Revista Colombiana de Física, vol. 44, No. 3, 2012

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1 Revista Colombiana de Física, vol. 44, No. 3, 2012 Efecto de un campo electrostático axialmente simétrico sobre un haz de electrones de baja intensidad en condiciones de autoresonancia ciclotrónica espacial Axisymmetric Electrostatic Field Effect on a Low Density Electron Beam under the Spatial Cyclotron Autoresonance Conditions H. Gutiérrez Amaya 1, E. A. Orozco 1, V. Dugar-Zhabon 1* 1 Escuela de Física, Universidad Industrial de Santander A.A. 678 Bucaramanga, Colombia Recibido abril 2 de 2010; aceptado febrero 21 de Resumen Se estudia la dinámica relativista de un haz de electrones de baja densidad, acelerado en condiciones de resonancia ciclotrónica por ondas tipo TE 11P en presencia de campos magnético y eléctrico estacionarios y no homogéneos. El campo magnético se incrementa en la dirección de propagación del haz de tal modo que los electrones se encuentran en condiciones de autoresonancia ciclotrónica espacial. El campo electrostático tiene una configuración apropiada para oponerse a la fuerza diamagnética asociada al efecto espejo. Una simulación se realiza a partir de la solución numérica de la ecuación de movimiento de Newton-Lorentz utilizando el esquema Leap-frog de Boris. Los campos eléctrico y magnético en las posiciones de las partículas se calculan utilizando interpolación bilineal. Se muestra que la interacción resonante entre el haz y la onda electromagnética puede prolongarse por más tiempo en presencia del campo eléctrico estacionario, lo cual conduce a que el haz alcance una mayor energía. Los experimentos numéricos se realizan con los campos de microondas TE 111 y TE 112 de 0.1 GHz y 2.45 GHz, respectivamente, con una amplitud de 6 kv/cm. Palabras claves: resonancia ciclotrónica electrónica, fuerza diamagnética, campo axialmente simétrico. Abstract Relativistic dynamics of a low density electron beam, accelerated in the cyclotron resonance conditions by TE 11P waves in the stationary and inhomogeneous electric and magnetic fields is studied. The magnetic field is increased in the direction of the beam propagation, so that the electrons are in the spatial cyclotron autoresonance conditions. The electrostatic field has a suitable profile, which opposes the diamagnetic force associated with the mirror effect. By using a numerical solution of the Newton-Lorentz equation of motion, with the Leap-frog Boris scheme, a simulation of the system was made. The electric and magnetic fields at particle positions are calculated by using a bilinear interpolation method. It is shown that the resonant interaction of the electron beam with the electromagnetic wave can be prolonged in the static electric field; as a result the beam gets a larger energy. The numerical experiments are carried out with the TE 111, and TE 112 microwave fields of 0.1 GHz and 2.45 GHz, respectively, of 6 kv/cm amplitude. Keywords: electron cyclotron resonance, diamagnetic force, axial-symmetric field. 1. Introduction El fenómeno de resonancia ciclotrónica ha sido estudiado desde los años 60 y con base en éste se han ideado varios mecanismos para acelerar partículas cargadas. Uno de estos mecanismos es el de la aceleración por autoresonancia ciclotrónica espacial, SARA [1,2]. El principal factor limitante del mecanismo SARA es la fuerza diamagnética * vdougar@uis.edu.co que surge debida a la inhomogeneidad longitudinal del campo magnetostático. Dicha fuerza actúa principalmente en la dirección axial, lo cual causa la desaceleración de la partícula en esta dirección hasta que finalmente se detiene, limitando así la interacción resonante. Con el fin de contrarrestar dicha fuerza se propone superponer un campo electrostático apropiado de simetría axial, obtenido mediante un par de electrodos con forma de anillo. En este

2 trabajo se estudia el efecto de dicho campo sobre el movimiento de la partícula en condiciones SARA, para el cual se encuentra una configuración favorable del campo electrostático. 2. Esquema físico y campos electromagnéticos magnético producido por las bobinas. El campo de las bobinas se describe por la expresión: donde [ ] (2) [ ] (3) Fig 1. Modelo de sistema físico: 1-cavidad cilíndrica, 2- bobinas, 3-guía de onda para la entrada de microondas (una de dos), 4-sistema de electrodos tipo anillo, 5-cañón de electrones. El esquema físico para la realización del fenómeno SARA se muestra en Fig. 1. La cavidad resonante (1), excitada con una onda con polarización circular, está en un campo magnético axialmente simétrico que es producido por las bobinas con corrientes (2). El sistema de electrodos (4), cuyos ejes coinciden con el de la cavidad, produce un campo eléctrico apropiado para contrarrestar el efecto de la fuerza diamagnética sobre el haz de electrones inyectado por el cañón de electrones (5) a lo largo del eje magnético. Para ello se ajustan los parámetros geométricos del sistema y los potenciales eléctricos de cada anillo. El haz interactúa con el campo eléctrico de microondas que se aproxima mediante la expresión:, (1) y representa el campo magnético correspondiente a la resonancia ciclotrónica exacta para la masa en reposo del electrón, es el factor relativista en y es una función adimensional que determina el perfil del campo magnético, asumiendo. El potencial eléctrico generado por los electrodos en los puntos de la malla, se encuentra a partir de la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, expresada en diferencias finitas, usando el método de sobrerelajación sucesiva (SOR) [3]. El mapa 3D de la distribución del potencial en la malla computacional permite calcular las componentes y del campo eléctrico en los puntos de malla utilizando diferenciación numérica: 3. Modelo numérico (4-a) (4-b) El experimento numérico bajo estudio se realiza con un haz de electrones de baja densidad que permite despreciar los efectos de la carga espacial y en este caso, en la ecuación de movimiento del electrón, se encuentran los campos eléctricos de microondas y de los electrodos y el campo magnético de las bobinas. El movimiento de los electrones del haz se describe por la ecuación relativista de Newton- Lorentz que, en diferencias finitas del esquema de Buneman-Boris, tiene la forma: donde es la amplitud del campo eléctrico, es la frecuencia de la onda, es el índice del modo y es la longitud de la cavidad. En las simulaciones, el campo magnético de microondas se desprecia debido a que es mucho menor que el campo 221, (5) donde cantidad de movimiento del electrón en unidades, campo eléctrico adimensional, campo magnético normalizado en unidades de

