REPRESENTACION EN SISTEMA DIEDRICO

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1 TEMA 22. INDICE: REPRESENTACION EN SISTEMA DIEDRICO 1. Fundamentos del Sistema Diédrico Códigos habituales de Notación 2. Representación del punto Alfabeto del punto 3. La recta Tipos de rectas. 4. El plano Formas de definir un plano Alfabeto del plano 5. Intersecciones Intersección de dos planos Método para hallar puntos de la intersección de dos planos α y β Intersección de dos planos proyectantes Intersección de un plano cualquiera α 1 -α 2 con otro paralelo a la línea de tierra β 1 -β Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (1er método) Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (2º método) Intersección de un plano cualquiera α 1 -α 2 con otro perpendicular al segundo plano bisector β 1 -β Intersección de los planos α 1 -α 2 y β 1 -β Intersección de una recta cualquiera con un plano. 6. Paralelismo Rectas paralelas entre sí Rectas paralelas a un plano Rectas paralelas. 7. Perpendicularidad Recta perpendicular a un plano Recta perpendicular a un plano que está definido por dos rectas cualesquiera Plano perpendicular a una recta Rectas perpendiculares entre sí., Planos perpendiculares entre sí. 1

2 8. Distancias Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos si estos están en distintos diedros Distancia de un punto a una recta Distancia de un punto a un plano Distancia entre dos rectas paralelas Distancia entre dos planos paralelos. 9.- Abatimientos Abatimiento de un punto Abatimiento de un punto sobre el horizontal Abatimiento de un punto sobre el vertical Abatimiento de un punto sobre un plano paralelo a uno de los de proyección Abatimiento de una recta Abatimiento de una recta en diedrico Abatimiento de un plano Abatimiento de planos proyectantes Abatimiento de una figura plana 10.- Principios generales de representación Vistas necesarias de una pieza Denominación de las vistas Posiciones relativas de las vistas Elección de las vistas Vistas particulares Vistas auxiliares simples Vistas auxiliares dobles Vistas locales 2

3 SISTEMA DIEDRICO. I.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO. El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones. En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT). De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE. Además de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45º con los planos de proyección y se cortan entre ellos y a los planos de proyección en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda división planos BISECTORES. 3

4 Lo expuesto hasta el momento nos da una visión del sistema de representación en el espacio. Pasemos, pues a continuación a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyección horizontal sobre el plano de proyección vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedará como único elemento de referencia la LT. 4

5 En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyección del elemento que estamos representando para su total definición y comprensión, esta proyección se realiza sobre un tercer plano de proyección denominado plano de PERFIL CODIGOS HABITUALES DE NOTACIÓN. La LT se representará en el presente trabajo mediante una línea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos. La nomenclatura del punto a través de letras mayúsculas, diferenciando si se trata de una proyección horizontal (mediante el subíndice 1 ó( )), de una proyección vertical( mediante el subíndice 2 ó( )) o de una tercera proyección, la de perfil( mediante el subíndice 3 ó( )). La nomenclatura de las rectas mediante letras minúsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyección horizontal, vertical o de perfil mediante los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente. Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minúscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subíndices 1, 2 y REPRESENTACIÓN DEL PUNTO. El sistema diédrico de representación consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyección de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyección Horizontal obtendremos la proyección horizontal del punto A (A 1 ). Repitiendo la misma operación sobre el plano de proyección vertical obtenemos la proyección vertical del punto A, que es A 2 y lo mismo con la tercera proyección o de perfil A 3. 5

6 El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyección: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyección de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección vertical( denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección horizontal (denominada cota) ALFABETO DEL PUNTO. Obtendremos ahora en proyección las distintas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio. 6

7 Características de los puntos según los distintos diedros que ocupan: Los puntos situados en el 1er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyección vertical por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 2º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 3er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyección vertical por debajo de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 4º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella. 3.- LA RECTA 7

8 La proyección de una recta sobre un plano, es otra recta. Esta recta está formada por la proyección de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Donde la recta corta a los planos de proyección, tenemos sus trazas H ( traza horizontal) y V (traza vertical).h 1 es la proyección horizontal dela traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyección vertical de la traza horizontal H 2 se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V 2 es la proyección vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyección horizontal de la traza vertical V 1 está sobre la L.T. De esta forma la proyección vertical de la recta r 2 queda definida al unir V 2 con H 2 y la proyección horizontal r 1 al unir H 1 con V TIPOS DE RECTAS a) Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota. b) Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento. 8

9 c) Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y sólo tiene traza horizontal. d) Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y sólo tiene traza vertical. e) Recta paralela a L.T. ésta recta es paralela a los dos planos de proyección P.H. y P.V. f) Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil ( plano auxiliar). 9

10 4.- EL PLANO Las trazas de un plano son los vértices en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas: vertical ( 2 ) y horizontal ( 1 ). Como se indica el figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la linea de tierra. Para que una recta pertenezca a un plano, es decir esté contenida en él, es necesario que la traza vertical de la recta v 2 esté sobre la traza vertical del 10

11 plano 2 y del mismo modo la traza horizontal de la recta h 1 sobre la traza horizontal del plano 1. deberá estar 4.1.-FORMAS DE DEFINIR UN PLANO En la geometría del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes: a) Mediante dos rectas que se cortan. b) Mediante tres puntos no alineados. c) Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan. En realidad lostres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un un punto, puesto que éstas siempre formarán un plano. Partiendo de tres puntos no alineados, bastará con unir los puntos de dos en dos y así obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Partiendo de una recta y un punto que no esté contenido en dicha recta, batará con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteciente a la recta dada, obteniendo así el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastará con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verticales de las rectas, para unir entre sí las proyecciones 11

