Modelos basados en autómatas FI-UNER

Transcripción

1 Modelos basados en autómatas FI-UNER

2 Organización Parte I: Autómatas determinísticos Introducción. Definiciones. Autómatas de estados finitos. Autómatas celulares. Ejemplos, tejido excitable. Parte II Autómatas estocásticos.

3 Cuándo usar una determinada estrategia de modelización Autómatas Sistema complejo conformado por subsistemas elementales iguales entre sí Cada subsistema posee un conjunto acotado de estados que no cambian en el tiempo Subsistemas acoplados Subsistemas fijados a una matriz (el autómata celular)

4 Teoría de Autómatas Se ocupa de los principios fundamentales del comportamiento de las máquinas automáticas. Opera sobre descripciones abstractas de estas máquinas y no sobre sus implementaciones. Surgió como un intento de definir el comportamiento de los sistemas en términos de entradas y salidas de datos.

5 Raíces Históricas Alan TURIN Sistematizó la teoría de autómatas desarrollando un modelo de computadora digital (en papel) : La Máquina Universal de Turing (MUT). Demostró la existencia de problemas no resolubles mediante autómatas.

6 Raíces Históricas McCULLOCH y PITTS (MIT) Desarrollaron las bases de la computación neuronal. Neurona de McCulloch y Pitts Primer modelo matemático de la actividad neuronal

7 Raíces Históricas 1950 s Noam CHOMSKY Análisis automático del lenguaje. Lingüística computacional John McCARTHY (MIT) Acuñó el concepto de INTELIENCIA ARTIFICIAL Claude SHANNON Primera Máquina Ajedrecista. Aprendizaje Automático John VON NEUMANN y Stanislaw ULAM Autómatas celulares...

8 Raíces Históricas 1970 s John Horton Conway: Crea uno de los AC s más conocidos: el Juego de la vida (equivalente a una MUT)...

9 Raíces Históricas 1980 s Stephen Wolfram... Completa la teoría y aplicaciones de los AC s

10 Máquina de Turing Consta de: un cabezal lector/escritor una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor. Las operaciones se limitan a: mover el cabezal lector/escritor a la derecha. mover el cabezal lector/escritor a la izquierda. Modelo matemático abstracto que formaliza el concepto de algoritmo

11 Máquina de Turing Caja de Control t 1 7 x

12 Máquina de Turing El cómputo es determinado a partir de una tabla de estados de la forma: (estado, valor) (estado,valor, dirección) Esta tabla toma como parámetros: Estado actual y carácter leído de la cinta Resultado: Dirección para mover el cabezal, nuevo estado de la máquina y valor a ser escrito en la cinta.

13 Teoría de Autómatas Lógica Matemática Computación Teórica Algoritmos Computabilidad Lingüística Computacional (ramática) Modelos Biológicos Embriología Neurofisiología Etología (comportamiento animal) Inteligencia Artificial Vida Artificial

14 El proceso de Traducción del ARNm como una máquina de Turing?

15 Qué es un autómata? Qué es un estado?

16 Definición de autómata Del griego automatos (αὐτόματος). Significa espontáneo o con movimiento propio. En nuestro contexto técnico: Es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona a través de diferentes estados en pasos discretos.

17 Definiciones de estado Sistemas determinísticos: Representación de la actividad del sistema, suficiente como para determinar su salida, y cómo será esta actualizada por la entrada. Estado: Es una configuración única de la información de un programa o máquina.

18 Esquema lógico de un autómata anterior z -1 Entradas Condiciones transición de estados Estado Condiciones de salida Salidas actual y/o su historia y/o su historia Reloj

19 Ejemplo 1: Automata de 2 estados rafo de estados o transiciones x=0 x=1 e 0 / 0 e 1 / 1 x=0 x=1 E={e 0, e 1 } X={0,1} Y={0,1} Calcular la secuencia de salida para X=[1,0,1,1,0,1]

20 Ejemplo 2: Autómata de 4 estados y 2 < u 2 e2 y 1 < u 1 y 1 u 1 y 2 u 2 e1 e3 y 4 < u 4 y 3 < u 3 y 4 u 4 e4 y 3 u 3

21 Definición formal: Autómata de Estados Finitos Un autómata queda especificado por tres conjuntos X, Y y E; y dos funciones d y b, donde: X es un conjunto finito/acotado símbolos de entrada Y es un conjunto finito/acotado símbolos de salida E es el conjunto finito de estados d: E X E, la función de transición de estado si en el tiempo k el sistema está en el estado e y recibe una entrada x (o genera una salida y), entonces en el tiempo k+1 el sistema estará en el estado d(e, x,y) b: E X Y, la función de salida (o dinámica) el estado e siempre da lugar a una salida y=b(e, x,y), que depende de la entrada x (puede ser también de y)

