Tema 14 Grafos y su Implementación en Java. Parte I. Objetivos. Bibliografía

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1 Tema Grafos y su Implementación en Java Tema Grafos y su Implementación en Java Parte I Germán Moltó Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Universidad Politécnica de Valencia Índice general:. Conceptos básicos sobre Grafos. Representación de un Grafo: Matriz vs Listas de Adyacencia. Representación de un Grafo Ponderado: la clase Adyacente. Representación de un Grafo ponderado y etiquetado: La clase GrafoDEtiquetado.. Recorrido en Profundidad (DFS) de un Grafo. Recorrido en Amplitud (BFS) de un Grafo Objetivos Bibliografía Estudio de la Representación de una Relación Binaria entre los Datos de una Colección mediante la estructura Grafo y algunas de sus aplicaciones más significativas. Reutilizar las Estructuras de Datos empleadas en temas anteriores (Diccionario y Lista con Punto de Interés) y la implementación de las operaciones de Recorrido y cálculo de caminos mínimos sobre él (Modelos Cola y Cola de Prioridad). Implementación en Java de un Grafo, que supondrá el diseño de las clases Adyacente, Vertice, GrafoD, GrafoND y GrafoDEtiquetado (ubicadas en el paquete grafos de estructurasdedatos). Libro de M.A. Weiss, Estructuras de Datos en Java (Adisson- Wesley, 000). Capítulo, para conceptos sobre Grafos y Grafos Dirigidos Capítulo, apartado.. para el algoritmo de Dijkstra con Montículos de Emparejamiento Aho A.V., Hopcroft J.E., Ullman J.E. Estructuras de datos y Algoritmos. Addison-Wesley, 988. Capítulo para conceptos sobre Grafos y Grafos Dirigidos

2 Motivación En ocasiones, los elementos de una colección tienen una relación entre ellos que debe ser capturada mediante la Estructura de Datos empleada. Ejemplos posibles: Elementos: Ciudades, Aeropuertos, Computadores de una Red, Puntos de un Plano, etc. Se pretende modelar: Rutas entre ciudades, rutas aéreas, recorridos turísticos, tareas a realizar en un proyecto, etc. 0 Grafo Dirigido Un Grafo Dirigido (GD) es un Par G = (V,E) V es un conjunto finito de Vértices (o Nodos o Puntos) E es un conjunto de Aristas (o Arcos) dirigidas Arista: Par ordenado de Vértices (u,v) V = {,,,,, V = E = { (,), E = 8 (,), (,),(,), (,),(,), (,), (,) Grafo No Dirigido Un Grafo No Dirigido (GND) es un Par G = (V,E) V es un conjunto finito de Vértices E es un conjunto de Aristas no Dirigidas Arista: Par no ordenado de Vértices (u,v) = (v,u) V = {,,,,, E = {(,), (,), (,), (,) V = E = Grafo Etiquetado y Grafo Ponderado Un Grafo Etiquetado es un grafo G = (V,E) sobre el que se define una función f: E A, dónde A es un conjunto cuyas componentes se llaman Etiquetas. Un Grafo Ponderado es un Grafo Etiquetado (sus Aristas) con números Reales. También es posible definir la función de etiquetado para los Vértices, con lo que podemos asignar un nombre a cada Vértice. 8

3 Relaciones de Incidencia Sea G = (V,E) un Grafo Dirigido. Si (u,v) Є E, decimos que Incide Desde u (sale de..) e Incide En v (llega a..) (, ) Є E, incide desde e incide en (, ) Є E, incide desde e incide en (, ) Є E, incide desde e incide en (, ) Є E, incide desde e incide en Sea G = (V,E) un Grafo no Dirigido. Si (u,v) Є E, decimos que Incide Sobre u y v (,) Є E, ó (,) incide sobre y, ó y (,) Є E, ó (,) incide sobre y, ó y Relaciones de Adyacencia Sea G = (V,E) un Grafo. Si (u,v) Є E, decimos que el Vértice v es Adyacente alvértice u Ejemplo con el Vértice es Adyacente a no es Adyacente a En un Grafo no Dirigido la relación es simétrica: Ejemplo con el Vértice es Adyacente a es Adyacente a 9 0 Grado de un Vértice El Grado de un Vértice en un Grafo no Dirigido es el número de Aristas que Inciden sobre él (Vértices Adyacentes). El Grado de es El Grado de un Vértice en un Grafo Dirigido es la suma de: El número de Aristas que salen de él (Grado de Salida) El número de Aristas que entran en él (Grado de Entrada) Ejemplos: El Grado del Vertice es Grado de Entrada de es Grado de Salida de es El Grado de un Grafo es el de su Vértice de máximo Grado. Caminos sobre Grafos Un Camino de longitud k desde u a u en un grafo G=(V,E) es una secuencia de Vértices <v 0,v,..,v k > tal que: v 0 = u y v k = u i :..k : (v i -,v i ) Є E La Longitud k del Camino sin pesos es el número de Aristas con pesos es la suma de los Pesos de las Aristas del Camino Si hay un Camino P desde u hasta u, decimos que u es alcanzable desde u vía P Ejemplos: es alcanzable desde vía <,,> es alcanzable desde vía <,,,,>

