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1 La versión digital de esta tesis está protegida por la Ley de Derechos de Autor del Ecuador. Los derechos de autor han sido entregados a la ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL bajo el libre consentimiento del (los) autor(es). Al consultar esta tesis deberá acatar con las disposiciones de la Ley y las siguientes condiciones de uso: Cualquier uso que haga de estos documentos o imágenes deben ser sólo para efectos de investigación o estudio académico, y usted no puede ponerlos a disposición de otra persona. Usted deberá reconocer el derecho del autor a ser identificado y citado como el autor de esta tesis. No se podrá obtener ningún beneficio comercial y las obras derivadas tienen que estar bajo los mismos términos de licencia que el trabajo original. El Libre Acceso a la información, promueve el reconocimiento de la originalidad de las ideas de los demás, respetando las normas de presentación y de citación de autores con el fin de no incurrir en actos ilegítimos de copiar y hacer pasar como propias las creaciones de terceras personas. Respeto hacia sí mismo y hacia los demás.

2 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL DE SISTEMAS DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINAS HIDROELÉCTRICAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS UTILIZANDO EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT POWER FACTORY PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL benignocevallos@gmail.com DIRECTOR: DR. JESUS JÁTIVA IBARRA jjativa@yahoo.com Quito, enero 2013

3 II DECLARACIÓN Yo, Benigno Rafael Cevallos Pasquel, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente. BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL

4 III CERTIFICACIÓN Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Benigno Cevallos, bajo mi supervisión. DR. JESÚS JÁTIVA IBARRA Director del Proyecto

5 IV AGRADECIMIENTO Son muchas las personas que han formado parte de mi vida estudiantil y que hicieron posible la culminación de este trabajo y de mi carrera profesional, a las quiero dejar mediante estas cortas líneas un testimonio de gratitud por todos sus consejos, apoyo, animo a lo largo de mi carrera. En especial quiero agradecer a mi profesor PhD Jesús Játiva, por su paciencia, apoyo y amistad brindada hacia mi persona y a mis amigas y amigos José, Andrés, Lizeth, Eduardo y Eliana con quienes he compartido incontables momentos en este gran camino llamado vida, y a todas aquellas personas que siempre me brindaron su apoyo muchas gracias.

6 V DEDICATORIA A Dios por bendecirme para llegar hasta donde he llegado, y a mis padres por el apoyo que siempre me han brindado para cumplir mis objetivos

7 VI CONTENIDO DECLARACIÓN...II CERTIFICACIÓN... III AGRADECIMIENTOS... IV DEDICATORIA... V CONTENIDO... VI ÍNDICE DE FIGURAS... IX ÍNDICE DE TABLAS... XIII RESUMEN... XV PRESENTACIÓN... XVI OBJETIVOS CONTENIDO... XVIII ALCANCE... XIX JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO... XX CAPÍTULO I...1 INTRODUCCIÓN Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia Estabilidad de ángulo Estabilidad de voltaje Estabilidad de frecuencia Conceptos Fundamentales de Estabilidad de Sistemas Dinámicos Ecuación de estado Linealización de un sistema no-lineal Valores y Vectores Propios de la Matriz de Estado Valores propios Vectores propios Matrices Modales Movimiento Libre de un Sistema Dinámico Modos, Sensitibidad y Factores de Participación Modos Sensitividad... 23

8 VII Factor de participación Controlabilidad Observabilidad Medidas de Controlabilidad y Observabilidad de los modos de oscilación Criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz Criterio de estabilidad de Bode Criterio de estabilidad de Nyquist CAPÍTULO MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA Representación del Generador Sincrónico en Variables de Estado Representación del modelo clásico del generador Representación del Sistema de Regulación de Velocidad en Variables de Estado Gobernadores isócronos Reguladores de velocidad para turbinas hidroeléctricas Regulador mecánico hidráulico Regulador electrohidráulico Regulador de velocidad con PID Regulador de velocidad con control doblemente derivativo Representación de turbinas hidráulicas en variables de estado Función de transferencia de la turbina hidráulica Turbina hidráulica no ideal Características de las turbinas hidráulicas Modelación de la Planta Turbina Hidráulica Regulador de Velocidad - Generador con el Programa Computacional DIgSILENT Power Factory Características de la central hidroeléctrica Paute fase AB Procedimiento para la modelación de los elementos de control de la planta en el programa DIgSILENT Power Factory Sintonización de los sistemas reguladores de velocidad Funciones de Transferencia, Variables de Entrada y Salida de la Planta... 75

9 VIII CAPÍTULO APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA Sistema Generador de la fase AB de la central Paute Molino Barra Infinita Descripción de la Planta General Pruebas del modelo de regulador de velocidad Análisis modal de la planta Sistema de Nueve Barras del IEEE Descripción del sistema Pruebas en el sistema de 9 barras Análisis modal del sistema de nueve barras Análisis de Resultados de las Respuestas Dinámicas en el Tiempo y la Frecuencia Modelo de la planta Analisis en el dominio del tiempo Analisis en el dominio de la frecuencia Comparación de los Índices de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE Sistema generador barra infinita Sistema multimáquina CAPITULO CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Conclusiones Recomendaciones Referencias Bibliograficas ANEXOS

10 IX ÍNDICE DE FIGURAS CAPITULO 1 Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad...3 Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia...4 Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador...5 Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con regulador de voltaje de campo constante...7 Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante...8 Figura 1.6 Conceptos de estabilidad Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado Figura 1.11 Diagrama de Bode Figura 1.12 Ancho de Banda Figura 1.13 Frecuencia de corte Figura 1.14 Sistema estable e inestable Figura 1.15 Sistema de control de lazo cerrado CAPITULO 2 Figura 2.1 Diagrama del sistema de control y generación de potencia Figura 2.2 Circuitos equivalentes de un generador sincrónico Figura 2.3 Representación de un generador sincrónico en estudios de estabilidad. 42 Figura 2.4 Diagrama de bloques de un generador barra infinita Figura 2.5 Sistema de regulación de velocidad de un generador aislado Figura 2.6 Esquema de un regulador isócrono Figura 2.7 Respuesta de un generador con un regulador isócrono Figura 2.8 Regulador de velocidad con caída de velocidad Figura 2.9 Diagrama de bloques con caída de velocidad Figura 2.10 Diagrama de bloques reducido... 50

11 X Figura 2.11 Características ideales de estado estable de un gobernador con caída de velocidad Figura 2.12 Regulador de velocidad con estatismo permanente Figura 2.13 Esquema de un regulador mecánico hidráulico para una hidroturbina.. 52 Figura 2.14 Regulador de velocidad para una turbina hidroeléctrica Figura 2.15 Regulador de velocidad con PID Figura 2.16 Regulador de velocidad con doble derivativo Figura 2.17 Esquema de una planta hidroeléctrica Figura 2.18 Respuesta de la turbina a la apertura de compuerta de los inyectores. 63 Figura 2.19 Red de prueba Figura 2.20 Representación del modelo compuesto Figura 2.21 Selección del modelo compuesto Figura 2.23 Selección de los slots Figura 2.24 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de Figura 2.25 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de Figura 2.26 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de Figura 2.27 Modelo compuesto de la planta Figura 2.28 Diagrama de función de transferencia del regulador de velocidad IEEEG CAPITULO 3 Figura 3.1 Planta general de una de las unidades de la fase AB de Paute Figura 3.2 Respuesta de un sistema de control frente a una entrada paso Figura 3.3 Eventos de simulación Figura 3.4 Cuadro de dialogo del Parámetro de ajuste Figura 3.5 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp) Figura 3.6 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp... 92

