Agenda. Números aleatorios. Introducción a la Simulación Método Monte Carlo. Números Pseudoaleatorios. Simulación: Concepto

Transcripción

1 Introducción a la Simulación Método Monte Carlo Investigación Operativa I Agenda Números aleatorios y pseudoaleatorios Simulaciones Monte Carlo Caso Práctico Aplicaciones Conclusiones Números aleatorios Deben tener igual probabilidad de salir elegidos. No debe existir correlación serial Se generan por tablas (Rand 1955), o por dispositivos especiales: ruleta. En la práctica se utilizan algoritmos y se generan números pseudoaleatorios. Números Pseudoaleatorios Sustituyen a los números aleatorios. Se generan por algoritmos o fórmulas. Se debe asegurar la existencia de secuencias largas y densas. Generación de Números pseudoaleatorios Simulación: Concepto Centros cuadrados: 44 2 = Métodos Congruenciales: x n =(ax n-1 + c) (mod m Transformación Inversa: x=f -1 (x) siendo F(x)=Prob(X<=x) Simulación : es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema (Shannon) 1

2 Simulación: Modelo y Proceso Cuándo usamos Simulación? Modelo de simulación : conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema expresado como relaciones matemáticas y/o lógicas entre los elementos del sistema. Proceso de simulación: ejecución computacional del modelo a través del tiempo para generar muestras representativas del comportamiento del sistema. Se requiere analizar diferentes cambios en la información y su efecto. Se desea experimentar con diferentes diseños o políticas. Se desea verificar soluciones analíticas. Un modelo analítico es imposible o dificil de construir. Se desea estudiar un sistema real y resulta peligroso o costoso hacerlo en el propio sistema real; la posibilidad de hacerlo mediante un modelo análitico resulta imposible ó inconveniente. Métodos de Simulación Eventos discretos Se define el modelo cuyo comportamiento varía en instantes del tiempo dados. Los momentos en los que se producen los cambios son los que se identifican como los eventos del sistema o simulación. Montecarlo o simulación estadística Está basada en el muestreo sistemático de variables aleatorias. Continuas: Los estados del sistema cambian continuamente su valor. Estas simulaciones se modelan generalmente con ecuaciones diferenciales. Autómatas celulares: Se aplica a casos complejos, en los que se divide al comportamiento del sistema en subsistemas más pequeños denominadas células. Elresultado de la simulación está dado por la interacción de las diversas células. Etapas del proceso de Simulación Definición, descripción del problema. Plan. Formulación del modelo. Programación. Validación del modelo. Diseño de experimentos y plan de corridas. Análisis de resultados Está validada? Diseñar el experimento Desarrollar corridas Analizar los datos obtenidos Etapas de la simulación Formular el problema Reunir datos y elaborar el modelo Programar el modelo Está verificada? Está completa? Documentar y poner en práctica Simulación: Ventajas Es un proceso relativamente eficiente y flexible. Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real. En algunos casos la simulación es el único método disponible. Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión. La simulación no interfiere en sistemas del mundo real. La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes. La simulación permite la inclusión de complicaciones del mundo real y realizar comparaciones entre distintos escenarios y/ alternativas posibles. 2

3 Simulación: Desventajas Lenguajes de Simulación Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas. Siempre quedarán variables por fuera y esas variables (si hay mala suerte) pueden cambiar completamente los resultados en la vida real que la simulación no previó... en ingeniería se "minimizan riesgos, no se evitan". Simulación Continua: 1130/CSMP, 360 CSMP y DYNAMO, MISTRAL Simulación a Eventos Discretos: GPSS, MSCRIPT, SDL/M. Para casos simples podemos recurrir a la utilización de planillas de cálculo. También podemos implementar aplicaciones en los lenguajes Fortran, C++, Java, Dephi,... Por qué Simulación en Investigación Operativa? Método Monte Carlo : Los responsables de la toma de decisiones necesitan información cuantificable, sobre en diferentes hechos que puedan ocurrir. La simulación constituye una técnica económica que nos permite ofrecer varios escenarios posibles de un modelo del negocio. Podemos afirmar entonces, que la simulación es una rama experimental dentro de la Investigación Operativa. Surge en 1940, para verificar el comportamineto de los electrones y su difusión. El primer trabajo con el nombre MonteCarlo method es de Von Neumann y Ulam, en Metodología para realizar simulaciones basada en muestras aleatorias. Se aplica a casos probabilísticos o determinísticos. Algoritmo Monte Carlo Puro Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas(f) Generar un número aleatorio uniforme (0,1). Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado. Calcular media y desviación estándar. Iterar N veces o hasta converger. La convergencia se logra cuando el error = Media real - Media simulada α, α dado como parámetro Algoritmo Monte Carlo II Diseñar el modelo lógico de decisión Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes. Incluir posibles dependencias entre variables. Muestrear valores de las variables aleatorias Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa( o converger) Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones Calcular media, desvío 3

