Resolución de Problemas y Algoritmos Segundo cuatrimestre de 2015 Clase 18: Recursión - Problemas clásicos

Transcripción

1 Resolución de Problemas y Algoritmos Segundo cuatrimestre de 2015 Clase 18: Recursión - Problemas clásicos Dr. Sergio A. Gómez Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Bahía Blanca, Argentina

2 Problemas clásicos en recursión Máximo común divisor (Algoritmo de Euclides) División entera y resto de la división entera Sucesión de Fibonacci Torres de Hanoi Sumas y productos de naturales Método de la bisección para hallar raíces cuadradas Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 2

3 Máximo común divisor En matemáticas el máximo común divisor (abreviado m.c.d. en castellano y g.c.d. en inglés) de dos o más números enteros es el mayor número entero que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el m.c.d. de 42 y 56 es 14. En efecto, 42/14 = 3 y 56/14 = 4 son primos entre sí (coprimos) (es decir, no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4). Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 3

4 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el m.c.d. 48 = 2 4 * 3 60 = 2 2 * 3 * 5 m.c.d.(48, 60) = 2 2 * 3 = 12 Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 4

5 Algoritmo de Euclides Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, basado en que el m.c.d. de dos números también divide al resto de dividir el mayor entre el más pequeño: Para hallar m.c.d.(60,48), se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12. El m.c.d. será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 5

6 MCD Recursivo Planteo recursivo: MCD(a,b) Caso base: MCD( a, 0 ) = a Caso general: Si b 0, MCD( a, b ) = MCD( b, a mod b ) Function mcd( a, b : integer ) : integer; Begin if b = 0 then mcd := a else mcd := mcd( b, a mod b ); end; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 6

7 MCD Recursivo (variante) MCD(a,b) Planteo recursivo: Caso base: MCD( a, b ) = b, si a mod b = 0 Caso general: MCD( a, b ) = MCD( b, a mod b ), si a mod b 0 Function mcd( a, b : integer ) : integer; Begin if a mod b = 0 then mcd := b else mcd := mcd( b, a mod b ); end; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 7

8 Div y Mod (iterativo) Quiero calcular el resultado de dividir a por b, lo que me dará un cociente q y un resto r : q := 0; r := a; While r>b do Begin q := q+1; r := r b; End; Por lo tanto: a div b = q y a mod b = r. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 8

9 Div (recursivo) Planteo: div(a,b): CB: Si a < b, entonces div(a,b) = 0 CR: Si a b, entonces div(a,b) = 1 + div(a-b,b) Implementación: (Ojo: Div es palabra reservada) Function _Div(a,b : integer) : integer; Begin if a<b then _div := 0 else _div := 1 + _div(a-b,b) End; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 9

10 Mod (recursivo) Planteo: Mod(a,b) CB: si a<b entonces Mod(a,b) = a CR: Si a b entonces Mod(a,b) = Mod(a-b,b) Implementación: (Ojo: mod es palabra reservada) Function _mod( a, b : integer ) : integer; Begin if a<b then _mod := a else _mod := _mod(a-b,b) End; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 10

11 Fibonacci ( ) Leonardo de Pisa, matemático italiano. El apodo de su padre era Bonacci (bien intencionado) y el recibió el apodo Fibonacci (filius Bonacci, hijo de Bonacci). De joven aprendió en África el sistema de numeración árabe (decimal), y consciente de la superioridad de este sistema comparado con el romano, viajó para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos), mediante el cuál se introdujo en Europa el sistema decimal que reemplazaría al romano. Resolución de Problemas y Algoritmos Dr. Alejandro J. García 11

12 Sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, que inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. La sucesión fue descrita por Fibonacci, en su libro Liber Abaci, como la solución a un problema de la cría de conejos. Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (1150). Resolución de Problemas y Algoritmos Dr. Alejandro J. García 12

13 Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada. Una pareja de conejos (un macho y una hembra) se ponen en el campo. Los conejos de un mes de edad se pueden reproducir y tardan un mes en dar a luz. Los conejos nunca mueren. Cada par de conejos produce un nuevo par de conejos (un macho y una hembra) cada mes a partir de segundo mes de nacer. La pregunta de Fibonacci es: cuántos conejos habrá en un año? Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 13