12 XI Figura 3.7 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia activa Figura 3.8 Lugar geométrico de generación con excitación constante Figura 3.9 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia reactiva Figura 3.10 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad Figura 3.11 Modos de participación del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad Figura 3.12 Sistema de 9 barras del IEEE Figura 3.13 Potencia de la turbina y frecuencia en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad Figura 3.14 Potencia activa y reactiva en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad Figura 3.15 Voltaje L-N y ángulo interno en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad Figura 3.16 Potencia activa y reactiva en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad Figura 3.17 Voltaje Línea - Neutro en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad Figura 3.18 Valores propios del sistema generador barra infinita sin regulador de velocidad Figura 3.19 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE sin elementos de control Figura 3.20 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad Figura 3.21 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE con regulador de velocidad Figura 3.22 Modelo generador barra infinita con regulador de velocidad implementado en Matlab Figura 3.23 Respuesta al paso de la función de transferencia Figura 3.24 Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia Figura 3.25 Diagrama de Bode Figura 3.26 Diagrama de Nyquist

13 XII Anexos Fig. A.1: Diagrama unifilar de la central Hidroeléctrica Paute Fig. A.2: Diagrama fasorial del voltaje interno de un generador de polos salientes. 135

14 XIII CAPITULO 1 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1.1: Métodos de analisis de estabilidad CAPITULO 2 Tabla 2.1: Características eléctricas de una unidad de generación de Paute AB Tabla 2.2: Características mecánicas de una unidad de generación de Paute AB Tabla 2.3: Características físicas de la tubería de la central Paute AB Tabla 2.4: Características de los transformadores de Paute AB Tabla 2.5: Datos de generación y carga con fp. 0.9 en atraso Tabla 2.6: Efectos de la variación del tiempo de reajuste en el regulador de velocidad de un sistema aislado Tabla 2.7: Efectos de la variación del estatismo transitorio en el regulador de velocidad de un sistema aislado Tabla 2.8: Efectos de la variación ganancia del servomotor en el regulador de velocidad de un sistema aislado Tabla 2.9: Variables de Entrada del generador sincrónico Tabla 2.10: Variables de Salida del generador sincrónico Tabla 2.11: Variables de Entrada y Salida del Regulador de Velocidad pcu_ieeeg Tabla Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_ieeeg3 para el sistema aislado CAPITULO 3 Tabla 3.1: Modos del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad. 97 Tabla 3.2: Datos de los generadores del sistema de 9 barras Tabla 3.3: Datos de las Cargas Tabla 3.4: Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_ieeeg3 para el sistema multimáquina

15 XIV Tabla 3.5: Modos del sistema de 9 barras del IEEE sin regulador de velocidad Tabla 3.6: Modos del sistema de 9 barras del IEEE con regulador de velocidad Tabla 3.7: Parámetros del modelo generador barra infinita con regulador de velocidad Tabla 3.8: Índices de desempeño de la figura Tabla 3.9: Índices de desempeño de la figura Tabla 3.10: Rango de frecuencias permitidas Tabla 3.11: Indicadores de desempeño de las pruebas internas del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita Tabla 3.12: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa con regulador de velocidad Tabla 3.13: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa sin regulador de velocidad Tabla 3.14: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad Tabla 3.15: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva sin regulador de velocidad Tabla 3.16: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad Tabla 3.17: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad 126

16 XV RESUMEN El estudio de estabilidad es una de las ramas más importantes y complejas de la ingeniería eléctrica, por esta razón el presente trabajo se enfoca en el análisis de pequeña señal de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas y como influencian al mejoramiento de la estabilidad en un sistema eléctrico de potencia. La función de regulación de energía de un sistema eléctrico es mantener la frecuencia del sistema estable ante variaciones de carga o pérdida de generación. Se establece una metodología para la sintonización de los reguladores de velocidad para centrales hidroeléctricas, ya sea para funcionamiento en modo aislado o en modo de operación integrada a un sistema de potencia. Una de las principales aplicaciones es ayudar a controlar las oscilaciones de baja frecuencia producidas entre áreas de un sistema interconectado. Se efectúan pruebas para la verificación y validación de la calibración de los reguladores de velocidad, cuyos resultados se analizan en base a los índices de desempeño para análisis de estabilidad de pequeña señal en reguladores de velocidad establecidos por el IEEE.

17 XVI PRESENTACIÓN El análisis de estabilidad de pequeña señal de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidroeléctricas se ha organizado bajo la siguiente estructura: Capítulo 1 INTRODUCCIÓN Se realiza un resumen de la estabilidad de sistemas eléctricos de potencia, enfocado a describir los conceptos fundamentales de estabilidad de los sistemas dinámicos, su clasificación y su origen, especialmente en la estabilidad de pequeña señal; así como, las principales herramientas para el análisis de estabilidad en pequeña señal utilizando técnicas de linealización, la matriz de estado y sus modos de oscilación. Capítulo 2. MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA Este capítulo contiene la formulación en variables de estado del generador representado por el modelo clásico del sistema regulador de velocidad y turbina hidráulica para centrales hidroeléctricas. Se realiza también la modelación del regulador de velocidad y de la turbina hidráulica para la sintonización del sistema regulador de velocidad IEEEG3 utilizando la técnica de estimación de parámetros y el análisis modal del sistema. Capítulo 3. APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA En este capítulo se desarrolla las pruebas para la verificación y validación de funcionamiento del regulador de velocidad en un sistema aislado tomando como aplicación a un sistema generador de la Fase AB de la central Paute Molino Barra

18 XVII Infinita; y, en un sistema multimáquina tomando como aplicación al Sistema de Nueve Barras del IEEE. Capítulo 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas a lo largo del desarrollo del proyecto de titulación.

19 XVIII OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS Realizar un análisis de estabilidad de pequeña señal en el dominio del tiempo y la frecuencia de sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas de plantas de generación eléctrica. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Presentar los fundamentos de estabilidad de pequeña señal. Describir los métodos para análisis de estabilidad de sistemas regulación en el dominio del tiempo y la frecuencia. Presentar un análisis de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas para plantas de generación eléctrica de gran potencia. Aplicar los métodos de análisis de estabilidad en el dominio del tiempo y de la frecuencia a la planta compuesta por turbina hidráulica, regulador de velocidad y generador sincrónico. Analizar la respuesta en el dominio del tiempo y la frecuencia con referencia a índices establecidos por la normativa del IEEE. Utilizar el programa computacional DIgSILENT Power Factory para analizar la estabilidad de pequeña señal en una unidad de generación hidroeléctrica de la fase AB de la central Paute-Molino con turbina hidráulica y sistema de regulación de velocidad.

20 XIX ALCANCE Se implementará un regulador de velocidad para el control de una turbina hidráulica de una unidad de la fase AB de generación eléctrica Paute-Molino conectada a través de un transformador de elevación a una carga eléctrica constante e independiente del voltaje y la frecuencia. Los datos serán tomados de la referencia 3 de los temas afines. Los parámetros y constantes del regulador de velocidad serán determinados a partir de los datos del generador, momentos de inercia de las partes móviles, dimensiones del rodete y tubería de presión, altura neta y tiempos de actuación de servomotores y válvulas. La modelación de la turbina hidráulica estará basada en la constante de tiempo del agua. El sistema de regulación de velocidad ajustado será probado en el sistema de 9 barras del IEEE. Mediante el diagrama de polos y ceros así como la respuesta en el dominio del tiempo, se presentarán las características dinámicas de la planta.