12 horizontales de la traza horizontal de las rectas(h 1 ) y obtener así la traza horizontal del plano 1, para obtener la traza vertical 2 del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas. d) Mediante dos rectas paralelas. Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza horizontal del plano. Obtener las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza vertical del plano. 12

13 e) mediante la linea de máxima pendiente ó de máxima inclinación. En el sistema diédrico tenemos para cada plano dos tipos de líneas de máxima pendiente. Una con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano vertical (denominada también LINEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN). En la figura se muestra un plano α y contenida en él una recta m perpendicular a la traza α 1. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyección m 1 será perpendicular a α 1. Esta recta será l.m.p. del plano α con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formará con el plano horizontal un ángulo menor que ésta. En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano α. La única condición que debe cumplir es que la proyección m 1 sea perpendicular a la traza α 1. Cualquier recta paralela a m 1 y contenida en el plano α será también l.m.p del plano con respecto al plano horizontal. 13

14 En la figura de la derecha se muestra el caso de la l.m.p. con respecto al plano vertical. En este caso m 2 es perpendicular a la traza α ALFABETO DEL PLANO 14

15 El plano es un plano oblicuo cualquiera. El plano es un plano proyectante horizontal: la proyección horizontal de todos los puntos y rectas que contiene coincide con su traza horizontal. El plano es un plano proyectante vertical: las proyecciones verticales de todos sus puntos y rectas que contiene coinciden con su traza vertical. El plano es un plano de perfil. 15

16 El plano es un plano paralelo a la L.T: las trazas que contiene también son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector. El plano es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyección vertical va ha estar en verdadera magnitud. El plano es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyección vertical coincide con la traza vertical. Las rectas y puntos en su proyección horizontal las vemos en verdadera magnitud. El plano es un plano que contiene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que contiene a la línea de tierra. 5.- INTERSECCIONES 5.1.-INTERSECCION DE DOS PLANOS Sean dos planos α 1 -α 2 y β 1 -β 2 cuya intersección I vamos a determinar. Elijamos como plano auxiliar el horizontal de proyección PH, que al contener las trazas horizontales α 1 β 1 nos da el punto H 1 H 2, de la intersección, eligiendo así mismo el plano vertical de proyección PV, con las trazas verticales α 2 -β 2, obtenemos el punto V 1 -V 2, con lo cual queda definida la intersección I, 16

17 cuyas proyecciones i 1 -i 2 serán las rectas de unión de las proyecciones homónimas H 1 V 1 y H 2 V 2 respectivamente METODO PARA HALLAR PUNTOS DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS α Y β. a) Trazo un plano auxiliar γ (el más sencillo posible, paralelo al horizontal o al vertical etc ). b) γ &α = r r & s o I γ &β = s INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES Uno es un plano proyectante horizontal α 1 - α 2 y el otro proyectante vertical β 1 - β 2. Es indudable que utilizando los planos de proyección como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la intersección buscada, que son sus trazas H 1 -H 2 y V 1 -V 2, pudiendo por tanto anotar la intersección i 1 -i 2. Como se observa, las proyecciones de esta intersección se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las características de los planos en cuestión, que al ser proyectantes tienen la propiedad de que todo elemento que contengan se proyecta según su traza INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA α 1 - α 2 CON OTRO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA β 1 -β 2. 17

18 Hallamos las trazas de la recta de intersección: H 1 -H 2 y V 1 -V 2 que nos determinan i 1 -i INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (1er. Método). El primer método consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planos α y β en el plano de perfil y obtener su intersección I 3. A continuación deshabatirlo y obtener las rectas I 1 e I 2.puesto que ya sabemos de antemano que la intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra va ha dar una recta I también paralela a la L.T INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (2º Método). 18

19 El 2º método consiste en utilizar el procedimiento general. Trazamos un plano cualquiera γ que corta a los planos α y β. A continuación trazamos la recta de intersección del plano α con γ que será r. Después trazamos la recta de intersección del plano β con γ que es s. Estas dos rectas r y s se cortarán en un punto porque pasará la recta I intersección de los planos α y β. Sabiendo que dicha recta I debe ser paralela a L.T. la trazamos INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA α 1 -α 2 CON OTRO PERPENDICULAR AL SEGUNDO PLANO BISECTOR β 1 -β INTERSECCION DE LOS PLANOS α 1 -α 2 Y β 1 - β 2 PERPENDICULARES AL 2º PLANO BISECTOR. 19

20 Al utilizar el plano horizontal de proyección, como plano auxiliar, obtenemos el punto H 1 -H 2 y empleando el vertical, el V 1 -V 2, resultando así determinadas las proyecciones de la recta de intersección I 1 -I 2, recta de perfil que podemos manejar pues conocemos sus puntos INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO El plano dado lo está por sus trazas P 1 -P 2, y la recta r por sus proyecciones r 1 -r 2. De todos los planos que pudiéramos elegir pasando por la recta r, uno de los que nos dan solución sencilla es el proyectante. Hemos elegido, en este caso, el proyectante vertical 1-2 que tendrá por intersección con el dado P la recta i 1 -i 2 determinada por los puntos h 1 -h 2 y v 1 -v 2. (i 2 confundida con 2 y, por tanto, con r 2 ). Por hallarse en el mismo 1-2, las rectas r 1 -r 2 e i 1 -i 2 nos dan el punto solución a 1 -a PARALELISMO RECTAS PARALELAS ENTRE SÍ Si dos rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones homónimas r 1,s 1 y r 2,s 2 también son paralelas. Recíprocamente cuando dos 20

