Introducción a la teoría clásica de matrices aleatorias

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1 Introducción a la teoría clásica de matrices aleatorias Primera Parte: Qué es una matriz aleatoria? El GOE(2) como primer ejemplo Eduardo Duéñez Departmento de Matemáticas Universidad de Texas en San Antonio XXXIII Aniversario Físico-Matemáticas U. A. Sinaloa, Octubre 2015 Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 1 / 27

2 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE 2 Variables Aleatorias Continuas Considere una función y = p(x) (x real) que satisface: 1 p es integrable. 2 p(x) 0 para toda x. 3 p(x)dx = 1. R Entonces p es la función de densidad de probabilidad (FDP) de una variable aleatoria X. La probabilidad de que X tome un valor en cierto intervalo [a, b] es Prob(a X b) = b a p(x)dx. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 2 / 27

3 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE 2 Ejemplo: Variable Aleatoria Gaussiana Figura : La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria gaussiana, también conocida como la curva normal o de Bell. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 3 / 27

4 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE 2 El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE 2 : matrices 2 2 reales simétricas Sea ( ) a b S = b c una matriz real simétrica de 2 2. Sean sus entradas variables aleatorias gaussianas independientes A, B, C, donde f A (a) = 1 2π e 1 2 a2, f B (b) = 1 π e b2, f C (c) = 1 2π e 1 2 c2. La matriz S es una variable aleatoria que está completamente determinada por los valores a, b, c de las tres variables aleatorias A, B, C. La FDP (conjunta) de la matriz S es: f S (a, b, c) = 1 2 π 3 e 1 2 (a2 +2b 2 +c 2) = 1 2 π 3 e 1 2 Tr(S2). Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 4 / 27

5 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 La FDP f S (a, b, c) del GOE 2 en principio permite encontrar la respuesta a preguntas como la siguiente: Pregunta Cuál es la probabilidad de que una matriz S GOE 2 tenga un eigenvalor λ [p, q], y otro µ [r, s]? Lo que efectivamente necesitamos es relacionar los eigenvalores λ, µ con las entradas a, b, c. Recordemos que S, siendo real y simétrica, debe tener dos eigenvectores v 1, v 2 R 2. Podemos incluso suponerlos normalizados para tener longitud 1. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 5 / 27

6 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Ejercicio Demostrar que, para un cierto ángulo θ [0, 2π) apropiado, podemos escribir los eigenvectores así: v 1 = (cos θ, sin θ) y v 2 = ( sin θ, cos θ). Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 6 / 27

7 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Las columnas de la matriz de 2 2 R = ( v 1, ( ) cos θ sin θ v 2 ) = sin θ cos θ son vectores unitarios ortogonales (perpendiculares). A una tal matriz R de n n se le llama matriz ortogonal. Se le puede caracterizar por la propiedad equivalente: R 1 = R T. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 7 / 27

8 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Recuerde que los eigenvalores λ, µ de una matriz real simétrica son reales, así que se puede diagonalizar la matriz S usando la matriz ortogonal R: ( ) ( ) ( ) ( ) a b cos θ sin θ λ cos θ sin θ = b c sin θ cos θ µ sin θ cos θ S = R Λ R 1. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 8 / 27

9 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Es natural formular preguntas involucrando simultáneamente los eigenvalores de la matriz S y el ángulo θ. Pregunta Cuál es la probabilidad de que λ, µ sean positivos (mientras que θ es arbitrario, es decir, un ángulo cualquiera en [0, 2π))? La respuesta está dada por una integral: Prob(λ > 0, µ > 0) = f S (a, b, c)da db dc donde R es cierta región complicada que consiste de los valores (a, b, c) para los cuales la matriz S tiene eigenvalores positivos. R Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 9 / 27

10 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Desafío Evaluar la integral sobre la región 1 2 π 3 R e 1 2 (a2 +2b 2 +c 2) da db dc R = {(a, b, c) a > 0, ac b 2 > 0}. (Nótese que R parametriza precisamente la región de matrices ( ) a b b c que tienen eigenvalores positivos.) Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 10 / 27

11 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Necesitamos cambiar variables de a, b, c a λ, µ, θ. La factorización S = RΛR 1 dice: a = λ cos 2 θ + µ sin 2 θ b = (λ µ) cos θ sin θ c = λ sin 2 θ + µ cos 2 θ. Obsérvese, sin embargo, que la aplicación (R, Λ) S := RΛR 1 no es uno a uno, sino (genéricamente) cuatro a uno. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 11 / 27

12 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Proposición El jacobiano del cambio de variables de a, b, c a λ, µ, θ es µ λ. Demostración. (a, b, c) (λ, µ, θ) = cos 2 θ sin 2 θ 2(λ µ) sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ sin θ (λ µ)(cos 2 θ sin 2 θ) sin 2 θ cos 2 θ 2(λ µ) sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ 2 sin θ cos θ = (λ µ) cos θ sin θ cos θ sin θ (cos 2 θ sin 2 θ). sin 2 θ cos 2 θ 2 sin θ cos θ }{{} =(sin 2 θ+cos 2 θ) 3 =1 (ejercicio) Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 12 / 27

13 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Observe que S 2 = ( a 2 + b 2 ) ab + bc ab + bc b 2 + c 2, así que e 1 2 a2 b c2 = e 1 2 (a2 +2b 2 +c 2) = e 1 2 Tr S2 = e 1 2 (λ2 +µ 2). En resumidas cuentas, Prob(λ > 0, µ > 0) = = 2π π µ λ e 1 2 (λ2 +µ 2 ) 8 π 3 dλ dµ dθ µ λ e 1 2 (λ2 +µ 2 ) 4 π dλ dµ dθ 2π. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 13 / 27