21 XX JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO El efecto de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas en generadores sincrónicos y la disponibilidad de herramientas computacionales para análisis de estado dinámico posibilitan el estudio de índices de estabilidad de sistemas de sistemas dinámicos incorporados a generadores sincrónicos de centrales hidroeléctricas de gran potencia. El programa computacional DIgSILENT Power Factory dispone de módulos de estabilidad de pequeña señal que permiten obtener la respuesta del sistema de regulación de velocidad, turbina hidráulica y del generador en conjunto tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Las respuestas en estos dos dominios deben ser contrastadas con indicadores establecidos por la normativa del IEEE. El desarrollo de sistemas digitales de control de velocidad reproduce la funcionalidad de los sistemas analógicos cuyos modelos están siendo incorporados a la lista estandarizada del IEEE, y que deben ser analizados con las herramientas computacionales disponibles en la actualidad

22 1. INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I 1.1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA [1], [2], [3] El estudio de estabilidad de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) sin duda es el campo más fascinante y complejo de la ingeniería eléctrica, ya que comprende desde el diseño del sistema, diseño de sus protecciones y los respectivos elementos de control. Mantener en sincronismo el sistema ante los distintos eventos que pueden presentarse en su operación (variación de carga, pérdida de una línea de transmisión, salida de un generador, entre otros) es el problema a resolverse en un SEP en vista de que a medida que evoluciona, su control se hace cada vez más complejo, obligando a que los generadores trabajen cerca de los limites de estabilidad. Debido a que un sistema opera bajo un esquema de crecimiento de la demanda, obliga a que la capacidad de un SEP, de mantenerse estable, se mantenga en continua investigación, por esta razón ingenieros y matemáticos han desarrollado distintas teorías sobre estabilidad y distintos medios para simular un SEP y prevenir un resultado fatal frente a perturbaciones de magnitud. Definición de estabilidad de un sistema eléctrico de potencia Un sistema eléctrico de potencia está en estado estable cuando los parámetros de sus principales variables eléctricas también lo están o se encuentran dentro de los límites aceptables de operación. También se puede decir que un SEP está en estado estable, si cuando sufre una perturbación desde un estado operativo aceptable es capaz retornar a su estado inicial en un tiempo prudencial. Un SEP puede llegar a ser inestable de diferentes formas dependiendo de la configuración y del modo de operación que tenga el sistema. Tradicionalmente el problema de estabilidad ha estado en mantener el sincronismo. Este aspecto de la

23 2 estabilidad viene dado por el dinamismo que tiene el ángulo del rotor y por la relación ángulo-carga. La inestabilidad también puede ser alcanzada sin perder el sincronismo, por ejemplo un sistema generador conectado a un motor de inducción a través de una línea de transmisión puede llegar a ser inestable debido a un colapso de voltaje. En los estudios de estabilidad se analiza el comportamiento de un sistema eléctrico de potencia frente a transitorios de larga duración como el caso de un cambio de la carga eléctrica, donde el sistema debe de adaptarse a la nueva condición de equilibrio. Además debe ser capaz de soportar perturbaciones de naturaleza severa como un cortocircuito, pérdida de carga eléctrica de grandes magnitudes o salidas de unidades de generación. Los estudios de estabilidad de un sistema eléctrico más comunes, son: -Estabilidad de ángulo -Estabilidad de voltaje -Estabilidad de frecuencia En la figura 1.1 se indica la clasificación de los estudios de estabilidad más comunes de un sistema eléctrico de potencia.

24 3 Estabilidad de un Sistema de Potencia Habilidad de mantenerse en un punto de operacion Equilibrio entre fuerzas opuestas Estabilidad de ángulo Estabilidad de frecuencia Estabilidad de voltaje Habilidad de mantener el sincronismo Balance del torque en los generadores Estabilidad Transitoria -Grandes Perturbaciones Períodos superiores a los 10s Estabilidad de pequeña señal Corto Plazo -Severos cambios -Grandes Voltajes, -Dinamismos del sistema rápidos y lentos -Tiempo de estudio de algunos min. Estabilidad de frecuencia (Gran Señal) Largo Plazo -Frecuencia del sistema uniforme. -Dinamismo del sistema lento -Tiempo de estudio de varios min. Habilidad de mantener el voltaje en un rango aceptable Balance de potencia reactiva Estabilidad de Voltaje ante grandes perturbaciones (Gran Señal) --Grandes Perturbaciones -Eventos de swicheo -Dinamismo de los ULTC -Coordinación de Protecciones Estabilidad de Voltaje ante pequeñas perturbaciones (Pequeña Señal) Inestabilidad No oscilatoria -Insuficiente torque sincronizante Inestabilidad oscilatoria -Insuficiente torque de amortiguamiento -Inestable acción del control -Estabilidad marginal, reserva de Q -Relación P/Q V Modos entre áreas Modos locales Modos entre máquinas Modos de control Modos de torsión Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad El presente proyecto tiene como objetivo el análisis de estabilidad de pequeña señal que ocurre dentro del estudio de estabilidad del ángulo del rotor ESTABILIDAD DE ÁNGULO En este tipo de estudio se analiza el comportamiento del ángulo del rotor de una determinada máquina con respecto a una máquina de referencia luego de ocurrida una perturbación. Este ángulo es una función del balance entre la potencia mecánica y la potencia eléctrica que existe en cada generador del sistema. Para determinar la relación entre el ángulo interno del generador y la potencia suministrada se requiere establecer un modelo que permita visualizar los parámetros de los elementos que

25 4 intervienen. El modelo más simple contiene generador, línea de transmisión y motor sincrónico, como se indica en la figura 1.2. G M xg xl xm Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia La ecuación (1.1) relaciona la transferencia de potencia activa desde el generador al motor y el ángulo entre los rotores de las respectivas máquinas sincrónicas. Donde: (1.1) : son los voltajes internos del generador y motor respectivamente : la sumatoria de las reactancias del sistema. : la diferencia entre los ángulos internos del motor y generador Como se puede observar la ecuación (1.1) es altamente no lineal, por lo que una variación en la potencia eléctrica se transforma llevando a la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes dinámicas de cuerpos rotativos. Si un generador tiene una velocidad angular alta, la diferencia angular de su rotor frente a una máquina con velocidad angular más lenta, aumenta, y es lo que puede llevar a perder el sincronismo. En la figura 1.3 se indica el comportamiento del ángulo del rotor ante una variación de carga. Como se puede observar la variación de potencia eléctrica produce oscilaciones alrededor del punto de operación, cuyo amortiguamiento depende de las características del sistema y de los elementos de control de la máquina sincrónica.

26 5 Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador La pérdida de estabilidad se puede ver reflejada en un incremento en las oscilaciones de ángulo de las máquinas con respecto a una tomada como referencia. Estas oscilaciones se las conoce como oscilaciones electromecánicas debido a que afectan tanto a variables mecánicas en los ejes de las máquinas (velocidad, torque, ángulo) así como variables eléctricas (potencia activa y reactiva, ángulos eléctricos, frecuencia). Para concebir la naturaleza de los problemas de estabilidad angular se la clasifica en dos categorías: -Estabilidad de pequeña señal -Estabilidad transitoria Estabilidad de pequeña señal [1], [2] Este tipo de estabilidad está dada por el sistema cuando es capaz de mantener el sincronismo bajo pequeñas perturbaciones que generalmente se presentan en las condiciones de operación relacionadas con variaciones de carga y de generación.

27 6 En este estudio solamente se consideran aquellas perturbaciones que puedan ser linealizadas a la vez que puedan ser aproximadas al comportamiento real del sistema. Para analizar la estabilidad de pequeña señal se considera que existe un único generador que provee de energía a un sistema eléctrico. Para el análisis se necesitan las ecuaciones eléctricas de la máquina y la ecuación relacionada a su comportamiento mecánico, dada por la formulación de Newton aplicada a un cuerpo giratorio (1.2): (1.2) Donde: = Constante proporcional a la inercia de la máquina = Ángulo interno del generador = Coeficiente de torque de amortiguamiento = Potencia mecánica = Potencia eléctrica = Velocidad del generador La inestabilidad de pequeña señal puede ser producida de dos formas -Incremento de las oscilaciones del rotor debido a falta de torque de amortiguamiento -Incremento del ángulo del rotor debido a falta de torque sincronizante El torque de amortiguamiento determina la rapidez con la que disminuye la amplitud de las oscilaciones, el mismo que está determinado por componentes mecánicas: pérdidas por fricción del viento y fricciones viscosas; y, componentes eléctricas: devanados de amortiguamiento, cargas dinámicas, entre otras. Normalmente el

28 7 torque de amortiguamiento es pequeño y positivo, no obstante puede hacerse negativo por la presencia de los reguladores de voltaje, provocando que la amplitud de las oscilaciones crezca, tal como se indica en la figura 1.4. Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con regulador de voltaje de campo En cambio el torque sincronizante es encargado de mantener unidos eléctricamente a los generadores dentro de un SEP. En la estabilidad de pequeña señal, el torque sincronizante está relacionado con la frecuencia de las oscilaciones de potencia, matemáticamente es la pendiente en el punto de operación de la curva - potencia ángulo. Si el torque sincronizante es pequeño o negativo produce una inestabilidad no oscilatoria es decir el ángulo del rotor se incrementa como lo indica la figura 1.5, considerando el voltaje de campo constante.

