PROGRAMA DE CÁLCULO PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS PERIMETRALMENTE APOYADAS USANDO EL MÉTODO DE COEFICIENTES DEL REGLAMENTO DEL DISTRITO FEDERAL

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1 PROGRAMA DE CÁLCULO PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS PERIMETRALMENTE APOYADAS USANDO EL MÉTODO DE COEFICIENTES DEL REGLAMENTO DEL DISTRITO FEDERAL R. Serrano Lizaola y M. Flores Barrios Universidad de las Américas-Puebla Departamento de Ingeniería Civil Cholula, Puebla, México RESUMEN Se presenta un programa de cálculo para el dimensionamiento de losas de concreto reforzado perimetralmente apoyadas para las que los valores de los momentos flexionantes de diseño se obtienen a partir de los coeficientes contenidos en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto Reforzado del DDF (NTCDF-93). El paquete de cómputo es propio para computadoras personales y se elaboró en el lenguaje Visual Basic. SUMMARY This paper presents a computer program written in Visual Basic for the design of reinforced concrete slabs. The corresponding values for the ultimate design bending moments are obtained from the respective coefficients contained in the 1993 Mexican Building Code (NTCDF-93). This computer program is proper for personal computers. INTRODUCCIÓN El análisis de placas con flexión en dos direcciones, homogéneas, isótropas y constituidas por un material elástico lineal, conduce a una ecuación diferencial, inhomogénea, lineal de cuarto orden en función de una sola incógnita, la deformación vertical que sufre el plano medio de la placa. Esta expresión diferencial, conocida como la ecuación de Lagrange, es válida para cualquier punto del plano medio de la placa debiendo satisfacer las correspondientes condiciones de frontera. La solución analítica cerrada de dicha ecuación diferencial se obtiene mediante la aplicación de series dobles de Fourier y solo se logra para casos muy particulares de placas aisladas como la circular, la anular y la elíptica ante la solicitación de cargas gravitacionales distribuidas de manera uniforme y variable en ambas direcciones. Las placas de forma rectangular son las más comúnmente empleadas en la práctica de la ingeniería estructural, por lo que se han desarrollado distintos procedimientos aproximados para su análisis. Dentro de estos métodos se tienen, principalmente, el de las series de Fourier, el método aproximado de Marcus y los procedimientos numéricos modernos como el de las diferencias finitas, el de los elementos finitos y, más recientemente, el de los elementos de frontera. Cuando las placas son de concreto reforzado reciben el nombre de losas. El comportamiento de estos elementos estructurales bidimensionales planos difiere considerablemente del elástico lineal, por lo que los reglamentos de construcción proponen métodos aproximados para su análisis y posterior diseño. Si bien mediante los métodos modernos se han desarrollado complejos programas de cómputo que incluyen la descripción de un comportamiento inelástico del material afín al concreto reforzado, su adquisición resulta ser muy onerosa y su aplicación compleja y limitada.