21 rectas tienen sus proyecciones tanto horizontales como verticales paralelas, éstas son paralelas en el espacio. Pasar por un punto una recta paralela a otra dada. Basta con trazar por P 2 una recta s 2 paralela a r 2, y por P 1 una recta s 1 paralela a r 1. Pasar por un punto P 1 -P 2 una recta s 1 -s 2 paralela a otra dada r 1 -r 2, ambas de perfil. No basta con el paralelismo de sus proyecciones verticales y horizontales. Sabemos que la recta s 1 -s 2 paralela a la de perfil r 1 -r 2 será una recta perpendicular a la L.T. y que pasa por P 1 -P 2, es decir otra recta de perfil, pero no basta con esto, sino que hay que comprobar que ambas rectas tienen la misma inclinación, y para ello nos vamos a basar en la tercera proyección o de perfil. En primer lugar trazamos r 3. A continuación P 3. El siguiente paso es trazar por P 3 una recta s 3 paralela a r 3. A continuación llevamos las trazas V 3s y h 3s a la recta s 1 -s 2. Quedando así totalmente definida la recta s 1 s 2 paralela a r 1 r RECTA PARALELA A UN PLANO 21

22 Una recta es paralela a un plano cuando es paralela al menos a una recta contenida en dicho plano. Si la recta no cumple otra condición hay infinitas soluciones. Trazar por un punto dado P 1 -P 2 la recta paralela a un plano dado α (α 1 -α 2 ). Se dibuja una recta r 1 -r 2 cualquiera contenida en el plano α. Para que una recta esté contenida en un plano las trazas de r 1 (h 1 ) y la de r 2 (v 2 ) deben estar en las trazas del plano α 1 -α 2 respectivamente. Una vez hecho esto se traza por P 2 una recta s 2 paralela a r 2 y por P 1 una recta s 1 paralela a r 1. Si hay que trazar por un punto P una recta paralela a un plano definido por dos rectas s y t que se cortan, basta con trazar por el punto dado otra recta r paralela a cualquiera de las dos anteriores. Si queremos pasar por un punto P un plano α (α 1 -α 2 ) paralelo a una recta r 1 -r 2 dada, hacemos pasar por el punto una recta s 1 -s 2 paralela a la anterior. Todo plano cuyas trazas pasen por las correspondientes de la recta s 1 -s 2 será paralelo a r 1 -r 2 hay por tanto infinitas soluciones. 22

23 6.3.-PLANOS PARALELOS Al ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de intersección son necesariamente paralelas entre sí. Condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos, es que sus trazas diedricas sean paralelas respectivamente. Trazar por un punto P un plano β (β 1 -β 2 ) paralelo a otro dado α. Hay que recordar que las horizontales de plano tienen su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Según esto, se pasa por el punto dado P 1 -P 2 la horizontal r 1 -r 2, siendo r 1 paralela a α 1, la traza vertical de la recta r es el punto v 2 y por éste pasa la traza β 2, paralela a α 2. La traza horizontal paralela a α 1 pasa por el punto donde β 2 corta a la L.T. Si los planos son paralelos a la L.T., no basta con el paralelismo de sus trazas homónimas, por lo que para saber si son realmente paralelas en el 23

24 espacio, es necesario hallar la tercera proyección y comprobar en ella si sus trazas mantienen el paralelismo. Trazar un plano β (β 1 -β 2 ) paralelo a otro dado α (α 1 -α 2 ) (que es paralelo a su vez a la L.T.) por el punto P (P 1 -P 2 ). Hay que obtener la tercera proyección del plano dado y del punto. En esta proyección dibujaremos el plano β pedido, paralelo a α y pasando por P; por último se vuelve a las proyecciones horizontal y vertical. Si el plano está definido por dos rectas que se cortan r y s, y queremos pasar por un punto P un plano paralelo al anterior, se traza por el punto dado dos rectas m y n, paralelas respectivamente a las anteriores. 7.- PERPENDICULARIDAD 7.1.-RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano. Así siendo el punto P y el plano α, por P 1 perpendicular a α 1, y 24

25 por P 2 perpendicular a α 2. La recta así obtenida es la solución única. Si el punto pertenece al plano, deberá estar contenido en una horizontal o frontal de dicho plano, de ser exterior a dicho plano se resuelve de forma idéntica. Trazando por sus proyecciones las perpendiculares a las trazas, aunque el punto dado ya no sería el de intersección de la recta y el plano RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE ESTA DEFINIDO POR DOS RECTAS CUALESQUIERA El plano dado está definido por las rectas r (r 1 -r 2 ) y s (s 1 -s 2 ); el plano α 2, paralelo al horizontal de proyección, corta al anterior según la horizontal h 1 -h 2, que pasa por los puntos 1 (1-1 ) y 2 (2-2 ). La proyección horizontal de la recta buscada es t 1, perpendicular por P 1 a h 1. El plano β 1 paralelo al vertical de proyección corta al dado según la frontal f 1 -f 2 que pasa por los puntos 3(3-3 ) y 4(4-4 ). La proyección vertical t 2 es perpendicular a f 2 trazada pro P 2. La recta t(t 1 -t 2 ) es la pedida PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA Tenemos la recta r(r 1 -r 2 ) y hay que trazar el plano α (α 1 -α 2 ) perpendicular a ella. Para resolverlo, basta recordar que las trazas serán 25

