1º BACH DIBUJO TÉCNICO I SISTEMA AXONOMÉTRICO PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Y CABALLERA

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1 1º BACH SISTEMA AXONOMÉTRICO PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Y CABALLERA

2 1- PERSPECTIVAS: SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL. INTRODUCCIÓN Sea un triedro trirrectángulo OXYZ, siendo el punto O el vértice del triedro y origen del sistema. (La mejor imagen que podemos obtener de un triedro trirrectángulo es la de un rincón de una habitación). El triedro está formado por los planos XOY, YOZ y ZOX, que se consideran infinitos y a los que se denomina planos axonométricos o coordenados. Los planos axonométricos se cortan dos a dos según los ejes X, Y, Z, que son las aristas del triedro y a los que se denomina ejes axonométricos. Sea también un plano π cualquiera en el que se apoya el triedro anterior por el vértice O sin que ninguna cara ni eje coincida con dicho plano. A este plano se le denomina plano de proyección, plano del dibujo y más generalmente plano del cuadro, y sobre él se proyectan ortogonalmente los ejes. Denominaciones: O vértice del sistema. H plano horizontal (XOY). V plano vertical (XOZ). W plano vertical segundo (YOZ). π plano de proyección. La representación axonométrica se consigue al colocar el plano de proyección coincidiendo con la hoja de papel. CLASES DE SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL: Sistema Isométrico: tres ángulos iguales α = β = γ Sistema dimétrico: dos ángulos iguales α = β γ Sistema trimétrico: tres ángulos desiguales α β γ ESCALA ISOMÉTRICA. COEFICIENTE DE REDUCCIÓN. En el sistema axonométrico isométrico, toda arista de un cuerpo o pieza, que sea paralela a uno de los ejes del sistema, al proyectarla sobre el cuadro, se reduce en la misma proporción que aquéllos, es decir, que su proyección se obtiene multiplicando la longitud real por el valor del coseno de 35º 16, que es el ángulo que forma cualquiera de los ejes isométricos con el plano de proyección o cuadro. La escala de reducción isométrica, común para los tres ejes es: 0 816, siendo el valor del cos 35º16 = Es isométrico y ya aplicado a la perspectiva de piezas en es dibujo industrial, se puede NO CONSIDERAR el acortamiento o reducción que sufren las rectas isométricas, representándolas directamente en proyección con la medida real que tengan en el espacio y de esta forma conseguiremos la perspectiva de una pieza mayor pero semejante a la dada. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 2

3 2- PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. X = ANCHURAS Y = PROFUNDIDADES Z = ALTURAS El eje Y podrá variar su posición (derecha o izquierda) dependiendo de la posición de la pieza. Dicha posición vendrá determinada por sus vistas: planta, alzado y perfil EL PUNTO EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Posiciones del punto: Coordenadas A (ax, ay, az) Nomenclatura: A1 plano YX A2 plano ZX A3 plano YZ EJERCICIO: Representar en perspectiva isométrica los siguientes puntos: A (30, 20, 50) B (20, 40, -30) C (-30,-20,40) D (40, 0, -50) E (-20, 50,-40) F (60, 60, 60) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 3

4 2.2. LA RECTA EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Una recta vendrá siempre dada por la posición de dos puntos de ella. La recta se representa por sus cuatro proyecciones: r, r1, r2 y r3, dado que consideramos opacos los planos de proyección, nos interesaremos por la porción de recta que esté en el primer triedro. Llamamos trazas de una recta a los puntos de intersección de dicha recta con los planos coordenados, son por tanto puntos donde la recta cambia de triedro. T1 = r corta al P.H. T2 = r corta al P.V. T3 = r corta al P.W. (plano de perfil YOZ). EJERCICIO: Dibujar la recta que contiene los puntos A(40, 10, 20) y B (15, 45, 10). Hallar las proyecciones, las trazas y la visibilidad de la recta. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 4

5 POSICIONES DE LA RECTA RECTA // PLANO XOY T3(0, 20, 20) T2(30, 0, 20) RECTA // PLANO XOZ T3(0, 20, 20) T1(15, 20, 0) RECTA // PLANO YOZ T2(20, 0, 25) T1(20, 25, 0) RECTA // EJE X T3(0, 15, 20) RECTA // EJE Y T2(15, 0, 20) RECTA // EJE Z T1(10, 20, 0) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 5