2 Actualmente y desde hace varias décadas, las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto Reforzado del DDF (NTCDF-93) presentan una tabla de coeficientes que permite calcular los momentos flectores para el diseño de losas de concreto reforzado apoyadas perimetralmente. El principal objetivo de este trabajo radica en presentar un programa de cálculo para computadoras personales cuyo manejo sea sencillo, objetivo y amigable al usuario y con el cual puedan dimensionarse, en el menor tiempo posible, losas de concreto reforzado constituidas por tableros cuyos bordes se encuentran apoyados sobre vigas coladas o no monolíticamente con la losa. El paquete de cómputo, motivo de este trabajo, se desarrolló en estricto apego a los criterios definidos por las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento para Construcciones del Distrito Federal (RDF-93). Por esta razón, aquí no se presentan las expresiones contempladas en ellas, pues las mismas están integradas en la estructura interna del programa. El lenguaje que se utilizó es el Visual Basic, con lo cual el paquete resulta compatible para todo tipo de computadora personal. Evidentemente, la esencia del paquete de cálculo radica en la automatización del procedimiento general arriba descrito. Para un número considerable de tableros en ambas direcciones, el programa calcula el espesor mínimo de la losa. Después determina los valores de los momentos flectores en las franjas centrales de los tableros para los bordes continuos y para los centros de los claros, cuantifica las correspondientes áreas de acero positivas y negativas, y define la separación del acero requerida para el calibre que automáticamente considera como apropiado o, bien, para aquél que se le proporcione como dato. También revisa la resistencia de la losa a fuerza cortante y cuantifica las cargas que los tableros transmiten a sus respectivos bordes de apoyo. En lo referente a las cargas gravitacionales, éstas pueden ser uniformemente repartidas, lineales o concentradas. Las cargas lineales y puntuales pueden aplicarse a uno o varios tableros a la vez. La transmisión de las cargas puntuales puede darse a través de áreas de carga de forma rectangular o circular. La elección del lenguaje Visual Basic para la elaboración del programa se debe a que éste es un sistema de desarrollo especialmente diseñado para crear aplicaciones gráficas de forma rápida y sencilla (Ceballos, 1994). Las herramientas fundamentales de este lenguaje son dos: una que permite realizar los diseños gráficos y otra que consiste de un lenguaje de elevado nivel. Al estar este lenguaje centrado en ventanas y controles, es posible diseñar, sin tener que programarse, una interfaz gráfica para una aplicación. Con ello, cada objeto (ventanas y controles) está ligado a un código que permanece inactivo hasta que se dé el suceso que lo activa. El programa presenta ventanas con gráficos para facilitar al usuario el ingreso de los datos requeridos y para hacerle más comprensivos los resultados del cálculo. ESENCIA Y FUNDAMENTOS DEL PROGRAMA DE CÁLCULO Los coeficientes de la tabla 4.1 de las NTCDF-93 se obtuvieron mediante métodos elásticos refinados, tal como el de diferencias finitas. Los valores así obtenidos se modificaron para poder considerar las diferencias esenciales existentes entre las losas idealmente elásticas y las de concreto reforzado, como, por ejemplo, la influencia del agrietamiento del concreto en la distribución de esfuerzos y la de la rigidez de las vigas de apoyo, entre otras. Este método de los coeficientes puede aplicarse únicamente si se satisfacen las condiciones siguientes: los tableros de la losa son casi rectangulares, la distribución de las cargas que gravitan en cada tablero de la losa es aproximadamente uniforme, los momentos negativos en el borde común de dos tableros adyacentes no difieren entre sí más del 50 % del menor de ellos, y si la relación de carga viva a carga muerta no es mayor que 2.5 para losas monolíticamente coladas con sus apoyos, ni mayor que 1.5 en otros casos. La secuela que se sigue para dimensionar losas por el método de los coeficientes consiste en la obtención inicial del peralte mínimo de la losa, cuyo valor permita omitir el cálculo de las deflexiones. Como las expresiones que delimitan el espesor efectivo de la losa dependen de la carga total que gravita sobre ella, incluyendo su peso propio, el que a su vez es función directa del espesor total de la placa, debe entonces calcularse nuevamente el peralte efectivo que satisfaga dichas condiciones.