29 8 Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante La estabilidad de pequeña señal puede ser local o global dependiendo del lugar donde comenzó a existir la falta de torque sincronizante. a) Modos entre áreas: estas oscilaciones ocurren cuando un grupo de generadores de un área del sistema presenta una oscilación en oposición a otro grupo de generadores en otra área, los cuales están unidos a través de una línea de transmisión que constituye un enlace débil. Puede ser una interconexión de dos países o regiones. Estas oscilaciones se encuentran en el orden de 0,2 a 0,7 Hz. b) Modos locales: una oscilación de este tipo ocurre cuando una central o parte del sistema oscila contra otras máquinas de una misma área. Estas oscilaciones se encuentran entre 0,8 y 1,8 Hz. c) Modos entre máquinas: estas oscilaciones ocurren en una central eléctrica y los generadores que en esta existen comienzan a oscilar unos con otros, sin que el resto del sistema se vea afectado. Estas oscilaciones se encuentran entre el orden de 1,5 a 3 Hz y dependen de las características de la central.

30 9 d) Modos de control: este tipo de oscilaciones son generadas por los propios sistemas de control de cada generador. Su frecuencia de oscilación es mayor a 4 Hz. e) Modos de torsión: estas oscilaciones son producidas por los elementos compensadores de la red o los elementos de control de red con los modos naturales mecánicos de las turbinas. Su frecuencia de oscilación está entre los 10 y 46 Hz Estabilidad Transitoria En estabilidad transitoria las perturbaciones son más severas y se presentan en condiciones de falla, como por ejemplo: pérdida de carga o generación, y depende del estado inicial de operación del sistema. Este estudio se realiza mediante métodos de simulación con tiempos de estudio superiores a los 10 s ESTABILIDAD DE VOLTAJE En estudios de estabilidad de voltaje, las variables a ser consideradas son los voltajes en cada una de las barras del sistema luego de una perturbación, la cual puede ser local o en el sistema. Si es local el sistema no sentirá el impacto de inestabilidad, sin embargo si la inestabilidad afecta al área, ésta deberá ser desconectada del resto del sistema como una acción preventiva. El voltaje muchas veces se ve afectado por varios factores como el aumento paulatino de la carga, eventos de swicheo, entre otros, donde la carga juega un papel importante dentro de este tipo de estabilidad ESTABILIDAD DE FRECUENCIA En este estudio se analiza la capacidad de un sistema eléctrico de mantener la frecuencia dentro de un rango aceptable de operación luego de una perturbación que ocurre por el desequilibrio generación carga. Cuando las perturbaciones son de

31 10 gran envergadura pueden provocar la salida de las unidades de generación o de la carga con el fin de mantener la estabilidad en todo el sistema. La estabilidad de frecuencia puede ser de corto plazo o de largo plazo, dependindo del tipo de control que se aplique para una determinada perturbación que ocurra en el sistema CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DINÁMICOS [1], [3] Como se mencionó la estabilidad de un sistema es la capacidad que tiene para retornar de un punto inestable por así llamarlo a un punto estable, el cual se lo considera como referencia del sistema. Dependiendo de la ubicación del estado x y su trayectoria hacia el estado inicial indicara el tipo de estabilidad que se estaría considerando, de acuerdo a esto se dan las siguientes definiciones: 1) Un estado de equilibrio es estable si hay un con las siguientes propiedades: Para todo,, hay un, tal que si, de modo que para todo 2) Un estado de equilibrio es asintóticamente estable si éste es estable y hay un, tal que además como 3) Un estado de equilibrio es globalmente asintóticamente estable si es estable y con un estado arbitrario inicial como La primera definición dice: que el estado de equilibrio es estable si la trayectoria total de es muy cercana al estado de equilibrio con algún pequeño, si el estado inicial es definido lo bastante cerca del estado de equilibrio. Para un estado asintóticamente estable, cuando converge al estado de equilibrio cuando, es decir si todos los polos de la función de transferencia están a la izquierda del plano s. Un estado de equilibrio es globalmente asintóticamente estable cuando converge al punto del estado inicial.

32 11 Estos conceptos de estabilidad son llamados internos ya que representan las propiedades del estado de un sistema. En la literatura de ingeniería eléctrica algunas veces la estabilidad la definimos como estabilidad marginal y la estabilidad asintóticamente estable como estabilidad. En la figura 1.6 se encuentran expuestas las definiciones mencionadas. Inestable ε 0 ε 1 ε Estable Asintóticamente 0 Estable Globalmente asistoticamente estable Figura 1.6 Conceptos de estabilidad ECUACIÓN DE ESTADO Las ecuaciones que definen el comportamiento de un sistema eléctrico de potencia son ecuaciones diferenciales que requieren de una metodología para efectuar un análisis más real de los sistemas. De la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias se conoce que los coeficientes tienen repercusión en la solución de un sistema de ecuaciones y es por esta razón que una modelación así no podría ser considerada como exacta. El modelado de sistemas mediante variables de estado es una metodología muy común, caracterizada por definir al sistema mediante entradas y cuyas salidas estén dadas en función de las entradas, como se muestra en la figura 1.7.

33 12 U(t) Z(t) Cambios en la entrada Señal de entrada α Sistema Cambios en los parámetros Y(t) Señal de salida Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado Para el análisis de un sistema utilizando esta metodología, las condiciones de entrada se suponen constantes y la dinámica del sistema es representada mediante un modelo de variables de estado. El proceso dinámico puede ser alterado por cambios en sus parámetros. A un sistema dinámico se lo puede representar por una serie de ecuaciones diferenciales de orden n, en la cual el tiempo es una variable independiente del mismo. El sistema de ecuaciones diferenciales puede ser representado en forma matricial de primer orden, con el número de ecuaciones igual al de las variables de estado del sistema, utilizando diagramas de bloques mediante el uso de funciones de transferencia. Considere un sistema representado por los vectores de la ecuación diferencial de la forma general (1.3): (1.3) Donde x es un n-vector que describe el estado del sistema y u es la entrada, también representada en forma vectorial. Estas son las señales externas que influyen en el comportamiento del sistema. La variable del tiempo es denotada con la letra t y la derivada de la variable de estado n con respecto al tiempo por, si las derivadas de las variables de estado no son independientes del tiempo la ecuación puede ser expresada de la forma dada en la ecuación (1.4):

34 13 (1.4) Las variables de salida pueden ser observadas y analizadas de la misma forma: (1.5) Donde el vector y es el vector de salidas, y g es el vector de las funciones no lineales relacionadas a las funciones de estado y a la variables de salida, ecuación (1.5) LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO-LINEAL Un sistema es no lineal cuando a partir de un cambio en la excitación se obtiene una respuesta variable a la salida del sistema. y y0 df dx x0 x0 x Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal Un sistema no-lineal puede ser linealizado cerca al punto de operación, donde los cambios de pequeña magnitud que se generan alrededor de dicho punto son pequeños. (1.6) (1.7) Dichas variaciones alrededor del punto deben cumplir con las ecuaciones (1.4) y (1.5) respectivamente. (1.8) (1.9)

