una carta local (V, ψ) con f(p) V, el mapeo ψ F φ 1 : φ(f 1 (V ) U) R m R n (3.3) es diferenciable en el punto φ(p). F se llama C diferenciable si dado una carta local (U, φ) de M y una carta local (V, ψ) de N tal que F (U) V el mapeo (3.3) es indefinidamente diferenciable.

31 3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 31 Observación: La condición (ii) en la definición de una variedad diferenciable implica que la definición de la diferenciabilidad de F : M N en un punto p M es independiente de las cartas locales (U, φ) y (V, ψ). Ejemplo: Sea M una variedad diferenciable de dimensión n, y sea (U, φ) una carta local. Entonces las n funciones x i : U R, p φ i (p), i = 1, 2,...n, son C diferenciables. Definición 4 Sea F : M N una función C diferenciable y biyectiva con la propiedad que F 1 : N M también es C diferenciable. Entonces F se llama un difeomorfismo. Ejemplo: Sean M = GL(2, R) la variedad definida en ((3.1) y N ) = V el conjunto a b definido en (3.2). Entonces F : GL(2, R) V, A = (a, b, c, d) es c d un difeomorfismo Campos vectoriales y tensoriales Vectores tangentes Definición 5 Sea M una variedad diferenciable. Sean p M y ε > 0. Una función C diferenciable γ : ( ε, ε) M, γ(0) = p se llama una curva (a través de p). Cómo se puede definir el vector tangente de γ en el punto p? Para responder esta pregunta supongamos primero que M = R n. Si γ(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), t ( ε, ε) es una curva, entonces podemos definir el vector tangente a γ en el punto p por el vector X := γ(0) = (ẋ 1 (0), ẋ 2 (0),..., ẋ n (0)) R n. Ahora sea f : U R una función diferenciable definida sobre una vecindad U de p. La derivada direccional de f en el punto p con respecto al vector X está definida por X[f] := d dt t=0 f(γ(t)) = f ( x i (p)xi = X i ) x i f(p). Existe una correspondencia uno a uno entre la derivada direccional (visto como un operador diferencial actuando sobre una función diferenciable y evaluado en un punto p) y los vectores X en el punto p. Vamos a usar esta correspondencia para definir vectores sobre variedades diferenciables.

32 32 CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA DIFERENCIAL Definición 6 Sea M una variedad diferenciable y γ una curva que pasa a través de un punto p M. Sea D p el conjunto de funciones f : M R que son C diferenciables en una vecindad del punto p. El vector tangente a la curva γ en el punto p está definido como la función γ(0) : D p R dada por γ(0)[f] = d dt f(γ(t)) t=0, f D p. (3.4) Un vector tangente en el punto p es un vector tangente a alguna curva en el punto p. Para lo que sigue, denotamos el conjunto de todos los vectores tangentes en p M por T p M. T p M se llama el espacio tangente en el punto p. Un vector tangente X p := γ(0) T p M es una derivación en el punto p, es decir, una función D p R que satisface las siguientes condiciones: (i) X p [af +bg] = ax p [f]+bx p [g] para todos a, b R y f, g D p (linealidad), (ii) X p [f g] = f(p)x p [g]+g(p)x p [f] para todos f, g D p (regla de Leibnitz). Por otro lado, se puede mostrar (ver el apéndice 3.7) que cualquier derivación en el punto p se puede escribir como un vector tangente X p en p. Entonces otra definición equivalente de un vector tangente es una función D p R que satisface las dos propiedades (i) y (ii) arriba. En particular, T p M es un espacio vectorial. Para determinar la dimensión de T p M elegimos una carta local (U, φ) de M tal que p U y consideramos las curvas particulares a través de p definidas por γ i (t) := φ 1 (φ(p) + te i ), t < ε, i = 1, 2,...n, donde e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..,0),..., e n = (0, 0, 0,..., 1). Definimos los vectores tangentes correspondientes x i f := γ i (0)[f] = d p dt f φ 1 (φ(p) + te i ) f φ 1 = t=0 x i (φ(p)), (3.5) para todo f D p, donde notamos que f φ 1 : φ(u) R n R es una función de un subconjunto abierto de R n a R, y que f φ 1 x (φ(p)) es su i ésima derivada i parcial en el punto φ(p). Lema 1 Los n vectores p x, p 1 x,..., p 2 x definidos en (3.5) forman una n base de T p M. En particular, dim T p M = dim M = n. x n p Demostración. Primero vamos a demostrar que los vectores p x,..., 1 son linealmente independientes. Para esto, consideramos las funciones C diferenciables particulares x j : U R, q φ j (q), j = 1, 2,...n. Usando (3.5) encontramos que x i x j = δ i j, i, j = 1, 2,...n, (3.6) p

33 3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 33 lo que implica la independencia lineal buscada. Por otro lado, sea X p T p M un vector tangente en p y γ : ( ε, ε) M una curva a través de p tal que γ(0) = X p. Denotando con (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) = φ(γ(t)), t < ε, la proyección de la curva sobre la carta local (U, φ), y usando (3.5) encontramos que X p [f] = d dt f φ 1 φ γ(t) t=0 = d dt f φ 1 (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) t=0 = ẋ i (0) x i f, p para todo f D p, lo que demuestra que los vectores T p M. x 1 p,..., x n p generan Resumiendo, un vector tangente X p T p M se puede expander de la forma X p = Xp i x i (3.7) p con respecto a una carta local (U, φ) tal que p U, donde los vectores p x, i i = 1, 2,..., n, están definidos en (3.5). Los n números reales Xp, 1 Xp, 2..., Xp n se llaman las componentes del vector X p con respecto a las coordenadas locales (U, φ). Se pueden obtener usando la propiedad (3.6), X i p = X p [x i ], i = 1, 2,...n. (3.8) Ejemplo: Sea M = S 2 las 2-esfera, y sea N = (0, 0, 1) el polo norte. Considere la curva γ(t) := ( cos(t) sen(t), sen 2 (t), cos(t) ), 0 < t < 2π. Vamos a calcular las componentes del vector tangente γ(s), 0 < s < 2π, en el punto p = γ(s) con respecto a la carta local (U, φ) definida ( por la proyección estereográfica φ : U := S 2 \ N R 2, x (y 1, y 2 x ) := 1 x 1 x 3, 2 1 x 3 ). De acuerdo a (3.8) tenemos Xp 1 = X p [y 1 ] = d dt y1 (γ(t)) = d cos(t) sen(t) 1 t=s dt 1 cos(t) = cos(s) t=s 1 cos(s), Xp 2 = X p [y 2 ] = d dt y2 (γ(t)) = d sen 2 (t) t=s dt 1 cos(t) = sen(s), t=s y entonces ( ) 1 X p = cos(s) 1 cos(s) y 1 sen(s) p y 2. p