Como construir carteras eficientes a medida

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1 Un caso práctico desarrollado por el programa EFE 2000 de la empresa SciEcon Como construir carteras eficientes a medida El diseño de carteras eficientes involucra siempre un proceso de optimización. Si bien el planteamiento del problema es conceptualmente de fácil comprensión, su resolución en la práctica, no es en absoluto trivial. Afortunadamente existen modernos y potentes programas informáticos que facilitan al máximo los complejos procesos de cálculo. Este es el caso del programa EFE 2000 (Efficient Frontier Estimator) desarrollado por la empresa SciEcon, que es capaz de contemplar un universo de varios miles de activos. T odos los problemas de decisión tienen ciertos elementos en común. Principalmente, un conjunto de alternativas y uno o varios criterios de decisión. Encontrar la solución del problema consiste en seleccionar aquella alternativa, de entre las disponibles, que mejor satisface el criterio o los criterios establecidos. En concreto, para el caso analizado en este artículo: - El conjunto de alternativas disponibles está formado por diversos activos financieros con riesgo (o cualquier combinación de ellos), entendiendo como riesgo un cierto nivel de incertidumbre sobre el rendimiento de los activos. - En cuanto a los criterios de decisión, es razonable suponer que los inversores pretenden obtener, en primer lugar, la máxima rentabilidad posible y, en segundo lugar, el menor riesgo posible (). Además, estos dos criterios entran en conflicto, es decir, cuanta mayor rentabilidad se quiere obtener, mayor riesgo hay que aceptar. En la situación propuesta, no existe una única solución para el problema. El inversor desearía encontrar una cartera que proporcionase una elevada rentabilidad, con muy poco o ningún riesgo. Como esta cartera no suele existir, la alternativa finalmente elegida depende de las preferencias concretas de la persona que decide, es decir, de la importancia que concede a cada uno de los dos criterios. Lo que se puede afirmar, para todos los casos, es que cualquier inversor racional (es decir, que pretende lograr un resultado lo mejor posible, dada la información que posee) desea componer una cartera que no esté dominada. Se dice que una cartera A está dominada por otra cartera B, si B tiene un riesgo menor, y al menos 27

2 GRAFICO GRAFICO 2 igual rentabilidad que A, o mayor rentabilidad y, a lo sumo, igual riesgo que A. Cuando una cartera no está dominada por ninguna otra se dice que es una cartera eficiente. TABLA A (EN %) RENTABILIDAD DESV. EST. CORR. ACT. CORR. ACT. 2 CORR. ACT. 3 Activo 3, 9,47-0,3 0,45 Activo 2,7 7,4-0,3-0,6 Activo 3 5,6 0,5 0,45-0,6 La diversificación. En la base de este problema se encuentra el concepto de diversificación, que consiste, básicamente, en distribuir las inversiones entre activos distintos, para reducir el riesgo total. Como consecuencia de la diversificación, surgen los conceptos derivados de riesgo diversificable y no diversificable. Para entender estas nociones, piénsese en un sencillo ejemplo. Si usted tiene todo su dinero depositado en un banco de un país, existe una cierta probabilidad de que ese banco quiebre y usted pierda su dinero. Si, en cambio, usted tiene su dinero repartido en dos bancos de un país, la probabilidad de que los dos bancos quiebren simultáneamente es mucho menor. Por último, si usted tiene todo su dinero repartido entre todos los bancos del país, ha conseguido reducir al máximo el riesgo asociado a las circunstancias propias de cada banco. Este tipo de riesgo se denomina riesgo diversificable. Pero continúa existiendo un riesgo que está vinculado a la situación económica del país e influye simultáneamente a todos los bancos, en mayor o menor medida. Si estalla un conflicto bélico o el país entra en una grave crisis económica, todos los bancos se verán en dificultades y su dinero estará en peligro a pesar de todo. El riesgo que resiste a la diversificación se denomina riesgo no diversificable. La misma situación se reproduce en los activos financieros con riesgo, que poseen un riesgo diversificable, derivado de las circunstancias propias de cada empresa, y un riesgo no diversificable, que esta