22 Definición formal: Autómata de Estados Finitos Un autómata queda definido entonces por una 5-upla: A= f (X, Y, E, d, b) Si E es un conjunto finito de estados, se dice que el autómata es finito (o de estados finitos)

23 Aut. Discreto vs continuo (E/S) Caso E/S discreta: Supone un alfabeto o conjunto finito y ordenado de posibles símbolos para la salida o la entrada (definición anterior). Caso E/S continua: La función de salida representa la dinámica del autómata para cada estado: y = b e (y, x) OBSERVACION: EN LOS CASOS TRATADOS EL TIEMPO SIEMPRE ES DISCRETO

24 Dinámica del autómata: b e (y, x) Dinámica de estado La variable de salida y e correspondiente al estado e resulta: y e (k+1) = b e (y e (k), x(k)) b e es una función (lineal o no lineal) y e es la variable de salida x es la variable de entrada k es el instante de tiempo discreto Si se produce un cambio a un nuevo estado w: y w (k+1) = b w (y w (k), x(k))

25 Dinámica del autómata: b e (y, x) Umbrales Luego de hallado el nuevo valor de y v (k+1) o de y w (k+1), según corresponda, se compara ese valor con el umbral u v o u w asociado al estado v o w para lo cual se calcula: SN(y v (k+1) - u v ), para el estado v SN(y w (k+1) - u w ), para el estado w El autómata pasa al siguiente estado o permanece en el mismo de acuerdo al resultado de la comparación.

26 Ejemplo 3: Péndulo y topes l 1 l 2 q 1 q 2 q l Sistema dinámico sencillo con discontinuidades asimilables a Estados

27 Ejemplo 3: Péndulo y topes En la posición extrema Φ= Φ 0, la energía es solamente potencial En la posición Φ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial pero en cada instante la E = E p v E p E 2 m g l m v 1 0 cos( ) m g l 1 cos( g l 0 cos( ) cos( ) )

28 Caso de Estudio: Electrofisiología Célula excitable

29 Caso de Estudio: Célula excitable Autómata de 2 estados e 0 e 1

30 Dinámica autómata e 0 e 1 y(t) +20V +12V -10V -15V umbral +12V umbral -10V t=kt x(t) t=kt

31 Pseudocódigo Estado e0: y(k+1) = x(k) IF SN(y(k+1) + 10) = -1 THEN estado(k+1) = e0 ELSE estado(k+1) = e1; y(k+1) = 20 Estado e1: y(k+1) = 0.8 * y(k) IF SN(y(k+1) - 12) = 1 THEN estado(k+1) = e1 ELSE estado(k+1) = e0; y(k+1) = -15

32 y(t) +12V -10V -15V x(t) umbral +12V umbral -10V t=kt t=kt

33 y(t) +12V t=kt -10V -15V umbral -10V x(t) t=kt

34 y(t) +20V +12V -10V -15V x(t) umbral +12V umbral -10V t=kt t=kt

35 y(t) +20V +12V umbral +12V t=kt -10V -15V x(t) t=kt

36 y(t) +12V -10V -15V x(t) umbral +12V umbral -10V t=kt t=kt

37 y(t) +12V t=kt -10V -15V umbral -10V x(t) t=kt

38 y(t) +12V t=kt -10V -15V umbral -10V x(t) t=kt

39 Autómatas Celulares (AC s)

40 Autómatas Celulares Permiten modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como: Una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.

41 Autómatas Celulares Consisten en un conjunto de autómatas (o células) que transcurren por diferentes estados siguiendo algoritmos sencillos. Integran sistemas formados por la interconexión de un gran número de ellos.

42 Autómatas Celulares Los sistemas de células acopladas pueden comportarse colectivamente en forma compleja. Permiten crear situaciones experimentales difíciles de reproducir sobre los sistemas reales que modelan.

43 Ejemplo sencillo

44 Definición AC s ( casi formal ) Una red de autómatas queda definida por: Donde: T es la topología: R = (T,C) Forma geométrica o de interconexión espacial de las células. C es la forma de conexión: Tipo y grado de acoplamiento o interconexión funcional entre células.