35 14 Si las variaciones son pequeñas, se las puede expresar en términos de la expansión en series de Taylor, despreciando los términos de orden superior, para obtener la linealización del sistema como: (1.10) (1.11) Expresada de una manera simplificada las ecuaciones (1.10) y (1.11) respectivamente, se tiene: (1.12) (1.13) Dónde: = Variación del vector de estado = Variación del vector de entrada = Variación del vector de salida A = Matriz de estado B = Matriz de entrada C = Matriz de salida D = Matriz de transmisión directa Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (1.12) y (1.13) se obtienen las ecuaciones de estado en el dominio de la frecuencia (1.14) y (1.15): (1.14) (1.15)

36 15 En la figura 1.9 se representa el diagrama de bloques de la matriz de estado, donde se indica la función de transferencia del sistema. Las condiciones iniciales son asumidas como cero. Una solución de las ecuaciones de estado puede ser obtenida resolviendo y evaluando. D u B +. x Σ + 1 s I x C + + Σ y A Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado. Rescribiendo la ecuación (1.14) Por lo tanto Y para la salida (1.16) (1.17) Aplicando la transformada de Laplace a y se obtienen dos componentes, una que depende de las condiciones iniciales y la otra de las entradas. Estos son las

37 16 transformadas de Laplace de las componentes de estado libre, estado cero y los vectores de salida. 1.3 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE LA MATRIZ DE ESTADO VALORES PROPIOS En los estudios de estabilidad de sistemas dinámicos surge el problema de encontrar, los vectores escalares y los vectores derechos para una solución no trivial ( ) tales que cumplan la ecuación (1.18). (1.18) Para saber si la ecuación (1.18) tiene solución, se la puede plantear de la forma (1.19): (1.19) Si la ecuación se transforma en una ecuación homogénea, la cual tiene solución única, esto ocurre cuando el ; este caso no interesa. El valor se dice Valor Propio de la matriz si cumple la ecuación (1.20). (1.20) A la ecuación (1.20) se la conoce como la ecuación característica de la matriz. Las n soluciones de son los valores propios de, cuyas propiedades son: El número de valores propios es igual al número de estados del sistema. Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un sistema y caracterizan su respuesta temporal frente a una pequeña perturbación. Para un sistema estable todos los valores propios tiene parte real y parte imaginaria.

38 17 Los valores propios son la parte exponencial de la solución de la ecuación diferencial que describe el sistema, por lo que se puede decir que estos determinan su estabilidad, por esta razón su importancia. En la figura 1.10 se representan las distintas respuestas asociadas a los valores propios que se pueden obtener de un sistema. Como se puede observar los valores propios pueden ser reales o imaginarios, cuando son imaginarios presentan dos partes conjugadas, los valores propios del semiplano izquierdo son respuestas consideradas estables, mientras que los valores propios del semiplano derecho indican que el sistema es inestable. Figura 1.10 Respuesta a los distintos valores propios que puede tener un sistema Valores propios reales Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio, este puede ser positivo o negativo: Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo. Un valor propio positivo representa una inestabilidad aperiódica Valores propios complejos Un valor propio complejo aparece siempre en pares conjugados y cada par corresponde a un modo de oscilación donde:

39 18 La parte real será una medida del amortiguamiento del modo: 1. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada 2. Una parte real positiva representa una oscilación que incrementa en amplitud La parte imaginaria da una medida de la velocidad angular de oscilación que el modo presenta Dado el valor propio: (1.21) Se tiene que: = Frecuencia natural de oscilación = Porcentaje de disminución de la amplitud de la oscilación del modo Para un modo de oscilación debidamente representado por un valor propio complejo, su frecuencia de oscilación y amortiguamiento están dadas por las ecuaciones (1.22) y (1.23): (1.22) (1.23) El amortiguamiento determina la velocidad de decaimiento de la amplitud de la oscilación VECTORES PROPIOS Vectores propios derechos Si es un valor propio de la matriz y si es el vector no nulo tal que entonces se dice vector propio derecho de correspondiente al valor propio. Los vectores propios tienen la forma:

40 Vectores propios izquierdos Por conveniencia se asume que los vectores propios son normalizados. De esta manera se obtiene: (1.24) Donde son los vectores propios izquierdos. 1.4 MATRICES MODALES El vector propio izquierdo o derecho correspondiente a un diferente valor propio son ortogonales en otras palabras si no es igual a se tendrá que: (1.25) El vector propio está determinado solo por un múltiplo de un escalar, ésta es una práctica común para normalizar estos vectores tanto que como se indica en la ecuación (1.26): (1.26) Para continuar con las propiedades de la matriz es conveniente introducir las matrices modales (1.27) y (1.28): (1.27) (1.28) La relación existente entre las ecuaciones (1.18) y (1.26) puede ser rescrita de la siguiente forma: (1.29) (1.30) Dónde: = Matriz diagonal que contiene los valores propios de la matriz A Despejando la matriz diagonal de la ecuación (1.29), se tiene: (1.31)

41 MOVIMIENTO LIBRE DE UN SISTEMA DINÁMICO El movimiento libre de un sistema dinámico está dado cuando la entrada del sistema es cero, de ahí que la ecuación solo depende de las condiciones iniciales, y la ecuación de estado se reduce a la expresión (1.32): (1.32) Como se puede analizar, el problema es: como el cambio de las derivadas de las variables de estado es linealmente dependiente de los cambios de las variables de estado, en otras palabras es ver como cada una de las variables de estado influyen directamente en el movimiento del sistema. Para eliminar el acoplamiento entre las variables de estado se introduce un nuevo vector que está relacionado con el vector de las variables de estado, por lo tanto la ecuación (1.31) queda de la forma de las ecuaciones (1.33) y (1.34): (1.33) (1.34) La nueva ecuación de estado puede ser escrita como: (1.35) Introduciendo la ecuación (1.35) en la ecuación (1.31) se obtiene un sistema de ecuaciones de primer orden desacoplado: (1.36) También puede ser expresada en términos de variables de estado y valores propios (1.37) La ecuación (1.35) es una ecuación diferencial de primer orden cuya solución es (1.38)

42 21 Donde es la condición inicial del el valor Retomando la ecuación (1.33), la respuesta en términos del vector de estado inicial es: De la ecuación 1.39: (1.39) (1.40) (1.41) Esto implica que: (1.42) Condiciones iniciales en t=0: (1.43) Utilizando el término que representa la magnitud de la excitación del i- ésimo modo resultado de las condiciones iniciales, la ecuación (1.40) puede ser escrita de la forma (1.44): (1.44) En otras palabras el tiempo de respuesta de la i-ésima variable de estado está dado por la expresión (1.45): (1.45)

43 MODOS, SENSITIVIDAD Y FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODOS La respuesta del sistema como ya se mencionó pude ser expresada en términos de los vectores de estado y del vector de transformación z, como se define en la ecuación (1.39), donde son las variables originales de la ecuación de estado, designadas para representar al sistema dinámico. Las variables, son la transformación de las variables de estado tal que cada variable está asociada con un único modo, en otras palabras cada variable esta directamente relacionada con un modo. (1.46) (1.47) La ecuación (1.46) contiene los vectores propios derechos que dan los modos de operación, y relaciona la actividad de las variables de estado cuando un modo particular es excitado. Por ejemplo, el punto de actividad de la variable de estado en el i-ésimo modo es dado por el elemento del vector propio derecho. Las magnitudes de los elementos de proporcionan el grado de actividad de la variable de estado n en el i-ésimo modo y el ángulo de los elementos dan los desplazamientos de fase de las variables de estado con respecto al modo. Los vectores propios izquierdos identifican que combinación de las variables de estado originales muestran solamente el i-ésimo modo. De tal modo que el k-ésimo elemento del vector propio derecho mide la actividad de la variable en el i- ésimo modo, y el k-ésimo elemento del vector propio izquierdo pondera la contribución de esta actividad al i-ésimo modo.

