INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

Transcripción

1 INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara al examen de admisión de la Universidad Nacional y/o Examen de Estado ICFES Saber 11. Las tutorías tienen un límite estricto de cupos y para la asistencia a este espacio es indispensable la INSCRIPCIÓN PREVIA, además se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: 1. Asistir puntualmente a la tutoría. Después de 10 minutos, bajo ningún argumento el docente permitirá el ingreso del estudiante. 2. Leer la siguiente tabla y cumplir con los prerrequisitos establecidos que en ella se dispongan. Asignatura: MATEMÁTICAS Nombre de la Tutoría: DESPEJE DE ECUACIONES Tema: ALGEBRA Y CÁLCULO Conceptos que el estudiante debe manejar: OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Documento Base: Instrucciones: Realice el problema e) de la actividad de control de la página 12, y el octavo problema de la actividad de control de la página 18 del documento de la tutoría. Escriba el procedimiento y su resultado en el siguiente espacio, y entregue este formato al iniciar la tutoría (si no alcanza, utilice la parte de atrás de la hoja).

2 Contenidos Α α α α α α α α α Despeje de variables en Números Reales 1.- El problema de la mitad de x de la vida 2.- La Ecuación 2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita 3.- El epitafio de Diofanto 4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas Propiedades de las soluciones Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones La ecuación de tipo: ; Factorización de un trinomio de segundo grado 5.- Ecuaciones racionales 6.- Ecuaciones bicuadradas LECTURA Desarrollo del Aprendizaje 1.- El problema de la mitad de x de la vida El matemático diría que la vida del condenado debería ser dividida en una infinidad de períodos de tiempo iguales y, por tanto, infinitamente pequeños. Según tal razonamiento, veríamos que cada periodo de tiempo dt, Podría ser mucho menor que la diezmillonésima parte de un segundo! Desde el punto de vista del Análisis Matemático este problema no tiene solución. La única fórmula, la más humana y más de acuerdo con el espíritu de Justicia y de Bondad, fue la sugerida por Beremiz (famoso matemático Persa, que tenía notables aptitudes para la ciencia de los números, conocido como el Hombre que calculaba). (Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV) Sin nos ponemos a ver con calma, pudiésemos plantearnos una expresión matemática que agrupe toda la información mencionada, pero tranquilo! Lo haremos al final de la lección. 2.- La Ecuación Para comenzar, veamos primero si recuerdas o que tan claros tienes algunos conceptos importantes de este tema: Qué significan los términos: variable, constante, exponente, radical? Matemática Despeje de variables en Números Reales - 4

3 Qué entiendes por ecuación o fórmula? A que se llama despejar una variable de una ecuación o fórmula? Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Entonces, una ecuación está conformada por dos miembros: el primero, una suma algebraica de términos antes de una igualdad y luego de ella, el segundo miembro, que también consta de otra suma algebraica de términos. En dicha suma, pueden existir términos que contengan a la incógnita acompañada de un coeficiente y de términos independientes (Valores constantes que no contienen a la incógnita). Acá lo puedes ver: Términos 3X X 1er Miembro Igualdad 2do miembro Ecuación Donde: Coeficiente 3 X 4. X -2 y 2 5 son Términos Independientes Variable o Incógnita En el caso de las ecuaciones con una incógnita, se catalogan según el exponente más alto de la incógnita. Matemática Despeje de variables en Números Reales - 5

4 2x x 2 + x x 3 + 5x 2 2x es una ecuación lineal o de primer grado es una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación de tercer grado. En esta guía trabajaremos las ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita Por definición, Sean a, b y c constantes reales con a 0, Se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación de la forma a.x +b c; cuyo valor de x es el conjunto solución de dicha ecuación Procedimiento para resolver estas ecuaciones. Una forma general para resolver las ecuaciones lineales de una incógnita es el siguiente: 1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común denominador. 2. Quite paréntesis. 3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad para lograr que la ecuación tenga la forma: ax b 4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad 5. Verifique el resultado con la ecuación original Para ello veremos algunos ejemplos: a.- Resolver la siguiente ecuación: 2x Primero se simplifican los términos semejantes usando la propiedad aditiva. El objetivo es eliminar todo término que acompañe a la incógnita o variable, que en este caso es X, y para ello se le resta a ambos miembros el valor de 3, o se le suma el valor de -3: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 6

