Diversificación internacional en portafolios de inversión mediante índices bursátiles

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1 Diversificación internacional en portafolios de inversión mediante índices bursátiles Miguel D. ROJAS Luis M. JIMÉNEZ Natalia M. ACEVEDO RESUMEN Mediante la diversificación internacional de portafolio, los inversionistas pueden reducir el Valor en Riesgo de sus inversiones. El Valor en Riesgo es una medida estadística que estima la mayor pérdida que se espera obtener en un instrumento financiero o portafolio de inversión en un periodo de tiempo determinado y un nivel de confianza. Este estudio analiza el efecto de la diversificación internacional de portafolios, partiendo de un portafolio de acciones colombianas y utilizando índices bursátiles como instrumentos de diversificación internacional. Los resultados muestran que a medida que se aumenta la diversificación internacional, el Valor en Riesgo del portafolio disminuye. Palabras claves: Diversificación internacional, Valor en Riesgo, índices bursátiles, portafolios de inversión, varianzas, correlaciones, rentabilidad. 1. INTRODUCCIÓN El valor en riesgo (Value at Risk, VaR) es definido como la mayor pérdida que se espera obtener en un instrumento financiero o portafolio de inversión en un periodo de tiempo determinado y a un nivel de probabilidad o nivel de confianza [1]. El VaR ofrece una probabilidad sobre los cambios potenciales en el valor del portafolio provocados por un cambio en los factores del mercado en un período de tiempo específico. Las variaciones en el valor del portafolio son producidos por los cambios en los factores de mercado que influyen en el precio de cada instrumento financiero. Varios estudios han evidenciado que la diversificación internacional de portafolios reduce el riesgo sin afectar negativamente la rentabilidad esperada del portafolio [2] [3] [4] [5] [6]. Shawky, Kuenzel y Mikhail [7] en su investigación demostraron que la diversificación internacional ayuda a los inversionistas a reducir el riesgo de una inversión manteniendo constante el rendimiento esperado. La rentabilidad de un portafolio de inversión depende del riesgo asociado al mismo. Una forma de mitigar los riesgos es diversificando el portafolio [8]. Así se puede disminuir los riesgos asociados a él, Levy y Sarnat afirman que la diversificación internacional ofrece oportunidades adicionales para reducir el riesgo del portafolio de inversión [9]. Existen dos metodologías para calcular el VaR: Métodos paramétricos y métodos no paramétricos. Este estudio implementa el método paramétrico de Varianza-Covarianza. Este método asume que el logaritmo de los rendimientos de los instrumentos financieros poseen una distribución Normal. Value At Risk VaR 2. MARCO TEÓRICO El VaR de un portafolio está en función de dos parámetros: el horizonte del tiempo, t, y el nivel de confianza, X%. Este es el nivel de pérdida durante un período de tiempo de longitud t que no será excedido con un nivel de confianza del X% [10]. El VaR es una medida que considera tanto los cambios positivos como los negativos de las cotizaciones bursátiles como el riesgo que lo constituye, a pesar de esto, la mayoría de los inversionistas ignoran los cambios positivos en un contexto

2 de riesgo. El VaR se centra en los cambios negativos y los intentos de derivar una sola medida de las posibles pérdidas, ya sea en términos nominales o porcentuales. El VaR proporciona una medida de la pérdida potencial en el valor de un portafolio en un período de tiempo específico. En relación con el horizonte de tiempo, Jorion [11] afirma que debe corresponder al tiempo requerido para cubrir el riesgo de mercado, no obstante, como las carteras de negociación de activos suele ser objeto de cambio, es más apropiado usar un horizonte de tiempo de corto plazo, como un día. El VaR de un activo individual se calcula con la Ec. 1. Donde F corresponde al valor de z o al nivel de confianza, para un nivel de confianza del 99% el valor z es de 2,33. El monto de la inversión en el portafolio corresponde a S, σ es la desviación estándar del activo y t es el horizonte de tiempo en que se desea calcular el VaR. Harry Markowitz demostró que los inversionistas racionales seleccionan sus portafolios de inversión usando dos parámetros básicos: la rentabilidad y el riesgo. La rentabilidad es medida en términos de la media de la tasa de los rendimientos, y el riesgo es medido en función de la variación de los rendimientos alrededor de la media. Entre mayor sea la varianza de los rendimientos, mayor es el riesgo del portafolio. De esta manera, los inversionistas seleccionan sus instrumentos financieros basados en la