vinculado a la situación del mercado. En el Gráfico se ilustran los conceptos de diversificación, riesgo diversificable y riesgo no diversificable. Se ha seleccionado un conjunto de cien acciones y se han compuesto carteras equiponderadas compuestas por una acción, dos acciones, tres acciones, y así sucesivamente hasta una cartera compuesta por cien acciones en idéntica proporción y se ha medido el riesgo de cada cartera (medido por la desviación típica de la cartera). El gráfico muestra que al aumentar el tamaño de la cartera, el riesgo se reduce paulatinamente pero nunca llega a valer cero, sino que tiende a un valor positivo, representado por la línea amarilla. Este valor representa el riesgo no diversificable. Mientras que la diferencia entre la desviación típica de la cartera con una acción y con cien acciones es una medida del riesgo diversificable. El concepto de frontera eficiente. En el ejemplo anterior, se ha supuesto que las carteras están formadas de modo simétrico, es decir, invirtiendo proporciones idénticas del total en cada activo. Además, no nos hemos preocupado por uno de los criterios básicos de inversión: la rentabilidad. 28

3 En la práctica, el problema principal que se plantea en la diversificación es el de elegir la proporción invertida en cada activo, de modo que se obtenga una cartera eficiente, es decir, que proporcione el mínimo riesgo para una rentabilidad dada o la máxima rentabilidad para un nivel de riesgo dado. Esta idea nos conduce al concepto de frontera eficiente, que resulta un potente instrumento conceptual y de utilidad práctica, que se ilustra con el siguiente ejemplo. Supongamos que un inversor tiene acceso a la compra de tres acciones, de las cuales se conoce el rendimiento, la desviación estándar (o desviación típica), y las correlaciones entre parejas de activos. La correlación mide cómo se relaciona linealmente el comportamiento de la rentabilidad de dos activos distintos y varía entre - y, de tal forma que - implica que las rentabilidades de los activos evolucionan de forma completamente opuesta, mientras que implica que evolucionan de forma totalmente paralela y 0 supone que la evolución de las rentabilidades de dos activos no tiene ninguna relación lineal (2). Esta información se muestra en la TABLA A. GRAFICO 3 Al aumentar el tamaño de la cartera, el riesgo se reduce paulatinamente pero nunca llega a valer cero, sino que tiende a un valor positivo.este valor representa el riesgo no diversificable El experimento de Monte Carlo A continuación, se realiza un experimento de Monte Carlo, que consiste en formar carteras distintas combinando los tres activos de modo aleatorio. Por sencillez, se supone que existe un presupuesto limitado y no es posible el endeudamiento ni las ventas a corto, de modo que la inversión en cada activo debe ser positiva o nula. Cada punto del Gráfico 2 representa una cartera, que está caracterizada por un nivel de rentabilidad (eje de ordenadas) y un nivel de riesgo (eje de abscisas). Obsérvese que, entre todas las combinaciones posibles existen tres que consisten en invertir el total disponible en el Activo, en el Activo 2 y en el Activo 3 respectivamente, y nada en el resto. Es posible que algún inversor racional estuviese dispuesto a invertir en una cartera compuesta únicamente por el Activo 2? La respuesta es, claramente, no, dado que existen muchas carteras que están al noroeste del Activo 2, es decir, mayor rentabilidad y menor riesgo. Este razonamiento es aplicable a todas las carteras representadas por puntos de color rojo en el gráfico. Se dice que estas carteras son ineficientes. Obsérvese, sin embargo, cualquier cartera de las que están representadas en la línea azul del gráfico, por ejemplo, la cartera A. Para cualquier punto de esta línea, no existe ninguna cartera que esté más al noroeste que ella, es decir, que proporcione mayor rentabilidad sin aumentar el riesgo, ni menor riesgo sin reducir la rentabilidad. La línea azul está formada por todas las carteras eficientes y, por tanto, se denomina frontera eficiente. Para un inversor particular, no se puede conocer cuál será su cartera óptima, pero sí se puede afirmar que será alguna de las que pertenece a la frontera eficiente. Es fácil darse cuenta de que, para diseñar nuestras inversiones financieras, sería de gran utilidad saber qué carteras concretas se encuentran en la frontera eficiente. Cuando existen muy pocos activos disponibles, se puede obtener una aproximación razonable a la frontera eficiente empleando algún programa sencillo, por ejemplo, una hoja de cálculo. Conforme aumenta el volumen del universo de activos, la obtención de la 29