6 2.3. EL PLANO EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Un plano queda representado en la perspectiva por las proyecciones de sus trazas, que son las rectas-intersección con los planos coordenados. α (αx, αy,αz) Las trazas de un plano siempre se cortan en los ejes. α3 z α2 EJERCICIO: Representar los siguientes planos, cada uno de ellos en un eje isométrico diferente: α (25, 30, 40) β (15, -35, 20) ω (15, 25, -20) y α1 x ANA BALLESTER JIMÉNEZ 6

7 REPRESENTACIÓN DEL PLANO. POSICIONES RELATIVAS PLANO // EJE X α (œ, 40, 30) PLANO // EJE Y α (30, œ, 20) PLANO // EJE Z α (20, 30, œ) PLANO // EJE XOY α (œ, œ, 20) PLANO // EJE XOZ α (œ, 20, œ) PLANO // EJE YOZ α (25, œ, œ) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 7

8 FORMAS DE DEFINIR UN PLANO. Un plano quede definido en los siguientes casos: Por tres puntos no alineados. Por un punto y una recta. Por dos rectas que se cortan. Por dos rectas paralelas. EJERCICIO: Dibujar las tras del plano dado por tres puntos no alineados: A(25, 20, 20), B(30, 10, 35) y C(50, 40, 10). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 8

9 INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS. La intersección entre dos planos siempre nos dará como solución una recta, cuyas trazas se encontrarán en los puntos de corte de las trazas del plano con el mismo nombre. Es decir: α1β1 = T1 α2β2 = T2 α3β3 = T3 EJERCICIO: Hallar la intersección de los planos α (50, 60, 50) y β (-50, 25, 30). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 9

10 EJERCICIO: Averiguar la intersección de los planos P y Q. Grafiar con colores las partes vistas de cada plano. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 10

11 INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS. La intersección de dos planos siempre será un punto I, resultado de las rectas intersección de los planos dos a dos. Es decir: α Π β = r α Π ω = s r Π s = I solución EJERCICIO: Hallar la intersección de los tres planos siguientes: α (80, -90, 20), β (20, 90, 70), ω (-80, 50, 50). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 11

12 INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO. La intersección entre una recta y un plano nos da siempre como resultado un punto I. Este punto se obtendrá de la intersección de la recta r dada, con una recta s obtenida a partir de la intersección del plano α dado y de un plano auxiliar (paralelo a uno de los ejes isométricos) que contenga a la recta r. EJERCICIO: Hallar la intersección la recta r dada por los puntos A(45, 20, 10 ) B(20, 45, 40) y el plano α (-40, 35, 30). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 12

13 2.4. LA CIRCUNFERENCIA EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Las circunferencias en perspectiva se representan como elipses, pero perspectiva isométrica, en la mayoría de los casos se acepta su representación como óvalos, evitando así su dibujo a mano alzada. EJERCICIO: Dibujar en perspectiva isométrica un cubo de arista 80 mm y dibujar en cada una de sus caras una circunferencia. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 13

14 2.5. DIBUJO ISOMÉTRICO DE FORMAS PLANAS CON ARISTAS NO PARALELAS A LOS EJES. Las figuras que poseen aristas que no forman ángulos de 90º o no pueden dibujarse paralelas a los ejes de la perspectiva, necesitan dibujarse en verdadera magnitud mediante un abatimiento, para después ser llevadas al dibujo isométrico. EJERCICIO: Dado el punto O(30, 30, 0) centro de un hexágono regular de radio R = 25 mm. Se pide dibujar la perspectiva isométrica de dicho hexágono, sabiendo que dos de sus lados son paralelos al eje X. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 14

15 EJERCICIO: Dibujar un prisma de base pentagonal sabiendo que: O(50, 50,0), centro de la circunferencia de la base. R = 30 mm, radio de la circunferencia de la base. H = 70 mm, altura del prisma. Un lado de la base es paralelo al eje Y. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 15

16 2.6. INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS POR PLANOS. EJERCICIOS. Dibujar la sección plana que produce el plano que pasa por los puntos A, B y C, contenidos en las aristas sobre las que se proyectan. Datos a tener en cuenta en la solución: Las trazas producidas sobre caras contiguas se cortan sobre la arista común a ambas o su prolongación. Las trazas producidas sobre caras paralelas son paralelas. Rayar la sección producida. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 16

