DESARROLLO DE SOFTWARE DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN INGENIERÍA MECÁNICA.

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1 DESARROLLO DE SOFTWARE DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN INGENIERÍA MECÁNICA. Jeremías J. E. Jalil (1), Lucas D. Stratta (2),Tutor: Ing. Carlos Tais (3) Dep. Mecánica - Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Villa María. Avda. Universidad 450 (5900) Villa María, Córdoba. (1) jjejalil@gmail.com, (2) lucasstratta89@gmail.com, (3) carlos.e.tais@gmail.com Resumen El método de los elementos finitos (MEF) es una herramienta de simulación aplicable al estudio de distintos fenómenos físicos, la cual ha adquirido importancia a la hora de resolver complejos problemas de ingeniería que, con métodos tradicionales resultan de laboriosa resolución. Uno de los principales usos dentro de la ingeniería mecánica es el cálculo de estructuras sometidas a distintos esfuerzos. El objetivo de este documento es presentar un software de características didácticas, que permite al alumno la implementación y comprensión del método de los elementos finitos. A diferencia de los paquetes comerciales basados en el MEF, este programa está desarrollado en el entorno de MatLab que permite un fácil aprendizaje y adaptación de las características del software a las necesidades del usuario. Con esta herramienta el usuario pone énfasis en sus conocimientos de MEF, tales como el modelado de la geometría del problema, la aplicación de las cargas, las condiciones de borde, el tipo de mallado y finalmente la interpretación correcta de los resultados. Este programa muestra y permite interactuar al usuario en las diferentes etapas de la resolución a diferencia de otros programas donde el usuario interviene solo en la carga de datos y verificación de resultados. Palabras Claves: Método de los elementos finitos, enseñanza del análisis estructural, MATLAB

2 1. Introducción Son muchas las áreas de la ingeniería en donde se necesita determinar los valores de tensiones y deformaciones de sólidos continuos sometidos a esfuerzos. Las soluciones analíticas exactas de las ecuaciones que permiten encontrar estos valores en cualquier punto de una pieza, son aplicables a casos sencillos, partiendo de hipótesis y simplificaciones basadas en los principios de la estática y resistencia de materiales. Pero, cuando los problemas se tornan más complejos en su geometría y estados de cargas, la posibilidad de obtener ecuaciones sencillas que reflejen la solución se ve seriamente limitada. Con la finalidad de aportar soluciones a estos problemas, Rayleigh (1877) y Ritz (1909) le dan forma a la teoría generando métodos de aproximación aplicables a casos de cierta complejidad, aunque la cantidad de cálculos que implicaban hacía poco práctica su aplicación. Mc Henry (1943) planteó la idea y Argyris (1955) le dio el enfoque con que actualmente se trabaja. Entre 1953 y 1956, Turner (1956) modeló un ala delta para análisis aeroeslástico empleando elementos triangulares en la superficie del ala. Finalmente en 1960 Ray William Clough, usó el término elemento finito para nombrar el método por primera vez. Mediante los avances en la computación la aplicación del mismo se vio favorecida y evolucionó rápidamente. La teoría de los elementos finitos proporcionó resultados a problemas más complejos basándose en la subdivisión de un dominio en subdominios o elementos de geometría simple, que permite el tratamiento analítico e individual de cada elemento, para que en una etapa posterior sean ensamblados y dar una solución al conjunto (Zienkiewicz, 2005). El MEF actualmente es una herramienta insustituible para el análisis estructural moderno, y se ha extendido a otros campos ya sea la mecánica de los fluidos, transferencia de calor, mecánica de los suelos y campos electromagnéticos. 2. Marco teórico El programa desarrollado utiliza elementos finitos tipo triángulos de tensión constante. Es esta una formulación ampliamente difundida dada su sencillo tratamiento matemático, los cuales a su vez se emplean en una gran variedad de programas de cálculos. La teoría de la elasticidad plantea dos formulaciones para los problemas planos: tensión plana y deformación plana. Para los primeros, la relación entre tensiones y deformaciones está dada por (Dym, 1973): (1) (2) (3) Para el caso de deformación plana, las relaciones anteriores resultan: (4) (5) Donde: : Tensión plana - : Tensión de corte - : Modulo de elasticidad - : Deformación unitaria - : Modulo de Poisson - : Deformación unitaria angular. Ambas formulaciones se encuentran comprendidas en las posibilidades de cálculo que ofrece el software desarrollado. (6)

