Matemáticas escolares y representación

Transcripción

1 Matemáticas escolares y representación Explora la representación en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas, a partir de las ideas de J. Godino, L. Moreno y R. Duval. Autor: Cecilia Casasbuenas Santamaría, Virginia Cifuentes de Buriticá. Asesoras especializadas Fucai en proyectos de la Fundación Promigas. En el trabajo matemático, los símbolos están en lugar de las entidades conceptuales, no para sustituirlas sino para representarlas. J.Godino Las siguientes ideas han sido decantadas de las lecturas de varios autores interesados en la importancia de la representación en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. Entre estos pensadores son de nuestra predilección J. Godino, L. Moreno y R. Duval. Hablar de conocimiento matemático escolar es reconocer que la escuela le exige cierta caracterización al conocimiento matemático para que éste pueda vivir en ella. Si a un cierto conocimiento matemático se le da este calificativo, de cuáles otros tipos de conocimiento matemático se le quiere diferenciar? y, por qué tipos de conocimiento matemático? En diferentes épocas y culturas son variadas las relaciones humanas y las relaciones con la naturaleza y con el mundo, lo que constituye distintas formas de vida. Tales culturas forman diferentes estructuras conceptuales, adoptan diversas formas y normas de representación. Todo conocimiento matemático es relativo a la institución en cuyo seno se realizan prácticas matemáticas específicas que generan conocimientos matemáticos específicos, que responden a necesidades y finalidades distintas que dependen de su utilidad y de la valoración cultural y social que se les otorgue. Se desarrollan y adquieren mediante procesos distintos que exigen niveles de pensamiento diferentes, en sus formas de razonamiento, donde es clave el papel de los instrumentos lingüísticos usados. 1

2 Es así como pueden distinguirse, tres tipos de conocimiento matemático cuyos límites son difusos puesto que coexisten. En primer lugar se identifica el conocimiento matemático cotidiano que se desarrolla en contextos sociales y a través de prácticas culturales, es útil para un determinado caso o contexto particular y responde más a un tipo de racionalidad de carácter pragmático de tal manera que su intervención en la solución de un problema tiene una finalidad práctica, que no es aprender matemáticas. En segundo lugar se reconoce el conocimiento matemático disciplinar, que a diferencia del anterior, trasciende lo particular para explicar la realidad mediante modelos más generales. Se apoya en el pensamiento lógico formal y, a su vez, es el lugar privilegiado para el desarrollo de éste. Este tipo de conocimiento es posterior al cotidiano o intuitivo. En tercer lugar se identifica el conocimiento matemático escolar que se caracteriza por ser conocimiento transpuesto, en este sentido no es conocimiento disciplinar ni tampoco cotidiano. La transposición didáctica formula la necesidad de considerar que lo que se enseña en la escuela, (los contenidos o conocimientos), es, en cierto modo, una producción exógena, algo que se genera fuera de la escuela y que se lleva o transpone a la escuela por necesidades sociales de educación y difusión. Se requieren una serie de transformaciones adaptativas para que los conocimientos que se quieren enseñar puedan vivir en el nuevo ambiente que la escuela ofrece. Para que cierto conocimiento sea enseñado en la escuela es necesario un trabajo transpositivo que haga posible que algo que no fue creado para la escuela sufra los cambios necesarios para poder ser reconstruido dentro de la escuela (M. Bosch y J. Gascón, 2005) 2

3 El proceso de transposición didáctica se puede esquematizar de la siguiente manera: Conocimiento Matemático Escolar En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas se presenta una visión del conocimiento matemático escolar propuesta por la comunidad de educadores matemáticos, basada en: Aceptar que el conocimiento matemático es resultado de una evolución histórica, de un proceso cultural, cuyo estado actual no es, en muchos casos, la culminación definitiva del conocimiento y cuyos aspectos formales constituyen sólo una faceta de este conocimiento. Valorar la importancia que tienen los procesos constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas. Considerar que el conocimiento matemático (sus conceptos y estructuras), constituyen una herramienta potente para el desarrollo de habilidades de pensamiento. Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe dominar todo ciudadano. Comprender y asumir los fenómenos de transposición didáctica. Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías tanto en los énfasis curriculares como en sus aplicaciones. Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones problemáticas. 3