5 2x x 2 Seguidamente, se usa la propiedad multiplicativa, en otras palabras, 2x ( 1/2 ) 2 ( 1/2 ) x 1 De otra forma se puede resolver esta sencilla ecuación lineal. Se dice que se puede trasladar del primer al segundo miembro el término independiente +3, que está sumando, hacerlo restando: 2x x 5-3 2x 2 Posteriormente, pasar al segundo miembro el coeficiente 2 que multiplica a la variable X, dividiendo: x 2/2 x 1 SOLO ESCOGES LA FORMA QUE MEJOR ENTIENDAS Comprobación. En esta parte se sustituye el valor de x resultante en la ecuación para revisar la igualdad: 2( 1 ) b.- Resolver la siguiente ecuación: 10x/2 x + 6 Multiplicas a cada lado por el mínimo común denominador (el 2) 10. x. 2 (x + 6). 2 2 Simplificas los términos semejantes usando la propiedad aditiva 10x - 2x 2x x 8x 12 8x ( 1/8 ) 12 ( 1/8 ) x 12 / 8 x 3/2 Otra forma de hacerlo es: 10. x (x + 6) 2 El denominador del coeficiente del primer término del primer miembro que está dividiendo, pasa multiplicando a todo el segundo miembro Matemática Despeje de variables en Números Reales - 7

6 10. x (x + 6) x 2.x + 12 (Aplicando propiedad distributiva) 10. x - 2.x x 12 x 12 / 8 x 6 / 4 x 3 / 2 (Agrupamos términos semejantes: los términos que contienen a la variable X, por lo tanto el 2X que está sumando en el segundo miembro pasa al primero, restando (operación opuesta), valor 12 se queda intacto en el segundo miembro) (El coeficiente de la variable (8) que está multiplicando pasa al segundo miembro dividendo) (Se reduce el racional buscando mitad, hasta que sea irreducible) En la Comprobación, se tiene: (En el primer miembro se realiza un producto de racionales o fracciones, donde se multiplican directamente numerador con numerador y denominador con denominador. En el segundo miembro se opera una suma de racionales o fracciones cuyo m.c.m es 2) (En el primer miembro se realiza se reduce a la mitad la fracción. En el segundo miembro se suman los términos de la fracción y se observa que son iguales lo resultados) c.- Resolver la siguiente ecuación: 12-2 (2.x - 6 ) Ahora lo verás más directo. Primero, pasa el -2 que divide al otro miembro multiplicando y se quitan los paréntesis en el segundo miembro: 12-2 (2.x - 6 ) 12. ( -1/2 ) ( 2x - 6 ) Matemática Despeje de variables en Números Reales - 8

7 -6 2x - 6 Mediante la propiedad aditiva: x x O Mediante la propiedad multiplicativa: 0 (1/2) 2x ( 1/2 ) 0 x y Mediante la propiedad reflexiva: x 0 En l a Comprobación: 12-2 (2. (0) - 6 ) 12-2 ( - 6 ) d. Resolver la siguiente ecuación: 3.( 2x - 4 ) + 3.( x + 1 ) 9 : Se quitan paréntesis en cada término del primer término, aplicando propiedad distributiva: 6.x x (6.x + 3.x) + ( 12+3) 9 9.x x 9 +9 x 18 /9 x 2 Se agrupan y suman términos semejantes El término independiente que resta en el primer miembro pasa sumando al segundo miembro. Finalmente, el coeficiente de la variable que multiplica pasa al dividiendo segundo miembro En la comprobación: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 9

8 3.( ) + 3.( ) 9 3.( 4 4 ) + 3.( 3 ) 9 (3. 0) e.- Resolver la siguiente ecuación: x - 8 x Acá observamos dos términos en el primer miembro y uno en el segundo. 15. (x 8) 15.x (x 8) 15.x Todos ellos poseen denominadores diferentes y para eliminarlos y dejar la ecuación completamente lineal, procedemos a determinar el m.c.m. entre 3 y 5, y que resulta ser 15. Entonces se multiplica todos los términos de la ecuación por 15: Se resuelve las fracciones de cada término 3. (x 8) + 5.x 3. 8 Se quitan los paréntesis aplicando propiedad distributiva. Se agrupan términos semejantes. 3.x x 24 3.x + 5.x x 48 x 48 / 8 x 6 Comprobación: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 10