3 3. Desarrollo del software 3.1 Lenguaje de programación El lenguaje de programación MATLAB (MathWorks, 2010) es útil para realizar programas donde la metodología de cálculo es estructurada, como es el caso del MEF. Se eligió esta plataforma ya que cuenta con una amplia biblioteca de funciones matemáticas y algebraicas predefinidas, logrando que la programación se centre el resolver el método y no a desarrollar funciones de cálculo numérico. Un simple programa de dos dimensiones utilizando el MEF solo requiere unos cuantos cientos de líneas de código en MATLAB, mientras que en otros lenguajes como C++, Visual Basic o Fortran, podrían requerir unas cuantas miles. Además de su facilidad de programación, MATLAB brinda la posibilidad de crear una interface gráfica multimodular de fácil programación y realizar la compilación del código generando un archivo ejecutable. 3.2 Estructura del programa El programa desarrollado, denominado JS2D, consiste en líneas de código vinculadas con diferentes bloques, donde se ingresan los datos del problema a resolver y se analizan los resultados. La estructura de cálculo utilizada fue la siguiente: 1. Ingreso de datos. 2. Obtención de la matriz de tensión plana. 3. Cálculo de rigidez de cada elemento. 4. Obtención de la matriz general de rigidez 5. Armado de matriz de cargas y corrimientos iniciales 6. Condensación de matriz general 7. Cálculo de corrimientos por cada nudo 8. Cálculo de reacciones 9. Cálculo de los diferentes esfuerzos de cada elemento 10. Gráficas de corrimientos 11. Gráficas de esfuerzos. 12. Gráficas de deformaciones La interacción con el programa es a través de una interface gráfica, donde se tiene acceso a los diferentes bloques (Figura 1). Fig. 1: Ventana principal y acceso a los diferentes módulos del programa.

4 Ingreso de datos El programa admite dos modalidades para el ingreso de datos. En la modalidad manual, el usuario genera su propia malla e ingresa los datos de coordenadas nodales y conectividad de elementos utilizando la interfaz desarrollada a tal fin. Esta interfaz brinda la posibilidad de generar un archivo con formato texto con los datos ingresados para que se pueda repetir el cálculo modificando parámetros sin la necesidad de ingresar los datos de la geometría nuevamente. Ante situaciones de geometrías complejas, el mallado manual resulta tedioso, por lo tanto se incorporó una vinculación con un software generador de malla de libre distribución (AutoMesh2D). Esta herramienta produce un archivo con los datos de la malla que posteriormente son importados a JS2D donde se le agrega la información de las cargas, restricciones y propiedades mecánicas del material Resolución numérica La resolución de un problema estructural estático lineal formulado por el Método de Elementos Finitos consiste en la resolución numérica de un sistema de ecuaciones algebraicas el cual puede ser abordado por métodos directos o iterativos. El algoritmo utilizado por el programa aprovecha las características que la matriz de rigidez es simétrica y definida positiva para utilizar el método directo de factorización de Cholesky (Chapra, 2010) implementado en MATLAB. Este método numérico de resolución de sistemas lineales se presenta como la alternativa más eficiente y de mayor precisión para el tipo de problema que resuelve el programa JS2D Resultados En la pantalla principal se muestran los resultados numéricos de las desplazamientos, esfuerzos, deformaciones y fuerzas presentes en el sólido elástico en estudio así como una representación del mismo no deformado superpuesta con una representación de la deformación ocurrida en el mismo (Figura 2a). También se presentan los resultados de los desplazamientos, esfuerzos y deformaciones de forma gráfica a través de un mapa de colores (Figura 2b), y la matriz de rigidez obtenida en el cálculo. (a) (b) Fig. 2. Presentación de resultados en forma numérica y mediante mapas de colores. Un aspecto de particular interés del programa es la posibilidad de visualizar las características de dispersión que presenta la matriz de rigidez, dado que de esta forma se puede evaluar la dependencia de la eficiencia computacional con la secuencia de numeración de nudos elegida por el usuario. Un ejemplo de la presentación de la misma se muestra en la Figura 3

