TEMA 4 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Transcripción

1 TEMA 4 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Introducción. Bloque de herramientas Transformar. Mosaicos. Mosaicos regulares. Mosaicos irregulares. Actividades propuestas. INTRODUCCIÓN En este tema expondremos las diferentes herramientas disponibles en Geogebra que utilizaremos en la realización de simetrías (Reflexión), giros (Rotación), traslaciones (Translación) y homotecias (Dilatación). Los primeros ejemplos estarán dedicados a las distintas transformaciones en el plano para finalizar con ejemplos de mosaicos. BLOQUE DE HERRAMIENTAS PARA TRANSFORMACIONES En este bloque encontramos el menú de herramientas siguiente:

2 Simetría (Reflexión de un objeto dado el punto de simetría central) Realiza una simetría central, por lo que aplica un giro de 180º con respecto a un punto. Para realizar la simetría se podrá utilizar uno de los vértices del objeto inicial, uno de los puntos de su perímetro o cualquier otro punto del plano. Simétrico de este polígono Simétrico de este polígono Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 55

3 Evidentemente, los objetos obtenidos dependen del objeto inicial y del punto con respecto al cual se ha realizado la simetría. Simetría axial (Reflexión de un objeto dada la recta de simetría axial) Dibuja la figura simétrica de un objeto con respecto a un eje que puede ser una recta, una semirrecta, un segmento, un vector, un eje o el lado de un polígono. El proceso se iniciará al marcar el objeto del cual deseamos obtener su simétrico, a continuación, señalaremos el eje con respecto al que se realizará la simetría. Simétrico de este polígono Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 56

4 El objeto obtenido como simétrico es un objeto dependiente del objeto inicial, por lo que para cambiar su aspecto tendremos que modificar el aspecto del original. También cambiará, aunque en este caso sólo de posición, al variar el eje de simetría. Traslación Crea la imagen de un objeto al que aplica una traslación determinada por un vector creado previamente. Trasladar este polígono El objeto obtenido depende del objeto inicial y del vector con respecto a cual se ha realizado la traslación. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 57

5 Rotación Dibuja la imagen de un objeto al que aplica un giro cuyo ángulo está determinado por un valor numérico. Una vez seleccionada la herramienta de Rotación, señalamos el polígono, después el punto y aparecerá una ventana para introducir el ángulo: Rotar este polígono Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 58

6 Homotecia Crea la imagen de un objeto que reduce o amplía según un valor numérico que determina el factor de homotecia. Una vez seleccionada la herramienta de Dilatación, señalamos el polígono, después el punto y aparecerá una ventana para introducir el factor: Homotecia de este polígono Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 59

7 Ejemplo 1 Sea A y B dos puntos que están en el mismo lado de una recta r. Encontrar el camino mínimo desde el punto A hasta B pasando por un punto de la recta. Dibujamos una recta r y los dos puntos A y B. El problema quedará resuelto al determinar el punto C en la recta que hace que AC+CB sea el camino más corto. Utilizando la herramienta Simetría axial (Reflexión de un objeto dada la recta de simetría axial) obtenemos el punto A' simétrico de A con respecto a la recta r. El camino más corto es A'C+CB siendo C el punto de intersección del segmento A'B con la recta r. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 60

8 Por tanto si A'C+CB es el camino más corto, como AC=A'C, tenemos el camino más corto para ir desde A hasta B pasando por un punto de la recta r. Recordar que este enunciado corresponde a problemas como el siguiente: Un pájaro está sobre la rama de un árbol (A) situado al borde de un río y desea pasar a otro árbol situado en la orilla izquierda (B), aprovechando para beber agua sin parar su vuelo. Hacia qué punto del río debe dirigirse para hacer el recorrido más corto? Ejemplo 2 Construir un cuadrado a partir del segmento correspondiente al lado. Es posible determinar los vértices utilizando sólo la herramienta Rotación? Generalizar el método anterior para dibujar otros polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 61

