TERCER SEMINARIO INTERINSTITUCIONAL DE MATRICES ALEATORIAS 26, 27 Y 28 DE ABRIL DE 2011

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1 TERCER SEMINARIO INTERINSTITUCIONAL DE MATRICES ALEATORIAS 26, 27 Y 28 DE ABRIL DE 2011 PROGRAMA MARTES 26 DE ABRIL "Matrices Aleatorias y Teoría de Números I Universidad Nacional Autónoma de Temario 1. Introducción rápida a funciones L y a matrices aleatorias. 2. Prueba del Teorema de Montgomery para la correlación por pares de los ceros de la función zeta 3. n-nivel de densidades para familias de funciones-l. 4. Universalidad y filosofía de Katz-Sarnak. 5. Conjetura de Keating/Snaith y consecuencias probabilísticas pm "Representación Integral Estocástica para Modelos de Matrices Aleatorias" Alfonso Rocha Arteaga Universidad Autónoma de Sinaloa Esta plática está basada en un trabajo reciente acerca de la representación integral estocástica de modelos de matrices aleatorias. En ella presentaremos modelos de matrices aleatorias para las distribuciones infinitamente divisibles libres, como matrices aleatorias dadas por integrales estocásticas con respecto a procesos de Lévy matriciales. Para ello, la primera parte de la plática estará dedicada a la motivación y los elementos introductorios del tema: primero veremos algunos modelos de matrices aleatorias importantes, y luego veremos la conexión existente entre las distribuciones infinitamente divisibles (clásicas) en R y las distribuciones infinitamente divisibles libres en R; así como la caracterización de algunas de las clases más importantes de distribuciones infinitamente divisibles clásicas en R mediante integrales estocásticas con respecto a procesos de Lévy en R. Dirigida a estudiantes de últimos años de licenciatura, de posgrado e investigadores. Trabajo de investigación.

2 pm "Descripción de la Distribución Conjunta de Varios Ensambles Gaussianos Independientes" Carlos Vargas-Obieta Universität des Saarlandes Alemania Comenzamos introduciendo una manera combinatoria de entender la independencia estocástica a través de momentos mixtos, cumulantes y particiones. Notamos que los cumulantes de variables aleatorias Gaussianas independientes son muy sencillos, y de ellos puede derivarse fácilmente la fórmula de Wick para calcular los momentos mixtos de esta clase de variables. Si se reemplazan las particiones por particiones que no se cruzan, la distribución análoga a la Normal es la ley de Wigner, misma que describe la distribución de los eigenvalores de un ensamble Gaussiano normalizado. Surge una pregunta natural: Qué sucede cuando se consideran no solo uno, sino varios ensambles Gaussianos independientes? Sorprendentemente, al multiplicar ensambles Gaussianos independientes, los "momentos mixtos" se calculan de la misma manera que se calculan los momentos mixtos de variables Gaussianas, únicamente reemplazando las particiones por las particiones que no se cruzan. En particular, estos momentos mixtos de matrices aleatorias no conmutan, por lo que los modelos clásicos de probabilidad no permiten estudiar el comportamiento de estos ensambles. Esto nos motiva a definir espacios de probabilidad y variables aleatorias no conmutativos, y la independencia libre, que comenzaron a ser estudiados por Voiculescu en los 80's. Finalmente listaremos una gran cantidad de aplicaciones de Probabilidad libre en matrices aleatorias, que ya permiten entender modelos bastante sofisticados" La plática es de divulgación, está enfocada a estudiantes de licenciatura y la idea es que el 80% del contenido de la plática sea entendible para todo estudiante que haya llevado el curso más básico de probabilidad pm "Algunos Aspectos Numéricos de la Transformada de Stieltjes" Marío Alberto Díaz Torres Universidad de Guadalajara Comenzaremos la plática mostrando la importancia que tiene la evaluación numérica de la transformada de Stieltjes en el análisis de ciertos canales de comunicación inalámbrica. Dicha evaluación no se hará directamente de la definición, sino a través de la ecuación de punto fijo que resulta del teorema de Marchenko-Pastur en una forma dada por Silverstein. Posteriormente, discutiremos algunas propiedades analíticas de la transformada de Stieltjes que son relevantes para la implementación numérica de la solución. Finalizaremos mostrando los detalles técnicos de la implementación en MATLAB. Esta plática está dirigida a todas las personas interesadas en aplicaciones de teoría de matrices aleatorias donde la evaluación numérica de la transformada de Stieltjes de la distribución empírica sea relevante.