26 perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Por ello, se hace pasar por un punto P 1 -P 2 una recta del plano que se busca y de la cual sabemos la dirección; ésta recta es la horizontal h 1 -h 2, su proyección vertical h 2 pasa por P 2 y es paralela a L.T: y h 1 pasa por P 1 y es perpendicular a r 1 ; se halla su traza vertical v 2 y por este punto pasa la traza α 2 perpendicular a r 2 ; la traza α 1 pasa por el punto N y es perpendicular a r 1. Igualmente se puede operar con una recta frontal f 1 -f 2, siendo f 2 perpendicular a r RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SI La perpendicularidad entre rectas no se manifiesta en sus proyecciones, salvo posiciones paralelas a los planos de proyección, debido a la deformación angular que se experimenta en toda proyección por lo que hay que recordar que toda recta f o s contenida en un plano perpendicular a la recta r dada, lo es también a ella, pase o no por su intersección. Para resolver el problema, basta con trazar un plano α que sea perpendicular a r y cualquier recta contenida en él es directamente perpendicular a r sin más condiciones. La propia recta m(m 1 -m 2 ) frontal utilizada para obtener el plano α perpendicular a la recta r(r 1 -r 2 ) serviría por estar contenida en α (α 1 -α 2 ) PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SI 26

27 Este problema también admite infinitas soluciones, puesto que dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro. Dicho de otra forma: si una recta r es perpendicular a un plano α, todo plano β que pase por r, o sea, paralelo a ella, será perpendicular al α. Dado el plano α 1 -α 2 y el punto P 1 -P 2, se traza la recta r 1 -r 2, perpendicular por P al plano α ; las trazas de esta recta son los puntos h 1 y v 2 y para trazar un plano cualquiera que pasa por la recta r, basta tomar un punto M en la L.T: y unirla con h 1 y v 2. Un plano solución es el β 1 -β DISTANCIAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos A y B es el segmento rectilíneo AB que los une. La proyección ortogonal de los puntos A 1,B 1 sobre el plano H determinan la proyección horizontal d 1 y se forma el triángulo rectángulo B-A 1 -A, cuyos catetos son la proyección horizontal d 1 del segmento AB y la diferencia de 27

28 cotas h = A-A 1 de los puntos A,B respecto al plano H. La hipotenusa de este triángulo es la distancia buscada. Para determinar la distancia entre dos puntos de proyecciones ortogonales conocidas, basta con determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son, respectivamente, el segmento de proyección d 1 y la diferencia de distancias de cada uno de los puntos al plano de proyección, o lo que es igual, la diferencia de cotas de los puntos dados. En el sistema diédrico, para determinar la distancia se puede operar con la proyección horizontal d 1, en cuyo caso las proyecciones de los puntos son A 1 -A 2 y B 1 -B 2, la distancia d 1 -d 2. Por B 1 se traza la perpendicular a d 1 y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h=b 1 N. El segmento A 1 N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio. Igualmente se puede operar con la proyección vertical d 2, en cuyo caso h sería la diferencia de los alejamientos. En ambos casos el resultado es idéntico DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, SI ESTOS ESTAN EN DISTINTOS DIEDROS. Hay que considerar las cotas y los alejamientos con los dos signos. El punto B 1 -B 2 es del primer diedro y el punto A 1 -A 2 es del tercer diedro. La cota de B es positiva y la cota de A es negativa, por lo que la diferencia de cotas se transforma en una suma, es decir, en el segmento h. En este caso la distancia es el segmento D=B 1 N. 28

29 8.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Según el procedimiento general dado un punto P y la recta r por el punto se traza el plano α perpendicular a r a la que corta en el punto I. El segmento IP es la distancia D, en verdadera magnitud, del punto a la recta. En diedrico se resuelven siguiendo el mismo orden: por (P 1 -P 2 ), perpendicular a r (r 1 -r 2 ), por medio de la horizontal h 1 -h 2, siendo h 1 perpendicular a r 1. El plano α corta a la recta en I (I 1 -I 2 ), que se obtiene 29

30 empleando el proyectante vertical de la recta, β 1 -β 2, siendo i 1 -i 2 la intersección de ambos planos y ésta corta a r en el punto I 1 -I 2. La distancia IP tiene por proyecciones d 1 -d 2 y la verdadera magnitud es D DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia D de un punto P a un plano α, se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano;se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento PI es la distancia pedida. Según ello,si se trata de hallar la distancia de un punto del espacio P a un plano α, se procede en primer lugar a trazar una perpendicular desde P al plano α determinando su intersección I por medio de un plano auxiliar β que contenga a la recta perpendicular trazada por P y que puede ser, para mayor facilidad, un proyectante. La recta de intersección de ambos planos al cortar a la perpendicular en I, nos determina el extremo de intersección. En diedrico, sea el punto P (P 1 -P 2 ) y el plano α 1 -α 2.Apoyándonos en un plano proyectante vertical β que contenga a la recta perpendicular r trazada por P, obtenemos los puntos de corte de las trazas de los planos y de este modo la recta intersección i 1 -i 2 (que pertenece a α y a β ). 30