3 Conocido el espesor total de la losa, puede determinarse la carga total sobre cada tablero, resultado de la suma de las cargas muertas con las cargas vivas que actúan sobre cada uno de ellos. Con esto, pueden obtenerse, mediante el uso de los coeficientes de la tabla 4.1 de las NTCDF-93, los momentos flectores por unidad de longitud en los bordes y en los centros de los claros de las franjas centrales de los tableros. Los momentos correspondientes a las llamadas franjas de borde se obtienen multiplicando dichos momentos anteriores por 0.6. Posteriormente se procede a la obtención del espesor de la losa necesario por flexión, al cálculo de las áreas de acero requeridas con sus respectivas separaciones y a la disposición del refuerzo. DESCRIPCIÓN DEL MANEJO DEL PROGRAMA DE CÁLCULO CON APLICACIONES Con el fin de ilustrar la aplicación de este paquete de cómputo de manera clara y objetiva, éste se aplicará al diseño de un sistema de piso con losa y vigas, de cuatro claros en una dirección y de tres en la otra. La activación del programa conduce a una ventana donde deberá indicarse si la losa está colada o no monolíticamente con sus apoyos, si está expuesta a la intemperie, así como la clase del concreto a emplearse (Fig.1). FIGURA 1: Ventana de datos iniciales Después del suministro de esta información, se coloca el puntero sobre la etiqueta Avanzar, con lo que aparece una nueva ventana que solicita los Datos de Entrada de la Losa. Para el caso en consideración, se muestra en la Fig. 2 la información relativa para este ejemplo consistente en el Número de tableros en dirección tanto Horizontal como Vertical, las Unidades de longitud a emplear, y el Ancho de las vigas en sentido Horizontal y Vertical de la planta del sistema de piso. FIGURA 2: Ventana de datos de entrada de la losa Si ahora en esta ventana se pulsa el botón Aceptar, se genera un croquis de la planta del sistema de piso, en el que aparecen los tableros numerados y donde deben anotarse las cotas de los claros c.a.c. en las direcciones X e Y conforme a lo indicado en la Fig. 3.

4 FIGURA 3: Datos de entrada para el diseño de la losa En la parte superior izquierda de esta ventana aparece el letrero Opciones con el cual es posible contemplar la presencia de cargas lineal y concentrada, además de la uniformemente distribuida sobre el sistema de piso, las cuales pueden aplicarse en uno o varios de los tableros. La colocación del puntero sobre este letrero permite indicarle al programa la existencia de alguno o ambos tipos de solicitación como se muestra en la Fig. 4 FIGURA 4: Opciones para la consideración de cargas lineal y concentrada

5 La elección de ambos tipos de carga se logra al pulsar la etiqueta de Avanzar en la Fig. 4, creándose las ventanas en las que debe proporcionarse la posición e intensidad de ellas tal como se ilustra en las Figs. 5 y 6. FIGURA 5: Ventana para la asignación de cargas lineales FIGURA 6: Ventana para la asignación de cargas concentradas Supóngase que se transmiten cargas lineales a través de muros a lo largo del claro corto de los tableros 2, 6 y 10 (dirección del eje Y). Las cargas puntuales se aplican en los centros de los claros de los tableros 4 y 12 a una

6 distancia de 2.5 metros medidos a partir de los ejes B y C, respectivamente, transmitidas a través de columnas circulares de diámetro igual a 60 cm. La información correspondiente para considerar estas cargas se muestra en las Figs. 5 y 6. El paso de una a otra de estas dos ventanas se logra con el botón de Avanzar. Luego de proporcionar la información inherente a estas cargas, aparece la ventana Datos de Entrada de la Losa y de los Materiales. Aquí se asignan los valores de la carga muerta debida a acabados y recubrimientos, sin incluir el peso propio de la losa, el de la carga viva, la resistencia a compresión del concreto, el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo, el peso volumétrico del concreto y, si se desea, el número del calibre de la varilla a usar (Fig. 7). El programa ofrece en este lugar la opción de dar el valor del espesor total de la losa. En caso de que éste no se asigne, el programa lo determinará previo cálculo del peso propio del sistema de piso. FIGURA 7: Datos para las cargas y resistencias de los materiales Si ahora se presiona el botón Calcular, aparece la pantalla de Resultados que muestra un corte transversal de la losa (Fig. 8) indicando su espesor total y los peraltes efectivos positivo y negativo. Además, si aquí se aplica el puntero sobre la etiqueta Momentos Equilibrados se presenta la pantalla de la Fig. 9 donde se muestra un croquis con los valores de estos momentos en las franjas centrales de los tableros. FIGURA 8: Espesor total y peraltes efectivos positivo y negativo de la losa

7 FIGURA 9: Momentos en las franjas centrales de los tableros Tras la aplicación del puntero en la Fig. 8 sobre las leyendas Area de acero y Acero de refuerzo, aparecen los croquis que indican para las franjas centrales de los tableros las áreas de acero calculadas y sus separaciones correspondientes con base en el calibre de varilla elegido (Figs. 10 y 11). FIGURA 10: Areas de acero calculadas para las franjas centrales