4 Caminos Simples y Ciclos Un Camino es Simple si todos sus Vértices intermedios son distintos. Si los extremos son iguales es un Ciclo. Un Bucle es un ciclo de longitud En un Grafo Dirigido un Camino <v 0,v,..,v k > forma un Ciclo si: v 0 = v k el Camino contiene al menos una Arista Un Grafo Dirigido es Acíclico si no contiene Ciclos (GDA) Un Ciclo en este Grafo es <,,,, >, de longitud. El camino <,> es un bucle. Conceptos similares para los Grafos No Dirigidos. Representación de un Grafo: Matriz de Adyacencia Un Grafo G=(V,E) se puede representar con una Matriz de V x V boolean. Si (u,v) Є E, G[u][v] = true; sino G[u][v] = false. Memoria: O( V ) 0 Tiempo de acceso: O() 0 Esta representación consume bastante memoria. Útil para Grafos Densos (con muchas aristas). 0 false true false false false false false true false true true false false false false false false false true false false false true false false false false true false false false false true false false false Cuestiones Rápidas: Representación con Matriz de Adyacencia. Cómo saber si el grafo tiene bucles?. Cómo saber el número de vértices?. Cómo saber si hay algún vértice sin adyacentes?. Cómo calcular el número de adyacentes de un vértice?. Cómo sería la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?. Cómo representar un Grafo con aristas ponderadas usando una matriz de adyacencias? Representación de un Grafo: Listas de Adyacencia Un Grafo Dirigido G=(V,E) se suele representar con un array de V Listas de Vértices: G[v] es una Lista de los Vértices Adyacentes a v (v Є V). Memoria: O( V + E ) Tiempo de acceso: O(Grado de salida de G) X X X X X X

5 Representación de un Grafo: Listas de Adyacencia Un Grafo No Dirigido G=(V,E) se representa con un array de V Listas de Vértices: G[v] es una Lista de los Vértices Adyacentes a v (v Є V) Memoria: O( V +* E ) Tiempo de acceso: O(Grado de G) X X X X X Propuesta de Implementación de Grafos Grafo <<abstract>> GrafoD GrafoND GrafoDEtiquetado Grafo: Contiene los métodos comunes a cualquier implementación de un Grafo. GrafoD: Grafo dirigido con aristas ponderadas. GrafoND: Grafo no dirigido con aristas ponderadas GrafoDEtiquetado: Grafo dirigido con aristas ponderadas y vértices etiquetados. 8 La clase Java Grafo (I) Sobre la clase Grafo: public abstract class Grafo { public Grafo() {... public abstract int numvertices(); public abstract int numaristas(); public abstract boolean existearista(int i, int j); public abstract double pesoarista(int i, int j); 9 Su implementación irá creciendo conforme veamos métodos de recorrido, cálculo de caminos mínimos, etc. La clase Java Grafo (II) public abstract void insertararista(int i, int j); public abstract void insertararista(int i, int j, double p); public abstract ListaConPI<Adyacente> adyacentesde(int i); public String tostring(){ String res = "" ; for (int i = ; i <= numvertices() ; i++) { res += "Vértice: " + i; ListaConPI<Adyacente> l = adyacentesde(i); res += (l.esvacia())? " sin Adyacentes " : " con Adyacentes: "; for (l.inicio();!l.esfin() ; l.siguiente()) res += l.recuperar() + " "; 0 res += "\n"; return res; Implementa el método tostring. Salida: Vértice con adyacentes Vértice sin adyacentes

6 La clase Java Adyacente class Adyacente{ int destino; double peso; Adyacente(int codady, double p){ destino=codady; peso = p; public String tostring(){ return destino + ( + peso + ) ; La clase Adyacente no se hace pública puesto que únicamente se utilizará dentro del paquete grafos (acceso friendly únicamente para el resto de clases del paquete). Implementación de un Grafo Dirigido Ponderado: La Clase GrafoD GrafoD representa un Grafo de Vértices sin Etiquetar de Aristas con Pesos, Tripletes de int (origen, destino, coste) Mediante Listas de Adyacencia (array de V ListaConPI de Adyacentes) 8 X (,) X (,) (,8) (,) (,) X (,) X (,) X (,) X La clase Java GrafoD (I) import librerias.estructurasdedatos.modelos.listaconpi; import librerias.estructurasdedatos.lineales.leglistaconpi; public class GrafoD extends Grafo { protected int numv, numa; protected ListaConPI<Adyacente> public GrafoD(int numvertices){ numv = numvertices; numa=0; elarray = new ListaConPI[numVertices+]; for (int i=; i<=numv; i++)elarray[i]= newleglistaconpi<adyacente>(); Por convenio, los vértices se numeran desde..n y se almacenan en las posiciones..n del array. La clase Java GrafoD (II) public int numvertices() { return numv; public int numaristas() { return numa; public boolean existearista(int i, int j) { ListaConPI<Adyacente> l = elarray[i]; boolean esta=false; for (l.inicio();!l.esfin()&&!esta; l.siguiente()) if (l.recuperar().destino==j) esta =true; return esta; public double pesoarista(int i, int j) { ListaConPI<Adyacente> l = elarray[i]; for (l.inicio();!l.esfin(); l.siguiente()) if (l.recuperar().destino==j) return l.recuperar().peso; return 0.0;