9 Para dibujar un cuadrado a partir del segmento AB correspondiente al lado bastará con trazar perpendiculares al lado por lo puntos A y B. A continuación, utilizando la herramienta Compás dibujamos las circunferencias de radio AB con centro en A y B, respectivamente. Los puntos de corte con las rectas anteriores serán los dos vértices que necesitamos para completar el cuadrado que dibujaremos utilizando la herramienta Polígono. Para realizar la construcción de un cuadrado utilizando la herramienta Rotación bastará con girar un ángulo de 90 el punto B con respecto al punto A y girar 270 el punto A con respecto al extremo B. Los dos puntos que obtenemos son vértices del cuadrado que dibujaremos de nuevo utilizando la herramienta Polígono. La herramienta Rotación podemos aplicarla a un punto de una circunferencia para obtener polígonos regulares. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 62

10 Por ejemplo para obtener un pentágono regular inscrito en una circunferencia bastará con girar un punto con respecto al centro, según un ángulo igual al ángulo central correspondiente al lado del pentágono que es de 72. Una vez obtenido el primer vértice basta repetir el proceso para obtener cada uno de los puntos que determinan el pentágono regular. Ejemplo 3. Construir un triángulo, a partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido. Una vez dibujados los segmentos AB y AC correspondientes a los lados y el ángulo A que previamente hemos medido utilizando la herramienta Ángulo, trazamos una semirrecta a la que trasladaremos las distintas medidas. Con la herramienta Compás dibujamos sendas circunferencias de radios AC y AB tomando como centro el origen de la semirrecta, que corresponderá al vértice A del triángulo buscado. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 63

11 Estas circunferencias determinan dos puntos de intersección con la semirrecta, que corresponden al vértice B del triángulo y a un punto C que da la distancia del segundo lado. Utilizamos la herramienta Rotación para girar el punto C alrededor del punto A con ángulo de rotación igual al ángulo medido en A; obtendremos el punto C' que corresponde al tercer vértice del triángulo. Ejemplo 4 Comprobar que la composición de dos homotecias de centros diferentes es una homotecia cuyo centro está alineado con los anteriores y su razón de homotecia es el producto de las razones. Dibujamos un triángulo ABC, dos puntos O y O' que utilizaremos como centros de las sucesivas homotecias y dos valores numéricos introducidos a través de la herramienta Edición numérica, que serán 2 y 1'5. Realizamos la primera homotecia del triángulo con centro en O y razón 2 y, al triángulo obtenido le aplicamos una nueva homotecia de razón 1'5 y centro O'. Para determinar el centro de la composición de las dos homotecias trazamos dos rectas que unan puntos homotéticos del primer y del tercer triángulo; el punto de intersección O'' corresponde al centro de la homotecia composición. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 64

12 Para hallar la razón k de la homotecia composición bastará con aplicar la definición de O'' A'' homotecia en la que se cumple la relación: = k. O'' A MOSAICOS Un mosaico se construye repitiendo de forma ordenada una o varias figuras geométricas para rellenar el plano o el espacio, sin dejar huecos ni producir solapamientos. Ejemplo 6 Construir un mosaico utilizando un triángulo cualquiera. Dibujamos un triángulo ABC que rellenamos de color y en él marcamos los vectores AB y AC. Utilizando la herramienta Traslación realizamos dos traslaciones del triángulo ABC tomando como vectores BC y BA respectivamente. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 65

13 Repitiendo el proceso de traslación sobre los nuevos triángulos, utilizando los mismos vectores, obtendremos el mosaico formado con el triángulo ABC. Podemos deformar el triángulo ABC para observar los cambios en el mosaico anterior. Ejemplo 7 Construcción de un mosaico a partir de una figura geométrica irregular. En un triángulo equilátero ABC dibujado a través de la herramienta Polígono regular construimos una figura geométrica con la cual realizaremos un mosaico a través de traslaciones. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 66

14 A partir del punto A, con final en el punto B, dibujamos tres segmentos que no tienen por qué ser iguales, aunque recomendamos definir un polígono al que después realizaremos un giro de 60 con centro en el punto A. Definimos el punto F como punto medio del lado BC del triángulo y un punto G interior al triángulo sobre el que realizamos una simetría con respecto al punto F para obtener el punto G'. Con la herramienta Polígono definimos la figura geométrica que vamos a utilizar para realizar el mosaico que rellenamos para mejorar el efecto. A continuación realizando traslaciones con respecto a los vectores AB y CB obtendremos el correspondiente mosaico. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 67