contribución de cada activo en la media y la varianza total de la cartera. Por lo que al formar un portafolio de inversión, los inversores lo hacen reduciendo la varianza tanto como sea posible mediante la diversificación. El rendimiento de un instrumento financiero corresponde al cambio del valor del instrumento con respecto a su valor inicial en un período de tiempo (ver Ec. 2). Método de la Varianza-Covarianza El supuesto primordial de este métodos es que lo rendimientos de los activos se distribuyen con una función de densidad de probabilidad normal. Este método asume que los factores de riesgo y los valores del portafolio se distribuyen lognormales, o que el logaritmo de los rendimientos tiene una distribución normal. En la Ec. 3 se mostró que la rentabilidad de un instrumento financiero también se puede calcular en función del logaritmo. Sí los rendimientos de los activos individuales de los factores de riesgo no siguen una distribución Normal, se espera que los rendimientos del portafolio sí se comporten como una distribución Normal. Esto es explicado por el Teorema del Límite Central, donde las variables aleatorias independientes con comportamientos de distribución, podrán tener una media que converge a una distribución Normal cuando la muestra es grande. Por lo tanto, el método de la Varianza-Covarianza, asume un modelo para integrar las distribuciones de los cambios en las variables del mercado y usa los datos históricos para estimar el modelo paramétrico. Este método está basado en la teoría de Harry Markowitz. La media y la desviación estándar del valor del portafolio pueden ser calculados desde la media y la desviación estándar de los rendimientos de los productos subyacentes y las correlaciones entre estos rendimientos. Mediante la diversificación internacional de portafolios, los inversionistas pueden reducir el riesgo de los portafolios debido a las bajas o negativas correlaciones entre los instrumentos financieros en los mercados nacionales y los internacionales [12]. La covarianza es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias que describe el movimiento conjunto entre ellas. Con la Ec. 4 se calcula la covarianza entre dos variables. Asimismo, el rendimiento de un instrumento financiero se puede calcular en función del logaritmo (ver Ec. 3). ( ) Por medio de la diversificación de portafolios, el riesgo puede reducirse, esta mitigación de riesgo puede conducir a reducir el rendimiento esperado. Con una selección adecuada de activos, la diversificación permite a los inversionistas obtener una tasa alta de rentabilidad para un nivel de riesgo específico. Existen dos metodologías para calcular el VaR: Métodos paramétricos y métodos no paramétricos. El método de análisis de Varianza-Covarianza para calcular el VaR, pertenece a los métodos paramétricos. Este método hace suposiciones sobre las distribuciones de los rendimientos para el riesgo de mercado, y las varianzas y las covarianzas entre las variables. ( ) [ ][ ] La correlación mide el grado de movimiento conjunto o la relación lineal entre dos variables (ver Ec. 5). ( ) Una matriz de correlación es una matriz donde el valor de la fila i y de la columna j es la correlación entre la variable i y la j. [ ] Como una variable es perfectamente correlacionada con ella misma, entonces la diagonal de la matriz de correlaciones es 1. Además, como, la matriz de correlaciones es simétrica.

3 La covarianza entre la variable i y la variable j,, es el producto de la desviación estándar de la variable i, la desviación estándar de la variable j, y la correlación entre i y j, como se muestra en la Ec. 6. Esta es otra forma de calcular la covarianza entre dos variables, pero partiendo de las correlaciones ( ). En una matriz de covarianzas, el valor de la fila i con la columna j, corresponde a la covarianza entre la variable i y la variable j. Así, la covarianza de una variable con ella misma es la varianza. Por lo tanto, la diagonal de la matriz de covarianzas son las varianzas de las variables. Esto se muestra en la siguiente matriz. Por esta razón, la matriz de covarianzas es llamada también la matriz Varianza-Covarianza. [ ] La matriz de Varianza-Covarianza se halla con el producto de las matrices de la Ec. 7. Donde: [ ] [ ][ ][ ] [ ]: Es la matriz de Varianza-Covarianza. [ ]: Es la matriz de las desviaciones estándar de los activos (ver Ec. 8). [ ] [ ] Al realizar el producto de matrices se obtiene la matriz de Varianza-Covarianza (ver Ec. 9). [ ] [ ] La diagonal de la matriz Varianza-Covarianza corresponde a la varianza de cada uno de los activos. La desviación estándar del portafolio, multiplicar las matrices de la Ec. 10. [ ] [ ][ ], se obtiene al En la Ec. 11 el término VaR indiv corresponde a un vector (1xn) de cada uno de los VaR de los activos individuales que conforman el portafolio. C es la matriz de correlaciones (nxn) y VaR T es el vector transpuesto de los VaR individuales (nx1). A este método se le conoce también como el VaR diversificado porque toma en cuenta las correlaciones de los rendimientos de entre los activos. De esta manera, el VaR diversificado es menor que la suma aritmética de los VaR individuales. 