31 De este modo se observa que las rectas i y r se cortan en un punto I (intersección entre r y el plano α ).La distancia PI tiene por proyecciones d 1 -d 2 y la verdadera magnitud es el segmento P 1 -I 0 = D obtenido como en anteriores ocasiones DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia D entre dos rectas paralelas se determina trazando un plano α perpendicular a ellas y hallando los puntos I e I 1 de intersección de ambas con el plano. En diedrico tenemos dos rectas r (r 1 -r 2 ) y s (s 1 -s 2 ) paralelas.trazamos el plano α (α 1 -α 2 ) perpendicular a ellas (por cualquier punto). Tenemos ahora que calcular el punto de corte del plano α con r y s y uniendo esos puntos obtendremos la distancia D. Para ello utilizamos el procedimiento del caso 31

32 anterior. Para la recta r trazo un plano proyectante auxiliar β (β 1 -β 2 ) que contenga a la recta r. Por la característica de este plano sabemos que r 1 estará contenido en β 1 y que β 2 es perpendicular a L.T. Por tanto obtenemos la recta intersección i 1 -i 2 entre los planos α y β. Como la recta i pertenece tanto a β como a α el punto donde i y r se corten será el punto I de intersección entre r y α. Utilizamos el mismo procedimiento para la recta s, pero en esta ocasión nos ayudamos del plano proyectante w 1 -w 2. Obteniendo en este caso los puntos I 2s -I 1s. Uniendo I 2r con I 2s obtengo la proyección vertical d 2 de la distancia D y uniendo I 1r con I 1s obtengo d 1. La verdadera magnitud D se obtiene como en casos anteriores. Para obtener en el plano horizontal la distancia h, se procede del siguiente modo. Se obtiene la diferencia de cotas I 2r I 2s y se lleva esa distancia sobre la perpendicular que pasa por I 1r obteniendo el punto N. N I 1s será la distancia D en verdadera magnitud (en el esquema está mal trazado) DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS El procedimiento general es trazar una recta r perpendicular a los planos y se hallan los puntos de intersección de ella con los planos dados. La distancia es el segmento I-I 1. 32

33 En diedrico los planos son α (α 1 -α 2 ) y β (β 1 -β 2 ). Se traza la recta r (r 1 - r 2 ) perpendicular a ambos (por cualquier punto). Empleando un plano auxiliar, proyectante vertical (w 1 -w 2 ) que contenga a r y por tanto, por las características de dicho plano la proyección r 2 estará sobre w 2 y w 1 será perpendicular a L.T. El plano w cortará al α y obtenemos como se indica en la figura la recta intersección i α (i 1α -i 2α ), donde r corta a i α tendré el punto I de intersección. El procedimiento es el mismo para obtener el otro punto I pero con los planos w y β. Por tanto uniendo I 2α con I 2β obtengo b 2 y uniendo I 1α con I 1β obtengo d 1 de forma que la verdadera magnitud D se obtiene como hemos indicado en el caso anterior y como se representa en la figura. 33

34 9.- ABATIMIENTOS Abatir un plano es hacer coincidir éste con otro que se considera de proyección, girándose alrededor de la recta intersección de ambos. Esta traza alrededor de la cual se abate el plano recibe el nombre de charnela. Todos los elementos, puntos, segmentos, polígonos, etc., contenidos sobre el plano abatido, se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna, con lo cual se obtienen sus verdaderas magnitudes, tanto lineales como angulares. Siendo éste el motivo principal para el empleo del abatimiento. Siempre se abate un plano sobre otro y sólo pueden abatirse planos. Las expresiones de abatir un punto o una recta carecen de exactitud, no obstante se emplean por sencillez de la expresión, entendiéndose por tal que el abatimiento se realiza con un plano que contenga a estos elementos. El triángulo ABC situado en el plano P se proyecta según abc. Si abatimos el plano P sobre el horizontal, tendremos el triángulo (a),(b), (C), que es la verdadera magnitud del triángulo citado. Se dice que un plano se abate sobre otro Q cuando hace coincidir el primero sobre el segundo, haciéndole girar alrededor de su recta de intersección, la cual recibe el nombre de charnela. Generalmente se tomará como plano de abatimiento uno de los planos de representación o del dibujo, con lo cual se conseguirá que venga sobre éste y su verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido ABATIMIENTO DE UN PUNTO Supongamos que π es el plano de abatimiento o plano de representación, y que un punto A cuya proyección ortogonal sobre él es a, va a ser abatido; mejor dicho, se va a batir el plano (s) que pasa por el punto A tomando como eje de giro su traza s, que también llamaremos ch, por ser la charnela. 34

35 Sabemos que el punto A describe en el espacio una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la charnela, siendo su radio r la distancia del punto de referencia a dicho eje de giro y su centro el punto t. Este artificio del abatimiento va a consistir en determinar las posiciones A a-1 y A a-2, que puede ocupar el punto A cuando se abate dicho plano (s), en función de los elementos determinativos del punto y del plano. Como el plano de la circunferencia que describe el punto tiene por traza la recta A a-1 y A a-2, perpendicular a la charnela, y la proyectante A-a es perpendicular también al plano π, resulta que las rectas A-t y A-a se hallan también en el de la circunferencia ya citada; o lo que es lo mismo, los puntos a y t pertenecen a la traza A a-1 A a-2. Conocida, por tanto, la situación de la recta sobre la cual se van a encontrar las posiciones abatidas A a-1 y A a-2, nos será preciso además, conocer el radio de la circunferencia descrita. Este radio es la hipotenusa del triángulo A-t-a, rectángulo en A, que siempre podemos determinar cuando conozcamos la proyección ortogonal del punto A y su cota A-a=h A sobre el plano del abatimiento. El triángulo de referencia, hecho coincidir con el plano del dibujo, ocupa la posición t-a-u y su hipotenusa será el radio r que nos permitirá situar los puntos A a-1 y A a-2, pudiéndose establecer la regla general siguiente: Para obtener el abatimiento de un punto se trazarán desde su proyección ortogonal sobre el plano del abatimiento la perpendicular y la paralela a la charnela; en la paralela se tomará la altura del punto sobre dicho plano de abatimiento para determinar el radio, y haciendo en el punto de intersección de la charnela con su perpendicular se obtendrán en estas dos posiciones el punto abatido ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL HORIZONTAL 35

