Tema 8: Estimación por intervalos de confianza.

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1 Estadística 84 Tema 8: Estimación por intervalos de confianza. 8.1 Introducción. Cuando tratamos la estimación puntual, uno de los problemas que se plantearon es que el valor de la estimación es sólo uno de los valores (posiblemente infinitos) del estimador, obtenido al extraer una muestra concreta, de forma que si extraemos dos muestras distintas, las estimaciones serán distintas. Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error, y sería deseable proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro. En este tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un intervalo cuyos extremos son variables que dependen de la muestra, y en el cual se confía que esté el valor de parámetro. El intervalo se obtendrá a partir de un estadístico generalmente relacionado con un estimador puntual, cuya distribución no depende del parámetro desconocido, y una medida de la validez del intervalo es el nivel de confianza, que indica la proporción de intervalos de todos los que se podrían construir a partir de muestras distintas, que realmente contienen al parámetro. Para comprender mejor el concepto de intervalo de confianza y la forma en que estos se construyen, vamos a comenzar presentando un ejemplo sencillo: Ejemplo: Intervalo de confianza para la media de una v.a. con distribución normal y varianza ( ) conocida. Sea X una v.a. con distribución N(µ, ) y sea X 1,..., X n una m.a.s. de esta distribución. Como ya hemos visto en el tema anterior, el estimador X de µ, que se define como: X = n es una suma de variables aleatorias con distribución normal e independientes (pues X 1,..., X n lo son) y, por tanto, tiene distribución normal. Su media es µ y su varianza variable, se tiene que: X µ / n X i n N(0, 1). n. Si estandarizamos esta Obsérvese que esta variable aleatoria tiene distribución conocida e independiente del valor del parámetro µ, que por otra parte es el único valor desconocido de la variable una vez extraída una m.a.s. concreta de tamaño n. Esto es lo que nos va a permitir construir el intervalo de confianza para µ. Si fijamos un nivel 1 de confianza, pretendemos que para un (1 )100 % de las muestras de tamaño n posibles, el valor de µ esté incluido en el intervalo que vamos a construir. Para ello, vamos a considerar el valor z IR para el cuál p( z Z z) = 1, donde Z es una variable aleatoria con distribución N(0, 1). (Recuérdese que esto significa que el (1 )100 % de los valores de la variable Z que extraigamos al azar, estarán en el intervalo ( z, z)). ( En particular, p z X µ ) / n z = 1.

2 Estadística 85 Qué significa esto? Que para el (1 )100 % de las muestras de tamaño n de la v.a. X, al obtener X y formar el cociente anterior, ese valor estará entre -z y z. Si en: despejamos µ, se obtiene: que es el intervalo correspondiente. z X µ / n z X z n µ X + z n Observación 1 (a) Los extremos del intervalo, X ± z n, son variables aleatorias que dependen de la muestra, es decir, para cada muestra distinta, tomarán un valor diferente. (b) El valor del parámetro, aunque desconocido, es un valor fijo. (c) El valor z que interviene en el intervalo, es el valor que corresponde a una probabilidad acumulada de 1, y se obtiene fácilmente a partir de la tabla de la N(0, 1); denotaremos este punto por z 1. (Puesto que en el intervalo (-z,z) debe haber una probabilidad 1, en las colas debe quedar distribuida una probabilidad de y de ahí que p(z z) = 1.) 8. Distribuciones en el muestreo de algunos estadísticos. Para obtener el intervalo anterior, hemos utilizado un estadístico que depende de la muestra y del parámetro ( X µ / ), cuya distribución es conocida e independiente del parámetro. Esto sugiere que n para construir intervalos de confianza para otros parámetros o en otras condiciones (por ejemplo, si no se conoce ), es necesario utilizar estadísticos similares, con distribución conocida. Vamos a estudiar algunos de estos estadísticos y a introducir algunas distribuciones importantes, relacionadas con la distribución normal. (a) Distribución muestral de ns para una v.a. N(µ, ). Distribución χ n. Definición 1 Sean Z 1,..., Z n v.a. con distribución N(0, 1) e independientes. Entonces la v.a. X = Z 1 + Z Z n se dice que tiene una distribución ji-cuadrado con n grados de libertad y se denota por χ n. Propiedades 1 i. S X = [0, ). ii. E(X) = n y V ar(x) = n. iii. Propiedad de reproductividad: Si X 1,..., X k tienen distribuciones χ n i, i = 1,..., k, y son independientes, entonces la variable X = grados de libertad. k X i tiene distribución χ n con n = k n i iv. Si Z es una v.a. con distribución χ n, X es una v.a. con distribución χ n 1, n > n 1, y Z = X+Y con X e Y variables independientes, entonces Y tiene distribución χ n n 1.