3 , factor relativista y paso temporal adimensional. En nuestro caso corresponde a la superposición del campo eléctrico del modo TE 11p y el campo electrostático producido por los electrodos y al campo magnético producido por las bobinas, el cual se calcula en los puntos donde se encuentra el electrón utilizando el método de interpolación bilineal. Con estos valores y con el de las coordenadas transversales del electrón, se obtienen las componentes rectangulares y. En forma análoga se determinan las componentes del campo eléctrico de los electrodos. La evolución de la coordenada del electrón, normalizada con el radio de Larmor relativista, se encuentra usando la técnica de Boris [2], a partir de: (a). (6) 4. Resultados En el primer experimento numérico se aprovechan los parámetros del haz y del sistema de microondas que fueron utilizados en [1]:, el modo de microondas de una frecuencia y la amplitud de, la cavidad de radio y de una longitud. Los parámetros de los electrodos de forma de anillo que producen un campo axialmente simétrico estacionario son los siguientes: los radios interior y exterior del primer anillo son, y su potencial es, su posición axial es los datos referentes al segundo anillo son:. La anchura de ambos anillos es. El radio interno de cada electrodo es mayor que el radio de la trayectoria de la partícula en la posición de los anillos. En la práctica los electrodos deben ser elaborados de un material no metálico pero conductor, transparente a las microondas, por ejemplo de grafito. (b) Fig 2. (a) Potencial eléctrico producido por los electrodos en el plano y=0, (b) líneas equipotenciales y líneas de fuerza eléctrica. Las figuras 2a y 2b muestran el potencial eléctrico y las líneas de campo eléctrico producidas por el sistema de electrodos en el plano y=0. Debido a que el primer electrodo se encuentra bajo el potencial menor que el segundo, el campo electrostático en la región antes del primer electrodo es opuesto al movimiento longitudinal del electrón. Sin embargo en la región ubicada al otro lado de los electrodos el electrón experimenta un campo mucho más intenso. 222

4 Fig 3. Energía del electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos según datos de [1], --- con electrodos. La figura 3 muestra que el campo electrostático axialmente simétrico de los electrodos favorece al movimiento longitudinal y por esta razón se logra contrarrestar la fuerza diamagnética, permitiendo prolongar el tiempo de la interacción resonante. Como consecuencia de este efecto el haz aumenta su energía total a cuenta de la energía de microondas. Tanto en presencia del campo electrostático como en su ausencia, las partículas no logran alcanzar el extremo de la cavidad pues su velocidad longitudinal se vuelve cero en los planos z = 18 cm y z = 19 cm, respectivamente, por la acción de la fuerza diamagnética. Es importante mencionar lo siguiente: en el caso de ausencia del campo electrostático no es posible alcanzar mayores energías variando los parámetros del experimento, sin embargo, el sistema con los electrodos permite elevar la energía del haz mediante optimización de la geometría de los electrodos y sus potenciales, de tal manera que se puede usar todo el espacio de la cavidad para la aceleración autoresonante de los electrones. A continuación se presentan los parámetros de otro experimento numérico: la energía inicial del haz, el modo utilizado es de una frecuencia y una amplitud, las dimensiones geométricas de la cavidad: y. El perfil longitudinal del campo magnético es lineal donde y. Los parámetros del sistema de electrodos:,. La anchura de los anillos es la misma que en el caso precedente. Fig 5. Energía del electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos [1], --- con electrodos. En este caso se encontró que la influencia del campo electrostático sobre la efectividad de la aceleración es mucho más eficiente, debido a que la partícula recorre una distancia considerablemente mayor (ver Fig. 5). El efecto acelerador del campo electrostático se muestra claramente en la Fig. 6. La aplicación del campo electrostático aumenta significativamente la longitud de la trayectoria del electrón y su energía transversal en el plano de detención del movimiento longitudinal alcanza 0.85 MeV mientras que, sin tal campo la energía máxima no supera 0.6 MeV. Fig 4. Componente longitudinal de la velocidad del electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos [1], --- con electrodos. 223

5 Fig 6. Componente longitudinal de la velocidad del electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos [1], --- con electrodos. 5. Conclusiones La inclusión del campo electrostático axialmente simétrico al mecanismo SARA permite obtener mejores condiciones para aceleración del haz de electrones. El hecho de que el haz no alcanza la pared lateral de la cavidad evidencia que el campo electrostático todavía no es óptimo. Se planea optimizar el sistema de los electrodos para hacer más efectiva la aceleración del haz por microondas. Agradecimientos Este trabajo fue apoyado por la UIS. Uno de los autores (E.A.O) agradece a Colciencias por el apoyo financiero. Referencias [1] V. D. Dugar-Zhabon, E. A. Orozco and A. M. Umnov, Phys. Rev. ST. Accel. Beams, 11, 2008, [2] V. D. Dugar-Zhabon and E. A. Orozco, Phys. Rev. ST. Accel. Beams, 12, 2009, [3] M. N. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, CRC Press, 2000, Sec [4] C. K. Birdshall and A. B. Langdon, Plasma Physics Via Computer Simulation, Bristol and Philadelphia, Institute of Physics Publishing, 1991, p