36 Se traza por a 1 una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevaremos la cota del punto obteniendo M. Con centro en O y abertura de compás OM se traza un arco que corta en (A) a la perpendicular inicial. El abatimiento puede realizarse también sobre el vertical ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL VERTICAL El abatimiento puede realizarse también sobre el vertical tomando como charnela la traza vertical del plano que le contiene. El procedimiento es idéntico al anterior sin más variación que en este caso, ha de operarse con la proyección vertical del punto y ha de tomarse el alejamiento en sustitución de la cota. 36

37 ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO PARALELO A UNO DE LOS DE PROYECCION Puede ser útil a veces, el artificio de tomar como plano de abatimiento, no ya uno de los de proyección, sino otro que sea paralelo, por ejemplo, un horizontal o un vertical, lo cual, a parte de la ventaja que trae consigo el simplificar las construcciones o de darnos puntos situados dentro de los limites del dibujo, tiene la propiedad de que el abatimiento viene proyectado en 37

38 verdadera magnitud sobre el plano de proyección a que es paralelo, lo que equivale, en definitiva, a haber operado sobre él como plano de abatimiento. Así, por ejemplo, en el caso de la figura, utilizamos como plano de abatimiento el horizontal γ (γ 2 ), y entonces la regla sigue aplicándose; es decir, que la charnela en este caso es la ch (i 1 -i 2 ), pero la altura del punto se medirá desde la proyección vertical a 2 a la traza vertical γ 2 del plano de abatimiento ABATIMIENTO DE UNA RECTA La recta tampoco se puede abatir, como ya hemos aclarado. Se entenderá que se abate un plano (s), que la contiene sobre el de representación π. Como la recta está integrada por dos puntos, bastará conocer el abatimiento de dos de ellos para así tener el de la recta; pero si tenemos presente que todos los puntos del eje de giro, o sea de la charnela, permanecen invariables, la traza B de la recta R con la charnela será punto que pertenecerá a las posiciones abatidas R a-1 o R a-2, que se conseguirán conociendo el abatimiento de uno sólo de sus puntos A que ocupa las posiciones A a-1 o A a-2, según sea el sentido del giro del plano abatido ABATIMIENTO DE UNA RECTA EN DIEDRICO La recta r está situada en el plano α y vamos a abatirla sobre el plano horizontal considerándola que está en el citado plano abatir. La charnela de abatimiento es la traza horizontal α 1. 38

39 Se abaten dos puntos de la recta. El punto H, traza horizontal de la recta coincide con su abatido por pertenecer a la charnela. Tomamos otro punto cualquiera de la recta, el a 1 -a 2 y lo abatimos sabiendo su cota sobre el horizontal; obtenemos (A) que unido con (H) nos da la recta ( r), abatimiento de r. Si la traza horizontal H de la recta queda fuera del papel se abate otro punto de ella y se unen los abatimientos de los puntos para obtener la recta abatida ABATIMIENTO DE UN PLANO Dado el plano α vamos a batirlo sobre el horizontal. Tomamos un punto A(a 1 -a 2 ) de la traza vertical. La charnela es la intersección de los dos planos, es decir, la traza horizontal α 1. El punto N, de corte de las trazas, por ser de la charnela, coincide con su abatido; se abate el punto A, para lo cual por la proyección a 1, se traza una paralela y una perpendicular con radio M-A 0 se traza el arco que corta a la perpendicular en el punto (A), abatimiento del punto A sobre el plano H. La recta N(A) es (α 1 ) abatimiento de la traza vertical α 1 del plano. El ángulo ϕ es la amplitud del plano, es decir, el ángulo de las trazas en el espacio. En la figura se observa que el triángulo Na 2 M, rectángulo en M 1 y el triángulo NM(A) son iguales, por tener el cateto a 2 M=M(A) y el cateto NM común; luego las hipotenusas también son iguales; es decir Na 1 = N(A). Según esto, se puede obtener el punto (A) haciendo centro en N y con abertura de compás Na 2, cortan en (A) a la perpendicular a la charnela a 1 M. 39

40 Como se ve en la figura adjunta también podemos abatir el plano sobre el vertical de proyección. El proceso seguido es el mismo. La charnela es la traza vertical α 2 ; el punto N es doble. Se toma un punto B(B 1 -B 2 ) de la traza horizontal y se abate sobre el vertical. Unimos N con (B) y tenemos (α 2 ). 40

41 ABATIMIENTOS DE PLANOS PROYECTANTES En diedrico, la operación de abatir un plano proyectante horizontal tomando como charnela su traza 2 se reduce a situar la traza 1 coincidente con L.T. Se ha realizado abatimiento del mismo plano horizontal. La charnela es la traza horizontal 1 del plano. La traza 2 quedará, después del abatimiento perpendicular a la charnela. 41

