Funtzio esponentzialak eta logaritmikoak

Transcripción

1 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak FUNTZIO ESPONENTZIALA y = a k y = a + b APLIKAZIOA: INTERES KONPOSATUA LOGARITMOAK PROPIETATEAK FUNTZIO LOGARITMIKOA FUNTZIO ESPONENTZIALEN ETA LOGARITMIKOEN ARTEKO LOTURA 6

2 Bidea Bideak bitan banatzen zuen agoen basoa; bitartean, zuhaitzen artean uurlatzen zuen haizearen hotsa eta ezagunak egiten ez zaizkidan zenbait toriren torrotioa gurdiaren gurilen intziri leunarekin eta ondoan, gidari-eserlekuan, lo egiten ari zen aitaren arnas ausatua nahastu ziren. Haurra, Gasard Mong, aitaren kontra uzkurtu zen, Zerua ziur asko horrelakoa zela entsatzen zuen bitartean. Zertobait geroago, helmugara heldu ziren. Ete-multzo tiki bat zen, ostatu baten inguruan bilduta zegoena. Jacques bere aita ostatura sartu zen eta gurdia zaintzeko eskatu zion. Handik, aita saltzailearekin eztabaidatzen ari zela ikusi zuen Gasardek, ueletan garraiatzen zuten ardoaren rezioarengatik. Ardoa deskargatu eta kobratu ondoren, Jacquesek diru kantitateak idatzi zituen, lebitaren barruan berriz gorde zuen koaderno batean. Gasard, horrela jarraitzen badugu gure obrezia bukatuko da. Eta ikasteko aukera izango al dut? Hitzematen dizut. Ez bakarrik ikasi, baizik eta nobleen seme-alabekin egingo duzu. Denborarekin, Gasard Monge Frantziako ministroa izan zen eta ekaren handiak egin zizkion matematikari kurben azterketan. Egin balio-taula bat y =,5 funtziorako. y =,5 8,5,5,5

3 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak ARIKETAK Egin balio-taula bat eta adierazi funtzio esonentzial hauek: a) y = c) y = y = d) y = (,) 5 a) c) d) y =,,7,, y = y = ,,,7, 9,65 5,65 6,5,5,,6,6,56 y = (,) ,,,8,6 a) eta c) eta d) y = y = y = 5 y = (,) Aztertu eta adierazi funtzio hauek. a) y = y = a) y =, y = 8,7 7, 9,, 9, 7,7 8, a) eta y = y = Zer gertatzen da a = bada funtzio esonentzial batean? Eta a < bada? a = bada, funtzio esonentziala y = = motakoa da, eta emaitza duen funtzio konstantea da. Eta a < bada, funtzioa ez dago definituta. 8

4 ERANTZUNAK Egin balio-taula bana eta adierazi funtzio esonentzial hauek: a) y = y = c) y = a) c) y y = = y =,,8,5,,69,56 9,,88 8,8 8 a) eta c) y = y = y = 5 Adierazi funtzioak. a) y = y = a) y = 8 y = 9,7,,577,, a) eta y = y = 6 Aztertu eta adierazi funtzio esonentzial hauek: a) y = y = Arrazoitu beherakorrak diren ala ez. a) y = = y = = 6,777,,5,75,65,565 9

5 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak a) y = y = Bi funtzioak beherakorrak dira, baino tikiagoko oinarriak dituzten funtzio esonentziala direlako. 7 Marraztu y = funtzioaren grafikoa, eta hori abiauntu hartuta, adierazi funtzio esonentzial hauek, balio-taularik egin gabe. a) y = y = + c) y = + d) y = a) eta y = funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa hiru unitate eskuinerantz eta y = + funtzioaren grafikoa unitate bat ezkerrerantz transladatuz lortzen da. y = + y = c) eta d) y = + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa unitate bat gorantz, eta y = funtzioaren grafikoa unitate bat beherantz transladatuz lortzen da. y = + y = 8 Adierazi funtzio hauek grafiko bidez, y = 5 funtzioaren grafikoren laguntzaz. a) y = 5 ( ) + y = 5 (+) a) y = 5 ( ) + funtzioaren grafikoa y = 5 funtzioaren grafikoa unitate bat eskuinerantz eta hiru unitate gorantz transladatuz lortzen da. y = 5 ( ) + y = 5 (+) funtzioaren grafikoa y = 5 funtzioaren grafikoa unitate bat ezkerrerantz eta lau unitate beherantz transladatuz lortzen da. y = 5 ( + ) 5