14 Al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay 1 par. Al final del segundo mes la hembra produce un nuevo par, ahora hay 2 pares. Al final del tercer mes, la hembra original produce un nuevo par, ahora hay 3 pares. Al final del cuarto mes, la hembra original produce un nuevo par, y la hembra nacida dos meses atrás produce otro nuevo par, ahora hay 5 pares. Entonces al final del mes n-ésimo, el número de pares de conejos es igual al número de pares nuevos (que corresponde al número de pares del mes n-2) más el número de pares vivos en el último mes (n-1). Este es el número de Fibonacci. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 14

15 Planteo recursivo Fib( 1 ) = 1 Fib( 2 ) = 1 Fib( n ) = Fib( n-1 ) + Fib( n-2 ) si n >= 3 Implementación en Pascal? Note que en la época de Fibonacci su sucesión comenzaba con 1, en la versión moderna comienza en 0. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 15

16 Definición recursiva Los números de Fibonacci f 0, f 1, f 2, f 3, f 4, pueden definirse recursivamente como: f 0 = 0 f 1 = 1 f n = f n-1 + f n-2 para n > 1 function fib ( n : integer ) : integer; begin if n=0 then fib := 0 else if n = 1 then fib := 1 else fib := fib( n-1 ) + fib( n-2 ); end; 16

17 Variante de implementación function fib ( n : integer ) : integer; begin if n<=1 then fib := n else fib := fib( n-1 ) + fib( n-2 ); end; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 17

18 Fibonacci iterativo function fib ( n : integer ) : integer; var a, b, c, i : integer; Begin if n <= 1 then fib := n else begin a := 0; b := 1; for i := 0 to n-2 do begin c := a + b; a := b; b := c; end; fib := c; end; Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 18

19 Las Torres de Hanoi: Una Leyenda La leyenda dice que hay tres agujas de diamante ubicadas en el piso de un templo de Brahma en Hanoi (Vietnam): Apilados sobre la aguja de más a la izquierda había 64 discos de oro, cada uno de una medida diferente, apilados en orden creciente:

20 Las Torres de Hanoi: Una Leyenda (cont) Los monjes debían transferir los discos de la primera aguja a la segunda, usando la tercera como fuera necesario. Pero ellos podían sólo mover un disco a la vez, y nunca podían poner un disco más grande sobre un disco más pequeño Cuando completaran esta tarea, el mundo llegaría a su fin!

21 Ilustración Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Dado que sólo podemos mover un disco a la vez, movemos el disco del tope de A a B.

22 Ejemplo Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de A a C.

23 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de B a C.

24 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de A a B.

25 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de C a A.

26 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de C a B.

27 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Entonces movemos el disco del tope de A a B.

28 Ejemplo (cont.) Por simplicidad, supongamos que hay sólo 3 discos, y que nos referiremos a las agujas como A, B, y C... Y terminamos! El problema se hace más complejo a medida que aumenta la cantidad de discos...

29 Problema de las Torres de Hanoi Problema: Escribir un programa que genere las intrucciones para que sigan los monjes durante el movimiento de los discos. La solución recursiva de este problema es simple y elegante.

30 Diseño Vamos a permitirle al usuario ingresar el número de discos para los cuales quiere generar el conjunto de instrucciones: Program TestHanoi; Var numero_discos : integer; procedure Hanoi(n : integer; origen, destino, aux : char ); Begin End; Begin Write( Ingrese la cantidad de discos: ); ReadLn( numero_discos ); Hanoi( numero_discos, A, B, C ); End.

31 Planteo recursivo Caso base: Cuál es la instancia del problema cuya solución es trivial? n = 1 Como este caso base va a ocurrir cuando el disco está en el tope de una aguja, simplemente imprimimos la instrucción para mover el tope de la aguja origen al tope de la aguja destino.

32 Planteo recursivo Caso base: Cuál es la instancia del problema cuya solución es trivial? n = 1 Como este caso base va a ocurrir cuando el disco está en el tope de una aguja, simplemente imprimimos la instrucción para mover el tope de la aguja origen al tope de la aguja destino.