9 Actividad de Control : Identifica los términos de estas ecuaciones y los coeficientes de aquellos que posean a la incógnita o variable: i) 7/6.w +6.(w+1) 1 ii) z + 5. (5 z) 5 5 Las ecuaciones pueden ser redactadas completamente por letras que son a su vez términos independientes que poseen valores arbitrarios, según la necesidad. Acá se te muestran unos casos: i. Determine A en la ecuación (A+B)/C B + D Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores: (A+B)/C B + D ( (A+B) B + D C ( (A+B) C. (B + D) ( ( A C. (B + D) - B ii. Determine B en la misma ecuación (A+B)/C B + D Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores: (A+B)/C B + D (A+B) B + D C A + B C. (B + D) (A+B) C. (B + D) Al observar la ecuación, la letra A es la variable y las restantes son términos independientes. La letra C que divide al primer término pasa multiplicando a todo el segundo miembro. La letra B que suma en el primer miembro pasa restando al segundo Al observar la ecuación, la letra B es la variable y las restantes son términos independientes. La letra C que divide al primer término pasa multiplicando a todo el segundo miembro. A + B C.B + C.D La letra B en el segundo miembro debe salir del distributiva) para luego ser agrupado B C.B C.D - A Se agrupan términos semejantes: El término que contiene a B en el 2do miembro pasa restando al primero. La letra A pasa restando al 2do miembro. B. (1 C) C.D - A En el primer miembro se obtiene como factor común a B para agrupar los coeficientes que lo acompañan. Recuerda que B tiene como coeficiente a 1. B (C.D - A) (1 C) Finalmente el coeficiente que multiplica a B pasa dividiendo a todo al 2do miembro. Y listo!!!! Matemática Despeje de variables en Números Reales - 11

10 Los valores de cada letra que representa variables y constantes se asignan según el problema planteado. Por ahora y a maneja de ejemplificación, imagínate que B 3; C 2 y D 1 y sustituimos en los despejes ya realizados, entonces el valor de A es: Así : A 1. (3 + 2) - 3 A 1. (5) A 2 Hagamos el mismo procedimiento para darle valor a B, suponga que A 5; C -2 y D 4 y sustituimos en el despeje respectivo, entonces el valor de B es: B (C.D - A) (1 C) B ( ) (1 (-2)) (-8-5) (1 + 2) B En resumidas cuentas: No debes abrumarte por tener que despejar una variable y que los demás términos sean letras. Trátalos como números, y sigue el procedimiento, luego se les sustituyen por valores reales. Actividad de Control: Resuelve estas ecuaciones. Recuerda algo: los términos se separan en sumas y restas, las multiplicaciones y/o divisiones forman parte de un término x a. Resp. x 21 4 b. - 3/5.( 15-2x ) - 3 ; Resp. x 5. c. 4x - 5 ( x + 3 ) 2x 3; Rep. X 4 d. 2.(x + 2) x ; Resp: x e. x + 1 x -4 2.x - 3 ; Resp: x Actividad de Control : Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti - Matemática Despeje de variables en Números Reales - 12

11 Fibonacci. La Magia de los Números 3.- El epitafio de Diofanto Diofanto, fue un Matemático (Geómetra) griego nacido en Alejandría ( ) que tenía un dilema existencial: He aquí el túmulo de Diofanto maravilla para quien lo contempla-; con artificio aritmético la piedra enseña su edad. Dios le concedió pasar la sexta parte de su vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un séptimo en un estéril matrimonio. Pasaron cinco años más y le nació un hijo. Pero apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre, cuando murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de la ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su existencia. Es posible que Diofanto, preocupado en resolver los problemas indeterminados de la Aritmética, no hubiera pensado en obtener la solución perfecta del problema el rey Hierón, que no aparece en su obra. Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV El problema de Diofanto El llamado problema de Diofanto o epitafio de Diofanto, puede ser resuelto fácilmente con auxilio de una ecuación de primer grado con una incógnita. Designando con X la edad de Diofanto, podemos escribir: X X X X 5 4 X Resuelta esa ecuación encontramos que: X 84 Es decir, la edad de Diofanto es 84 años. Esta es la solución del problema 4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: a.x 2 + b.x +c 0 con a 0, b y c valores reales. Se resuelve según sea el caso: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 13