6 ERANTZUNAK 9 Adierazi y = funtzioa, y = oinarri hartuta. y = y = -ko kaitala %,5eko korrituan interes konosatuan inbertitzean, kalkulatu zer kaital lortuko dugun lehen 5 urteetan. 5 C f = 5, + = (,5) 5 = 56, Kalkulatu, grafiko bidez, urte eta 6 hilabetean lortuko dugun kaitala,. interes konosatuan inbertitzean, korritua % 5 dela. 5 C f =. + =. (,5) t t Kaitala, funtzio esonentziala da une bakoitzean. t C f =. (,5) t...5.5,5., Hemendik urte eta 6 hilabetera zer kaital izango dugun jakiteko, grafikoan =,5 denean zer balio duen begiratu beharko dugu;.6 dena. C f F,5 t Grafikoan, intereskonosatuan inbertitutako kaital baten bilakaera agerida. Kalkulatu zenbatekoa den inbertitutako kaitala eta azaldu nola egin duzun. C f.5..5 Grafikoan ikus daiteke., inbertitu direla, t = denean dagokion balioa delako T 5

7 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak Kalkulatu logaritmoak, definizioa erabiliz. a) log 8 log 8 c) log. a) log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = c) log. = =. = log. = Kalkulatu logaritmoak, definizioa erabiliz. a) ln e log, c) log,5 a) ln e = e = e = log, = =, = = = =. c) log,5 = = = 5 Kalkulatu log -ren balio hurbildua, y = funtzioaren grafikoa erabiliz. y = funtzioaren grafikoan log ordenatuaren balioari dagokion abzisaren balioa denez, log =,6 izango da. 6 Kalkulatu logaritmoak. Horretarako, erabili roietateak eta utzi adierazita azken emaitza. a) log 8 c) log e) log g) log 6 log d) log 5 f) log h) log 7 7 a) log log 5 = = log 8 8 log = log 5 = 5 log c) log = = = 9, log,77 5 log d) log5 = log5 = 5 log5 = 5 = 5, log 5 log e) log = = log 5 log 9 f) log = log6 9 = log6 + log9 = + = +, 5 = 8, 5 log g) log 6 = h) log 7 7 = 5

8 ERANTZUNAK 7 Jakinik log =,, log =,77 eta log 7 =,85, kalkulatu lehen zenbaki arrunten logaritmo hamartarrak. Ba al dakizu log,5kalkulatzen? Eta,5en logaritmoa? log = log =, log =,77 log = log = log =, =,6 7 log 5 = log = log log =, =,699 log 6 = log ( ) = log + log =, +,77 =,778 log 7 =,85 log 8 = log = log =,9 log 9 = log = log =,95 log = 7 log,5 = log = log 7 log =,85, =,5 log,5 = log = log log =,77, =,76 8 Kalkulatu kalkulagailurik gabe, log 5 eta log 5. Egiaztatu bien biderkadura dela. log 5 log 5 = =, log log 5 log log 5 log 5 = = log log log 5 log 5 = =,6 log 5 9 Adierazi behean ageri diren funtzio logaritmikoak. Erabili kalkulagailua, funtzioak zer untutatik igarotzen diren jakiteko. a) f() = log c) h() = log g() = log 5 d) i() = log a) c) d) f() = log g() = log 5 h() = log i() = log,9,9,55,6,9,, 6,585,969,89, ,9,55,86,9 5,69,5 a) y y = log 5 y = log c) y d) y = log y = log 5

9 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak Aztertu eta adierazi funtzioa. Eremua + da. Irudia da. y = log + f() = log + 6,585 8,9 y = log + Adierazi f () = log funtzio logaritmikoa, balio-taularik egin gabe. log = log + log =, + log Beraz, f() = log funtzioaren grafikoa egiteko, log funtzioaren grafikoa, unitate transladatu behar da gorantz. f () Aztertu ea alderantzizko funtzioak diren funtzio esonentzial eta logaritmiko are hauek: a) y = y = log y = y = c) y = log y = a) y = y = log, Grafikoak simetrikoak dira lehen eta hirugarren koadranteko erdibitzailearekiko; beraz, alderantzizkoak dira. 7 y = y = log y = y = Funtzio hauek ez dira alderantzizkoak; esaterako, (, ) untua y = funtzioari dagokiolako, eta (, ) untua, aldiz, ez dagokiolako y = funtzioari. 5

