VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

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1 VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

2 BIBLIOGRAFIA Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres, Sharon L.: Probabilidad y Estadística para Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana. Canavos G. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc Graw Hill.

3 VARIABLES ALEATORIAS En muchas situaciones, los resultados de un fenómeno aleatorio son valores no numéricos. Ejemplo: Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa si son defectuoso o no. S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD

4 VARIABLES ALEATORIAS Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente poder responder a preguntas planteadas con respecto al fenómeno en estudio. Por lo que se requiere que los resultados de la observación se registren como valores numéricos, es decir se asigne un número real a cada uno de los eventos del espacio muestral.

5 VARIABLES ALEATORIAS Ejemplo: Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa si son defectuosos (D) o no (N). Se define : Número de componentes defectuosos

6 VARIABLE ALEATORIA Definición Una variable aleatoria es un función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria se denomina Rango de la Variable Aleatoria. Si una variable aleatoria se denota por entonces el rango se denota. R :S / s x

7 RANGO DE UNA VARIABLES ALEATORIAS : Número de componentes defectuosos Eventos de Espacio Muestral Valores de NNN 0 NND 1 NDN 1 DNN 1 DDN 2 DND 2 NDD 2 DDD 3 NNN 0 NND NDN DNN 1 DDN DND NDD 2 DDD 3 R 0,1, 2, 3

8 VARIABLE ALEATORIA Ejemplos: El resultado obtenido al lanzar un dado. El número de personas que llegan a un local en un periodo de tiempo dado. El número de piezas defectuosas obtenidas en una muestra de 200 unidades de un proceso productivo. El tiempo que tardan en ser atendidas las personas que llegan a un banco.

9 CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Variable Aleatoria Discreta Si toma sólo un conjunto de valores enteros. Ejemplos: El número de caras en diez lanzamientos de una moneda Número de llamadas telefónicas por hora que ingresan a un Call Center. El número de camiones que llegan por hora al Puerto del Callao

10 CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Variable Aleatoria Continua Si toma cualquier valor dentro de un conjunto o rango de valores. Ejemplos: Peso de recién nacidos Tiempo de atención en una agencia bancaria Ingreso mensual

11 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

12 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD La Función de Probabilidad o Función de Densidad de una variable aleatoria discreta esta dado por: f x P x La función de probabilidad asigna a valor x de la variable aleatoria la probabilidad de que tome el valor x. Importante: f x 0 x R f x 1

13 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD El conjunto de pares de la forma x,f x, recibe el nombre de Distribución de Probabilidad de la Variable Aleatoria. Valores de (Rango) Probabilidad de que tome el valor x P x 0 f 0 P f 1 P f 2 P Distribución de Probabilidad de f x f 3 P Total R f x P x 1 R

14 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD La asignación de probabilidades para la variable aleatoria están en términos de las probabilidades de los elementos del espacio muestral S.

15 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Si es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f x, entonces la Función de Distribución o Función de Distribución Acumulada esta dado por: F a P a P x xa Expresado en términos de la función de probabilidad F a P a f x xa

16 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Para variable aleatorias discretas se cumple: P a P a P a P a 1 P a P a 1 P a P a b F b F a P a b F b F a f a

17 VALOR ESPERADO Y VARIANZA Sea es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f x entonces: La media o valor esperado de es: La varianza de es: E xf x x R x R 2 V x E f x

18 VALOR ESPERADO Y VARIANZA Ejemplo: : Número de componentes electrónicos defectuosos f x x3 E xf x x0 Distribución de Probabilidad de E E 1.5

19 VALOR ESPERADO Y VARIANZA Ejemplo: : Número de componentes electrónicos defectuosos f x x3 2 V x E f x x0 2 2 V V Distribución de Probabilidad de

20 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

21 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD La Función de Probabilidad o Función de Densidad de una variable aleatoria continua es una función que cumple : f x 0 f x dx 1

22 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Si es una variable aleatoria continua con función de probabilidad f x, entonces la Función de Distribución o Función de Distribución Acumulada esta dado por: a F a P a f x dx

23 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad: x 0 x 6 f x 18 0 en otro caso Cuál es la probabilidad de que una aleación tenga un contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8?

24 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Probabilidad de que una aleación tenga un contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8 P F 4.8 F x x P dx dx Lo cual es equivalente a: P x P dx

25 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Para variable aleatorias continuas se cumple: P a P a P a 1 P a P a b F b F a Pa b Pa b Pa b

26 VALOR ESPERADO Y VARIANZA Sea es una variable aleatoria continua con función de probabilidad f x entonces: La media o valor esperado de es: La varianza de es: E xf x dx 2 V x E f x

27 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad: x 0 x 6 f x 18 0 en otro caso Calcular, el valor esperado y la varianza

28 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Valor esperado del contenido de magnesio x x E xf x dx x dx dx E 4 Varianza del contenido de magnesio x V x E f x dx x 4 dx 18 V 2 0

29 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO Sea y Y dos variables aleatorias y c una constante real, para toda variable aleatoria se cumple: E Y E EY Ec c ce E c E c E c

30 PROPIEDADES DE LA VARIANZA Sea y Y dos variables aleatorias y c una constante real, para toda variable aleatoria se cumple: V Y V VY 2CovY Vc 0 c 2 V V c V c V

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