12 4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas 1er caso: si b 0 y c 0, entonces: ax 2 0, por tanto la solución es x 0. Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4.x 2 0 Como a 4, b c 0, entonces x 0 Es sencillo, todo número multiplicado por cero resulta cero 2do caso: Si c 0, entonces: ax 2 + bx 0 Extraemos factor común x. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado. Así: ax 2 + bx 0 x.(a.x + b) 0 x 0 y Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4x 2 + 7x 0 Como a 4, b 7 y c 0, entonces x. (4x + 7) 0 Cuando el término independiente c vale cero, queda una ecuación cuadrática donde x es el factor común x 0 y 4x x 0 y x -7/4 De esta forma queda un producto y el resultado es cero, quiere decir que cada expresión se iguala a cero y se despeja el valor. Estos resultados representan las raíces buscadas Así, las raíces del consunto solución es x1 0 y x2-7/4 3er caso: b 0, entonces: ax 2 + c 0 Despejamos: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 14

13 Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 3Y Como a 3, b 0 y c -27, se tiene que: 3Y Y 2 27/3 Y 2 (27 / 3) Y 9 Y 3 Al tener este tipo de ecuaciones donde el término con variable lineal (b.x), lo que queda es despejar la variable (que puede ser cualquier letra) Se extrae la raíz cuadrada como operación contraria a la potencia cuadrada en ambos miembros. Es de hacer notar que al despejar y aplicar este procedimiento se obtienen dos raíces: una positiva y otra negativa Por lo tanto: Y + 3 y Y -3 Así, las raíces del consunto solución es Y1 3 y Y2-3 4to Caso: b y c 0, entonces: ax 2 +bx +c 0, considerada ecuación cuadrática completa. En este caso, se hacen estudio de las soluciones b 2 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos: i. b 2 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. ii. b 2 4ac 0 La ecuación tiene una solución doble. iii. b 2 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales. Matemática Despeje de variables en Números Reales - 15

14 Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 5Y 2-14Y Como a 5, b -14 y c -3, se tiene que plantear el valor discriminante: Y - (-14) (-14) 2 (4.5.(-3))] 2. 5 Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula del discriminante manteniendo y respetado los signos Y ] 10 Y Se realizan los cálculos correspondientes Observe que la cantidad subradical (valor dentro de la raíz) es mayor que cero (256>0) y la solución está en el conjunto de los números reales: Caso i. Por otro lado, existe el doble signo, lo que significa que hay dos soluciones: una solución positiva y una negativa Y Resolvemos la 10 Y raíz cuadrada y culminamos operando con la suma algebraica y la división Y Y Por lo tanto: Y + 3 y Y -1/5 Así, las raíces del consunto solución es: Y1 3 y Y2-1/5 Cuando realices correctamente las operaciones dentro de la raíz y resulte un número negativo, por ejemplo: Y ] 6 Y Detengámonos en esto: -9, hay que recordar que las cantidades subradicales de una raíz par (raíz cuadrada: 2) deben ser positivas (mayores o iguales que cero), y como -9 <0 por tanto no hay soluciones en conjunto de los números reales y se aplica el caso iii. Matemática Despeje de variables en Números Reales - 16

15 Otra forma de decirlo, es que no es no mismo: (-3) 2 9 y (+3) 2 9, es decir, ningún valor real que eleves al cuadrado dará dará como potencia un valor negativo. Ahora, si se te presenta un ejemplo como éste: Y ] 6 Y El valor de Y1 Y2 1/ 3, y se aplica el caso ii que es mismo caso 2 de las ecuaciones cuadráticas incompletas. 5to caso: Si en cualquiera de los casos anteriores a<0, entonces multiplicamos los dos miembros por ( 1) Propiedades de las soluciones La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como: La ecuación de tipo: ; Siendo S x1 + x2 y P x1 x Factorización de un trinomio de segundo grado Si a.x 2 + bx +c 0, entonces: solución de la ecuación. a (x -x1 ) (x -x2 ) 0; donde x1 y x2 son las raíces Matemática Despeje de variables en Números Reales - 17