4 frontera se vuelve más interesante, pero también más compleja. Además de los elementos expuestos hasta ahora, el problema se puede complicar enormemente, cuando se pretende obtener una estimación de la frontera que responda a las distintas necesidades de cada inversor particular (estableciendo un número máximo de activos en los que se realiza la inversión, determinadas condiciones sobre las proporciones invertidas, restringiendo o permitiendo endeudamiento, ventas a corto, etc.) En general, para obtener una estimación de la frontera eficiente, son precisos dos pasos: en primer lugar, efectuar una estimación de la rentabilidad, el riesgo y la correlación entre los distintos activos disponibles. En segundo lugar, se requiere un método que, utilizando estas estimaciones, sea capaz de determinar las carteras que pertenecen a la frontera eficiente. En el siguiente punto de este artículo se indica cómo efectuar los cálculos necesarios para la primera fase. En cuanto a la segunda etapa, que es la que presenta mayor complejidad técnica, se requiere del empleo de procedimientos de optimización y cálculo numérico suficientemente potentes. CALCULO DE RENTABILIDADES, RIESGOS Y CORRELACIONES Hay distintas técnicas para calcular las rentabilidades esperadas de las acciones u otros activos financieros, que dependen, esencialmente, del concepto de rentabilidad que se utilice. Todas ellas se basan en el supuesto de que la mejor forma de predecir los rendimientos futuros consiste en emplear adecuadamente la información de mercado disponible en el presente y el pasado cercano. Una primer concepto es el de rentabilidad simple, que se calcula como la En la vanguardia de la gestión financiera S ciecon ha desarrollado el programa EFE 2000 (Efficient Frontier Estimator) que tiene la capacidad de ofrecer, de modo eficaz, una estimación de la frontera eficiente, con un universo de varios miles de activos. Además, el programa posee otras interesantes capacidades, relacionadas con la gestión de carteras eficientes, siendo una herramienta que presta un inapreciable servicio para todos los gestores e inversores financieros. Debido al gran interés que tiene para las decisiones de inversión poder resolver problemas de minimización del riesgo total de la cartera, para disponer de una estimación de la frontera eficiente, y dada la complejidad de este cálculo, SciEcon ha desarrollado el programa EFE 2000 (Efficient Frontier Estimator). EFE 2000 tiene la capacidad de manejar, con gran eficiencia computacional, un universo de varios miles de activos y ofrecer, de modo casi inmediato, una estimación de la frontera eficiente, tal como se ha definido en la primera parte de este artículo. Además, permite definir una frontera eficiente restringida, compuesta por aquellas carteras que, de modo óptimo, tasa de variación del precio, es decir, P - P R 0 = P 0 Donde R es la rentabilidad de una determinada acción en el momento con respecto al momento 0, y P es el precio de dicha acción. Una vez calculadas las rentabilidades satisfacen cualquier restricción o criterio establecido por el usuario, conforme a su política de inversiones: número máximo de activos, condiciones sobre las proporciones invertidas, posibilidad de endeudamiento, ventas a corto, etc. También ofrece la posibilidad de evaluar el nivel de eficiencia de cualquier cartera arbitraria definida por el usuario, por comparación con la frontera eficiente, y encontrar aquellas combinaciones, pertenecientes a la frontera, que la dominan en riesgo y/o en rentabilidad. Este programa ha sido desarrollado por un equipo de profesionales que, además de contar con un sólido soporte técnico y analítico, conocen las necesidades de los profesionales de las finanzas. Para maximizar la utilidad y la manejabilidad del producto, EFE 2000 presenta un interfaz de manejo sencillo e intuitivo, y