17 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 17

18 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 18

19 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 19

20 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 20

21 En la perspectiva isométrica dada, dibujar a escala 2/1 la pieza que resulta al seccional la figura con un plano paralelo al eje Z que contenga a los puntos A y B. Dibujar sobre una lámina en vertical y pasar la solución a 0 8 rayando la sección. Dada la perspectiva isométrica, dibujar a escala 2/1 y hallar la sección que le produce el plano que contiene al punto P y es paralelo a plano del cuadro ( = las trazas forman 30º con los ejes). EJERCICIOS LIBRO Y CUADERNILLO: Pg. 133: Figuras 1, 2, 3 y 4: Escala 2/1 Pg. 134: Figuras 1 y 2: Escala 2/1 Figuras 3 y 4: Escala 1/1 Láminas Cuadernillo: 21, 22 y 23 Pg. 214: Figuras 1 y 4: Escala 2/1 Figuras 2 y 3: Escala 3/2 (con escala gráfica) Croquis pg. 215 y 216. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 21

22 3- PERSPECTIVAS AXONOMÉTRICA OBLICUA: PERSPECTIVA CABALLERA En Perspectiva Caballera, el plano π coincide con el plano XZ de los planos coordenados del triedro. De este modo el eje Y queda perpendicular al plano π, proyectándose oblicuamente sobre él según una dirección d. DIRECCIÓN DE PROYECCIÓN Y COEFICIENTE DE REDUCCIÓN. DIRECCIÓN DE PROYECCIÓN: es el ángulo ϕ que forma el eje Y con el eje X sobre el plano del cuadro. Ángulo habituales en la dirección de proyección pueden ser: ϕ = 45º, 135º, 225º y 315 que coinciden con los de la escuadra y cartabón. Dependiendo de la variación de la dirección de proyección observaremos la figura desde diferentes puntos de vista. La colocación de los ejes en perspectiva, siempre vendrá determinada por el perfil dado. Si nos dan el perfil derecho de la pieza, el eje Y se colocará a la derecha, y si nos dan el perfil izquierdo de la pieza, el eje Y se colocará a la izquierda. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 22

23 COEFICIENTE DE REDUCCIÓN: Los ejes X y Z, al estar en el plano del cuadro, forman un ángulo de 90º y las medidas sobre ellos se toman en verdadera magnitud. La dirección de proyección ϕ y el coeficiente de reducción Cr, sólo afectan al eje Y y deben ser definidos en todo ejercicio. Coeficientes de reducción habituales son: Cr= 1/2, 2/3, y 3/4. Como veremos en los ejercicios, el coeficiente de reducción puede aplicarse como una escala gráfica utilizando los ejes X, Y, Z. EJERCICIOS PERSPECTIVA CABALLERA: 1. Dibujar un prisma en perspectiva caballera, sabiendo que: Su base es un pentágono inscrito en una circunferencia de R = 30 mm. El lado de la base con menor alejamiento es paralelo al eje X. El centro de dicha circunferencia es el punto O (50, 30, 0). La altura del prisma es h = 80 mm. ϕ =150º Cr = ½ 2. Dibujar una pirámide sabiendo que: Tiene una base hexagonal inscrita en una circunferencia de R= 30 mm. Dos lados de la base son paralelos al eje Y. El centro de dicha circunferencia es el punto O (50, 30,0) La altura de la pirámide es h = 60 mm. ϕ = 135º Cr = 2/3. 3. Dibujar un cilindro sabiendo que: Su base es una circunferencia de R = 30 mm. El centro de dicha circunferencia es el punto O (50, 30, 0) La altura del cilindro es h = 90 mm. Cr = ½ ϕ = 150º ANA BALLESTER JIMÉNEZ 23

24 4. Dibujar a escala 2/1, la pieza que resulta al seccionar la perspectiva caballera dada con el plano A, B y C suprimiendo la parte de delante. Cr = ½ ϕ = 135º. 5. Dibujar en perspectiva caballera y a escala 2/1 la siguiente figura sabiendo que: La hoja debe colocarse en posición horizontal. Cr = ½ ϕ = 135º Los ejes deben colocarse: ANA BALLESTER JIMÉNEZ 24

25 6. Dibujar en perspectiva caballera y a escala 4/1 la siguiente figura. Cr = ½ ϕ = 135º EJERCICIOS LIBRO Y CUADERNILLO Láminas del cuadernillo: 24, 25 y 26. Ejercicios libro: Pg. 145 Figura 1: ϕ = 135º σ = 60º Escala 2/1 Figura 2: ϕ = 120º σ = 60º Escala 2/1 Pg. 146 Figura 1: ϕ = 135º σ = 0 6 Escala 2/1 Figura 3: ϕ = 135º σ = 60º Escala 1/1 Figura 4: ϕ = 135º σ = 0 6 Escala 1/1 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 25