4 Acerca de los Objetos Matemáticos Los objetos matemáticos no son objetos sensorial o instrumentalmente accesibles como lo son todos los fenómenos naturales, donde la observación, la exploración y la experimentación constituyen la fuente de conocimiento. El medio para acceder a ellos son las representaciones semióticas, es decir, aquellas producciones constituidas por el empleo de signos (enunciado en lenguaje natural, fórmula algebraica, gráfico, figura geométrica ) que exteriorizan las representaciones mentales. Los objetos matemáticos representados no deben confundirse con las representaciones semióticas que los hacen accesibles y que permiten manipularlos en los tratamientos matemáticos. Las representaciones semióticas no sólo son indispensables para la comunicación, sino que son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática misma (R. Duval, 1999) Cómo puede aprender un estudiante a no confundir un objeto matemático con la representación particular que le da acceso, si para acceder a él no hay más que la manipulación de representaciones semióticas? La Actividad Matemática La actividad matemática necesita modos de funcionamiento cognitivo que requieren la movilización de sistemas específicos de representación. Estos sistemas constituyen registros de representación semiótica, tan indispensables en matemáticas como lo es la mediación instrumental para la observación de fenómenos. La mediación semiótica es el proceso real que permite la abstracción en matemáticas cuando en la diversidad de las formas de representación se captura o se aprehende el mismo objeto o contenido representado. En otros dominios, como el de las Ciencias Naturales, su papel está oculto porque se tiene acceso directo a los objetos representados.! La abstracción comienza con el empleo de palabras para designar las cosas más familiares Los modos de funcionamiento cognitivo propios de la actividad matemática se distinguen de los de otros dominios de conocimiento por La importancia 4

5 primordial de las representaciones semióticas y por la variedad de los tipos de representación de un mismo objeto matemático. En el trabajo matemático, los símbolos remiten o están en lugar de las entidades conceptuales que representan. El signo no es una mera envoltura eventual del pensamiento, sino su órgano esencial y necesario. (Cassirer, 1964) Sistemas Externos y Sistemas Internos de Representación Una representación es un signo o una configuración de signos, caracteres u objetos que pueden ponerse en lugar de algo distinto de él mismo para simbolizar, codificar, dar una imagen o representar. Los sistemas de representaciones externas comprenden los sistemas simbólicos convencionales de las matemáticas tales como la numeración en base diez, la notación formal algebraica, la recta numérica real, la representación en coordenadas cartesianas. También se incluyen entornos de aprendizaje, como los que utilizan materiales manipulativos concretos, o micromundos basados en el uso de herramientas tecnológicas. Se consideran representaciones internas o mentales los constructos de simbolización personal, las asignaciones de significado a las notaciones matemáticas. Goldin (1998) incluye también como representaciones internas el lenguaje natural del estudiante, su imaginación visual y representación espacial, sus estrategias y heurísticas de resolución de problemas, y también sus afectos en relación con las matemáticas. La Mediación Instrumental Al referirse a la importancia de la mediación instrumental, Luis Moreno afirma que todo acto cognitivo está mediado por un instrumento que puede ser material o simbólico. No hay actividad cognitiva al margen de la actividad representacional. De ahí que construir herramientas con propósitos deliberados constituya un rasgo distintivo de nuestra especie a tal grado que la historia de su evolución puede identificarse con la del desarrollo de sus órganos artificiales: las herramientas. Al respecto Bruner (1995) opina que a partir de la fabricación y empleo de herramientas el tamaño del cerebro humano se triplicó. El cambio más importante ocurrido al hombre durante el último medio millón de años ha 5

6 sido producido por sus relaciones con sistemas externos de ejecución, primero herramientas materiales y posteriormente signos y sistemas de representación oral y de registro escrito. Los instrumentos operan como: Amplificadores de las capacidades motoras humanas tales como: elementos para cortar, palancas, ruedas, morteros... Amplificadores de las capacidades sensoriales: lupas, microscopios, telescopios, radares, señales de humo, sensores... Amplificadores de las capacidades de raciocinio: sistemas lingüísticos, mitos, teorías científicas... Sistemas de Representación de los Números El universo de los números, campo reservado sólo a la actividad humana, dispone de un triple sistema de representación: visual, oral y escrito; ellos constituyen, respectivamente, las numeraciones figuradas, habladas y escritas. Ver el número, decir el número y escribir el número son tareas importantes de las numeraciones. Las numeraciones figuradas son numeraciones concretas constituidas por un sistema de marcas físicas. Pueden ser marcas que requieran un soporte como hueso, madera, arcilla, también pueden ser objetos naturales o fabricados como piedras, perlas, palitos, nudos, fichas, etc. Las numeraciones habladas tienen como fin atribuirle un nombre a cada número. Es necesario proceder sistemáticamente de manera que el nombre permita reconocer la cantidad que él enuncia. Para no inventar cada vez 6

7 nuevos nombres, se crean nombres compuestos a partir de otros más simples, por ejemplo: dieciocho. Las numeraciones escritas se originan con el paso de los nombres de los números a las cifras y con el nacimiento de la escritura en Sumeria, región de Mesopotamia, hacia el 3300 antes de J.C. Numeración escrita y escritura parecen ser contemporáneas. En la escritura de los números, las cifras juegan el mismo rol que las letras del alfabeto en la escritura de las palabras. Los nombres precedieron a las cifras así como las palabras precedieron a las letras. 7