Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero
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- María del Rosario Mora Silva
- hace 6 años
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1 Se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos A y B : Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazando los segmentos AP y PB obtenemos el triángulo equilátero APB. Polígono regular de 4 lados: Cuadrado Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB. Esa circunferencia corta al eje Y en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazamos la recta paralela al eje X que pasa por P y la recta paralela al eje Y que pasa por B. El punto de corte de las mismas, digamos Q, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos AP, PQ y QB obtenemos nuestro cuadrado. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 1
2 Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular Trazamos la paralela al eje Y que pasa por B, digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1. Obtenemos el punto M como corte de C1 con la recta r. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio OM, C, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos ahora la circunferencia de centro A y radio AS, C3. Obtenemos el punto P al cortar con C1 y el punto Q como corte con la mediatriz del segmento AB. Para obtener el vértice que nos falta, R, simplemente construimos el punto simétrico a P respecto de la mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado. Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular Con radio AB trazamos circunferencias con centro A y B. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos O. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro O y FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO
3 radio OA. Obtenemos los puntos P y Q como cortes con las circunferencias anteriores y R como corte con el eje Y. Trazando la paralela al eje Y que pasa por B obtenemos el último vértice, S, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado. Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué: sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás) Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma n r p 1... p k Siendo r 0 y los p i primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma n 1 ). Es decir, que un polígono regular es construible si el número de lados del mismo es una potencia de, un primo de Fermat o producto de una cierta potencia de (pudiendo ser 0 =1) y varios primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos regulares que podemos construir con regla y compás. Así el triángulo ( 3 1), el cuadrado (4= ), 0 el pentágono ( 5 1) y 1 0 el hexágono ( 6 ( 1) ) son construibles con regla y compás, pero el heptágono regular ( 7 n 1, n ) no lo es. Continuando, el octógono regular (8= 3 ) sí es construible pero el eneágono regular ( 9 3 n 1, n ) no lo es. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 3
4 Este resultado nos asegura que existen infinitos polígonos regulares construíbles con regla y compás en este sentido. Por ejemplo, como el triángulo equilátero es construíble, entonces cualquier polígono con un número de lados igual a k.3 es construíble. Cuáles nos quedarían entonces esencialmente distintos? Pues los que tengan como número de lados un primo de Fermat o un producto de varios de ellos. Y estos no son infinitos, al menos a día de hoy, ya que solamente se conocen cinco primos de Fermat: F0 1 3 F1 1 5 F F F De hecho no se sabe si hay más. Se sabe de unos cuantos número de Fermat que son compuestos, y de algunos se conoce la factorización completa, pero seguimos sin saber si hay alguno más que sea primo aparte de estos cinco. Por ello, si eliminamos la potencia de del número de lados del polígono, nos queda que podemos construir con regla y compás los polígonos regulares cuyo número de lados es 3, 5, 17 (Heptadecágono), 57, 65537, 15=3 5, 51=3 17, 771=3 57, = , 85=5 17, 185=5 57, 37685= , 4369=17 57, = , = , 55=3 5 17, 3855=3 5 57, = , 13107= , = , = , 1845= , = , = , = , 65535= , = , = , = , = y = Ordenamos: 3, 5, 15, 17, 51, 85, 55, 57, 771, 185, 3855, 4369, 13107, 1845, 65535, 65537, , 37685, , , , , , , , , , , , y Es decir, tenemos 31 polígonos regulares construíbles con regla y compás cuya construcción aporta algo, cuya construcción es esencialmente distinta al resto. Dos curiosidades: Con k primos de Fermat tenemos k 1 polígonos regulares construíbles con regla y compás. Por eso hay 31 = 5-1 contruíbles, porque hay 5 primos de Fermat. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 4