10 ERANTZUNAK c) y = log y = Grafikoak simetrikoak dira lehen eta hirugarren koadranteko erdibitzailearekiko; beraz, alderantzizkoak dira. 6 y = y = log Egiaztatu, grafiko bidez adierazi gabe, y = log funtzioa y = -aren alderantzizkoa dela. y = log funtzioari dagokion (a, untua dugu. b = log a b = a (b, a), y = funtzioari dagokion untua da. Alderantzizko funtzioaren definizioaren arabera, ba al du alderantzizko funtziorik roortzionaltasuneko y = funtzioak? y = y = funtzioaren alderantzizkoa funtzioa bera da. ARIKETAK 5 Kalkulagailua erabiliz, kalkulatu zer balio hartzen dituen y =,5 funtzioak, behean adierazitako -ren balioetarako. a) = d) = g) = = e) = h) = c) = f) = i) = y =,5,56,6,6,,5 6,5 5,65 9,65 6 Koiatu eta osatu y = 5 funtzioaren balio-taula. y = 5,96,6,6,6,6667,7778,696 7,76 55

11 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 7 Egin balio-taula bana eta adierazi funtzio esonentzialak. a) y = 5 y = c) y = 5 d) y = 5 5 a) c) d) y = 5,, 5 5 y = 5 5 5,, y = 5,, 5 5 y = 5 5 5,, a) eta y = 5 y = 5 c) eta d) y = 5 y = 5 8 Aztertu zertan diren berdinak eta zertan desberdinak funtzio esonentziak hauek: f () = g( ) = f() = g ( ) =,65 6,5,5 6,65 f () = Bi funtzioen grafikoak simetrikoak dira ordenatu-ardatzarekiko. Bi funtzioen eremua da eta ibiltartea (, + ). Bi funtzioen grafikoak jarraituak dira. f() funtzioa gorakorra da eta g() funtzioa beherakorra. g ( ) = 9 Aztertu funtzio esonentziala eta adierazi. y = y =,5,5,67, Funtzioa jarraitua da -n; ibiltartea (, + ) da, eta monotono beherakorra da. 56

12 ERANTZUNAK Egin funtzioen balio-taula bana. a) y = y = Adierazi funtzioak koordenatu-ardatz beretan, eta zerrendatu roietateak. a) y =,, y =,5 Bi funtzioen eremua da eta ibiltartea (, + ).,5 Bi funtzioen grafikoak jarraituak eta gorakorrak dira. y = funtzioaren grafikoak ordenatu-ardatza ebakitzen du (, ) untuan, eta y = funtzioarena (;,5) untuan.,5 5 5 y = y = Adierazi grafikoki eta aiatu funtzioen roietateak. a) y =,5 y =,5 c) y =,5 d) y =,5 a) c) d) y =,5 y =,5 y =,5 y =,5,,8,8,,5,6,6,6,6,5,8,6,6,6,5,,6,6,6,5,58,6,6,6,5 5 5 a) eta c) eta d) y =,5 y =,5 y =,5 y =,5 Adierazi y = e funtzioa. Gogoratu e zenbakia zenbaki irrazional bat dela, eta balio hau duela, guti gorabeherako balioa e =, f() = e funtzioaren grafikoa hau da: f () 57

13 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak Adierazi grafiko bidez funtzio esonentzial hauek: a) y = y = c) y = d) y = 5 a) c) d) y = y = y = y = 5,565,5 6,7,5,56,95 8,88,5, ,65,57 a) eta c) eta d) y = y = y = y = 5 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA FUNTZIO ESPONENTZIAL BATEN ADIERAZPEN ALJEBRAIKOA, GRAFIKOA OINARRI HARTUTA? Kalkulatu funtzio esonentzial honen adierazen aljebraikoa. LEHENA. Grafikokoa den untu bat zehaztu behar da, (, ) untua ez dena. Adibidean, grafikoa (, ) untutik igarotzen da. BIGARRENA. Koordenatuak funtzio esonentzialaren adierazen aljebraikoan ordezkatu behar dira. y = a = a = =, y = HIRUGARRENA. a-ren balioa kalkulatu behar da. = a = a = ± a LAUGARRENA. Ebazen negaiboa ez da kontuan hartu behar, funtzio esonentzialetan a > delako. Funtzioaren adierazen aljebraikoa y = da. a 58