3. METODOLOGÍA El objetivo de esta investigación es demostrar los beneficios de la diversificación internacional, en un portafolio de inversión inicial sin diversificación internacional conformado sólo por acciones que cotizan en la Bolsa de Valores de Colombia (BVC). Este portafolio inicial está conformado por las siguientes acciones con sus respectivas proporciones (ver tabla 1). INSTRUMENTO FINANCIERO Tabla 1. Portafolio inicial. % Ecopetrol 15,00% Bancolombia 12,00% Prec 11,00% Celsia 11,00% Almacenes Éxito 10,00% Nutresa 10,00% Grupo Argos 9,00% Cementos Argos 9,00% Banco de Occidente 6,00% Inversiones Sura 3,00% Isa 2,00% Corficolombiana 1,00% Isagen 1,00% El portafolio inicial fue diversificado en proporciones del 5%, 10% y 15%, con cada uno de estos cinco índices bursátiles que se muestran en la tabla 2 con su respectivo país. Tabla 2. Índices bursátiles internacionales. Donde: [ ] : Es el vector de pesos transpuesto de las posiciones del portafolio (1xn) [ ]: Matriz de Varianza-Covarianza. [ ]: Vector de pesos de las proporciones del portafolio (nx1) Al calcular los vectores y las matrices anteriores, el VaR del portafolio se halla con la Ec. 11. ÍNDICE BURSÁTIL S&P 500 DAX NIKKEI 225 HANG SENG COLCAP PAÍS Estados Unidos Alemania Japón China Colombia [ ] [ ]

4 De esta manera, se obtuvieron 16 portafolios diferentes: el portafolio inicial y 15 portafolios diversificados. La conformación de estos portafolios se muestra en la tabla 3. Tabla 3. Conformación de cada portafolio. INSTRUMENTO FINANCIERO % % % Ecopetrol 14,25% 13,50% 12,75% Bancolombia 11,40% 10,80% 10,20% Prec 10,45% 9,90% 9,35% Celsia 10,45% 9,90% 9,35% Almacenes Éxito 9,50% 9,00% 8,50% Nutresa 9,50% 9,00% 8,50% Grupo Argos 8,55% 8,10% 7,65% Cementos Argos 8,55% 8,10% 7,65% Banco de Occidente 5,70% 5,40% 5,10% Inversiones Sura 2,85% 2,70% 2,55% Isa 1,90% 1,80% 1,70% Corficolombiana 0,95% 0,90% 0,85% Isagen 0,95% 0,90% 0,85% ÍNDICE BURSÁTIL 5,00% 10,00% 15,00% TOTAL 100,% 100,% 100,% Para cada portafolio se calculó el VaR utilizando el método paramétrico Varianza-Covarianza con series de tiempo diarios y se calculó la rentabilidad para cada instrumento financiero en función del logaritmo. El VaR del portafolio inicial se comparó con el VaR de los otros 15 portafolios para determinar sí la diversificación internacional reduce el VaR del portafolio. 4. RESULTADOS Se utilizaron para cada uno de los instrumentos financieros 747 datos, con los precios de cierre diarios de cada uno desde el 1 de octubre de 2010 hasta el 17 de octubre del Se trabajó con el supuesto de invertir millones de pesos, una volatilidad diaria y un nivel de confianza del 99%, es decir, con un valor de z de 2,33. Con todos estos datos se calcularon los 15 VaR de los portafolios diversificados al igual que el VaR del portafolio inicial, para un total de 16 resultados. En la ilustración 1 se muestran los resultados obtenidos cada de los VaR con cada uno de los índices bursátiles. Además puede apreciarse el VaR obtenido con cada uno de los índices bursátiles. Las barras de color negro representan el VaR del portafolio inicial. $ $ $ $ $ $ Ilustración 1. VaR de los 16 portafolios. EL VaR del portafolio inicial, con un nivel de confianza del 99% es de $ , esto es, un inversionista tiene una probabilidad del 99% de perder en un día $ sí invierte en este portafolio 1 millón de pesos. En la tabla 4, es evidente que los portafolios diversificados con los índices bursátiles en diferentes proporciones, ocasiona que el VaR disminuya. A medida que aumenta la proporción de cada índice en el portafolio, el VaR del portafolio disminuye. Por lo tanto, el VaR de menor cantidad se obtiene con una diversificación del 15% con cualquiera de los cinco índices bursátiles utilizados. Tabla 4. VaR de cada uno de los portafolios diversificados internacionalmente. ÍNDICE BURSÁTIL S&P 500 DAX NIKKEI 225 HANG SENG COLCAP VaR de los portafolios VaR Inicial 5% 10% 15% % VaR VARIACIÓN 5% $ ,33% 10% $ ,17% 15% $ ,71% 5% $ ,08% 10% $ ,96% 15% $ ,52% 5% $ ,50% 10% $ ,33% 15% $ ,87% 5% $ ,50% 10% $ ,33% 15% $ ,86% 5% $ ,51% 10% $ ,34% 15% $ ,88% El menor VaR de los 16 calculados, corresponde al portafolio diversificado con una proporción del 15% del índice COLCAP.