44 SENSITIVIDAD Se analiza la sensitividad de los valores propios de la matriz de estado, para ello se parte de la ecuación (1.18) que contiene los valores y vectores propios de una matriz de estado. Para el análisis de sensitividad de la ecuación de estado se deriva con respecto al elemento de la matriz : (1.48) Multiplicado por y tomando en cuenta que y se puede simplificar la ecuación (1.48) a: Todos los elementos de la derivada son cero excepto para el elemento en la k-ésima fila y j ésima columna que es igual a 1, por lo tanto se tiene: (1.49) De esta manera la sensitividad del valor propio al elemento de la matriz de estado es igual al producto del elemento del vector propio izquierdo y el elemento del vector propio derecho FACTOR DE PARTICIPACIÓN Uno de los problemas en usar los vectores propios izquierdo y derecho individualmente para identificar la relación entre los estados y los modos, es que los

45 24 elementos de los vectores propios son dependientes de las unidades y el escalamiento asociados a las variables de estado. Como una solución a este problema, se propone la matriz de participación P que combina los vectores propios derecho e izquierdo, según se muestra en la ecuación (1.50), como una medida de la relación entre las variables de estado y los modos. o 1.7 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD (1.50) Como se analiza en la sección 1.2.2, existe una relación entre la entrada y el estado, y el estado y la salida. En general estas medidas indican como el i-ésimo modo es excitado por las entradas y observado en las salidas del mismo. Se analiza los criterios para determinar la controlabilidad y la observabilidad de los sistemas dinámicos, así como las medidas de controlabilidad y observabilidad de los modos de oscilación. La controlabilidad y la observabilidad están enfocadas a analizar los modos de oscilación de un sistema dinámico con el objetivo de determinar la ubicación de los controladores y las señales para el diseño eficiente de los lazos de control. Se dice que un sistema es controlable en el tiempo si se puede llevar de cualquier estado inicial a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, es un intervalo de tiempo finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo si, con el sistema en el estado es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

46 CONTROLABILIDAD Considere la ecuación de entrada del sistema (1.51): (1.51) Se dice que el sistema es controlable si es posible construir una señal de control sin restricciones tal que transfiera cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema de estado es completamente controlable. Para desarrollar la condición de controlabilidad completa de un estado se parte de que el estado inicial es el origen del espacio de estado y que el tiempo inicial es cero. La solución de la ecuación 1.51 es (1.52) Aplicando la condición de estado recién establecida se obtiene: o bien (1.53) Donde: (1.54) Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.53) se obtiene: (1.55)

47 26 Definiendo (1.56) Así la ecuación (1.55) se convierte en (1.57) (1.58) Si el sistema es completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial, la ecuación (1.58) debe satisfacerse. Es decir el rango de la matriz n x n (1.59) sea n. Esta matriz se la conoce como matriz de controlabilidad. Otra forma de conocer la controlabilidad de un sistema es a partir de la transformación a variables z de la ecuación (1.12), utilizando los conceptos de vectores derecho donde la ecuación se tiene: (1.60) La ecuación de estado en la forma desacoplada puede ser escrita de la siguiente forma: (1.61) Dónde: (1.62) Donde se obtiene las siguientes conclusiones, si la i-ésima fila de la matriz es cero, no existe ningún efecto de las entradas en el i-enésimo modo. En tal caso, el i- ésimo modo se lo considera como incontrolable ya que depende exclusivamente de los vectores de estado.

48 OBSERVABILIDAD Se dice que un sistema es completamente observable si el estado se determina a partir de las observaciones de durante un intervalo de tiempo finito. Por lo tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se encuentra en el control mediante la realimentación del estado es que algunas de las variables de estado no son accesibles para la medición directa por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de control. Para analizar la observabilidad se considera el sistema sin excitación como el que se obtiene mediante las ecuaciones: (1.63) (1.64) El vector de salida es (1.65) Remitiéndose a la ecuación (1.54) se obtiene: (1.66) Si el sistema es completamente observable entonces debe cumplir que la matriz (1.67) sea de rango n. Esta matriz se la conoce como matriz de controlabilidad. Otra manera de determinar si un sistema es observable es partir del cambio a variable Z, de la ecuación (1.13), donde queda: (1.68) La ecuación de estado anterior en forma desacoplada puede ser escrita como en la ecuación (1.69):

49 28 Donde (1.69) (1.70) En la ecuación (1.69) la i-ésima columna de la matriz determina si la variable contribuye en la salida. Si la columna es cero se considera que el modo es inobservable MEDIDAS DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DE LOS MODOS DE OSCILACIÓN [6], [7] El objetivo de analizar la observabilidad y controlabilidad de los sistemas dinámicos es determinar la ubicación de los controladores y el diseño de los lazos de control. La información acerca de la controlabilidad y observabilidad de los modos de oscilación se obtienen en base a: la medida geométrica relacionada con la prueba de los vectores propios de Popov Belevich Hautus, por sus siglas PBH, y la otra es la medida basada en residuos. Ambas medidas son utilizadas en la selección de las señales tanto de entrada como de salida del sistema regulador que permitirán el amortiguamiento de las oscilaciones principalmente las interárea. Estas medidas de controlabilidad y observabilidad permiten la selección de las variables de entrada y salida que mayor impacto tienen en el modo en el cual se desea amortiguar con el uso de un controlador global como un PSS s Multibanda [6] Medida geométrica Considerando el sistema dinámico linealizado dado por las ecuaciones 1.12 y 1.13, con los valores propios de todos diferentes, y es el vector propio izquierdo correspondiente a, definido en , entonces el i-ésimo modo de no es controlable si y son ortogonales. La controlabilidad de un modo de oscilación de un sistema varía dependiendo del ángulo entre el vector propio izquierdo correspondiente y la matriz de entradas del sistema, por lo tanto, el coseno de este ángulo sirve como medida de controlabilidad.

50 29 Entonces, la Medida Geométrica de Controlabilidad para el i-ésimo modo en un sistema de múltiples entradas se define matemáticamente como: (1.71) Relacionando la dualidad entre la controlabilidad y la observabilidad en los sistemas lineales, se puede decir que el i-ésimo modo no es observable si y son ortogonales. La observabilidad de un modo de oscilación varía en relación al angulo entre el vector derecho correspondiente y la matriz de salidas del sistema y por lo tanto el coseno de este ángulo sirve como medida de la observabilidad del modo. Entonces, la Medida Geométrica de Observabilidad para el i-ésimo modo en un sistema de múltiples entradas se define como: (1.72) Donde: j- ésima columna de la matriz de entradas del sistema Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector k- ésima fila de la matriz de salidas del sistema Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector Valor absoluto y norma euclidiana El índice de observabilidad calculado en (1.72), interpreta geométricamente la observabilidad como el coseno del ángulo entre los vectores y. Si el coseno es cercano a cero indica que los vectores y son ortogonales, con lo que se tiene un pequeño aporte del modo en la salida, caso contrario si el coseno es cercano a uno la contribución del modo en la salida es alto. Otra forma de analizar la contribución que tiene un modo es con la Medida Geométrica Conjunta de Controlabilidad y Observabilidad; y, se la define como se muestra en la ecuación (1.73). Si esta medida es diferente de cero se puede tener el control del i-ésimo modo usando la entrada y la salida. Las entradas y salidas

51 30 para el diseño del lazo de control son aquellas en las que se obtiene el mayor rango de. Si ese valor se obtiene con y que corresponden a la misma componente del sistema, entonces el i-ésimo modo puede ser amortiguado usando un esquema de control local. Por lo contrario si las señales están asociadas a diferentes componentes del sistema, es necesario un esquema de control global. (1.72) Medida con base en Residuos Otra medida de controlabilidad y observabilidad modal es con base en residuos. Para ello se considera las ecuaciones (1.12) y (1.13) con sus respectivos valores propios, todos diferentes, cuya función de transferencia está dada por la ecuación (1.17). (1.73) (1.74) (1.75) Donde es el polinomio característico del sistema. La medida de controlabilidad en base a residuos se define de la siguiente forma: Donde: Norma de Frobenius (1.76) (1.77) (1.78) (1.79) Por lo anterior la Medida Conjunta de Observabilidad y Controlabilidad se define como: (1.80)