5 FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 5
6 Problema 01 Construir un pentágono regular conocido el lado 1. El lado AB del pentágono regular. 1. Trazamos la perpendicular a r que pasa por B (s).. Trazamos la mediatriz m del segmento AB. 3. El punto de cruce de m con r será el punto O. 4. Trazar un arco (c) con centro en B y radio AB. 5. Que corta a s en M. 6. Trazar un arco con centro en O y radio OM. 7. Que corta a r en S. 8. Trazar un arco con centro en A y radio AS. 9. Que corta a c en C. 10. Y que corta a m en D. 11. Trazar un arco con centro en A y radio AB. 1. Trazar un arco con centro en D y radio AB. 13. El punto de corte de los dos arcos será E. 14. Unimos los puntos para conseguir el pentágono regular. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 6
7 Problema : Construir un pentágono regular conocida la altura. 1. La altura del pentágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (A). 3. Marque otro punto de la recta (C). 4. El segmento AC será la altura del pentágono. 5. Trazamos la perpendicular a r que pasa por A (s). 6. Trazar la circunferencia c con centro en A y radio AC. 7. Los puntos de corte de c con s serán B y D. 8. Trazamos la mediatriz m del segmento AB. 9. El punto de corte de m y s será M. 10. Trazar un arco con centro en M y radio MD. 11. El punto de corte con m será el punto E. 1. Trazar la recta t que une B y E. 13. Trazamos la paralela a t que pasa por C (v). 14. El punto de cruce entre v y s será F. 15. Trazar un arco con centro en A y radio AF. 16. El punto de corte con s será G. 17. Trazar un arco con centro en C y radio GF. 18. Trazar un arco con centro en G y radio GF. 19. El punto de corte será el punto H. 0. Trazar un arco con centro en C y radio GF. 1. Trazar un arco con centro en F y radio GF.. El punto de corte será el punto I. 3. Unimos los puntos para conseguir el pentágono. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 7
8 Problema 3 : Construir el hexágono regular conocido el lado 1. El lado del hexágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O). 3. Marque otro punto de la recta (A). 4. El segmento O-A será el lado del hexágono. 5. Trazar una circunferencia c con centro O y radio OA. 6. El punto de cruce de r con c será D. 7. Trazar un arco con centro en A y radio OA. 8. Los puntos de corte con c serán B y F. 9. Trazar un arco con centro en D y radio OA. 10. Los puntos de corte con c serán E y C. 11. Unimos los puntos para conseguir el hexágono.. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 8
9 Problema 4 Construir el hexágono regular conocida la distancia entre caras. 1. La distancia entre dos caras opuestas del hexágono a construir. 1. Dibuje una recta t.. Marque un punto de la recta (O). 3. Marque otro punto de la recta (O4). 4. El segmento O4-O será la distancia entre caras. 5. Trazamos la perpendicular a t que pase por O4 (r). 6. Trazamos la perpendicular a t que pase por O (s). 7. Dibuje una circunferencia cualquiera con centro en O (c). 8. El punto de corte de c con s será el punto D. 9. Trazar un arco con centro en D y radio O-D. 10. El punto de corte con c será el punto E. 11. Trazamos la recta u que une E y O. 1. El punto de corte de r con u será O5. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 9
10 13. Trazar un arco con centro en O y radio O4-O El punto de corte con s será el punto O Trazamos la mediatriz m1 del segmento O5-O. 16. El punto de corte de m1 con u será M. 17. r Trazamos la paralela a r que pasa por M (m). 18. Trazar un arco con centro en M y radio O4-O El punto de corte con m será el punto O6. 0. Trazar un arco con centro en M y radio O4-O5. 1. El punto de corte con m será el punto O3.. Unimos los puntos para conseguir el hexágono. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 10
11 Problema 5 Construir el octógono conocido el lado. 1. El lado del octógono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O1). 3. Marque otro punto de la recta (O). 4. El segmento O1-O será el lado del octógono. 5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O. 6. El punto medio del segmento será M. 7. Trazar un arco con centro en M y radio M-O1. 8. El punto de corte con m será S. 9. Trazar un arco con centro en S y radio S-O El punto de corte con m será O. 11. Traza r la circunferencia c con centro en O y radio O-O. 1. Expandimos la longitud O1-O por la circunferencia c. 13. Unimos los puntos para conseguir el octógono. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 11