8 FIGURA 11: Separaciones del refuerzo en franjas centrales Cabe señalar aquí que la separación teórica para el refuerzo por flexión, calculada por el programa, es la estrictamente necesaria. Los ajustes necesarios que deban realizarse para lograr una distribución del acero más uniforme y adecuada a cantidades de manejo fácil en la práctica constructiva se dejan al criterio del usuario. Si en esa misma ventana (Fig. 11) se pulsa la etiqueta Franjas Extremas se obtiene el acero de refuerzo requerido en dichas franjas. Al pulsar en ella el botón Doblado de Varillas, se muestran los croquis de doblado del refuerzo para cada Fila o Columna de tableros según se observa en las Figs. 12 y 13. FIGURA 12: Doblado del refuerzo en dirección X para los tableros 5 a 8 entre los ejes B y C

9 FIGURA 13: Doblado del refuerzo en dirección Y para los tableros 2, 6 y 10 entre ejes B y C En estas pantallas están indicadas la longitud mínima de corte y doblado de varillas y la separación entre claros. Los números y letras enmarcados son los de los ejes, mientras los que aparecen entre los valores de las longitudes de corte o doblado corresponden al número asignado a cada tablero según el correspondiente corte transversal. Finalmente, al señalar en la Fig. 8 Cargas sobre vigas de apoyo, aparece un croquis como el de la Fig. 14 donde se muestran los valores de las cargas transmitidas por los tableros a sus correspondientes apoyos. FIGURA 14: Valores de las cargas transmitidas por los tableros a sus respectivos apoyos

10 CONCLUSIONES El diseño de losas de concreto reforzado perimetralmente apoyadas realizado a mano aplicando el método de los coeficientes del Reglamento del Distrito Federal resulta ser sumamente laborioso. El paquete de cálculo aquí presentado salva este obstáculo permitiendo soluciones rápidas y precisas, por lo que su aplicación resulta ser muy útil y práctico para ese fin. El presente paquete de cómputo puede ampliarse para incluir el diseño de losas nervuradas o aligeradas. Los resultados que el programa proporciona se verificaron con ejemplos calculados a mano referentes a losas solicitadas por cargas gravitacionales uniformemente repartidas, incluyendo la presencia de cargas lineales y concentradas en uno o varios tableros del sistema de piso. La ventaja que representa el empleo del lenguaje de programación Visual Basic consiste en la transportabilidad del paquete computacional, pues resulta ser autoinstalable sin necesidad de que dicho lenguaje se encuentre cargado en la computadora personal. Es importante señalar aquí, que el éxito en la aplicación de este programa de cálculo radica esencialmente en los criterios y la experiencia del usuario en los ámbitos tanto del análisis como del diseño estructural. REFERENCIAS Ceballos S., F. J. (1994), Enciclopedia de Microsoft VISUAL BASIC, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, E.U.A. Flores B., M. (1999), Paquete Interactivo para el Diseño de Losas con Flexión en dos Direcciones por el Método de los Coeficientes del RDF, Tesis, UDLA-P, Puebla, México. Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal (1993), Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto. González C., O.; Robles F., F. (1995), Aspectos Fundamentales del Concreto reforzado, LIMUSA, México, 3ª. Edición. Instituto de Ingeniería UNAM (1991), Comentarios, Ayudas de Diseño y Ejemplos de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto Reforzado, DDF, No. ES-2, noviembre. MacGregor, G. J. (1992), Reinforced Concrete Mechanics and Design, Prentice Hall, USA, 2ª. Edición. Nawy G., E. (1992), Concreto Reforzado. Un Enfoque Básico. Prentice Hall Hispanoamérica S.A., México. Nelson, R., Guía Completa de Visual Basic para Windows. McGraw-Hill, México, 2ª. Edición. Park R.; Gamble, W. L. (1987), Losas de Concreto Reforzado, LIMUSA, México, 1ª. Edición. Serrano L., R. (1997), Apuntes de Diseño de Elementos de Concreto Reforzado, no publicados.