DISECCIÓN DE POLÍGONOS HORACIO ARANGO MARÍN

Transcripción

1 DISECCIÓN DE POLÍGONOS HORACIO ARANGO MARÍN SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DE ANTIOQUIA

2 DEFINICIÓN Dados dos polígonos convexos con área igual, una disección poligonal es una división de uno de ellos en un número finito de piezas poligonales, de tal manera que ellas formen exactamente, mediante rotaciones y traslaciones, el otro polígono. Por ejemplo, se puede dividir un triángulo equilátero en 4 partes y formar con ellas un cuadrado de área igual al triángulo.

3 También podemos construir las cuadraturas del pentágono del hexágono, del heptágono, del octógono, etc. Además se puede dividir un pentágono en piezas y con ellas formar un hexágono. Presentaremos algunas construcciones de esas divisiones. El Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwein garantiza la existencia de las disecciones de los polígonos.

4 Teorema de Bolyai-Gerwien Demostrado por William Wallace en 1807, por Paul Gerwein en 1833 y en 1835 Bolyai encontró otra prueba sin conocer las anteriores. Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, existe una división de uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Reordenamiento significa poder aplicar una traslación y una rotación a cada pieza poligonal.

5 Existen dos métodos de disección de polígonos: 1. La superposición de polígonos, con unos puntos de coincidencia y un ángulo de giro en uno de ellos. Se busca que las divisiones que se producen entre los polígonos, den el menor número de piezas. 2. A partir de construcciones usando la regla, el compás y Geogebra se encuentran también las divisiones de polígonos

6 1. CUADRATURA DEL TRIÁNGULO Una primera solución (1905) a este problema la logra Henry Ernest Dudeney ( ). Fue uno de los creadores de los acertijos y pasatiempos matemáticos a principios del siglo XX. Durante más de veinte años tuvo una sección de rompecabezas matemáticos, en la revista mensual The Strand Magazine. En español están editados Los acertijos de Canterbury, Diversiones matemáticas y Acertijos, desafíos y tableros mágicos.

7 1. CONSTRUCCIÓN Con regla y compás, como los antiguos griegos, Dudeney encontró la manera de dividir un triángulo equilátero en 4 piezas y luego formar con ellas, un cuadrado de igual área. 1. Dibujar el triángulo equilátero ABC. 2. Obtener los puntos medios D y E de AB y BC.

8 1. CONSTRUCCIÓN 3. Prolongar AD hasta F, para que DF= DB. 4. Hallar el punto medio de AD (será el punto G). Con centro en G dibujar el arco AF. 5. Prolongar BC hasta cortar el arco, obteniendo el punto H.

9 1. CONSTRUCCIÓN 6. Con centro en D dibujar un arco de radio DH. Llamar J al punto en que corte al lado AC. Trazar el segmento DJ 7. Sobre la base AC del triángulo marcar K, de forma que JK = BD. 8. Trazar las perpendiculares sobre DJ desde E y K, obteniendo los puntos L y M. Nota El lado del cuadrado es l = a 3 2 a es el lado del triángulo y

10 1. SOLUCIÓN El triángulo se divide en 3 cuadriláteros BDMK (azul), ELJA (amarillo) y CDLE (verde) y en el triángulo JMK (granate). Con ellos y aplicando 2 rotaciones de 180 grados con centro en E Y D y una traslación del triángulo JKM se forma un cuadrado

11 2. DEL TRIÁNGULO AL PENTÁGONO Disponemos 2 triángulos equiláteros y 2 pentágonos regulares de igual área, en la siguiente forma 1. Obtenemos los puntos medios P y O de los polígonos 2. Los superponemos, haciendo coincidir el punto O de los dos triángulos equiláteros con el punto P del de los pentágonos.

12 2. CONSTRUCCIÓN 3. El polígono de los pentágonos se rota 72º con centro en P y en sentido horario. En la superposición, el triángulo equilátero queda dividido en : Los triángulos FJK, LAI, FKB y los cuadriláteros CLGF y FGIJ.

13 2. SOLUCIÓN Coloreamos estas 5 regiones para ver la disección del triángulo ABC.

14 2. SOLUCIÓN Rotando y trasladando las piezas FGIJ y IHJ se obtiene el pentágono de área igual al triangulo equilátero. El lado l del pentágono en términos del lado a del triángulo es: l = a 3 ttt 33 5

15 3. DEL TRIÁNGULO AL HEXÁGONO CONSTRUCIÓN Partimos de un triángulo equilátero de lado a = 3 y un hexágono regular ( l = a igual. 3 tan 30 6 ), de área 1. Convertimos tanto el triángulo como el hexágono en rombos para usar el método de superposición como en el ejemplo anterior.

16 3. CONSTRUCIÓN 2. En el triángulo marcamos los puntos medios de dos lados contiguos y el punto medio del segmento que ellos determinan P y en el rombo que obtenemos a partir de hexágonos, se han señalan los puntos medios de los lados más cortos y el punto medio O entre estos dos.