3 MIERCOLES 27 DE ABRIL "Matrices Aleatorias y Teoría de Números II" Universidad Nacional Autónoma de pm "Generación de Matrices Aleatorias con Distribución de Haar en los Grupos Compactos Clásicos" Dialid Santiago Primero se dará una breve introducción con los conceptos de grupos topológicos localmente compactos y la construcción de la medida de Haar ahí definida. Posteriormente se dará una descripción detallada de algunos métodos para generar matrices aleatorias con distribución de Haar en los grupos compactos clásicos, Ortogonal, Unitario y Simpléctico. También se expondrán ejemplos de aplicaciones en áreas como Mecánica cuántica y Teoría de números, donde se ilustra la necesidad de generar éstas matrices. Finalmente se dará un panorama acerca del problema de aproximación de matrices de Haar por medio de matrices con entradas independientes y con distribución Gaussiana. El material que se presentará en ésta charla es parte del trabajo de investigación que se ha realizado durante el curso de un proyecto de tesina de maestría, bajo la supervisión del Dr. Víctor Pérez-Abreu Carrión pm "Sobre el Proceso de Wishart Matricial" Eduardo Trujillo En esta ponencia se definirá un proceso estocástico continuo el cual posee distribución de Wishart para cada t fija. Se mostrará que este proceso cumple una ecuación diferencial estocástica y se definirá el proceso de Wishart. Se mostrarán teoremas de existencia y unicidad y algunas propiedades del proceso de Wishart, del proceso de sus eigenvalores e interpretaciones dinámicas de los procesos. La presentación va dirigida a personas con conocimiento de Cálculo Estocástico.

4 pm Matrices y Operadores Aleatorios Carlos González-Pacheco CINVESTAV Estudiaremos algunos resultados que indican relación entre los eigenvalores de matrices aleatorias y ciertos operadores estocásticos. En particular, la relación de los ensambles de Hermite y el llamado operador estocástico de Airy. JUEVES 28 DE ABRIL "Matrices Aleatorias y Teoría de Números III" Universidad Nacional Autónoma de pm "Sobre la Naturaleza Estadística de la Mecánica Cuántica" Héctor Morales Retomamos un punto de vista histórico pero abreviado, sobre el origen de la mecánica cuántica. Daremos un repaso sobre el estado de la física hacia finales del siglo 19. El énfasis está en el desarrollo de la teoría fundamental de Boltzmann para explicar el equilibrio termodinámico, lo que le permitió a Planck y a Einstein plantear y desarrollar la teoría de los cuantos sobre bases estadísticas pm "Probabilidad Cuántica, Representación Matricial de Heisenberg y Supersimetrías" Oswaldo González Gaxiola Universidad Autónoma Metropolitana-Cuajimalpa Se hará una breve introducción a la probabilidad cuántica y a la mecánica cuántica, se pondrá especial interés en el oscilador armónico y su representación matricial a la Heisenberg; además se establecerá mediante los operadores de carga, el Hamiltoniano supersimétrico para describir la dinámica de un sistema cuántico abierto pm Sesión de Discusión

5 EVENTO APOYADO POR LABEST-. ORGANIZADORES J. Armando Domínguez Molina, Universidad Autónoma de Sinaloa Alfonso Rocha Arteaga, Universidad Autónoma de Sinaloa Víctor Pérez Abreu, ASISTENTE DE LOS ORGANIZADORES Rosy Dávalos, IMAGEN Y DISEÑO DEL EVENTO Odalmira Soto, odalmira@cimat.mx