52 31 La controlabilidad y observabilidad del i-enésimo es casi nula cuando todos los elementos de tienen un cero cercano a. Las medidas de controlabilidad y observabilidad descritas en las ecuaciones (1.72) y (1.80) están relacionadas directamente con la Matriz de Residuos del sistema lineal. Considerando que puede ser expresada, según la Sección 1.4, y remplazando en la ecuación (1.74) se tiene las ecuaciones (1.81) a (1.83): Donde: (1.81) (1.82) (1.83) Con lo que las ecuaciones se pueden escribir: (1.84) Donde Donde es la matriz de residuos asociada al i-enésimo modo. Por lo que la Medida Conjunta de Observabilidad y Controlabilidad definida por la ecuación (1.80) puede ser expresada por la ecuación (1.85): (1.85) Donde: j- ésima columna de la matriz de entradas del sistema Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector

53 32 k- ésima fila de la matriz de salidas del sistema Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector Medida con base en Residuos de Controlabilidad Para el i-ésimo modo de la ecuación (1.76) se puede rescribir considerando un par de valores propios complejos conjugados y con sus correspondientes vectores propios izquierdos y en términos de las entradas del sistema, con lo que la ecuación (1.86) expresa la controlabilidad en base a residuos. (1.86) Medida con base en Residuos de Observabilidad Para el i-ésimo modo de la ecuación (1.76) se puede rescribir considerando un par de valores propios complejos conjugados, con sus correspondientes vectores propios derechos y en términos de las entradas del sistema, con lo que la ecuación de Observabilidad en base a residuos queda de la forma dada por la ecuación (1.87). (1.87) Donde * representa el conjugado transpuesto de la componente del vector propio. En este capítulo se ha referido a la representación y análisis de un sistema dinámico y algunas técnicas de análisis lineal que permiten el estudio de estabilidad de pequeña señal de un sistema dinámico. En la tabla 2.1 se presenta un resumen de los métodos de análisis y sus principales características.

54 33 Tabla 1.1: Métodos de análisis de estabilidad Método Características Ecuaciones Análisis Modal Factores de participación Se basa en el estudio de los valores propios y vectores propios del sistema, permitiendo el análisis del amortiguamiento y la frecuencia de amortiguamiento de los modos oscilatorios correspondientes a los valores propios del sistema. Se basa en los vectores propios, ya que permite relacionar las variables de estado con los modos de oscilación del sistema. Ecuaciones desde la 1.12 a la 1.45 Ecuación 1.50 Medida Geométrica de Controlabilidad Medida Geométrica de Observabilidad Medida con Base en Residuos de Controlabilidad Medida con Base en Residuos de Observabilidad Esta medida relaciona las entradas del sistema con los modos de oscilación mediante el coseno del ángulo conformado entre los vectores izquierdos y la matriz de entradas del sistema. Esta medida relaciona las salidas del sistema con los modos de oscilación mediante el coseno del ángulo conformado entre los vectores derechos y la matriz de entradas del sistema. Esta medida relaciona las entradas con los modos de oscilación del sistema mediante un valor directamente proporcional a la norma Frobenius del producto entre los valores propios izquierdos correspondientes y la matriz de entradas del sistema Esta medida relaciona las salidas con los modos de oscilación del sistema mediante un valor directamente proporcional a la norma Frobenius del producto entre los valores propios derechos correspondientes y la matriz de salidas del sistema Ecuación 1.71 Ecuación 1.72 Ecuación 1.76 Ecuación CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH HURWITZ [4],[8] Un sistema de control es estable si cumple con la condición que todos sus polos en lazo cerrado estén en el semiplano izquierdo del plano s. La ecuación (1.88) representa la función de transferencia de un sistema de control lineal donde el polinomio debe tener los términos ordenados en potencias decrecientes de s, Condición necesaria pero no suficiente para que el sistema sea estable. (1.88) Donde a y b son constantes y m n.

55 34 El criterio de Routh Hurwitz permite determinar el número de polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s sin necesidad de factorizar el polinomio. Arreglo de Routh Para aplicar este criterio se debe considerar al denominador como un polinomio ordenado como se indica en la ecuación (1.89). (1.89) Los coeficientes del polinomio deben ordenarse en filas y columnas, según el siguiente arreglo: (1.90) Donde Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, entonces existe al menos una raíz imaginaria o con parte real positiva. El criterio de Routh Hurwitz establece que el

56 35 número de raíces con parte real positiva, es igual al número de cambios de signo de la primera columna. Condición necesaria y suficiente de estabilidad de Routh establece que: Un sistema es estable si y solamente si todos los elementos de la primera columna del arreglo de Routh son positivos. 1.9 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE BODE [4],[8] Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos graficas distintas: Una que ofrece la magnitud vs la frecuencia y la otra que muestra el angulo de fase (en grados) vs la frecuencia. Ambas se grafican en escala logarítmica. La representación común de la magnitud logarítmica G(jω) es, en donde la base del logaritmo es 10. La unidad que utiliza está magnitud es el decibel (db). Ver la figura 11. Figura 1.11 Diagrama de Bode

57 36 Las definiciones para determinar la estabilidad mediante los diagramas de bode son: Valor máximo de Resonancia ( ): Determina una medida de las oscilaciones del sistema en lazo cerrado. Para un sistema de segundo orden, se tiene la ecuación (1.91): (1.91) para para Frecuencia de resonancia ( ): Es la frecuencia donde ocurre el máximo valor de resonancia. Este valor de frecuencia se obtiene para valores entre ; esta dado por la ecuación (1.92) (1.92) Ancho de Banda (BW): Está definido para un sistema a lazo cerrado como una medida de la posibilidad que tiene el sistema reproducir fielmente, una señal de entrada. Se puede medir como la frecuencia a la cual la magnitud de la respuesta frecuencial está 3 db por debajo de su valor a baja frecuencia. Figura 1.12 Ancho de banda Frecuencia de corte ( ): Es la frecuencia en la cual la magnitud de la respuesta en frecuencia está 3 db debajo del valor en la frecuencia = 0. Figura 1.13

58 37 Figura 1.13 Frecuencia de corte Margen de Fase: Es el retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de cruce que se requiere para llevar al sistema de fase mínima a la frontera de la inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la magnitud es 0 db. Margen de Ganancia: Es el recíproco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la fase. Esta frecuencia es donde el ángulo de fase = 180, entonces: Figura 1.14 Diagrama de Bode Sistema estable e inestable

59 38 Como se detalla en la Figura 1.10 un sistema es estable cuando el margen de fase y de ganancia es positivo. Un sistema es inestable cuando el margen de fase y de ganancia es negativo CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST [4],[8] El criterio de estabilidad de Nyquist de un sistema de control con realimentación simple como el de la figura 1.15, se obtiene analizando las raíces de la ecuación característica (1.93). Figura 1.15 Sistema de control de lazo cerrado (1.93) Para que el sistema sea estable, todos los ceros de deben de estar localizados en el semiplano izquierdo del plano s. Las raíces pueden estar en el semiplano derecho. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia lazo abierto con el número de ceros (Z) y polos (P) de la ecuación característica que se encuentra en el semiplano derecho del plano s. Donde ecuación característica está dada por la ecuación (1.94) (1.94)

60 39 Criterio de estabilidad de Nyquist Un sistema de control con realimentación simple es estable si y solamente si, en el contorno en el plano no rodea el punto (-1+j0), cuando el número de polos de en la parte derecha del plano s es cero (Sistema de fase mínima). Un sistema de control con realimentación simple es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1+j0) en el sentido anti horario es igual al número de polos con partes reales positivas.