14 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Definición La función ɛ(λ, µ) = 1 4 π µ λ e 1 2 (λ2 +µ 2 ) es la densidad de probabilidad (conjunta) de los eigenvalores de GOE 2. Ejercicio ɛ(λ, µ) es una densidad de probabilidad conjunta: ɛ(λ, µ) = 1 R 2 4 µ λ e 1 2 (λ2 +µ 2) dµ dλ = 1. π Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 14 / 27

15 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Ejercicio Prob(λ > 0, µ > 0) = 1 4 π 0 = ,15). µ λ e 1 2 (λ2 +µ 2) dµ dλ Por tanto, la probabilidad de que ambos eigenvalores de una matrix GOE 2 sean positivos es aproximadamente 15 %. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 15 / 27

16 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE 2 La FDP de los Eigenvalores de GOE 2 Figura : Densidad (conjunta) de eigenvalores de GOE 2 en el plano λ-µ (amarillo = alta densidad). Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 16 / 27

17 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 Repulsión de Eigenvalores en GOE 2 Repulsión de Eigenvalores Pregunta Por qué es la probabilidad de que ambos eigenvalores de una matriz GOE 2 sean positivos tan pequeña (cerca de 15 % en vez de 25 %)? La respuesta la da el factor µ λ : nos revela que a los eigenvalores les choca juntarse. Ejercicio Pruebe que la densidad de probabilidad de la distancia ( hueco ) s := µ λ es p(s) = s 2 e s2 /4 para s 0. (Hecho originalmente descubierto por el físico E. Wigner.) Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 17 / 27

18 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 Repulsión de Eigenvalores en GOE 2 La Densidad de Probabilidad p(s) de los Huecos de GOE 2. Figura : La FDP p(s) = (s/2)exp( s 2 /4) para la variable s = µ λ que da la longitud del hueco entre eigenvalores de GOE 2. El hueco promedio tiene longitud 0 s p(s)ds = π 1,77. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 18 / 27

19 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La 1-Densidad de Eigenvalores de GOE 2 1-Densidad de Eigenvalores en GOE 2 Pregunta Cuál es la distribución de un solo eigenvalor de matriz GOE 2? La respuesta está dada por la PDF marginal con respecto a cualquiera de las variables de la PDF de los eigenvalores ɛ(λ, µ): δ(λ) := ɛ(λ, µ) dµ. Ejercicio δ(λ) = λe 1 2 λ λ 2π e 1 2 µ2 dµ } λ {{ } erf(λ) π e λ2. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 19 / 27

20 Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE 2 La 1-Densidad de Eigenvalores de GOE 2 1-Densidad de Eigenvalores en GOE 2 Figura : 1-densidad de eigenvalores de GOE 2. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 20 / 27

21 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Mecánica Cuántica Niveles de Energía de Sistemas Cuánticos Complicados Las matrices aleatorias fueron introducidas por el físico E. Wigner para estudiar la distribución de los niveles de energía de sistemas cuánticos complicados. El hamiltoniano del sistema cuántico (digamos, un átomo) es un operador (similar a una matriz de tamaño infinito). Se obtiene una buena aproximación al comportamiento estadístico observado en los niveles de energía al remplazar al hamiltoniano por una matriz grande y a los niveles de energía por sus eigenvalores. siempre y cuando la matriz tenga las mismas simetrías que el hamiltoniano original. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 21 / 27

22 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Mecánica Cuántica Histograma de Resonancias Neutrónicas Figura : Líneas de resonancia de 232 Th y 238 U en el rango ev. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 22 / 27

23 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Familias Gaussianas Familias de Matrices Aleatorias {(S N, P N )} N=1,2,3,... es una familia de matrices aleatorias si: Cada S N es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad P N. Los elementos (muestras) de S N son matrices del mismo tamaño que comparten alguna propiedad (misma estructura o simetría). El tamaño de las matrices en S N tiende a infinito conforme N. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 23 / 27

24 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Familias Gaussianas Conjuntos Gaussianos de Matrices Aleatorias Conjunto Gaussiano Ortogonal (GOE): Sistemas físicos invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo, espin total entero. Conjunto Gaussiano Unitario (GUE): Sistemas no invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo. Conjunto Gaussiano Simpléctico (GSE): Sistemas invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo, espin total medio entero. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 24 / 27

25 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Familias Gaussianas Un Poco de Historia Datos experimentales de resonancias neutrónicas fueron obtenidos por físicos nucleares en los 1940 s y 1950 s. El fenómeno de repulsión de niveles de energía fue observado empíricamente (C. E. Moore, Harvey and Hughes, Rosen et al). En los 1950 s, E. P. Wigner introduce familias de matrices aleatorias reales simétricas así como complejas hermitianas de N N con entradas estadísticamente independientes (incluyendo las familias gaussianas) como modelo teórico del comportamiento estadístico de niveles de energía. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 25 / 27

26 Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Familias Gaussianas Un Poco de Historia Wigner prueba la Ley del Semicírculo (la cual describe la densidad de eigenvalores cuando N ). Wigner conjetura la distribución de los huecos (aunque su conjetura no era realmente correcta), basado en un argumento heurístico y en sus cálculos exactos con matrices pequeñas. En 1960, Porter y Rosenzweig analizan los datos experimentales y generan matrices tipo Wigner, encontrando relativamente buen acuerdo entre las estadísticas de los niveles de energía y los eigenvalores de las matrices. Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 26 / 27

27 Referencias Apéndice Referencias P. J. Forrester. Log-gases and random matrices, volume 34 of London Mathematical Society Monographs Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, Madan Lal Mehta. Random Matrices, Volume 142, Third Edition. Academic Press, 3 edition, Nov F. Mezzadri and N. C. Snaith, editors. Recent perspectives in random matrix theory and number theory, volume 322 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 27 / 27