3 Estadística 86 A partir de esta nueva distribución vamos a comprobar (de forma un poco imprecisa) el siguiente resultado: Proposición 1 Sea X una v.a. con distribución N(µ, ) y sea X 1,..., X n una m.a.s. de esta distribución. Entonces el estadístico ns tiene distribución χ n 1. Demostración Vamos a desarrollar Por tanto, ns = n (X i X) n (X i µ + µ X) = = n (X i µ) + (µ = X) + (X i µ)(µ X) = n (X i µ) n (µ X) = + + (µ X) n (X i µ) = n (X i µ) (µ X) (µ X) n ( ) Xi µ (µ X) = + n n = /n n ( ) Xi µ = ns (µ X) + /n Para cada i = 1,..., n, la variable X i µ tiene distribución N(0, 1). La variable X µ / n tiene también distribución N(0, 1); por último, aunque este resultado no se va a demostrar, las variables ns y X µ / son independientes (esta independencia se debe a que si X es n una variable aleatoria con distribución normal, las variables X y S son independientes). n ) Por tanto, tiene una distribución χ n, la variable ( X µ) tiene distribución χ 1 ( Xi µ ns. Se deduce, aplicando la propiedad (iv), que tiene una distribución χ n 1. /n Observación Puede observarse que ns expresiones para el estadístico. = (n 1)S c, de forma que pueden utilizarse ambas (b) Distribución muestral de X µ S/ n 1 para una v.a. N(µ, ). Distribución t de Student. Definición Sea Z una v.a. con distribución N(0, 1) y sea Y una v.a. con distribución χ n. Si Z e Y son independientes, la variable X = Z se dice que tiene una distribución t de Student Y/n con n grados de libertad. Esta distribución se denota por t n. Propiedades i. S X = (, ). ii. E(X) = 0 y V ar(x) = n n, si n >. iii. La distribución es simétrica respecto de x = 0, y es similar a la normal (distribución a la que tiende cuando el número de grados de libertad tiende a.) Tiene colas más amplias que la normal.

4 Estadística 87 Proposición Sea X una v.a. con distribución N(µ, ) y sea X 1,..., X n una m.a.s. de esta X µ distribución. Entonces el estadístico S/ n 1 tiene distribución t n 1. Demostración En efecto, ya habíamos visto anteriormente que la variable N(0, 1). Por otra parte, la variable ns de la anterior. Por tanto, tiene distribución t n 1. Observación 3 Puede observase que: X µ / n ns / n 1 X µ / n tiene distribución tiene una distribución χ n 1 y es independiente = X µ S/ n 1 X µ S/ n 1 = X µ S c / n. Al construir intervalos de confianza pueden utilizarse cualquiera de los dos estadísticos (generalmente, en función de la información disponible, es decir, según que lo que se conozca sea S o S c.) para v.a. X N(µ 1, 1 ) e Y N(µ, ), inde- (c) Distribución muestral de X Ȳ (µ 1 µ ) 1 + n 1 n pendientes. Si X 1,..., X n1 es una m.a.s. de la variable X e Y 1,..., Y n es una m.a.s. de la variable Y, por ser ambas normales e independientes, las variables X y Ȳ serán normales e independientes, y por tanto, su diferencia tendrá distribución normal, con: E( X Ȳ ) = E( X) E(Ȳ ) = µ 1 µ V ar( X Ȳ ) = V ar( X) + V ar(ȳ ) = 1 n 1 + n Por tanto, el estadístico X Ȳ (µ 1 µ ) tiene distribución N(0, 1). 1 + n 1 n (d) Estadístico para la diferencia de medias en poblaciones normales e independientes, cuando no se conoce la varianza. Sean X N(µ 1, 1 ) e Y N(µ, ), independientes. Pueden distinguirse dos casos: Si 1 =. En este caso, vamos a llamar a la varianza común; si X 1,..., X n1 es una m.a.s. de la variable X e Y 1,..., Y n es una m.a.s. de la variable Y, como ya hemos visto en el punto anterior, el estadístico X Ȳ (µ 1 µ ) tiene distribución N(0, 1). + n 1 n Por otra parte, sabemos que n 1S 1 y n S tiene respectivamente distribuciones χ n 1 1 y χ n 1, y son independientes por serlo las variables X e Y. Por tanto, el estadístico n 1 S1 + n S