14 ERANTZUNAK 5 Kalkulatu funtzio esonentzial hauen adierazen aljebraikoak: a) a) y = y = 6 Kalkulatu funtzioen adierazen aljebraikoak. a) a) y = y = + 7 EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA GRAFIKO BIDEZ FUNTZIO ESPONENTZIAL BAT, ZENBAIT EZAUGARRI JAKINIK? Marraztu y = a (+ motako funtzio esonentzial baten grafikoa, gorakorra bada, ardatza ebakitzen ez badu eta (, ) eta (, 9) untuetatik igarotzen bada. LEHENA. Funtziokoak diren untuak adierazi behar dira. (, 9) BIGARRENA. Funtzioa gorakorra bada, grafikoaren ezkerreko zatia geratuko da ardatzaren alboan. Eta beherakorra bada, eskuinekoa. (, ) 59

15 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 8 Marraztu baldintza hauek betetzen dituen funtzio esonentzial baten grafikoa. Beherakorra izatea. ardatza (, ) untuan ebakitzea. ardatza ez ebakitzea., untutik igarotzea. Funtzio esonentzialaren grafikoak zer forma duen dakigunez, enuntziatuaren baldintzak kontuak hartzen baditugu, grafiko bat hau izan liteke: y = (, ), 9 Marraztu baldintza hauek betetzen dituen funtzio esonentzial baten grafikoa. Gorakorra izatea. ardatza (, ) untuan ebakitzea. (, ) untutik igarotzea. Funtzio esonentzialaren grafikoak zer forma duen dakigunez, enuntziatuaren baldintzak kontuak hartzen baditugu, grafiko bat hau izan liteke: (, ) y = + 6 (, ) Marraztu baldintza hauek betetzen dituen funtzio esonentzial baten grafikoa: Gorakorra izatea. ardatza (, ) untuan ebakitzea. ardatza ez ebakitzea. Funtzio esonentzialaren grafikoak zer forma duen dakigunez, enuntziatuaren baldintzak kontuak hartzen baditugu, grafiko bat hau izan liteke: y = (, ) 6

16 ERANTZUNAK Adierazi funtzioak. a) y = y = c) y = + 5 d) y = + Funtzio hauek y = eta y = funtzioen grafikoak transladatuz adieraz daitezke. y = y =,5,5,5,5 a) y = funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa bi unitate eskuinerantz transladatuz lortzen da. y = funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa bi unitate beherantz transladatuz lortzen da. c) y = + 5 funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa bost unitate gorantz transladatuz lortzen da. d) y = + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa unitate bat eskuinerantz transladatuz lortzen da. 6

17 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak Aztertu eta adierazi funtzioak. a) y = + + c) y = 5 e) y = + y = + d) y = + f) y = + Funtzio hauek, beste funtzio hauen grafikoak transladatuz adieraz daitezke: y =, y =, y = e y =. y = y = y = y = a) y = + + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa bi unitate eskuinerantz eta unitate bat gorantz transladatuz lortzen da.,, 9,65,,,5, 9 9, 6 y = + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa eskuinerantz eta hiru unitate gorantz transladatuz lortzen da. c) y = 5 funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa unitate bat eskuinerantz eta bost unitate beherantz transladatuz lortzen da. d) y = + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa hiru unitate ezkerrerantz eta gorantz transladatuz lortzen da. 6

18 ERANTZUNAK 8 e) y = + = + funtzioaren grafikoa 8 y = funtzioaren grafikoa gorantz transladatuz lortzen da. f) y = + = + funtzioaren grafikoa y = funtzioaren grafikoa gorantz transladatuz lortzen da. Lotu funtzio bakoitza dagokion grafikoarekin. a) f() = g() = 5 c) h() = 5 d) i() = 5 5 f() = funtzioaren grafikoa, grafikoa da. g() = 5 funtzioaren grafikoa, grafikoa da. h() = 5 funtzioaren grafikoa, grafikoa da. i() = 5 5 funtzioaren grafikoa, grafikoa da. 6