5 3.3. Ejemplos Fig. 3. Visualización de la matríz de rigidez y su característica de dispersión. En las imágenes mostradas anteriormente se muestra a modo de ejemplo de cálculo un clásico problema de la teoría de la elasticidad consistente en una placa cuadrada con un agujero central. Este problema, del cual se conoce su solución exacta (Ortiz Berrocal, 2008) permite evaluar la calidad de distintas mallas aplicadas al dominio en estudio. Mediante este software se pueden abordar problemas de mayor complicación. Utilizando un software generador de mallas más evolucionado (ABAQUS, 2009) que permite generar un archivo de datos compatible con el software JS2D se puede realizar estudios de tensión o deformación plana a geometrías más complejas, tal como se muestran en las Figuras 4 y 5. Fig. 4. Análisis de un diente de engranaje, con una carga puntual ubicada en la parte superior del diente. Fig 5. Análisis de un gancho sometido a una fuerza vertical ubicada en la parte superior de este.

6 Los resultados obtenidos fueron comprobados con software comercial (ABAQUS, 2009), obteniéndose adecuada concordancia en los resultados de desplazamientos, tensiones y deformaciones. 4. Conclusiones Puede afirmarse que el Método de los Elementos Finitos es una herramienta de amplio alcance y múltiples aplicaciones, sin embargo la enseñanza de este método a estudiantes resulta compleja. Al aplicar una herramienta que acompaña al alumno en el cálculo, ahorrándole tediosos cálculos manuales, incrementa las posibilidades que este los culmine de forma correcta y pudiendo focalizarse en el análisis crítico de conceptos fundamentales para el manejo de este método numérico. Si bien existen múltiples software para analizar sistemas estructurales bajo comportamiento elástico mediante MEF, JS2D presenta una mecánica simple e intuitiva, permitiendo un rápido manejo, logrando que el alumno disponga su atención para el aprendizaje del MEF y no del manejo mecánico de un software. 5. Referencias. Abaqus/CAE Dassault Systemes, Argyris, J. H., Energy Theorems and Structural Analysis. Butterworth, 1960 Chapra, S. C., Canale, R. P., Numerical Methods for Engineers. 6Ed. McGraw-Hill, NY.USA. (2010). Clough. R. W. The finite element in plane stress analysis. Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburgh, Pa.,(1960) Cook, R. D. Finite Element Modeling for Stress Analysis. 1ª Ed. John Wiley & Sons. Estados Unidos. (1995). Dym, C. L., Solid Mechanics: A Variational Approach (Advanced engineering series), McGraw-Hill USA (1973). MathWorks Inc., MATLAB User Guide, MathWorks. Massachusetts, USA (2010). McHenry, D., A lattice analogy for the solution of plane stress problems. J. Inst. Civ. Eng., 21, (1943), Ortíz Berrocal, L. Elasticidad 3 Ed. Mc Graw Hill. España (1998). Rayleigh, J. W., On the theory of resonance. Trans. Roy. Soc. A 161, , (1870). Ritz, W., Uber eine neue Methode zur Losung gewissen Variations - Probleme der mathematischen Physik. J. Reine Angew. Math., 135, 1-61, (1909). Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C. and Topp, L. J. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J. Aero. Sci., 23, , (1956) Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., The Finite Element Method, 6th Edition, Butterworth-Heinemann, Oxford, USA (2005). AUTOMESH2D, (26/05/2014)