5 Estadística 88 tiene distribución χ n 1 +n. Si ahora consideramos el cociente: X Ȳ (µ 1 µ ) 1 + : ( n1 S1 1 + n ) S /(n 1 + n ) = X Ȳ (µ 1 µ ), (S n1 n c ) 1 T n n donde (S c ) T = n 1S 1 +n S n 1 +n, tiene distribución t n 1 +n, y es el estadístico que utilizaremos. Observación 4 Se puede escribir también (S c ) T = (n 1 1)(S c) 1 +(n 1)(S c) n 1 +n. Si 1. En este caso, aunque no daremos la justificación teórica correspondiente, el estadístico utilizado será: X Ȳ (µ 1 µ ) S 1 n S n 1 cuya distribución aproximada es una t d, siendo d el entero más próximo a: ( S 1 /(n 1 1) + S /(n 1) ). (S1 /(n 1 1)) n (S /(n 1)) n +1 Observación 5 Este estadístico puede escribirse también como: X Ȳ (µ 1 µ ) (S c) 1 n 1 + (Sc) n (e) Distribución muestral de (S c) 1 / 1 para para v.a. X (S c) 1 N(µ 1, 1 ) X N(µ, ), independientes. Distribución F de / Fisher-Snedecor. Definición 3 Sean X e Y variables ji-cuadrado con n y m grados de libertad, respectivamente, e independientes. Entonces, la variable F = X/n Y/m, se dice que tiene distribución F de Fisher- Snedecor con n,m grados de libertad. Se denota por F n,m. Propiedades 3 i. S F = [0, ). ii. E(F ) = m m, si m >, y V ar(f ) = m (n+m ), si m > 4. n(m ) (m 4) iii. Si X tiene una distribución F n,m e Y tiene una distribución F m,n, entonces el punto f IR para el cual p(x f) = 1, verifica que p(y 1 f ) =. iv. La distribución F tiene una gráfica (su función de densidad) similar a la de la ji-cuadrado. Sean ahora X N(µ 1, 1 ) e Y N(µ, ), independientes. Hemos visto anteriormente que las variables (n 1 1)(S c ) 1 y (n 1)(S c ) 1 tiene respectivamente distribuciones χ n 1 1 y χ n 1. Además son independientes, por serlo X e Y. Por tanto, la variable ( (n1 1)(S c ) ( 1 1) / (n 1)(S c ) : ) / = (S c) 1 / 1 (n 1 1) (n 1) (S c ) / tiene distribución F n1 1,n 1.

6 Estadística Intervalos de confianza. Definición 4 Sea X una v.a. con distribución que depende de un parámetro θ desconocido y sea X 1,..., X n una m.a.s. de X. Llamaremos intervalo de confianza de nivel 1, ( (0, 1)) a un intervalo (L 1 (X 1,..., X n ), L (X 1,..., X n )), cuyos extremos son variables aleatorias que dependen de la muestra, tal que el (1 )100% de los intervalos construidos a partir de las posibles muestras de tamaño n, contiene a θ. Naturalmente, nos interesará que el intervalo sea de la menor amplitud posible,para un nivel de confianza fijado, porque de esta forma el error cometido al estimar el parámetro será mínimo. La forma de construir intervalos de confianza para los parámetros de la distribución normal, se basa en el uso de un estadístico, que depende de la muestra y del parámetro, cuya distribución es conocida e independiente del valor del parámetro. A partir de este estadístico, y procediendo de forma similar a como lo hicimos en el ejemplo 1 (7.1), se obtendrá el intervalo correspondiente. Hay que señalar que, en los casos en los que la distribución del estadístico sea simétrica, los intervalos que vamos a construir son de amplitud mínima, para un nivel de confianza fijado. En los demás casos, la construcción de un intervalo de amplitud mínima resulta excesivamente complicado y conduce a fórmulas poco manejables en la práctica, y por tanto, los intervalos construidos, lo serán, buscando una mayor sencillez. Vamos a desarrollar la deducción de dos de estos intervalos: (a) Intervalo de confianza a nivel 1 para el parámetro µ de una v.a. X N(µ, ), con desconocido. X µ Habíamos visto en el punto anterior que el estadístico S/ tiene una distribución t de Student n 1 con n-1 grados de libertad. Esta distribución tiene función de densidad simétrica respecto de x = 0, luego podemos considerar un intervalo de IR de longitud mínima, de forma que el área determinada por la función de densidad, sobre él sea 1 ; este intervalo vendrá dado por el punto t 1, para el cual p(t n 1 t 1 ) = 1, y será [ t 1, t 1 ]. Entonces, la probabilidad de que t 1 X µ S/ n 1 t 1 es 1 y despejando se obtiene el intervalo buscado, que es: X t 1 S n 1 µ X + t 1 S n 1. (b) Intervalo de confianza a nivel 1 para el parámetro de una v.a. X N(µ, ), con µ desconocido. Habíamos visto que la distribución muestral de ns para una v.a. X N(µ, ) era una distribución χ n 1. Esta distribución no es simétrica, de forma que para construir el intervalo de nivel 1 (que en este caso no va a ser de longitud mínima) vamos a proceder de la siguiente forma: para obtener un intervalo de IR de forma que el área bajo la función de densidad sea 1, optamos por dejar en cada cola de la distribución un área idéntica, igual a, es decir, consideramos los puntos χ 1 / y χ / tales que : p(χ n 1 χ 1 / ) = 1