4 Caso práctico Utilizaremos Monte Carlo Puro. Supongamos la siguiente distribución de probabilidades para la V. A. Demanda Frecuencia Acumulada Unidades 0,10 0,10 42,00 0,20 0,30 45,00 0,40 0,70 48,00 0,20 0,90 51,00 0,10 1,00 54,00 Realizaremos varias iteraciones, calcularemos media, desviación y error. También histograma. Caso práctico Transformacion del N Aleatorio generado en el valor de la V.A. Frecuencias , Demanda Unidades 1.00 Caso práctico Cálculo aproximado de π Resumen de las iteraciones Cantidad de simulaciones Media Desvio Error 10 48,60 3,41 1, ,12 3,16 0, ,87 3,28 0, ,87 3,30 0,03 Tomamos un círculo de radio 1 centrado en el origen. El área del cuarto de círculo inscrito en el ortante positivo es igual a π/4. Ejemplo hecho en el pizarrón, fue para que vieran un caso de MonteCarlo determinístico, no estaba en las filminas originales que di pero si en las que dejé en la fotocopiadora Y X Contaremos los puntos que caen en este cuarto del circulo Cálculo aproximado de π Areas de Aplicación Sorteamos un par de puntos (x, y) entre 0 y 1. Contamos cuantos puntos caen dentro del área del cuarto de círculo (In). Sabemos que si x 2 + y 2 1 el punto está adentro Repetimos ese procedimiento N veces. El valor estimado del área que queremos hallar es In/N ~ π/4, π ~ 4* In/N. Para este caso MC es lento y poco preciso, es simplemente es un ejemplo del procedimiento. Diseño de reactores nucleares Evolución estelar Física de materiales Métodos cuantitati-vos de organización industrial Teoría de Colas Criptografía Diseño de VL Ecología Econometría Pronóstico del índice de la Bolsa de valores Inventarios 4

5 Puntos importantes del método Monte Carlo: Conclusiones Introduccion a la Simulación Método Monte Carlo * Orden de aparicion de los elementos en la simulación * Cantidad de iteraciones para lograr la convergencia Método económico con buenos resultados para realizar simulaciones, de fácil comprensión. Es una técnica para generar distintos escenarios. No es una técnica de Optimización Fin Preguntas Referencias 1) A brief overview of what the Monte-Carlo method is and does. 2) Arsham H. System Simulation: The Shortest Route to Applications. 3) Barreto H. and Howland F. Introductory Econometrics via Monte Carlo Simulation with Microsoft Excel. 4) Bong D. Monte Carlo Simulation. 5) Bustamante A. Evaluación de riesgos mediante simulación Monte Carlo. 6) Deutsch, Leuangthong, Nguyen, Norrena, Ortiz, Oz, Pyrcz, and Zanon. Principles of Monte Carlo Simulation. 7) Eppen G., Gould F., Schmidt C., Mootre J., y Weatetherford L. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Editorial Prentice Hall. 5 Edición ) Hillier F, Lieberman G. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill Editores ) Impact of Monte Carlo methods on scientific research. 10) Introduction to Monte Carlo Methods. Referencias 11) Monte Carlo Simulation of Stochastic Processes. 12) Padilla Shannon Ho. Monte Carlo Method. 13) Quasi Monte Carlo Simulation. 14) Real options with Monte Carlo Simulations. 15) Silvestre, Moreno, Toscana y Luis. Curso de Simulación Monte Carlo. III Encuentro Nacional de docentes de Investigación Operativa. Facultad de Cs. Económicas. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires ) Simulación. Introducción a la investigación de Operaciones. Facultad de Ingeniería. UDELAR. 17) H. Investigación de Operaciones una introducción. Editorial Prentice Hall. 6 edición ) Técnicas de Monte Carlo. 19) WWW VIRTUAL LIBRARY: RANDOM NUMBERS and MONTE CARLO METHODS SUBSECTION: MONTE CARLO METHODS. 20) Woller J. Basics of Monte Carlo Simulations. Univ. of Nebraska-Lincoln 5