45 Topología eometría específica de la trama (regular) Trama triangular Trama cuadrada Trama hexagonal Dimensiones: 1, 2 o 3 Trama cúbica

46 Topología Vecindad: conjunto de células que colindan con una célula determinada (i, j).

47 Conexión: condiciones existencia Las células deben admitir una entrada durante por lo menos un estado relacionada con el valor de alguna variable de otras células debe tener alguna influencia en la dinámica de la célula considerada Debe considerarse la forma en que influyen simultáneamente las células vecinas (,,, etc. Debe definirse la frontera del sistema

48 Conexión: características Direccionalidad: Se habla de tramas conectadas bi-direccionalmente cuando entre cada autómata de la vecindad existen pesos de ida y vuelta. Por el contrario, se habla de uni-direccionalidad cuando hay un peso desde una célula a otra pero no existe el recíproco.

49 Conexión: características Reciprocidad: Influencia (j,k) = Influencia (k,j) Isotropía: Igual influencia en todas las direcciones Dependencia (o independencia) temporal

50 Conexión: características Isotropía: Los AC isótropos son aquellos en que los pesos de conexión son iguales en todos los sentidos y direcciones. Los AC anisótropos son aquellos en los que los pesos son diferentes en algún sentido o dirección de la trama. x 1 x 2 w 1 f n y w 2 x 3 w 3

51 Conexión: condiciones de contorno Es imposible simular una trama infinita en una computadora. Por lo tanto, tenemos que definir algunas condiciones de contorno o frontera. Contorno periódico. Contorno reflexivo. Contorno fijo o arbitrario O O

52 Aplicaciones varias Tejidos Biológicos Comportamiento de bacterias e insectos Materiales ferromagnéticos (Ising) Cristales en solución química Incendios Forestales Técnicas que pueden verse como AC s: Redes Neuronales Modelos Ocultos de Markov (si incluye lenguaje)

53 Ejemplo 1: AC s y Redes Neuronales y = f n (w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 - q) x 1 x 2 w 1 f n y x 3 w 2 w 3 q

54 Ejemplo 2: AC s y Memes Transmisión de rumores, creencias, mitos, etc. (Rocha, 2001). U/ t = f (U) + D 2U

55 Ejemplo 3: AC s 1D y 2D Electrofisiología Cardíaca: Modelo de Células de Purkinje (Rocha)

56 Ejemplo 4: AC s y el tránsito Tránsito de vehículos: Simulación en distintas condiciones para mejorar la circulación y señalización

57 Ejemplo 5: AC s 3D Morfogénesis: Simulación del crecimiento de tejidos y órganos:

58 Caso de Estudio: Electrofisiología Cardíaca Modelo de Células de Purkinje (Rocha)

59 Repaso Electro-Fisiología Cardiaca: Células Marcapaso: Responsables de la ritmicidad de la contracción Auto-excitables Se encuentran en el nódulo sinusal y en el aurículo ventricular Células No-Marcapaso: Se excitan solo por contacto con sus vecinas ya que su período de autodespolarización es muy largo Son las encargadas de la conducción de la despolarización hasta el músculo para producir su contracción Por ejemplo: fibras de Purkinje. Fibrilación: Contracción desordenada y desincronizada de las fibras del músculo cardíaco que impiden su funcionamiento como bomba (bolsa de lombrices).

60 Repaso Electro-Fisiología Cardiaca: Nódulo Sinusal Haz de His Nódulo Auriculo- Ventricular Fibras de Purkinje Músculo

61 Potencial célula de Purkinje mv FASE 1 0 t FASE 0 FASE 2 Y 3-70 FASE 4-90

62 Acoplamiento 1D de ACs N E(k): Potencial Celular en el instante k RF(k): Efecto Refractario CC(k): Suma de corrientes de células adyacentes

63 Dinámica de un arreglo 1D Fase 0 E (k+1) = E (k) + 40 Salta a Fase 1 cuando E (k+1) > 30 Fase 1 E (k+1) = 0.7 * E (k) Salta a Fases 2 y 3 cuando E (k+1) < 10 Fases 2 y 3 E (k+1) = 1.1 * E (k) + 4 * CT(k) - 6 Salta a Fase 4 cuando E (k+1) < -70 y hace CT(k)=0 y RF(k)= mv FASE 0 FASE 1 FASE 2 Y 3 FASE 4 t

