UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLÍVAR ESCUELA DE CURSOS BÁSICOS MATEMÁTICAS IV

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1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLÍVAR ESCUELA DE CURSOS BÁSICOS MATEMÁTICAS IV PROFESOR Cristian Castillo BACHILLERES -Galindo, Eneileen -Mendoza, Marco -Trcka O., Ana Gabriela C.I Secc. 01 Ciudad Bolívar, Marzo de 2010

2 LOS VIAJES ESPACIALES Los viajes espaciales difieren de los habituales desplazamientos sobre la superficie terrestre por un detalle fundamental: estos últimos se efectúan bajo la acción de la fuerza de gravedad terrestre cuyo valor es siempre el mismo. Este concepto se aclara recordando que los movimientos de un tren, un auto, una bicicleta o un avión se realizan siempre a idéntica distancia del centro de la Tierra, salvo muy pequeñas variaciones que carecen de importancia. Son desplazamientos cuya dirección forma ángulo recto con el radio del planeta y, por consiguiente, la fuerza de atracción gravitacional que sufren es permanentemente idéntica. En un viaje espacial, la dirección del movimiento forma con el radio de la Tierra un ángulo distinto del recto. Si se asciende verticalmente para alcanzar grandes alturas (varios cientos de kilómetros) el valor del ángulo será cero, puesto que el vehículo se aleja en la dirección de uno de los radios. Claro está que para que esto sea posible se debe vencer la fuerza de atracción terrestre. Véase, por ejemplo, lo que ocurre con los cuerpos que llegan a la Tierra desde el espacio: cuando chocan con la superficie, la velocidad que traen es similar a la que tendrían si provinieran de una distancia infinita. Esa misma velocidad adquirida por el objeto que se precipita, pero aplicada en sentido contrario, es la que necesita un cuerpo para vencer la fuerza de gravedad, escapar de la atracción del planeta y desplazarse hasta una distancia teóricamente infinita. Esta velocidad se denomina velocidad de escape o velocidad parabólica.

3 Viajes a la Luna Desde tiempo inmemorial, la humanidad ha contemplado la Luna, preguntándose muchas cosas, entre ellas si algún día los hombres podrían viajar a ella. Con el advenimiento de la tecnología moderna este sueño finalmente se ha hecho realidad debido a la invención de los cohetes. Un vehículo espacial que desde la Tierra se dirige a la Luna, o mejor dicho, hacia el punto del cielo donde la hallará, no necesita mantener su velocidad de escape durante todo el trayecto. Mientras más se aleja del lugar del lanzamiento, la atracción gravitacional terrestre se debilita, de manera tal que la velocidad necesaria para vencerla va disminuyendo a medida que prosigue el viaje y, consecuentemente, la atracción de la Luna aumenta cuando el vehículo se le aproxima. Por este doble proceso debilitamiento de la atracción terrestre por una parte, y aumento del campo de atracción gravitacional de la Luna, por la otra se alcanza un punto en que ambas fuerzas se igualan. Si el vehículo lo sobrepasa, cae dentro de la atracción lunar. Para lograr que el impacto con la superficie de la Luna sea más suave, la nave debe cruzar la línea de separación entre las dos fuerzas gravitacionales a la mínima velocidad posible, porque de no ser así el choque resultará más violento. El impacto en la Luna, en una caída libre, se produciría a la velocidad de escape más la velocidad de la Luna en su órbita. El proyecto de un viaje a la Luna con un vehículo espacial y su regreso posterior a la Tierra, contempla, como mínimo, cuatro maniobras principales: Salida de la Tierra;