7 Estadística 90 p(χ n 1 χ / ) = Entonces, la probabilidad de que χ / ns χ 1 es 1 y despejando, se obtiene el intervalo: ns χ 1 ns χ / que es un intervalo de confianza a nival 1 para la varianza. Tomando raíces en la expresión anterior, se otiene un intervalo para. Los demás intervalos se construyen de forma similar. 8.4 Otros intervalos de confianza. Se pueden construir también intervalos de confianza para algunos parámetros de los que depende la distribución de algunas variables aleatorias no normales, por ejemplo el parámetro p de una variable B(p), o el parámetro λ de una variable con distribución P(λ). En general, dada una variable aleatoria X cuya media E(X) = µ, el estadístico: X µ N(0, 1) (X)/n si el tamaño de la muestra, n, es suficientemente grande. Si la varianza de X es conocida, a partir del estadístico anterior, podríamos deducir un intervalo de confianza para µ con un nivel de confianza 1 : X z 1 n µ X + z 1 Si es desconocido, se puede sustituir en la expresión del estadístico por una estimación de la misma, obtenida a partir de la m.a.s. N(0, 1). n En ese caso, el estadístico tiene aproximadamente una distribución Por ejemplo, si X B(p), una estimación de p la proporciona el valor X, el estadístico: Y el intervalo de nivel 1 para p es: X µ ( X(1 N(0, 1) X)/n) X z 1 X(1 X) n µ X + z 1 X(1 X) n Igualmente, se pueden construir intervalos de confianza para la diferencia de medias de variables independientes, no necesariamente normales, a partir de sendas muestras aleatorias simples, siempre que el tamaño de estas sea lo suficientemente grande.

8 Estadística 91 ESTADÍSTICA Hoja 8 1. Sea X una v.a. N(µ,5). Calcular el tamaño muestral mínimo para que con una probabilidad del 0.95 el intervalo ( X 1, X + 1) contenga al parámetro µ.. Se prueba un nuevo tipo de munición para estimar la dispersión de su alcance. En un experimento se hicieron 17 disparos y se calculó la desviación típica de los 17 alcances obtenidos, resultando ser 4.5. Suponiendo que la población de los alcances de este tipo de munición es normal, hallar un intervalo estimador de al nivel de confianza del 99%. 3. Se midió la resistencia a la rotura por tracción de 9 hilos de cierta clase de algodón con los resultados, expresados en kgs, siguientes: 1., 1.3, 1.1, 0.9, 1., 1.3, 1.4, 1.1, 1.3. Suponiendo que la población de resistencia es normal, hallar unos límites de confianza de la media µ del 95%. 4. En un proceso químico pueden usarse dos catalizadores. Doce lotes se prepararon con el catalizador 1, lo que dió como resultado un rendimiento promedio de 86 y una desviación típica muestral de 3. Quince lotes se prepararon con el catalizador, con el que se obtuvo un rendimiento promedio de 89 con una desviación típica muestral de. Supongamos que las mediciones del rendimiento están aproximadamente distribuidas de manera normal. Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en el rendimiento promedio de los dos catalizadores. 5. Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes sigue una distribución normal con la misma desviación estándar; esto es, 1 = = 3cm/seg. Se prueban dos muestras aleatorias de n 1 = 0, n = 0 especímenes; las medias muestrales de la tasa de combustión son x 1 = 18cm/seg. y x = 4cm/seg. Construye un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias de la tasa de combustión. Qué tamaño de muestra debe utilizarse en cada población si se desea que el error en la estimación de la diferencia entre las medias de las tasas de combustión sea menor que 4cm/seg. con una confianza del 99%?. 6. Se toman dos muestras aleatorias de tamaños n 1 = 15 y n = 10 de dos termómetros diferentes. Las medias y las varianzas muestrales son x 1 = 300, ŝ 1 = 16, x = 305 y ŝ = 49. Suponga distribución normal y 1. Construya un intervalo de confianza del 95% para µ 1 µ. Que conclusión puede obtenerse sobre las lecturas de temperatura promedio de los dos termómetros?.