64 Dinámica de un arreglo 1D Fase 4 CC(k)= Suma de corrientes de células vecinas Eint = E(k) + CC(k) * RF(k) IF Eint <= -60 THEN E(k+1) = Eint RF(k+1)=RF(k) + INH ELSE E(k+1)= E(k) * [-90-E(k)] IF RF(k)>1 THEN RF(k)=1 CT(k+1)=CT(k)+0.16 IF CT(k+1)>1 THEN CT(k+1)= mv FASE 0 FASE 1 FASE 2 Y 3 FASE 4 t Salta a Fase 0 cuando E(k+1) > -60

65 Dinámica de un arreglo unidimensional Como queremos modelizar filamentos de células cardíacas: CC(k,i)=. [E(k,i+1) - E(k,i) + E(k,i-1) - E(k,i)] CC(k,i)=. [E(k,i+1) + E(k,i-1) - 2 E(k,i)]

66 Dinámica de un arreglo unidimensional Si el valor no sobrepasa un valor mínimo, el acoplamiento es insuficiente para excitar las células vecinas. Pero se puede observar la propagación de un potencial debido al acoplamiento resistivo de las células (que se va atenuando).

67 Simulación red unidimensional y unidireccional de 5 células (1era marcapasos)

68 Problemas en la frontera Si la cantidad de células es N, las células N+1 y 0 no existen Para las células N y 1 se presentan dos alternativas E(k,0) = E(k,N+1) = 0 E(k,0) = E(k,1) y E(k,N+1)= E(k,N)

69 E(k,0) = E(k,N+1) = 0 Existe acoplamiento. Hay diferencias de potencial. Existe corriente en la frontera. Existe efecto frontera.

70 E(k,0) = E(k,1) y E(k,N+1)=E(k,N) No existe acoplamiento. No hay diferencias de potencial. La frontera no ejerce ninguna influencia.

71 Lazo cerrado de células

72 Lazo cerrado de células

73 Lazo cerrado de células

74 Lazo cerrado de células

75 Lazo cerrado de células

76 Lazo cerrado de células Colisión

77 Demostración de AC s en arreglo 2D Modelo de Células de Purkinje

78 Acoplamiento Bidimensional de AC s k j Ck Cj k j

79 Frontera 2 k j Ck Cj k j Frontera 1

80 AC s Bidimensionales Simples Simulación de una Red de Autómatas Celulares Cardíacos simple: 3 estados, isótropa, marcapasos en 10,10

81 AC s Bidimensionales Purkinje Simulación de una Red de Autómatas Celulares Cardíacos tipo Purkinje de 20x20 células: 4 estados, isótropa, con una célula marcapasos en la posición central

82 AC s Bidimensionales con pared Simulación de una Red de Autómatas Celulares Cardíacos tipo Purkinje de 40x40 células: 4 estados, isótropa, marcapasos en (20,10) y una pared vertical unidireccional

83 AC s Bidimensionales Caóticos Simulación de una Red de Autómatas Celulares Cardíacos tipo Purkinje de 40x40 células: 4 estados, isótropa, marcapasos en (20,10), y una pared vertical unidireccional, período refractario pequeño.

84 Fibrilación

85 Puedo estimar el EC? El electrocardiograma (EC) es un gráfico de la actividad eléctrica del corazón medida con electrodos sobre la piel.

86 Cómo puedo estimar el EC? Anatomía (aproximación geométrica) AC 3D Resolución espacial: 1:4 (62x40x3) o 1:2 (124x80x7)

87 Cómo puedo estimar el EC? Fisiología (diferencias funcionales)

88 Cómo puedo estimar el EC? Electricidad (modelo de conducción)

89 Cómo puedo estimar el EC? Emilio Cánepa, Simulación de EC mediante autómatas celulares, Proyecto final FIUNER, EC normal a 140 latidos por minuto Bloqueo de 1º grado

90 Que más? Fenómenos complejos, caos y fractales. Modelos de Sistemas de control biológicos. Modelos Híbridos. Autómatas con aleatoriedad Autómatas estocásticos.

91 Bibliografía Modeling Biological Systems, J.W. Haefner, Springer, NY, 2005 "Foundations of Mathematical Biology", Rosen, Vol I, II. "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. Sitharama Iyengar, CRC Press. "Modelling and Control in Biomedical Systems", Cobelli- Mariani, "Introducción a la Bioingeniería", Marcombo-Boixareu Editores, Dinámica de una Red de Autómatas Celulares, Luis F. Rocha. UBA. Buenos Aires, 1991.