proporciona en todo momento completa información gráfica y estadística como apoyo práctico para las inversiones. Además, SciEcon también cuenta con el programa ("Betas"), para el cálculo automático de estos estadísticos, así como otros necesarios para la gestión de carteras de forma rápida y eficiente. día a día durante un determinado periodo de tiempo, se puede obtener la media de todas ellas. El resultado es la rentabilidad esperada a un día. Para calcular la rentabilidad esperada a un mes se multiplica el resultado por 30. Otra forma de calcular la rentabilidad esperada a un mes consiste en emplear datos mensuales en vez de diarios, 30

5 en cuyo caso, la media TABLA B de las rentabilidades calculadas proporciona directamente la rentabilidad esperada mensual. Elegir la frecuencia y el número de datos históricos con los que se va a trabajar no es tarea fácil, y esta decisión influye en los resultados obtenidos. Un buen gestor debe saber qué forma de predicción se ajusta mejor a cada situación del mercado, y cuándo debe utilizar una forma u otra. Un segundo concepto de rentabilidad es el de la rentabilidad continuamente compuesta, que se calcula como diferencias de logaritmos de precios, es decir, R = Ln(P ) - Ln(P 0 ), o lo que es lo mismo, R P = Ln ( ) P 0 La forma de calcular la rentabilidad esperada a partir de los datos históricos es la misma que en el caso de la rentabilidad simple, es decir haciendo la media de todas las rentabilidades calculadas, y multiplicando el resultado por el horizonte en el cual se pretende realizar la predicción. La diferente forma de calcular la rentabilidad simple y continua, provoca que puedan darse situaciones peculiares como la que se ilustra a continuación. Supongamos una acción cuyo precio en distintos periodos de tiempo (, 2, 3 y 4) va cambiando según se muestra en la segunda columna de la TABLA B. En la tercera columna, se incluye la rentabilidad simple calculada del modo que se ha definido más arriba. Por ejemplo, entre el periodo y el 2, como el precio ha cambiado de 30 a DIA PRECIO R. SIMPLE R. CONTINUA ,333 0, ,250 0, ,400-0,5 Rent. Media 0,06 0,000 Para obtener una estimación de la frontera eficiente, son precisos dos pasos: en primer lugar, efectuar una estimación de la rentabilidad, el riesgo y la correlación entre los distintos activos disponibles. En segundo lugar, se requiere un método que, sea capaz de determinar las carteras que pertenecen a la frontera eficiente 40, la rentabilidad simple ha sido de un 33%, y así sucesivamente para todos los precios. Como se puede ver en la tabla, el precio comienza en 30 y acaba en 30, de modo que cabe esperar que la rentabilidad media del periodo considerado sea igual a cero. Sin embargo, la media de todas las rentabilidades simples es igual a 6, %, notablemente distinto de 0. En la cuarta columna de la tabla se presenta la rentabilidad continuamente compuesta, y se obtiene el lógico resultado de que la rentabilidad diaria media resulta ser igual a 0. Este ejemplo ilustra por qué se suele utilizar esta forma para calcular la rentabilidad esperada. Riesgo y volatilidad. El riesgo de un activo se suele evaluar mediante alguna medida estadística de volatilidad o dispersión de la rentabilidad. Una de las más empleadas es la desviación típica muestral, que se obtiene mediante la siguiente fórmula: n σ = (R i -R _ ) 2 n- i= donde n es el número de rentabilidades calculadas y n R _ = R i n- i= es la media de todas ellas. De este modo, se puede obtener una estimación de la volatilidad del activo durante varios días, y calculando su media, se tiene la volatilidad esperada del activo a un día. Para obtener la volatilidad esperada a un mes, se multiplica la formula anterior por la raíz cuadrada de 30 o, para un periodo genérico de t días, por la raíz de t. n σ = (R i -R _ ) 2 t n- i= Existen técnicas más complejas para calcular volatilidades esperadas, tales como modelos ARCH o GARCH, cuyas formas de calculo no vamos a entrar en este artículo. Matriz de correlaciones. El último elemento necesario para poder estimar la frontera eficiente es la matriz de correlaciones de cada par de activos considerados. Esta matriz se calcula por medio del coeficiente de correlación de Pearson, que está dado por: Cov (R u, R v ) ρ Ru, Rv = σ Ru σ Rv donde ρu,v representa el coeficiente de correlación entre los activos u y v, 3