19 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak Behean ageri diren grafikoak y = 7 -ren grafikoaren translazioak dira. 5 Identifikatu funtzioaren grafikoa eta idatzi beste grafikoen adierazen aljebraikoak. 5 grafikoa hau da: y grafikoa hau da: y grafikoa hau da: y grafikoa hau da: y grafikoa hau da: y = 7 = 7 = 7 = 7 + = Jakinarazi zein funtzio diren gorakorrak eta zein beherakorrak, grafiko bidez adierazi gabe. Azaldu nola egin duzun. a) y = c) y = y = +5 d) y = +5 a) y = = = Funtzioa gorakorra da, oinarria > delako. y = +5 = 5 Funtzioa beherakorra da. c) y = = = = Funtzioa beherakorra da d) y = = = Funtzioa beherakorra da. 6

20 ERANTZUNAK 6 Paramezio mota bat erdibitze bidez ugaltzen da. Ugalketa-zikloa osatzeko, ordubete behar du. a) Kalkulatu funtzio honen adierazena: aramezioen kourua (y) t denboraren mende (ordutan), aramezioak erdibitzen hasi direnetik. Adierazi funtzioa grafiko bidez. a) Bakterio kourua, y, erdibitzen hasi zenetik igaro den denborarekin, t-rekin, erlazionatzen duen funtzioa y = t. t y = t Bakterioak Denbora Grafiko jarraitua marrazten dugun arren, grafiko horrek bakarrik du zentzua y aldagaiaren balio arruntetarako. 7 Kalkulatu zer kaital lortuko dugun lehengo 5 urteetan,. -ko interes konosatuan inbertituz gero, korritua %,65 dela. C f =. + t 65, =. (,65) t t C f =. (,65) t

21 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 8 Kalkulatu, grafikoki, zer kaital izango dugun. interes konosatuan inbertitu ditugunetik urte eta 6 hilabetera, korritua % 5 bada. 5 C f =. + =. (,5) t t C f =. (,5) t. t Hemendik urte eta 6 hilabetera zer kaital lortuko dugun jakiteko, abzisaren,5eko balioari dagokion ordenatuak zer balio duen jakin beharko dugu grafikoan. Grafikoari errearatuta, kaitala koa dela ikus daiteke Grafikoan, interes konosatuan inbertitutako kaital baten ( -tan) bilakaera ageri da. Kalkulatu zenbatekoa den inbertitutako kaitala eta azaldu nola egin duzun. C T Zenbat denboraz (urtetan) eutsi behar zaio inbertsioari, kaitala bikoizteko? Grafikoari errearatuta. inbertitu direla ikusten da, t = ri dagokion balioa delako. Horrez gain, t = denean, kaitala. -koa da; beraz, korritua % 5ekoa da, eta kaitala bikoizteko, grafikoa esonentziala denez eta gero eta azkarrago hazten denez, kalkula dezakegu. lortuko direla urtetan guti gorabehera. Zehazki kalkulatu nahi badugu, logaritmoak erabiliko ditugu: log. =. (,5) t = (,5) t t = =, urte log 5, 66

22 ERANTZUNAK 5 Kalkulatu logaritmoak, definizioa erabiliz. a) log e) ln e log 9 8 f) ln e c) log.. g) log 7 d) log, h) log,65 a) log = log 5 = 5 e) ln e = log 9 8 = log 9 9 = f) ln e = c) log.. = log 6 = 6 g) log 7 = log 7 7 = d) log, = log 5 = 5 h) log,65 = log = 5 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA ZENBAIT LOGARITMO, PROPIETATEAK ERABILIZ? Kalkulatu log, jakinik log =,585 dela. LEHENA. Zenbakia biderkagai lehenetan deskonosatu behar da. = BIGARRENA. Biderketa baten logaritmoaren roietateak alikatu behar dira. log = log ( ) = log + log = + log =,585 5 Kalkulatu log, logaritmoen roietateak erabiliz. log = log ( ) = log + log = log + = =,69 + =,897 5 Kalkulatu log 56, logaritmoen roietateak erabiliz, eta idatzi emaitza zehatza. log 56 = log 8 = log ( ) = log = 5 Kalkulatu adierazen bakoitzaren emaitza, logaritmoen roietateak erabiliz. a) log 6 + log log 7 9 log 8 + log 7 + log 5 5 c) log 5 65 log log 8 6 a) log + log 5 log 7 7 = + 5 = log + log + log 5 5 = + + = 9 c) log 5 5 log log 8 8 = + = 67