42 9.4.- ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA Se desea hallar la verdadera magnitud del triángulo dado para lo cual se abate el plano 1-2 sobre el horizontal. Abatímos el punto A obteniendo (A). Nos basamos en la afinidad existente entre la proyección horizontal de la figura plana y su abatida. El eje será la traza 1 y la pareja de puntos afines A 1 y (A). Hallando la afín del triángulo dado, se tiene el abatido, para lo cual se ha unido A 1 con B 1 mediante una recta que corta al eje (traza 1 ) en un punto que 42

43 se une con (A) mediante una recta que corta a la paralela a A 1 (A) trazada por B 1 en (B). Obtenemos el triángulo buscado PRINCIPIOS GENERALES DE REPRESENTACIÓN Vamos a representar un cuerpo sobre un plano empleando proyecciones ortogonales sobre los tres planos del sistema diédrico. Cada una de las proyecciones, en lo sucesivo, recibirá el nombre de vista. Tenemos el plano horizontal PH y el plano vertical PV, que son perpendiculares y se cortan según la línea de tierra, L.T. Se considera un tercer plano, perpendicular a los anteriores, llamado plano de perfil, y designado por PP. Vamos a representar un cuerpo muy sencillo, como el de la figura. A cada vértice se le puede nombrar con una letra o con un número. - Proyección vertical o alzado: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F 1, perpendicular al plano V; como ejemplo, los vértices 1,2,3 y 4 se proyectan según 1,2,3 y 4. El alzado es la vista principal de la pieza y es la que tiene que dar mejor idea de la forma de dicha pieza. Esta debe colocarse en la posición de uso o montaje. - Proyección horizontal o planta: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F 2, perpendicular al plano H, es decir, según la dirección vertical, como ejemplo, los vértices 1,2,3 y 4 se proyectan según los puntos 1,2,3 y 4. Como el alzado y la planta esta pieza no queda definida ya que no se conoce la forma de sus caras de perfil; por ello, hay que hacer una tercera proyección. - Proyección de perfil o perfil: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F 3, perpendicular al plano de perfil PP; los puntos 1,2,3, y 4 se proyectan según 1,2,3 y 4. Esta es la tercera proyección o perfil o vista de perfil de la pieza. 43

44 Se han empleado tres proyecciones perpendiculares una a cada uno de los planos de proyección. Veamos la forma de hacer coincidir estos tres planos PH,PV y PP en uno solo, precisamente el plano horizontal PH, que es el plano del dibujo. 1º Se supone mentalmente, que el plano de perfil PP gira alrededor de la recta OA hasta coincidir con el plano vertical. Según esto, el rectángulo OARB gira alrededor de OA, que hace de bisagra o charnela, y viene a confundirse con el OAGC. En este giro, la proyección tercera o perfil pasa a estar situada en el plano vertical. 2º Ahora sólo quedan el plano H y el plano V. Se supone de nuevo que el plano gira alrededor de L.T:, como charnela, hasta confundirse con el horizontal. Según lo anterior, las tres vistas o proyecciones ya están en un solo plano, el plano H, como se muestra en la figura. Es muy importante observar a la vez estas dos figuras hasta comprenderlas perfectamente. Esta pieza queda representada o definida con estas tres vistas y el conjunto de ellas es lo que forma el plano o dibujo de taller de la pieza. - El alzado y la planta se han de corresponder en la dirección perpendicular a la línea de tierra L.T. - El alzado y el perfil se han de corresponder en la dirección paralela a la línea de tierra L.T. - La planta y el perfil se han de corresponder también, lo que se comprueba con los arcos de 90º de la figura o bien con rectas a 45º con la L.T. Si a estas vistas se agregan las cotas o medidas necesarias tendremos el plano completo. Cuando la pieza o el cuerpo a representar sea más complicado, habrá necesidad de dibujar más vistas, ayudarse de símbolos, dar alguna sección o corte, agregar leyendas explicativas, etc. El estudio de todos estos convencionalismos, normalizados internacionalmente, es lo que realmente constituye el dibujo Industrial y, paso a paso, se irán estudiando, a fin de familiarizarse con ellos. 44

45 VISTAS NECESARIAS DE UNA PIEZA Hay que hacer el plano de una pieza. El proceso es el siguiente: - Estudio lo más detallado posible de la misma. - Decidir en qué posición se va a dibujar, eligiendo para ello como alzado la vista que manifieste el mayor número de detalles y la mejor idea de la forma de la pieza. Se dibuja el alzado. - Deducir el número de vistas necesarias para la determinación completa de la pieza. Se dibujará la planta, debajo el alzado y correspondiéndose con él; luego, si es preciso, un perfil y si la complejidad de la pieza lo requiere, se dibujarán hasta un total de seis vistas. Todo cuerpo se puede proyectar sobre las seis caras de un paralelepípedo rectángulo que lo envuelva. Se tienen así, el alzado, la planta, el perfil, un segundo perfil, la vista desde abajo y la vista por detrás DENOMINACIÓN DE LAS VISTAS Las vistas reciben los nombres siguientes: - Vista según A = Vista de frente o alzado. - Vista según B = Vista por encima o planta superior. - Vista según C = Vista desde la izquierda o perfil izquierdo. - Vista según D = Vista desde la derecha o perfil derecho. - Vista según E = Vista desde abajo o planta inferior. - Vista según F = Vista por detrás o alzado posterior POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTAS Pueden utilizarse dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia. - El método de proyección del primer diedro (antiguamente método E:Europeo). - El método de proyección del tercer diedro (antiguamente método A:Americano). - Método de proyección del primer diedro: la pieza se supone situada en el primer diedro. Se dibuja la vista de frente o alzado (Vista A). A partir de ésta, las demás vistas se colocan como indica la figura. 45