33 Planteo recursivo (cont.) Caso general: n > 1 Cómo nos puede ayudar la recursión? a. Recursivamente mover n-1 discos desde origen a aux.

34 Planteo recursivo (cont.) Caso general: n > 1 Cómo nos puede ayudar la recursión? b. Mover el disco restante de origen a destino.

35 Planteo recursivo (cont.) Caso general: n > 1 Cómo nos puede ayudar la recursión? c. Recursivamente mover n-1 discos desde aux a destino...

36 Planteo recursivo (cont.) Caso general: n > 1 Cómo nos puede ayudar la recursión? d. Terminamos!

37 Diseño del Algoritmo Combinamos estos pasos en este planteo recursivo: Hanoi(n, origen, destino, aux) Caso base: Si n=1 entonces mover el disco tope de origen a destino. Caso general: Si n>1, entonces: a. Hanoi( n-1, origen, aux, destino ) b. Hanoi( 1, origen, destino, aux ) c. Hanoi( n-1, aux, destino, origen )

38 Implementación en Pascal procedure Hanoi(n : integer; origen, destino, aux : char ); Begin if n=1 then WriteLn( Mover, origen, a, destino,. ) else begin Hanoi( n-1, origen, aux, destino ); Hanoi( 1, origen, destino, aux ); Hanoi( n-1, aux, destino, origen ) end; End;

39 Suma de naturales Formulación como parte de los axiomas de Peano: Suma( 0, m ) = m Suma( n+1, m ) = Suma(n, m) + 1 Type NoNeg = 0..maxint; Function suma( n, m : NoNeg ) : NoNeg; Begin if n = 0 then Suma := m else Suma = Succ( Suma(pred(n),m) ); End; Ejercicio: Cómo se define el producto usando el mismo enfoque? Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 39

40 Método de la bisección Supongamos que no tenemos la función raíz cuadrada y deseamos calcular 2. Si consideramos el gráfico de la función f ( x) = x f(x) El punto x=a tal que f(a)=0 corresponde a f(x) x = Nota: Asumiremos que trabajamos con funciones monótonas crecientes. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 40

41 Método de la bisección: Planteo recursivo HallarRaiz( x, a, b ): Halla la raíz de x en [a,b]. Sea f(x,r) = x 2 r Caso base: Sea m el punto medio de [a,b]. Si f(m) es lo suficientemente cercano a 0 entonces m es la raíz de x en [a,b]. Caso general: Sea m el punto medio de [a,b]. 1. Si f(medio, x) < 0, hallar la raíz de x en [a,b] consiste de hallar la raíz de x en [m,b]. 2. Si f(medio, x) > 0, hallar la raíz de x en [a,b] consiste de hallar la raíz de x en [a,m]. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 41

42 program Biseccion; const epsilon = ; var x, a, b : real; function abs( x : real ) : real; begin if x>=0 then abs := x else abs := -x; end; function f(x : real; r : real) : real; begin f := x*x - r; end; (* Continúa. *) Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 42

43 { Calcula la raíz cuadrada r de x. } { Asume que r está entre a y b, y que a < b. {También asume que f es monótona creciente. } function HallarRaiz( x: real; a, b : real ) : real; var medio : real; begin medio := (a + b) / 2; if abs(f(medio, x)) < epsilon then HallarRaiz := medio else if f(medio, x) < 0 then HallarRaiz := HallarRaiz( x, medio, b ) else HallarRaiz := HallarRaiz( x, a, medio ); end; (* Continúa *) Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 43

44 begin Write( 'Ingrese x: ' ); ReadLn( x ); Write( 'Ingrese a: ' ); ReadLn( a ); Write( 'Ingrese b: ' ); ReadLn( b ); WriteLn( 'La raiz de ', x: 10: 2, ' es ', HallarRaiz( x, a, b ) : 3 : 7 ); WriteLn; WriteLn( 'Enter...' ); ReadLn; end. Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 44

45 Sumario de temas: Problemas clásicos en recursión Máximo común divisor (Algoritmo de Euclides) División entera y resto de la división entera Sucesión de Fibonacci Torres de Hanoi Sumas y productos de naturales Método de la bisección para hallar raíces cuadradas Resolución de Problemas y Algoritmos - Dr. Sergio A. Gómez 45