23 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 55 Garatu adierazenak a b c a b a) log log c) 7 d c log a) log a + log b 5 + log c log d = log a + 5 log b + log c log d 6 7 log a + log 5 b 6 log c 7 = log a + log b log c 5 c) log + log log y log z = = log + log log y log z = = log log y log z y z 56 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA LOGARITMO BAT, OINARRI-ALDAKETA BAT EGINEZ? Kalkulatu log, jakinik log =,585 dela. LEHENA. Oinarri-aldaketa egin behar da. log log = log BIGARRENA. Zenbakitzailearen eta izendatzailearen ordez haien balioak idatzi behar dira. log log log = = = =, 68 log log, log e =, bada, zenbat da ln? log e ln = ln = =,6, 58 Adierazi logaritmo neertarren mende eta lortu emaitza, kalkulagailua erabiliz. a) log 5 6 log c) log 6 d) log 5 ln 6 a) log 5 6 = log 5 6 = =,5 ln 5 log = log log = ln = =,77 ln ln c) log 6 = log 6 = log 6 = =,57 ln 6 ln d) log 5 = 5 log = 5 =,855 ln 68

24 ERANTZUNAK 59 ren logaritmo hamartarra, bada, kalkulatu logaritmo hamartar hauen balioak: a) log c) log.5 e) log, log,5 d) log,6 f) log, a) log = log ( ) = log + log =, + =, log,5 = log = log = ( ), =,9 c) log.5 = log ( 5 ) = log + log 5 = + log 5 = = +,699 =,97 6 d) log,6 = log = log 6 log = log = log = =, =, e) log, = log = log log =, =,699 f) log, = log = log log = log log = = log log =, =,98 6 Adierazi funtzio logaritmikoak, kalkulagailuaren laguntzaz. a) f() = log c) h( ) = log g() = log d) i() = log 5 a) c) d) 6 8 f() = log,69,69,69,898,959 g() = log,69,69,898,69,57,768 h ( ) = log = log 5 i() = log = log 5,6,,556,86, 5, ,69 a) y c) d) y = log y = log G y = log 5 y = log i() ), ordenatu-ardatzarekiko simetrikoa den funtzioa dela ikus dezakegu, funtzio bikoitia delako; eta log = log ( ) denez, balio negatiboetarako ere badago. 69

25 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 6 Egin y = log funtzioaren balio-taula bat. Adierazi grafiko bidez funtzioa eta aztertu roietateak. y = log,5 6, 8,5,6 y = log funtzioak hau egiaztatzen du: Dom f = (, + ) dela en irudia dela: log = aren irudia dela: log = aren irudia dela, > delako. 6 Alboko grafikoa y = log funtzioarena da. Hori abiauntu hartuta, marraztu hauen grafikoak: a) y = log y = log ( + ) a) y = log = log + log = + log y = log funtzioaren grafikoa y = log funtzioaren grafikoa unitate bat gorantz deslazatuz lortzen da. y = log y = log ( + ) funtzioaren grafikoa y = log funtzioaren grafikoa hiru unitate ezkerrerantz deslazatuz lortzen da. F y = log y = log ( + ) 7

26 ERANTZUNAK 6 Adierazi funtzio logaritmiko hauek koordenatu-ardatz beretan. a) y = log y = log 9 c) y = log ( + ) d) y = log 9( + ) Kalkulatu zer lotura dagoen grafikoen artean. a) c) d) y = log y = log 9 = + log y = log ( + ) y = log 9( + ) = + log ( + ) 6 8,69,69,69,898,959,69,69,69,898,959,69,69,898,959,69,69,69,898,959,69 y = log 9(+ ) F y = log 9 F y = log ( + ) y = log y = log 9 funtzioa y = log funtzioa bi unitate gorantz transladatuz lortzen da. y = log ( + ) funtzioa y = log funtzioa hiru unitate ezkerrerantz transladatuz lortzen da. y = log 9( + ) funtzioa y = log ( + ) funtzioa bi unitate gorantz transladatuz lortzen da. 6 Kalkulatu log -ren balio hurbildua, y = funtzioaren grafikoa erabiliz. y = log = log 5,, 7