9 Estadística 9 7. La revista Human Factors notificó un estudio en el que se les pidió a 14 sujetos que estacionaran dos automóviles sustancialmente distintos en cuanto al tamaño de la llanta y la relación de vueltas del volante. Los tiempos obtenidos fueron sujeto coche 1 coche Obtén un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre el tiempo promedio para estacionar los dos automóviles, suponiendo distribución normal donde sea necesario. 8. Sea p la proporción de familias que poseen un determinado electrodoméstico. Se desea construir un intervalo de confianza para tal proporción, para lo que se toma una muestra de tamaño 00. De las 00 familias encuestadas, 157 resultaron ser poseedoras del electrodoméstico. intervalo para p al 90%, 95% y 99%. Comentar los resultados. Calcular un 9. Se realiza una encuesta mediante una pregunta clara y concisa sobre la preferencia electoral entre dos candidatos a 5000 individuos, obteninédose el siguiente resultado: A favor del candidato A el 30%, a favor del candidato B el 60% y no contestan el 10%. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de individuos a favor del candidato B a un nivel de confianza del 95%. Cuál debería ser el tamaño muestral para una precisión del 1% y un nivel de confianza del 95%?.

10 Estadística Se toma una muestra de 50 cascos de suspensión utilizados por los corredores de motocicletas y los conductores de automóviles de carreras, y se someten a una prueba de impacto. En 18 de los cascos se observa cierto desperfecto. (a) Encontrar un intervalo de confianza al 95% para la verdadera proporción de cascos de este tipo que mostrarán daño como resultado de la prueba. (b) Al utilizar la estimación puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 50 cascos, cuántos cascos deben probarse para tener una confianza del 95% de que el error al estimar el verdadero valor de p sea menor que 0.0?. (c) De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos el 95% de que el error al estimar p sea menor que 0.0, sin importar el valor verdadero de p?. 11. Se analiza la proporción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la línea 1 contienen 10 que son defectuosas, mientras que una muestra aleatoria de 10 unidades de la línea tiene 5 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones de productos defectuosos producidos por las dos líneas. 1. Se supone que el número de erratas por página de un libro sigue una distribución de Poisson. Elegidas al azar 95 páginas se obtuvo que había erratas en páginas Hallar un intervalo de confianza asintótico, con nivel de confianza de 0.9, para el número medio de erratas por página del libro. Cuántas páginas habría que examinar para que la longitud del intervalo de confianza obtenido fuese menor que 0. (utilizar la información proporcionada por la muestra)?. 13. Se sabe que si X es una v.a. con distribución exponencial de parámetro λ, nλ X tiene una distribución χ n, donde X es la media muestral, para una muestra aleatoria simple de tamaño n. Obtener la expresión del intervalo de confianza del 95% para el parámetro λ. 14. La medición de la longitud de una varilla sigue una distribución N(µ, 1). (a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de µ para muestras de tamaño n. (b) En 100 mediciones de dicha longitud, se ha obtenido una media muestral de 35 metros. Obtener un intervalo de confianza de 95% para µ. (c) Calcular el mínimo tamaño muestral para que en la estimación de µ se cometa un error máximo de 0.1 metros (con un nivel de confianza del 99%). 15. Se estudian dos tipos de neumáticos con los siguientes resultados: n 1 = 41, n = 1, X1 = 7 465Km, Sc 1 = 500Km. X = 7 57Km, Sc = 3 000Km. Suponiendo normalidad:

11 Estadística 94 (a) Encontrar un intervalo de confianza al 95% para el cociente de varianzas. (b) Se puede suponer igualdad en las varianzas? Razona tu respuesta. (c) Admitiendo igualdad de varianzas, calcular un intervalo de confianza al 95% para µ 1 µ. Se puede suponer igualdad? Razona tu respuesta.