Guía de estudio Operaciones con fracciones Unidad A: Clase 18

Transcripción

1 Guía de estudio Operaciones con fracciones Unidad A: Clase 18 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Operaciones con fracciones Principio fundamental de las fracciones: Simplificación de fracciones. Principio fundamental de las fracciones: Al multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por una cantidad diferente de cero se obtiene como resultado una fracción equivalente. Esto es, A AC y B BC A B siempre C 0 A C B C El resultado anterior nos permite simplificar los factores comunes al numerador y al denominador de una fracción, esto es lo que se conoce como simplificación de fracciones. Para simplificar una fracción procedemos así: a) Inicialmente factoriamos completamente el numerador y el denominador de la fracción. b) A continuación se simplifican los factores comunes al numerador y al denominador. Ejemplo 1 Efectuar operaciones y simplificar. 4 Para simplificar se factoria numerador y denominador y obtenemos 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 99

2 4 ( ) ( + ) ( ) + Ejemplo Efectuar operaciones y simplificar la epresión ( 8) ( 1) + + ( 7) ( 1) ( 9 + 8) ( 8 7 ) 3( 8) ( 7) Multiplicación de fracciones. La regla para multiplicar fracciones es la siguiente: A C AC B D BD es decir, se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre si, a continuación se simplifica la fracción resultante. Ejemplo 3 Multiplicar las fracciones 4 +, y simplificar. 4 ( 4) ( + )( 4 + 4) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) División de fracciones. La regla para dividir fracciones se la siguiente: A C A D AD B D B C BC 100

3 Lo anterior también se indica como A B C D AD BC Es decir, el resultado de una división de fracciones e igual al producto de los etremos sobre el producto de los medios. Ejemplo 4 Realiar las operaciones y simplificar. a) b) a) + 6 ( + )( 4 + 4) ( 6)(3 18 4) ( + ) ( ) ( ) ( 3) ( + ) (3 1) ( ) ( ) 3( 3)( 4) b) ( )( 3 4) ( 8)( ) 3 4 ( 5)( ) ( + )( + 5) ( 5)( ) ( 4) ( + 1) ( 4) ( + )( + 5) ( + 1) Racionaliación de denominadores: Algunas fracciones tienen denominadores que contienen radicales de la forma , 3, 7 5 etc. En estos casos, el denominador puede racionaliarse al multiplicarlo por una epresión que lo transforme en diferencias de cuadrados o suma o

4 diferencia de cubos. La epresión por la que multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción se conoce como factor racionaliante. Algunos de los factores racionaliantes más comunes son los siguientes: a) Para racionaliar un denominador de forma A ± B el factor racionaliante es A B pues ( A ± B)( A B) A B b) Para racionaliar denominadores de la forma racionaliante es ( A ) A B + ( B ) ya que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ± B el factor A + B A A B + B A + B A + B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A + A B + B A B A B Ejemplo 5 Racionaliar el denominador de las siguientes epresiones. a) 4 4 ( 6 + ) 4( 6 ) 4( 6 ) 6 ( 6 ) ( 6 + ) ( 6 )( 6 + ) ( 6) ( ) 4( 6 ) 4 ( 6 ) 6 ( 3 1) 6 4 b) 1+ 3 (1 + 3) (1 + 3) (1 + 3) (1 + 3) ( 3) 1 3 c) ( 6) 6 + ( ) 4 ( 6) 6 + ( ) ( 6) 6 + ( ) ( 6) + ( ) ( 6) 1 + ( ) 3 ( 6) 1 + ( ) ( ) 4 + ( ) 4 ( ) d) ( ) + ( ) 10 + ( ) 5 10

5 Suma y resta de fracciones Para sumar y restar fracciones se procede de la siguiente forma: a) Inicialmente factoriamos completamente el numerador y el denominador de cada fracción de forma de los factores que aparecan sean irreducibles. b) Simplificar completamente cada fracción. c) A continuación se busca el mínimo común denominador (MCD) que es el MCM de los denominadores y es igual al producto de los factores comunes y no comunes de los distintos denominadores, cada uno elevado a la potencia más grande con la que aparece. d) El resultado de la suma o resta es una fracción en la que el denominador es el MCD y el numerador se obtiene al multiplicar cada numerador por lo que le falta al denominador de la fracción para ser igual al MCD y después se suman o restan estos productos. Esto es, ± ± ± ± 3 3 B C BC B C B C A D E A C D B C E B Observación: Si las fracciones tienen el mismo denominador entonces la suma o resta se realia así: A C A ± C ± B B B Ejemplo 6 Realiar las siguientes operaciones y simplificar ( + 3) ( + ) Ejemplo 7 Realiar las siguientes operaciones y simplificar ( + 6)( 1) (3 )( + 6) 3 103

6 ( 3)(3 ) (3 + 1)( 1) + ( + 6)( 1) ( + 6)( 1)(3 ) ( + 6)( 1)(3 ) ( + 6)( 1)(3 ) Fracciones compuestas. Una fracción compuesta es aquella en la que numerador o el denominador, o ambos son fracciones. Para reducir una fracción compleja a una simple, se realian las operaciones indicadas en el numerador y el denominador de la fracción. A continuación, se realia el producto de internos y eternos, se coloca en el numerador el producto de los eternos y en el denominador el de los internos. Nota: Si el numerador o el denominador es un entero y no un fraccionario, este se debe convertir a un fraccionario dividiéndolo por la unidad. Ejemplo 8 Efectuar operaciones y simplificar la siguiente fracción compuesta. 1 y y y : Para simplificar esta fracción compuesta realiamos las operaciones indicadas en el numerador y el denominador, como se muestra a continuación y ( y + )( y ) 1 y y y y y ( + y)( y) y y y A continuación efectuamos el producto de los etremos sobre el producto de los medios y simplificamos y obtenemos 104

7 1 y y( y + )( y ) ( )( ) y y + y y y y ( y + ) ( y ) y ( y) + ( y) y Referencias Stewart, James. Cálculo Conceptos y contetos. Editorial Thomson. Tercera edición, 006. Díe M, Luis H. Matemáticas Operativas. Primer año de universidad, preuniversitarios y semilleros, Lina Díe editora,