16 5.- Ecuaciones racionales La ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original. 6.- Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax 4 + bx 2 + c 0 Para resolverlas, efectuamos el cambio x 2 t, x 4 t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t: at 2 + bt + c 0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x: x t Actividad de Control: Encuentra las raíces del conjunto solución de las ecuaciones cuadráticas siguientes: x x (2x - 5)(2x + 5) (x + 6)(x - 6) 13 (x + 11)(x - 11) 23 x 2 7x 21x x 2-6x 6x 2-8x (x - 3) 2 - (2x + 5) 2-16 (4x - 1)(2x + 3) (x + 3)(x 1) x x x 2-3x x 2 + 4x 285 Actividad de Control: Revisa estos enlaces: Matemática Despeje de variables en Números Reales - 18

17 Actividad de Control: Plantea estas expresiones en forma de ecuaciones y resuelve, son sencillas!!! a. La suma de dos números consecutivos es 175. Cuáles son esos números? (Resp. : 87 y 88) b. En el partido de fútbol de ayer se realizó el siguiente cambio: El número del jugador que salió es igual al número del que entra aumentado en tres. Si nos informan que el jugador que sale es el 20. Cuál es el número del jugador que entró? (Resp.: 17) c. La edad de Pablo es el triple de la edad de su hija., pero la suma de ambas edades es 40 años. Halla mediante la resolución de una ecuación la edad que tiene cada uno. (Resp.: Hija de Pablo: 10 años, Pablo: 30 años) Resuélvelos todos!!, son cortos y SENCILLOS de analizar, que así te espero con gusto en la próxima guía!!!! LECTURA Modelo Cósmico Ferman Lenguaje Matemático. Real o Imaginario? LENGUAJE MANTEMÁTICO Real o Imaginario? Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como método de medida de las circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su principal función. Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticos se cree haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las matemáticas en un leguaje de expresión y demostración con el cual podemos averiguar toda la realidad física. Y la pregunta sería, Puede las matemáticas ser realmente un método de expresión? Parece claro que sí. Las matemáticas pueden tener unas dimensiones tan extensas que pueden convertirse en método de expresión y demostración de cualquier acontecimiento. Pero aquí surge el problema: Como método de expresión las Matemática Despeje de variables en Números Reales - 19

18 matemáticas pueden abarcar cualquier acontecimiento real, pero también cualquier acontecimiento inventado o imaginario. Por tanto al utilizar el lenguaje matemático podemos tomar dos opciones: ---Podemos hacer formulaciones, mediciones y demostraciones sobre hecho físicos reales, para lo cual es necesario comprobar que los parámetros matemáticos y sus resultantes coinciden con los parámetros y acontecimientos físicos y también con sus resultantes. ---Y podemos crear a partir de formulaciones matemáticas arbitrarias y preconcebidas una creatividad y una física imaginaria, la cual podríamos manejar a nuestro antojo. ---Y en eso parece que estamos en la actualidad, en inventarnos fórmulas con las que intentamos explicar un universo a nuestro modo, y si las layes físicas y por tanto el universo real no coincide con nuestras ideas preconcebidas decimos que es el mundo físico el que resulta incomprensible, inestable, virtual o simplemente equivocado. Pero como es lógico siempre procuramos que este mundo inestable o virtual se sitúe lejos de nuestro alcance (como en el mico-espacio o espacio quántico, a la velocidad de la luz, etc.) y de esta forma podemos aceptar mejor nuestro engaño. Así, la física que nosotros podemos observar es diferente de la que no podemos observar. Aquí se cumplen unas leyes físicas claras lógicas y comprensibles. Allí donde no llegamos, las leyes son diferentes, ilógicas e incomprensibles. Creo por tanto que antes de explicar complicadas fórmulas matemáticas deberíamos saber que son en realidad las matemáticas y cuál es su alcance real y alcance ficticio. Puede ser maravilloso inventarnos un universo a nuestro gusto, pero es triste estar engañado con tantas alegorías matemáticas como lo estamos en la actualidad. Como ejemplo de estos errores podemos reseñar: ---El invento de su fórmula por Lorentz para justificar un posible aumento de masa propuesto por Einstein en las partículas que se acercan a la velocidad de la luz, todo ello debido al desconocimiento que estos tenían de una propiedad de toda energía de tener una velocidad máxima de desarrollo. ---El tremendo error de escoger las coordenadas cartesianas en vez de las radiales en la composición de las órbitas de los electrones en mecánica cuántica. ---La de escoger la constante de Planck como número cuántico real cuando solo es una cantidad arbitraria para poder relacionar la frecuencia con la energía. ---La de crear un principio de incertidumbre o de probabilidades para después Matemática Despeje de variables en Números Reales - 20