17 3. CONSTRUCIÓN 3. La solución con menos piezas, la obtenemos al superponer los rombos y hacer coincidir el punto P y el punto O. 4.Luego duplicamos los rombos formados por los triángulos y por los hexágonos y este último, se gira 45 grados con centro en O y en sentido horario.

18 3. CONSTRUCIÓN El triángulo y el hexágono quedan divididos en 5 piezas que podemos ver en las siguientes imágenes coloreadas.

19 3. SOLUCIÓN Las 5 piezas forman el triángulo y el hexágono de área igual.

20 4. CUADRATURA DEL PENTÁGONO Se construye un cuadrado de área igual a la de un pentágono regular de lado l. Para ello: 1. Por el punto medio F trazamos una recta paralela al lado AE. Tomamos la longitud del segmento HE igual a GD. 2. Hallamos el punto medio O de HH y trazamos la circunferencia C 0 de centro en O y radio OO.

21 4. CONSTRUCCIÓN 3. Con centro en C y radio l trazamos la circunferencia que corta en J a C Se traza CJ (de longitud l) HJ y lo prolongamos hasta cortar el lado AB en K y el lado AE en I. Sobre el lado DC definimos un segmento de longitud EI igual a DN. N

22 4. CONSTRUCCIÓN 5. El pentágono se divide en 6 partes: el triángulo EGF (= LMA), el cuadrilátero HIAL (= FCGN), el triángulo HEI (= DGN), el cuadrilátero EIJC, el triángulo IKA y el cuadrilátero CJKB. N

23 4. SOLUCIÓN Coloreamos las 6 piezas. Trasladamos con el vector u las regiones azul, amarilla y granate y con el vector v se trasladan la fucsia y la cian y así formamos el cuadrado de igual área al pentágono u v

24 5. CUADRATURA DEL HEXÁGONO,CONSTRUCCIÓN Con un hexágono de lado a = 3 construir un cuadrado de área igual ( su lado l es l = 6 4 tan 30 a ) Para ello: 1. En el hexágono, con centro en B y radio l trazamos una circunferencia que corta el segmento FF en K y trazamos el segmento BK 2. Desde los puntos medios G y I de AF y CD trazamos rectas perpendiculares al segmento BK y hallamos los puntos H Y J.

25 5. SOLUCIÓN 3. Coloreamos los cuadriláteros FKGH, HGAB, JBCI, IDKJ y el triángulo DFE. 4. Desplazamos con el vector u las regiones amarilla y azul, la verde con el vector v y con w la región fucsia. Así, obtenemos la cuadratura del hexágono. v u w

26 6. CUADRATURA DEL OCTÁGONO,CONSTRUCCIÓN Con un octágono de lado a = 3 construimos un cuadrado de lado l de área igual al octágono. 1. En el centro del octágono trazamos un círculo de radio a. Desde los puntos medios T,S,R Y U trazamos las rectas tangentes al círculo y con ellas definimos el cuadrado OPQN.

27 6. SOLUCIÓN 2. Coloreamos las regiones RFESP, SDCTQ, TBAUH, y UHGRO. Con el vector u trasladamos la región verde, con el vector v la región amarilla y con el vector w la verde. La región roja no se traslada. En el centro se coloca el cuadrado fucsia. Así formamos el cuadrado de área igual al octágono.

28 7. DEL PENTÁGONO AL HEXÁGONO, CONSTRUCCIÓN Dados un pentágono y un hexágono regulares de igual área. 1. El pentágono lo dividimos en un trapecio y en un triángulo isósceles y este lo dividimos en 2 partes trazando un segmento desde el punto medio de la base y paralelo a uno de los lados del trapecio Reordenamos los 3 polígonos obtenidos formando un rombo.

29 7. CONSTRUCCIÓN 2. El Hexágono lo dividimos en un triángulo y un pentágono. 3. Las 3 divisiones del pentágono y las 2 del hexágono se colocan una tras otra formando 2 series geométricas como se indica

30 7. CONSTRUCCIÓN 4. Colocamos las series haciéndolas coincidir en el punto O (último vértice del hexágono) y el punto P 5. La serie de los hexágonos la hacemos girar 43º con centro en O (sentido horario ) Luego la desplazamos horizontalmente

31 7. CONSTRUCCIÓN Este ángulo hace coincidir el punto del vértice de hexágonos con un punto de la base mayor de la serie de los trapecios. 6. Para distinguir bien las partes en que se divide el pentágono, añadimos otra serie de hexágonos (verde)

32 7. SOLUCIÓN Coloreamos las 7 piezas que se obtienen de la intercesión de las series. Reorganizándolas dan lugar tanto a un pentágono regular y a un hexágono regular.

33 7. DEL PENTÁGONO AL HEXÁGONO, SOLUCIÓN

34 GRACIAS POR SU ATENCIÓN MEDELLIN, AGOSTO 2015