6 σru(rv) es la desviación típica del activo u (v) y Cov (Ru, Rv) es la covarianza entre la rentabilidad de los activos u y v, que se estima mediante la expresión n Cov (Ru, Rv) = _ (R ui -R _ u) (R vi -R _ v) n i= El coeficiente de correlación indica el sentido y la intensidad de la relación lineal entre el movimiento de las rentabilidades de dos activos cualesquiera. Uno de los principales problemas que se producen al realizar estos cálculos en la práctica es la dificultad computacional asociada a trabajar con muchos activos y con series de datos de gran dimensión. ESTIMACION DE LA FRONTERA EFICIENTE La técnica idónea para el cálculo de la frontera eficiente, a partir de las rentabilidades, volatilidades y correlaciones estimadas, fue propuesta por Markowitz en 952. El método consiste en resolver un problema de optimización para cada punto de la frontera, determinando aquella combinación de activos que, para cada nivel de rentabilidad, proporciona el mínimo riesgo posible. Repitiendo esta operación para distintos niveles de rentabilidad objetivo, se van obteniendo los diferentes puntos de la frontera. Sea i la proporción de la cartera invertida en el activo i (i=,2,,n). En términos matemáticos, la propuesta de Markowitz consiste en encontrar, para cada rentabilidad objetivo, Robj, los valores de α, α 2,, α n que resuelven el problema de minimizar el riesgo total de la cartera, es decir, su dispersión, que viene dada por n n Cov (R u, R v ) min α u α v u= u= σ Ru σ Rv sujeto a las siguientes restricciones: TABLA C i=n α i = i= i=n α i R i _> R obj i= ESPERADO EN 8/02/00 REALIZADO A 3/3/00 RENTABILIDAD RIESGO PRECIO RIESGO RENTABILIDAD Analista 0,06%,67% 3,74% 0,06% Ibex 8/2/00 0,4% 2,7% 6,42% -0,03% PORT 6 0,39% 2,7% 7,78% 0,08% Port 3 0,4%,06% 3,2% 0,23% α,α 2,... α n _> 0 Cambiando el valor de R obj, se van obteniendo distintos puntos de la frontera Cómo estimar la frontera eficiente? A continuación se muestra un ejemplo de cómo estimar la Frontera Eficiente mediante el programa EFE Se ha tomado una muestra de datos diarios, desde el de enero hasta el 8 de febrero de 2000, de precios del IBEX-35 y de todas las acciones que lo componen. Se han estimado las rentabilidades esperadas hasta el 3 de marzo, las volatilidades y la matriz de correlaciones entre las 35 acciones. Esta información se ha introducido en el programa EFE 2000, para calcular la frontera eficiente con un horizonte de inversión del 3 de marzo. A continuación se ha pedido al programa que obtenga la frontera eficiente para doce rentabilidades objetivos. Los resultados se puede ver en el GRAFICO 3. La línea azul representa la frontera eficiente, en el que se marcan las 0 carteras óptimas solicitadas por el usuario. También se muestra la localización, en el plano rentabilidad-riesgo, de las 35 acciones, del índice IBEX-35 y de otras carteras diseñadas a efectos comparativos. La cartera denotada por la etiqueta User port es la recomendación efectuada por un analista financiero, a principio del año, para un plazo de tres meses, es decir hasta el 3 de marzo. La situación del IBEX a fecha 8/2/00 se representa como User port 2. Las diez carteras eficientes calculadas por el programa se denotan por Port, Port 2,, Port 2. Una primera observación relevante es que la frontera eficiente tiene pendiente positiva, es decir, a medida que nos movemos sobre ella, de izquierda a derecha, se pasa a carteras con mayor rentabilidad esperada, pero también con mayor nivel de riesgo. El inversor debe decidir, según sus preferencias, cuál es la combinación oportuna de rentabilidad y riesgo. Se comprueba que la cartera eficiente de máxima rentabilidad (Port 2) está compuesta por un solo activo, concretamente el tecnológico Terra. Por lo tanto, es de esperar (y, en efecto, así sucede) que a medida que nos movemos sobre la frontera eficiente, de izquierda a derecha, buscando combinaciones de mayor rentabilidad con mayor riesgo, la ponderación invertida en este activo aumenta, y la invertida en activos con menor riesgo disminuye. Una segunda observación que se desprende del gráfico es que el IBEX-35 no se sitúa en la frontera eficiente, lo cual es razonable si se piensa que su composición no se efectúa con ningún criterio de optimalidad, sino 32