27 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 65 Lotu grafiko bakoitza dagokion adierazen aljebraikoarekin. a) y = ln y = ln ( + ) c) y = ln ( + ) a) grafikoa grafikoa c) grafikoa 66 Aztertu funtzio are hauek elkarren alderantzizkoak diren ala ez, grafikoki eta analitikoki. Arrazoitu zure erantzuna. a) f( ) = log g( ) = y h( ) = y t( ) = + a) f( ) log = g ( ) =,5,5,585,5,65 Grafikoak simetrikoak dira lehen eta hirugarren koadranteko erdibitzailearekiko; beraz, alderantzizkoak dira. g() f () h() = t ( ) = h() t() Funtzio hauek alderantzizkoak dira, grafikoak lehen eta hirugarren koadranteetako erdibitzailearekiko simetrikoak direlako. 7

28 ERANTZUNAK 67 Zer balio izan behar dituzte -k eta q-k, log ( + q) = log + log q izan dadin? q a) = q = o = q = c) = q q q = d) = q q + log + log q = log ( q) log ( + q) = log + log q log ( + q) = log ( q) log + log q = log ( q) q + q = q q = q ( q) = q = q a) = q = ezinezkoa da ren logaritmorik ez dagoelako. = q = log ( + q) = log + log q log ( + ) log + log log = q q q = q q q q = q q + q = q = Ebazena ez da baliozkoa. q = Ebazena ez da baliozkoa. c) = q q q = q q q q = q q + q = q = Ebazena ez da baliozkoa. d) = q q q = q + q + q q( q) = q( + q) q = Ebazena ez da baliozkoa. Kasu bakoitzean eragiketak eginez ebazenak ageri badira ere, ebazen horiek ez dira baliozkoak ekuazio logaritmikoak ordezkatzean. 68 Azaldu zein baieztaen den zuzena, > bada. a) log ( + ) < log ( + ) < c) log ( + ) > a) Okerra da, = 99 denean: log ( + 99) = >. Hori egiaztatzeko y = log ( + ), y = funtzioak adieraziko ditugu. Horrela, egiztatuko dugu > denean, y = zuzena y = log ( + ) funtzio logaritmikoaren dagoela beti. c) Okerra da, = denean: log ( + ) =, < = 5, + y = y = log ( + ) 7

29 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak 69 Esan zenbat zifra dituen zenbakiak, sistema hamartarrean adieraziz gero. Zifra kourua logaritmo hamartarraren zati osoa gehi bat da. log 6 = 6 log = 6,66 = 9,6; beraz, 6 k zifra ditu. log 5 5 = 5 log 5 = 5,69897 = 7,7; beraz, 5 5 ek 8 zifra ditu. 7 Kalkulatu a-ren balioa, jakinik a eta b zenbaki ositiboak direla, eta a b = b a eta b = 9a direla. b a a = b b = 9a a 9a = (9a) a a 9a = 9 a a a a 8a = 9 a a 8 = 9 b = 9a a = b = 9a b = 9 a = 7 (.9n + ) zenbakiaren zifren batura, n > dela, ez da izugarri handia. Zure ustez, zenbaki horren zifren batura n-ren mende al dago? Zer balio du zehazki? (.9n + ) =.8n +.9n + n zenbaki oso ositibo bat dela kontuan hartuz, zifren batura ez da n-ren balioaren araberakoa. Batugai bakoitzaren zifren batura hau da: + + = EGUNEROKOAN 7 Ohartuko zinenez, teneratura jakin bat dagoenean, guztiok ez dugu hotza edo beroa berdin sentitzen. Esate baterako, ºC-ko teneratura badago, haizeak jotzen badu hotz handiagoa dugu haizerik gabe baino. Sentsazio termiko deritzo eta norberaren araberakoa da. Belenek beka bat du Moskun ikasteko, eta kezkatuta dago hiri horretan egiten duen hotza dela-eta. Leku hotzetako sentsazio termikoa kalkulatzeko, teneratura eta haizearen abiadura kontuan hartu behar dira, betiere teneratura 5 ºC-tik beherakoa bada, eta haizearen abiadura, 5 km/h-tik gorakoa. 7

