MAQUINA DE ATWOOD. , la máquina está en equilibrio neutral a pesar de la posición de los. ambas masas experimentan una aceleración uniforme.

Transcripción

1 MAQUINA DE ATWOOD Historia. POLEA CUERD OBJET OBJET La máquina de Atwood fue inventada en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento uniformemente acelerado. La máquina de Atwood es una demostración común en las aulas usada para ilustrar los principios de la Física, específicamente en Mecánica. La máquina de Atwood consiste en dos masas, y, conectadas por una cuerda inelástica de masa despreciable con una polea ideal de masa despreciable. Cuando pesos. Cuando, la máquina está en equilibrio neutral a pesar de la posición de los ambas masas experimentan una aceleración uniforme. Fundamento. La máquina de Atwood es un dispositivo mecánico que se utilizó para medir la aceleración de la gravedad. El dispositivo consiste en una polea que tenga muy poco rozamiento y un momento de inercia muy pequeño. De ambos extremos de la cuerda se colocan dos masas iguales M, con lo que el sistema se encuentra en equilibrio, pero si en el lado derecho se añade una sobrecarga m, el sistema se acelera. Si m es pequeña con respecto de M, la aceleración es pequeña y se pueden medir tiempos y posiciones en una de las dos masas con relativa facilidad, y de esos valores se puede deducir el valor de g. 1

2 Análisis Dinámico. En el análisis dinámico de la maquina de Atwood, consideramos despreciable las masas de la polea y la cuerda así como la fricción de la polea con el eje. Con estos antecedentes, examinaremos este mecanismo, en el cual m 2 es mayor a m 1. Análisis de diagrama de cuerpo libre: (+ T T m1 m1 m2 m2 (+ Ya que m 2 > m 1, la dirección del movimiento para m 2 es hacia abajo y de m 1 hacia arriba, entonces se escoge estas direcciones como positivos según al movimiento que estas tengan. Debemos aclarar que no es imprescindible escoger estos sentidos como positivos, otras orientaciones son posibles y las ecuaciones a deducir serán equivalentes; sin embargo, se considera que el sentido positivo al sentido del movimiento. Ecuación para la aceleración uniforme. Podemos obtener una ecuación para la aceleración usando análisis de fuerzas. Puesto que estamos usando una cuerda inelástica con masa despreciable y una polea ideal con masa despreciable, las únicas fuerzas que tenemos que considerar son: la fuerza tensión (T) y el peso de las dos masas (mg). Para encontrar la fuerza resultante tenemos que considerar las fuerzas que afectan a cada masa por separado. Fuerzas que afecten : Fuerzas que afecten : 2

3 Usando la segunda Ley de Newton del movimiento podemos obtener una ecuación para la aceleración del sistema. [Nota: Inversamente, la aceleración debida a la gravedad (g) puede obtenerse cronometrando el movimiento de los pesos y calculando un valor para la aceleración uniforme]. Ecuación para la tensión. Puede ser útil obtener una ecuación para la tensión en la cuerda. Para evaluar la tensión sustituimos la ecuación por la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones de fuerza. Por ejemplo sustituyendo en, obtenemos La tensión puede obtenerse de una forma similar de 3

4 Ecuación para una polea no ideal. Para diferencias muy pequeñas de masa entre m 1 y m 2, el momento de inercia (I) sobre la polea de radio r no puede ser negligida. La aceleración angular de la polea viene dada por: En este caso, el torque total del sistema se convierte en: Polea. Polea moderna. 4

5 Polea antigua. Polea en una embarcación. Poleas para transmisión de potencia. Una polea, también llamada garrucha, carrucha, trocla, trócola o carrillo, es una máquina simple que sirve para transmitir una fuerza. Se trata de una rueda, generalmente maciza y acanalada en su borde, que, con el concurso de una cuerda o cable que se hace pasar por el canal ("garganta"), se usa como elemento de transmisión para cambiar la dirección del movimiento en máquinas y mecanismos. Además, formando conjuntos aparejos o polipastos sirve para reducir la magnitud de la fuerza necesaria para mover un peso, variando su velocidad. Según definición de Hatón de la Goupillière, «la polea es el punto de apoyo de una cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar una vuelta completa» [1] actuando en uno de sus extremos la resistencia y en otro la potencia. 5

6 Designación y tipos. Los elementos constitutivos de una polea son la rueda o polea propiamente dicha, en cuya circunferencia (llanta) suele haber una acanaladura denominada "garganta" o "cajera" cuya forma se ajusta a la de la cuerda a fin de guiarla; las "armas", armadura en forma de U invertida o rectangular que la rodea completamente y en cuyo extremo superior monta un gancho por el que se suspende el conjunto, y el "eje", que puede ser fijo si está unido a las armas estando la polea atravesada por él ("poleas de ojo"), o móvil si es solidario a la polea ("poleas de eje"). Cuando, formando parte de un sistema de transmisión, la polea gira libremente sobre su eje, se denomina "loca". Según su desplazamiento las poleas se clasifican en "fijas", aquellas cuyas armas se suspenden de un punto fijo (la estructura del edificio, por ejemplo) y, por tanto, no sufren movimiento de traslación alguno cuando se emplean, y "movibles", que son aquellas en las que un extremo de la cuerda se suspende de un punto fijo y que durante su funcionamiento se desplazan, en general, verticalmente. Cuando la polea obra independientemente se denomina "simple", mientras que cuando se encuentra reunida con otras formando un sistema recibe la denominación de "combinada" o "compuesta". Poleas simples. Polea simple fija La manera más sencilla de utilizar una polea es anclarla en un soporte, colgar un peso en un extremo de la cuerda, y tirar del otro extremo para levantar el peso. A esta configuración se le llama polea simple fija. Una polea simple fija no produce una ventaja mecánica: la fuerza que debe aplicarse es la misma que se habría requerido para levantar el objeto sin la polea. La polea, sin embargo, permite aplicar la fuerza en una dirección más conveniente. 6