15 MOSAICOS REGULARES Corresponden a diseños obtenidos a partir de repeticiones de un solo tipo de polígono regular. El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono son los únicos polígonos regulares con los que se puede cubrir el plano sin producir solapamientos ni dejar huecos. Mosaicos cuasirregulares son aquellos formados por polígonos iguales tales que los polígonos obtenidos al unir sus puntos medios son regulares. MOSAICOS SEMIRREGULARES Se obtienen combinando distintos polígonos regulares de manera, que la distribución de los polígonos alrededor de cualquier vértice es siempre la misma. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 68

16 Otros mosaicos se obtienen aplicando a un paralelogramo con alguna decoración dos traslaciones de vectores con distinta dirección convenientemente elegidos. Famosos son los mosaicos que podemos contemplar en la Alhambra como los construidos a partir de figuras denominadas "hueso" o "avión". En otros mosaicos la región se tesela por traslaciones como resultado de aplicar algunos movimientos sobre una zona más pequeña denominada generador del mosaico. ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Entre los pueblos A y B, separados por un río, se va a construir una carretera que incluye un puente perpendicular al río. Dónde debe construirse el puente para que la carretera sea lo más corta posible, suponiendo que los trayectos desde A al puente y desde el puente a B se hacen en línea recta? Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 69

17 A B 2. Sea ABC un triángulo acutángulo y P un punto sobre el lado AB. Obtener los puntos Q y R en los lados AC y BC respectivamente, tales que el perímetro del triángulo PQR sea mínimo. 3. Las rectas r y s son mediatrices de un triángulo ABC. Conocido el vértice A, obtener los dos vértices restantes. 4. Las semirrectas Ax y By son dos bisectrices del triángulo ABC. Construir el triángulo. 5. Dibujar un triángulo a partir del segmento correspondiente a un lado y de los dos ángulos adyacentes. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 70

18 6. En un billar rectangular, determinar el trayecto que recorre la bola A para dar en la bola B después de tocar en dos bandas. 7. Sea ABCDE un pentágono, O y C' dos puntos interiores. Obtener el pentágono A'B'C'D'E' con respecto a una homotecia de centro O, que transforme C en C'. Determinar la razón de esta homotecia. 8. Comprobar que la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos coincide con una traslación. Determinar el vector de la traslación. 9. Dibujar un triángulo ABC y construir su triángulo homotético de razón k. Qué relación existe entre el área y el perímetro de los dos triángulos homotéticos. 10. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprobar que los puntos simétricos del punto P con respecto a cada uno de los lados del triángulo están alineados. Esta recta, denominada recta de Steiner, es paralela a la recta de Simson y pasa por el ortocentro del triángulo. 11. Un anciano tiene un terreno con forma triangular en el que hay un pozo, que quiere dejar como herencia a sus dos hijos. Cómo puede dividir el terreno en dos partes iguales de manera que el pozo se encuentre en la linde de las dos partes? 12. Sean A y B dos puntos cualesquiera del interior de dos semirrectas con origen común en el punto O. Determinar los puntos M y N en cada una de las semirrectas de manera que el camino AM, MN y NB sea de longitud mínima. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 71

19 13. Sea A un o de los puntos comunes en los que se cortan dos circunferencias. Dibujar una recta que, pasando por A, determine cuerdas de longitud igual en ambas circunferencias. 14. En el triángulo ABC trazar un segmento igual y paralelo al segmento s cuyos extremos estén sobre lados del triángulo. 15. Realizar el siguiente mosaico utilizando un cuadrilátero. 16. Utilizando simetrías construir el mosaico dibujado en el ejemplo 7. Construir un mosaico semirregular. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 72

20 17. Utilizando como generador mínimo la siguiente baldosa, aplicarle distintas isometrías para construir mosaicos. 18. Encontrar el generador mínimo en los siguientes mosaicos:. Agustín Carrillo de Albornoz Torres y José Mª. Chacón Íñigo - 73