5 Este VaR comparado con el VaR del portafolio inicial, es 3,88% menor (tabla 4). El segundo portafolio con el VaR de menor magnitud, corresponde al portafolio diversificado en un 15% con el índice NIKKIE 225 de Japón, este VaR es 3,87% menos que el VaR del portafolio sin la diversificación internacional. Por último, en tercer lugar está el portafolio que contiene un 15% del índice HANG SENG, en el que su VaR fue de $ , que comparado con el portafolio inicial, es menor en un 3,86%. CONCLUSIONES La diversificación internacional de portafolios es un método útil para mitigar el riesgo intrínseco en la composición del mismo. A medida que se agregan proporciones de índices bursátiles, la rentabilidad del portafolio tendrá menos volatilidad, permitiendo que el VaR sea menor. Según los resultados obtenidos en el cálculo del VaR paramétrico por el método de la Varianza-Covarianza, la mejor proporción a la que se debe invertir en un índice bursátil es del 15% del total del portafolio. Lo anterior se evidencia con el mayor descenso del VaR con diversificaciones de estas proporciones en el portafolio conformado con acciones que cotizan en la Bolsa de Valores de Colombia. [8] K. Kiani, Relationship between portfolio diversification and value at risk: Empirical evidence, Emerging Markets Review, Vol. 12, 2011, pp [9] H. Levy and M. Sarnat, International portfolio diversification of investment portfolios, The American Economic Review, Vol. 60, No. 4, 1970, pp [10] J. Hull, Risk management and financial institutions, Boston:Pearson Education, Inc [11] P. Jorion, Value at risk: the new benchmark for managing financial risk. New York: McGraw-Hill, [12] G. Sirr, J. Garvey and L. Gallagher, Emerging markets and portfolio foreign exchange risk: An empirical investigation using a value-at-risk decomposition technique, Journal of International Money and Finance, Vol. 30, 2011, pp Asimismo, los portafolios de inversión pueden tener una mejor diversificación sí se agregan índices bursátiles en su conformación, en especial los índices colombiano COLCAP, NIKKIE 225 y HANG SENG. REFERENCIAS [1] M. Crouhy, D. Galai and R. Mark, The essentials of risk management. New York: McGraw-Hill, [2] N. Coeurdacier and S. Guibaud, International portfolio diversification is better than you think, Journal of International Money and Finance, Vol. 30, 2011, pp [3] R. De Santis and B. Gérard, International portfolio reallocation: Diversification benefits and European monetary union, European Economic Review, Vol. 53, 2009, pp [4] J. Driessen and L. Laeven, International portfolio diversification benefits: Cross-country evidence from a local perspective, Journal of Banking & Finance, Vol. 31, 2007, pp [5] E. Eiling, B. Gérard, P. Hillion and F. De Roon, International portfolio diversification: Currency, industry and country effects revisited, Journal of International Money and Finance, Vol. 31, 2012, pp [6] F. Rezayat and B. Yavas, International portfolio diversification: A study of linkages among the U.S., European and Japanese equity markets, J. of Multi. Fin. Manag., Vol. 16, 2006, pp [7] H. Shawky, R. Kuenzel and A. Mikhail, International portfolio diversification: a synthesis and an update, Journal of International Financial Markets, Institutions and Money, Vol. 7, 1997, pp