7 Polea simple móvil Una forma alternativa de utilizar la polea es fijarla a la carga, fijar un extremo de la cuerda al soporte, y tirar del otro extremo para levantar a la polea y la carga. A esta configuración se le llama "polea simple móvil". La polea simple móvil produce una ventaja mecánica: la fuerza necesaria para levantar la carga es justamente la mitad de la fuerza que habría sido requerida para levantar la carga sin la polea. Por el contrario, la longitud de la cuerda de la que debe tirarse es el doble de la distancia que se desea hacer subir a la carga. Poleas compuestas. Esquema de la ventaja mecánica que se obtiene con diversas poleas compuestas. 7

8 Polipastos o Aparejos. El polipasto (del latín polyspaston, y este del griego πολύσπαστον), es la configuración más común de polea compuesta. En un polispasto, las poleas se distribuyen en dos grupos, uno fijo y uno móvil. En cada grupo se instala un número arbitrario de poleas. La carga se une al grupo móvil. Para comprender el funcionamiento de estos mecanismos, analizaremos en principio una polea móvil; la cual es una polea cuyo eje no esta suspendido de ningún punto fijo, el eje puede estar conectado a algún objeto y desplazarse juntamente con el, como se muestra. F F P La aplicación de la segunda ley de Newton sobre esta polea resulta: 2F P = mpa Donde m P es la masa de la polea que por su pequeñez se considera despreciable, vale decir m p = 0, por ello la anterior ecuación se describe: 2F = P 8

9 En otros términos, una polea móvil es un multiplicador de esfuerzo, en este caso como existe una sola polea móvil, se duplica la fuerza F que actúa sobre las cuerdas. Esto significa que para elevar el bloque de peso P se requiere aplicar en uno de los extremos de la cuerda una fuerza de F = ½ P, la otra mitad la ejerce el soporte a la que va conectado el otro extremo de la cuerda. Si se conectan dos poleas móviles, la fuerza necesaria para elevar al bloque se reducirá a la cuarta parte F = ¼ P y así sucesivamente. Una polea Móvil Dos poleas Móviles = F = ½ P = F = ¼ P n poleas Móviles = F = 1/2 n P 2F 2 = F 3 2F 1 = F 2 2F = F 1 F1 F F F1 F1 F2 F F2 F2 F3 F3 P 9

10 Sustituyendo sucesivamente estas expresiones se obtiene: F = 1/8 P Otro mecanismo de este tipo es el denominado aparejo factorial. El cual consta de dos chapas: una fija y otra móvil, cada una de las chapas posee igual numero de poleas. La ventaja mecánica del polipasto puede determinarse contando el número de segmentos de cuerda que llegan a las poleas móviles que soportan la carga. 10

11 El análisis y aplicación de las leyes de Newton en las poleas móviles, permite determinar que la fuerza mínimo F para elevar al bloque de peso P es: F = (1/2n) P Implementaciones prácticas. Las ilustraciones originales de Atwood muestran el eje de la polea principal descansando sobre el borde de otras cuatro ruedas, para minimizar las fuerzas de fricción de los cojinetes. Muchas implementaciones históricas de la máquina siguen este diseño. Un ascensor con un contrapeso se aproxima a una máquina de Atwood ideal y de ese modo alivia al motor conductor de la carga de aguantar la cabina del ascensor tiene que vencer sólo la diferencia entre el peso y la inercia de las dos masas. El mismo principio se usa para ferrocarriles de funicular con dos vagones de ferrocarriles conectados en vías inclinadas. 11

12 Ejemplo La posición de equilibrio de los dos cuerpos a la misma altura H=100 m. Se desplaza los dos cuerpos x 0 =10 m. Calcular el tiempo que emplea en llegar al suelo y la velocidad final de los bloques. Datos: Radio de la Tierra, R= m, Masa de la Tierra M= kg, Constante G= Nm 2 /kg 2, Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g=gm/r 2 =9.83 m/s 2 Aplicando el principio de conservación de la energía v= m/s Hay una pequeña discrepancia entre el cálculo exacto de la velocidad y el aproximado teniendo en cuenta que H y x 0 son pequeños frente al radio R de la Tierra REFERENCIAS: 1. Definición citada en el Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano, Montaner y Simón Editores, Barcelona, 1984, Tomo 15, p Proyecto Gutemberg: Plutarco, Edición inglesa, traducción de Arthur Hugh Clough. 3. Serway, Raymond A., Física, Tomo 1, Mc. Graw-Hill, México D.F. México, A. Álvarez E. Huayta, Física Mecánica, 2º Edición, Facultada de Ingeniería, La Paz, Bolivia, Paul W. Zitzewitz, física 1, principios y problemas, Mc. Graw-Hill, Santafé de Bogotá, Colombia, Física, David Holliday, Robert Resnick; Compañía Editorial Continental, S.A.,