7 conforme al volumen de capitalización de las acciones. Por otra parte, también se observa que no existe ningún activo individual que, por sí solo, domine al IBEX, es decir, que se sitúe a su izquierda (con menor riesgo) y por encima de él (con mayor rentabilidad). Como se puede ver en el gráfico, la cartera eficiente Port 2 tiene la misma rentabilidad que el IBEX, con mínimo riesgo, y Port 6 es la cartera eficiente que, con el mismo riesgo que el IBEX, proporciona la máxima rentabilidad. En consecuencia, las carteras de la 2 a la 6 de la frontera eficiente, dominan al IBEX-35 en términos de rentabilidad y riesgo. También se puede ver que la cartera recomendada por el analista, tampoco se sitúa en la frontera eficiente, no está dominada por ningún activo individual, pero sí lo está por las carteras 2 a la 4. Con este programa se podrían conocer con todo detalle la composición de todas estas carteras optimas y emplear esta información para tomar sus decisiones de inversión. En la TABLA C se ilustra la evolución de las carteras anteriormente descritas, utilizando los datos de marzo. Como se puede ver en la tabla, la cartera eficiente número 3 es la que mejor se ha comportado en términos de rentabilidad, al compararla con la situación que realmente se ha producido. La otra cartera eficiente recomendada, la número 6, también se ha comportado mejor que la recomendación del analista y, por supuesto, Una estimación de la frontera eficiente, proporciona, con total precisión, un catálogo de las inversiones racionales en cada momento, es decir, aquellas que emplean del mejor modo posible toda la información a nuestro alcance mejor que el IBEX, como cabía esperar al emplear toda la información de modo eficiente, y como se podía predecir, teniendo en cuenta que las carteras que recomendamos son también las que mayor ratio rentabilidad/riesgo (o Precio Riesgo) tienen. En cuanto a la composición por activos de las carteras eficientes 3 y 6, se pueden realizar las siguientes observaciones: en ambas carteras destaca la fuerte presencia de Telepizza y Terra, por su buen comportamiento en el periodo estudiado, y teniendo en cuenta su excelente ratio rentabilidad riesgo, si bien, Telepizza con un riesgo moderado y Terra con un alto riesgo y una muy alta rentabilidad. Como es razonable, la participación de Telepizza es mayor en la cartera 3, la más conservadora, y la de Terra lo es en la cartera 6, la más agresiva de las dos. El resto de los activos que componen ambas carteras pertenecen principalmente a los sectores eléctrico y bancario. La composición de ambas carteras eficientes es coherente con el contexto financiero en que se ha realizado el ejercicio, caracterizado por una elevada volatilidad, que hacía recomendable la inversión en valores tradicionales, y una corrección a la baja de los tipos de interés a largo plazo, que favorecía a los sectores con elevado índice de endeudamiento. Estas observaciones son confirmadas por la opinión del experto analista consultado. CONCLUSIONES En este trabajo se han presentado los fundamentos técnicos y las herramientas necesarias para el cálculo de la frontera eficiente en términos de rentabilidad y riesgo, en la toma de decisiones de inversión. También se han ilustrado los importantes conceptos de diversificación, riesgo diversificable y no diversificable. En la práctica, resulta de gran ayuda el disponer de una estimación de la frontera eficiente, por cuanto proporciona, con total precisión, un catálogo de las inversiones racionales en cada momento, es decir, aquellas que emplean del mejor modo posible toda la información a nuestro alcance. Sciecon NOTAS () En términos técnicos, cuando un inversor prefiere los resultados conocidos con certeza a los resultados inciertos, se dice que es averso al riesgo. (2) Como es lógico, la correlación de un activo consigo mismo es igual a. BIBLIOGRAFIA Markowitz, H. (952) Portfolio Selection, Journal of Finance 7: Sharpe, W. (964) Capital Assets Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, Journal of Finance: Zenios, S. ed. (993) Financial Optimization. Cambridge. 33

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