12 Problema 6 Construir el octógono regular conocida la diagonal menor. 1. La diagonal menor del octógono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O8). 3. Marque otro punto de la recta (O). 4. El segmento O8-O será la diagonal del octógono. 5. Trazamos la mediatriz m del segmento O8-O. 6. El punto medio del segmento será M. 7. Trazar una circunferencia (c) con centro en M y radio M-O. 8. El punto de corte con m será el punto O. 9. Trazar una circunferencia c1 con centro en O y radio O-O. 10. Los puntos de corte de c1 con m serán O5 y O Trazamos la mediatriz s del segmento O1-O5. 1. Los puntos de corte de c1 con s serán O7 y O Trazar un arco con centro en O5 y radio O1-O. 14. Los puntos de corte con c1 con m serán O6 y O Unimos los puntos para conseguir el octógono. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 1
13 Problema 7 Construir el decágono regular conocido el lado. 1. El lado del decágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O1). 3. Marque otro punto de la recta (O). 4. El segmento O1-O será el lado del decágono. 5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O. 6. n Nos quedamos con M, el punto medio del segmento. 7. Trazamos la perpendicular a r que pasa por O (s). 8. Trazamos un arco de circunferencia con centro en O y radio O-M. 9. Y nos quedamos con el punto de corte con s (S). 10. Trazamos una circunferencia con centro en S y radio S-O. 11. Trazar la recta que une O1-S. 1. El punto de corte de la recta con la circunferencia será P. 13. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-P. 14. El punto de corte con m será el O. 15. Trazar la circunferencia c con centro O y radio O-O. 16. Expandimos la longitud O1-O por la circunferencia c. 17. Unimos los puntos para conseguir el decágono. Problema 8 Construir el decágono regular conocido el lado. Segundo método. 1. El lado del decágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O1). 3. Marque otro punto de la recta (O).. 4. El segmento O1-O será el lado del decágono. < li> Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O. 5. Nos quedamos con M, el punto medio del segmento. 6. Trazamos la perpendicular a r que pasa por O (s). 7. Trazar un arco con centro en O y radio O-O1. 8. Que corta a s en S. 9. Trazar un arco con centro en M y radio MS. 10. Que corta a r en C. 11. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-C. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 13
14 1. El punto de corte con m será el punto O. 13. Trazamos la circunferencia c con centro en O y radio O-O. 14. Expandimos la longitud O1-O por la circunferencia c. 15. Unimos los puntos para conseguir el decágono. Problema 9. Construir el dodecágono regular conocido el lado. 1. El lado del dodecágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O1). 3. Marque otro punto de la recta (O). 4. El segmento O1-O será el lado del decágono. 5. Trazamos la medi atriz m del segmento O1-O. 6. Nos quedamos con M, el punto medio del segmento. 7. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-O. 8. Trazar un arco con centro en O y radio O1-O. 9. Los dos arcos se cortan en S. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 14
15 10. Trazar otro arco con centro en S y radio S-O Que corta a m en O. 1. Trazar una circunferencia con centro en O y radio O-O. 13. Expandimos la longitud O1-O por la circunferencia c. 14. Unimos los puntos para con seguir el dodedecágono. Problema 10 Construir el hexadecágono regular conocido el lado. 1. El lado del hexadecágono a construir. 1. Dibuje una recta r.. Marque un punto de la recta (O1). 3. Marque otro punto de la recta (O). 4. El segmento O1-O será el lado del hexadecágono. 5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O. 6. El punto medio del segmento será M. 7. Trazar un arco con centro en M y radio M-O1. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 15
16 8. El punto de corte con m será S. 9. Trazar un arco con centro en S y radio S-O El punto de corte con m será S'. 11. Trazar un arco con centro en S' y radio S'-O1. 1. El punto de corte con m será O. 13. Trazar la circunferencia c con centro en O y radio O-O. 14. Expandimos la longitud O1-O por la circunferencia c Unimos los puntos para conseguir el hexadecágono. FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 16
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