7 La clase Java GrafoD (III) public void insertararista(int i, int j) { insertararista(i,j,); public void insertararista(int i, int j, double p) { if (!existearista(i,j) ) { elarray[i].insertar(new Adyacente(j,p)); numa++; public ListaConPI<Adyacente> adyacentesde(int i) {return elarray[i]; /* Fin de la clase GrafoD */ Prueba de la clase GrafoD public static void main(string args[]){ GrafoD g = new GrafoD(); g.insertararista(,, ); g.insertararista(,, 8); 9 8 g.insertararista(,, 9); g.insertararista(,, ); System.out.println( El grafo es: "+g.tostring()); System.out.println("existeArista(,) = " + g.existearista(,)); ListaConPI<Adyacente> l = g.adyacentesde(); System.out.println( Los adyacentes al vértice son: "); for (l.inicio();!l.esfin(); l.siguiente()) { System.out.println( (, " + l.recuperar().destino + ")"); La clase Java GrafoND import librerias.estructurasdedatos.modelos.listaconpi; public class GrafoND extends GrafoD { public GrafoND(int numvertices) { super(numvertices); public void insertararista(int i, int j, int p) { if (!existearista(i,j) && i!= j) { elarray[i].insertar(new Adyacente(j,p)); elarray[j].insertar(new Adyacente(i,p)); numa++; /* Fin de la clase GrafoND */ Cómo se implementaría el método insertararista? No se permiten bucles. Implementación de Grafo Dirigido Ponderado con Vértices Etiquetados: Clase GrafoDEtiquetado La clase GrafoDEtiquetado representa un Grafo de Vértices con Etiquetas (dato de tipo objeto), i.e. Pares (etiqueta/dato, nº vértice) de Aristas con Pesos Mediante Listas de Adyacencia (array de V ListaConPI de Adyacentes) v 8 v 8 v v v v (v) (v) (v) x (v) (v) (v) (,) X (,) (,8) (,) (,) X (,) X (,) X (,) X

8 Correspondencia entre Etiquetas de Vértice y su Código El constructor del Grafo especifica los vértices de los que va a constar el grafo. Los vértices ya existen al crear el Grafo (aunque sin etiquetar). Para etiquetar un vértice, se utiliza el método: public void etiquetarvertice(int codigo, E etiqueta) Para obtener el código de un vértice a partir de su etiqueta, utilizamos un Diccionario<E,Integer>. D C 0 A B D B A D 8 E D 9 Índice Nombre D C A B E Listas de Adyacencia de cada Vértice La clase Java GrafoDEtiquetado (I) import librerias.estructurasdedatos.modelos.*; import librerias.estructurasdedatos.hash.tablahashdiccionario; import librerias.excepciones.elementonoencontrado; import java.util.arraylist; public class GrafoDEtiquetado<E> extends GrafoD{ E etiquetas[]; Diccionario<E, Integer> public GrafoDEtiquetado(int numvertices) { super(numvertices); etiquetas = (E[]) new Object[numVertices+]; dicvertices = new TablaHashDiccionario<E, Integer>(numVertices); 0 La clase Java GrafoDEtiquetado (II) public boolean existearista(e i, E j) { return existearista(obtenercodigo(i), obtenercodigo(j)); public double pesoarista(e i, E j) { return pesoarista(obtenercodigo(i), obtenercodigo(j)); public void insertararista(e i, E j) { insertararista(obtenercodigo(i), obtenercodigo(j)); public void insertararista(e i, E j, double p) { insertararista(obtenercodigo(i), obtenercodigo(j), p); public ListaConPI<Adyacente> adyacentesde(e i) { return adyacentesde(obtenercodigo(i)); La clase Java GrafoDEtiquetado (III) public void etiquetarvertice(int codigo, E etiqueta) { etiquetas[codigo] = etiqueta; dicvertices.insertar(etiqueta, codigo); public E obteneretiqueta(int codigo) { return etiquetas[codigo]; public int obtenercodigo(e etiqueta) { int codigo; try { codigo = dicvertices.recuperar(etiqueta).intvalue(); catch (ElementoNoEncontrado e) { codigo = -; return codigo;

9 Prueba de la clase GrafoDEtiquetado public static void main(string args[]){ GrafoDEtiquetado<Persona> g = new GrafoDEtiquetado<Persona>(); Persona jane = new Persona("F","Jane Doe",); Persona john = new Persona("M","John Doe",); Persona paul = new Persona("8G", "Paul Carlson", ); Paul () g.etiquetarvertice(,jane); John g.etiquetarvertice(,john); () g.etiquetarvertice(,paul); Jane 0 g.insertararista(jane, john, 0); () g.insertararista(jane, paul, ); g.insertararista(paul, jane, ); Grafo de afinidad ([0..0]) que siente System.out.println("Grafo: " + g); una persona hacia las de su red social.