46 - La vista por encima o planta superior, vista B, se coloca debajo de A y correspondiéndose con ella. - La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la derecha del alzado A. - La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se dibuja a la izquierda del alzado A. - La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja encima del alzado A. - La vista por detrás o alzado posterior, vista F, se puede colocar indistintamente a la izquierda del perfil D o a la derecha del perfil C. Para indicar que un plano está situado en este sistema, se dibuja el símbolo que se indica en la figura, que son las vistas de un tronco de cono, dibujado en este sistema. Este símbolo se coloca en la casilla de escala y después de ella. - Método de proyección del tercer diedro: se dibuja la vista de frente o alzado (vista A). A partir de ésta, las demás vistas se colocan como indica la figura. - La vista por encima o planta superior, vista B, se dibuja en cima del alzado A. 46

47 - La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la izquierda del alzado A. - La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se coloca a la derecha del alzado A. - La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja debajo del alzado A. - La vista por detrás o alzado posterior, vista F, se puede poner indistintamente a la izquierda de C o a la derecha de D. Si un plano está dibujado en este sistema, se puede indicar con el simbolo de la siguiente figura. Es el mismo tronco de cono, pero obsérvese que la vista desde la izquierda se pone a la izquierda, al contrario que en el sistema anterior ELECCIÓN DE LAS VISTAS La vista más característica del objeto debe elegirse como vista de frente o vista principal. Generalmente, esta vista representa al objeto en su posición de utilización. Las piezas utilizables en cualquier posición se representan preferentemente en su posición principal de mecanización o de montaje. Cuando sean necesarias otras vistas (incluidas las secciones), deben elegirse de manera que: - Se limite el número de vistas y de secciones al mínimo necesario, pero suficiente para definir el objeto sin ambigüedad. - Se evite la representación de numerosos contornos o aristas ocultas. - Se evite la repetición inútil de detalles VISTAS PARTICULARES Cuando una vista no se puede hacer en una de las seis direcciones indicadas, o si la posición no está de acuerdo con los sistemas estudiados, se debe indicar la dirección de observación con una flecha y una letra. 47

48 En la figura se puede observar que el perfil está visto desde la derecha y tendría que ir dibujado a la izquierda del alzado. La excepción está en dibujarlo a la derecha del alzado y por ello se indica con la flecha y la letra A y debajo del perfil se pone la leyenda vista en dirección A. Cualquiera que sea la dirección de observación de las vistas, las letras mayúsculas de identificación de vistas deben colocarse siempre en la posición normal de lectura del dibujo. Las vistas particulares, también llamadas vistas auxiliares se emplean sobre todo cuando la pieza tiene partes oblicuas a los planos de proyección. Se obtiene así, por medio de un cambio de plano, una nueva proyección ortogonal que permite una mayor claridad y rapidez en el dibujo VISTAS AUXILIARES SIMPLES 1.- Las vistas auxiliares simples se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras de las piezas contenidas en planos inclinados, es decir; planos perpendiculares a una de los principales de proyección y formando ángulo cualquiera con los otros dos. 2.- Una vista auxiliar simple se dibuja proyectando la superficie o cara cuya forma se desea definir sobre un plano auxiliar paralelo a ella y abatiendo la proyección sobre el plano del dibujo. 48

49 3.- En las vistas auxiliares las superficies inclinadas definidas por ellas aparecerán en su verdadera forma, pero el resto de la pieza quedará deformado por la proyección. Por ello, las vistas auxiliares se limitarán a las zonas interesadas, prescindiendo del resto. Por la misma razón en alguna de las vistas normales podrá prescindirse de las superficies o zonas ya definidas en las vistas auxiliares o en otra vista normal. 49

50 Se deduce de esto que las vistas auxiliares y alguna de las normales son parciales. En cualquier caso es totalmente necesario dibujar una vista normal completa de la pieza VISTAS AUXILIARES DOBLES 1.- Las vistas auxiliares dobles se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras exteriores de las piezas contenidas en planos oblicuos, es decir, planos formando ángulos cualesquiera con los tres escogidos como principales de proyección. 50

51 2.- Se llaman vistas auxiliares dobles porque para llegar a la vista que define la verdadera forma de la zona interesada, vista auxiliar segunda, es necesario el dibujo previo de una auxiliar primera. 51

52 3.- Las vistas auxiliares dobles se dibujan realizando las siguientes operaciones: Operación A: Elegidos los planos principales de proyección se dibujan las vistas normales correspondientes. Operación B: Se proyecta la pieza sobre un plano auxiliar, perpendicular a la superficie a definir y a uno de los principales. En esta proyección la superficie aparecerá como una línea. Operación C: Se abate dicha proyección sobre el plano principal, tomado como el del dibujo. Esta proyección abatida será la vista auxiliar primera y en ella la superficie a definir seguirá apareciendo como una recta. Operación D: Con la ayuda de esta auxiliar primera y de las otras vistas normales se dibuja la auxiliar segunda, en la que se aprecia la verdadera forma de la superficie o cara oblicua a definir. 4.- En las vistas auxiliares primera y segunda, no será preciso dibujar más que aquellas zonas no definidas ya en las normales. Por idéntica razón podrá prescindirse en las vistas normales de aquellas zonas ya definidas en las auxiliares. Se ve por tanto que, en ocasiones, las vistas normales o auxiliares son vistas parciales. De todas formas deberá dibujarse siempre una vista completa, por lo menos, de la pieza. 52