30 ERANTZUNAK Windchill izeneko indize bat erabiltzen da, sentsazio termikoa kalkulatzeko. T s = K + K T + K V + K T V non T s (ºC-tan) sentsazio termikoa baita; K, K, K, K eta P bost konstante diren; K =,6, K =,7 eta K =,. T airearen teneratura da (ºC-tan) eta V haizearen abiadura (km/h-tan). Belenek ez ditu aurkitu interneten K -en eta P-ren balioak, baina egunkarietan aurkitutako datu hauek erabiliz kalkula ditzake. Eguna T ( C) V (km/h) T S Astelehena,8 Asteazkena 5 5 6,9 Ostirala , Gaur goizean, Moskun sentsazio termikoa 7 ºC-koa dela entzun du irratian. Zenbatekoa da teneratura? Haizearen abiadura km/h-koa da. Asteleheneko, asteazkeneko eta ostiraleko datuez lortutako ekuazio-sistema kontuan hartuz, hau izango dugu:, 8 = k +, 6 ( ) + (, 7) +, ( ) 6, 9 = k +, 6 ( 5) + (, 7) 5 +, ( 5) 5 8, = k +, 6 ( 7) + (, 7) 55 +, ( 7) 55, 8 = k 8, 6 6, 57 6, 7 = k 6, 57 6, 9 = k 9, 7, 7 5 7, 6 = k 7, 7 5 8, = k,, 7 55, 76 = k, , 7 = k 6 57, 7, 6 = k 7, , = 657, + 77, 5 6, 7 = k 6 57,, 76 = k, , = 657, + 7, 55 kalkulatuko dugu edozein ekuaziotan; esaterako, bigarrenean:,98 = 6,57 +,7 55,98 + 6,57 =,

31 Funtzio esonentzialak eta logaritmikoak f() =,98 + 6,57 eta g() =,7 55, funtzioak kontuan hartuko ditugu, eta guti gorabeherako kalkulua eginez, bat etortzen diren -ren balioa lortuko dugu: f() g(),599,79,,98,55,,67,58, 7, 7,59 f() g(),9,98,55,,88,9,,87,99,,786,857,,79,8,5 5,86 5,88,6 6,99 6,95,7 8, 8,5 Hots, funtzioak berdintzen dira -ren balioa,6 eta,7 artean badago. Ebazen gisa guti gorabeherako balio hartzen badugu, =,6; k en balioa kalkulatuko dugu. 6,7 = k 6,57,6 k = 6,7 + 6,57,6 =,6 Windchill indizearen formula hau da: T S =,6 +,6 T,7 V,6 +, T V,6 Non T = 7 ºC eta V = km/h diren: T S =,6 +,6 ( 7) +,7,6 +, ( 7),6 = 5,85 7 Hegazti-granja bat ibai bateko ura azido urikoz kutsatzen ari da. Agintariek jakinarazi diete hurrengo kontrolean azido urikoaren maila ez bada jaitsi, 6 hilabete barru granja itiko dietela. Azido urikoaren gehieneko maila baimendua,9 da. Granjako segurtasunarduradun Aitziberrek ibaiko azido urikoaren mailaren segimendua egin du, zenbait hilabetez. Aurkeztutako tostenean, azido urikoaren maila deskribatzen duen funtzioa idatzi du. f(t) = ln (t + ) 5 ln (t + )

32 ERANTZUNAK f(t) funtzioak azido urikoaren maila ematen du, t denbora dela, hilabetetan adierazia. f(t) t Isuria izan zenetik hiru hilabetera maila jaisten hasi da. Programatutako kontrolek eskatutako mailaraino jaitsiko al da? Zer gertatuko da urtebete igarotakoan? Azido urikoaren kontzentrazioa hemendik sei hilabetera hau izango da: f (6) = ln 7 5 ln =,86 Kontzentrazioa,9koa baino tikiagoa denez, fabrikak funtzionatzen jarraituko du. Kontzentrazioa hemendik urtebetera hau izango da: f () = ln 5 ln + 6 =,6 77