4 Disminución de la velocidad al cruzar la línea de equilibrio; Salida de la Luna; Disminución de la velocidad cuando, de regreso a la Tierra, cruza la línea de equilibrio. Una vez lanzado desde la Tierra, el vehículo espacial se mueve a lo largo de una órbita determinada, que es el resultado de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él. Intervienen la fuerza de atracción de la Tierra, de la Luna y del Sol, pero influyen también otros efectos, como la resistencia de la atmósfera terrestre al moverse la nave cerca de la Tierra, la presión de la radiación originada en el Sol, etcétera. Por el tiempo en que se enunció la famosa ley gravitacional de Newton fue cuando a aquellas especulaciones sobre las posibilidades del viaje por el espacio se les dio por primera vez una base matemática. Ley de la gravitación universal de Newton. Dos objetos cualesquiera en el universo están atraídos entre sí con una fuerza que va directamente al producto de sus masas e inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. En símbolos: Donde son las masas de los objetos; es la distancia entre ellos; es la fuerza de atracción; y es la constante de proporcionalidad. Esta ley la usamos para investigar la posibilidad de disparar un proyectil con un gran cañón, por ejemplo, verticalmente hacia la Luna. El

5 problema es interesante por una variedad de razones, una de ellas es estimar la velocidad de salida que este cañón debiera tener. Al intentar resolver este problema hacemos los siguientes supuestos: 1. La Tierra y la Luna son esferas perfectas con radios respectivamente, y, con masas, y, y con la distancia entre sus superficies igual a. 2. El proyectil (o nave) de masa se dispara verticalmente hacia arriba hacia el centro de la Luna con velocidad inicial. 3. Las rotaciones de la Tierra y de la Luna no se tienen en cuenta. 4. La influencia del Sol y otros planetas no se considera. 5. La resistencia del aire no se tiene en cuenta. Refiriéndonos a la, tomando la dirección de la Tierra hacia la Luna como positiva y como la distancia de a la superficie de la Tierra en el tiempo, tenemos por la ley de Newton.

6 Mostrando que los resultados son independientes de la masa del proyectil. Es posible remplazar, por cantidades más familiares. Para ver esto, note que la atracción de una masa a la Tierra es su peso. Así, de la formula de la Ley de Gravitación Universal de Newton queda: ó De manera similar, denotado por gravedad del la Luna. la aceleración debido a la

7 Usando las formulas 3 y 4 en 2, se tiene que: Las condiciones iniciales son y, donde. Puesto que la ecuación (5) no contiene a, sea. Entonces Integrando y usando las condiciones en, encontramos: La cual nos permite determinar la velocidad instantánea por, podemos determinar como una función de. De esto podemos calcular teóricamente el tiempo empleado para llegar a la Luna. Realmente las integraciones que surgen no pueden desarrollarse en forma cerrada, y deben emplearse técnicas aproximadas. Determinemos la velocidad de salida de nuestro cañón que se necesita para alcanzar el punto neutral (el lugar entre la Tierra y la Luna donde la gravedad es cero) con velocidad cero. La posición neutral denotada por se determina de la ecuación:

8 Obtenida al hacer el lado derecho de (2) igual a cero. Puesto que deseamos cuando, tenemos de (6): De la podemos determinar la llamada velocidad de escape, la cual es la velocidad que el proyectil debería tener para abandonar la Tierra y nunca regresar, asumiendo que los otros planetas, soles, y otros astros no entran en consideración. Para hallar esta velocidad sólo tenemos que hacer a. El resultado es, la cual es aproximadamente un mayor que la velocidad requerida para alcanzar el punto neutral. Las siguientes son cifras aproximadas en astronomía: (Cerca de )

9 Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial igual a la velocidad de escape. Despreciando la influencia de la Luna y otros planetas. a) Muestre que la velocidad del proyectil a la distancia de su punto de partida es: Donde es el Radio de la Tierra. b) Calcule la velocidad del proyectil después de viajar.

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11 Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra, con velocidad inicial igual a la velocidad de escape. La influencia de la Luna se desprecia. Muestre que el tiempo empleado por el proyectil para viajar a la distancia es:

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13 Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra, con velocidad inicial igual a la velocidad de escape. Desconociendo la influencia de la Luna y planetas distintos a la Tierra, cuánto tiempo le tomaría al proyectil cubrir las distancias de y?

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