61 40 CAPÍTULO 2 2 MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA El generador es el elemento más importante de un sistema eléctrico de potencia ya que es el encargado de proveer la potencia necesaria a la carga, por tal motivo requiere de un sistema de control, que asegure la generación de potencia eléctrica de la manera más eficiente y confiable, dentro de los límites de voltaje y frecuencia permitidos por los entes reguladores. En la figura 2.1 se detallan los elementos principales de control y generación de potencia, a este tipo de control se le conoce como control de potencia-frecuencia, en el cual intervienen algunos elementos como el control automático de generación (AGC) que es muy utilizado en determinados generadores del sistema eléctrico de potencia para mantener la frecuencia del sistema estable ante las variaciones de la demanda de potencia eléctrica. AGC Potencia de intercambio Frecuencia Sistema Eléctrico -Cargas -Sistema de transmisión -Otros generadores Sistema suministrador de energía Cambiador de velocidad Regulador de velocidad Válvulas ó compuertas Turbina Generador Velocidad Figura 2.1 Diagrama del sistema de control y generación de potencia Se hace un análisis del generador hidroeléctrico, turbina hidráulica y sistema regulador de velocidad, para la comprensión de cada uno de estos elementos y el papel que desempeñan dentro del estudio de estabilidad.

62 REPRESENTACIÓN DEL GENERADOR SINCRÓNICO EN VARIABLES DE ESTADO [4], [1] Un generador es un dispositivo que convierte la energía mecánica a energía eléctrica. Este proceso se lo conoce como conversión electromecánica, que involucra un campo magnético que actúa como intermediario en este proceso, ya que el principio de funcionamiento de un generador está basado en la ley de inducción electromagnética de Faraday. Un generador sincrónico está formado por dos partes importantes, el rotor y el estator. El rotor o campo es la parte móvil, cuya bobina se excita mediante la inyección de corriente continua para producir un campo eléctrico. Existen dos tipos de rotor: Generadores de rotor liso que generalmente se utilizan para centrales cuya velocidad es relativamente alta y Generadores de polos salientes para velocidades bajas. El estator es en donde se produce la inducción del campo eléctrico y por ende de la energía eléctrica. Está formado por un núcleo de láminas de hierro con ranuras en donde van alojados los devanados trifásicos distribuidos en forma sinusoidal. Los devanados del generador están distribuidos a lo largo del estator formando pares de polos y separados entre ellos, la relación que existe entre el número de polos y la velocidad de funcionamiento de un generador es la frecuencia a la que este estará generando cuya relación está dada por: (2.1) REPRESENTACIÓN DEL MODELO CLÁSICO DEL GENERADOR [1], [5] El modelo clásico de un generador de rotor cilíndrico consta de una fuente interna, una reactancia y una resistencia de armadura, para un generador de polos salientes este está formado por la resistencia armadura, una reactancia del eje directo y otra del eje de cuadratura y una fuente interna, como se indica en la figura 2.2.

63 42 xd Ra E δ Ie V 0 A) Modelo de rotor cilíndrico Vd Ra Iq jxqiq jef = jxdid 1 3 ωldfif Ra Id Vq B) Modelo de Polos salientes Figura 2.2 Circuitos equivalentes de un generador sincrónico. Para estudios de estabilidad con un tiempo de análisis pequeño, el circuito equivalente de un generador sincrónico queda reducido a una fuente interna constante, la potencia mecánica inyectada al generador también constante, una reactancia cuya aproximación para generadores de polos salientes es ignorar el efecto de los polos salientes por la aproximación de, con una resistencia de armadura despreciable, acoplado a una barra infinita con lo que el voltaje y la frecuencia son independientes de la potencia inyectada o extraída de la misma durante una perturbación. En la figura 2.3 se indica el modelo de un generador para estudios de estabilidad. E δ xd V 0 Figura 2.3 Representación de un generador sincrónico en estudios de estabilidad Donde: (2.2)

64 43 La potencia compleja está dada por: (2.3) Con la resistencia del estator despreciable la potencia en el entrehierro es igual a la potencia terminal en por unidad con lo que el torque en el entrehierro es igual a la potencia en el entrehierro. Por lo tanto: (2.4) Linealizando la ecuación anterior cerca a un punto de operación, se tiene: (2.5) Las ecuaciones de movimiento en por unidad están dadas por: (2.6) (2.7) Donde es la variación de la velocidad en por unidad, es el angulo del rotor en radianes eléctricos, es la velocidad eléctrica nominal del rotor en radianes por segundo. Linealizando la ecuación (2.6) y sustituyendo el término de la ecuación (2.5) se obtiene: (2.8) Donde es el coeficiente de torque sincronizante y viene dado por: (2.9)

65 44 Linealizando la ecuación (2.7) se tiene: (2.10) Escribiendo las ecuaciones (2.8) y (2.10) en forma matricial vectorial: (2.11) Esta ecuación es de la forma. Los elementos de la matriz de estado A dependen de los parámetros del sistema,, y de las condiciones de operación iniciales, representada por los valores y. Aplicando la transformada de Laplace para obtener la representación del generador conectado a una barra infinita en variables de estado se obtiene: (2.12) Reorganizando: (2.13) La ecuación característica está dada por: (2.14) Esta es la forma general de la ecuación característica. (2.15)

66 45 La figura 2.4 puede ser usada para describir la representación de un generador sincrónico para pequeña señal. Componente de torque sincronizante KS Tm + Σ Te H s ωr ω0 s δ Componente de torque amortiguador KD Figura 2.4 Diagrama de bloques de un generador barra infinita Donde: = Coeficiente de torque sincronizante en p.u = Coeficiente de torque de amortiguamiento en p.u = Constante de inercia en Mw*s/MVA = Variación de la velocidad en p.u = Variación del ángulo del rotor en rad. eléctricos = Operador de Laplace = Velocidad sincrónica en radianes eléctricos/s Por lo tanto, la frecuencia natural está dada por: (2.16) La variación de amortiguamiento es: (2.17)

67 46 De las ecuaciones (2.16) y (2.17) se observa que si el torque sincronizarte aumenta, la frecuencia natural también lo hace en cambio el coeficiente de amortiguamiento disminuye. Un incremento en el torque de amortiguamiento el amortiguamiento también lo hace, mientras que un incremento de la inercia, decrece la frecuencia natural y la variación de amortiguamiento. 2.2 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD EN VARIABLES DE ESTADO [1], [4] Los reguladores de velocidad o gobernadores juegan un papel importante dentro de los centros de control y regulación de energía de un sistema eléctrico y es el mantener la frecuencia del sistema estable. Para poder hacer esto posible se han desarrollado varios conceptos de teoría de control o sistemas de control. Cuando la carga de eléctrica suministrada un generador dentro de un sistema eléctrico de potencia aumenta o disminuye, por ende su potencia mecánica, el déficit o excedente de potencia es entregada por la energía cinética almacenada en su sistema rotativo. La reducción de energía cinética causa que la velocidad de la turbina y consecuentemente la frecuencia del generador disminuyan, este cambio es monitoreado por el sistema de regulación de velocidad, quien realiza acciones de control en los inyectores de las turbinas para de esta manera la velocidad y la frecuencia del generador retornen a la nominal. En la figura 2.5 se muestra el regulador de velocidad de un generador sincrónico aislado de la carga. Como se pude observar en este modelo no intervienen los parámetros eléctricos del sistema.

68 47 Vapor ó Agua Válvula Turbina Tm Pm Te G Pe Gobernor Velocidad Carga PL Donde: Figura 2.5 Sistema de regulación de velocidad de un generador aislado = Torque Mecánico = Potencia mecánica = Torque eléctrico = Potencia eléctrica = Carga eléctrica GOBERNADORES ISÓCRONOS Este tipo de gobernadores son los más sencillos que existen, debido a su funcionamiento, ya que ajustan las válvulas o compuertas de la turbina de tal manera que la velocidad o la frecuencia del generador sean las nominales, por esta razón se los conoce como gobernadores de velocidad constante, figura 2.6. El principio de funcionamiento es en base a una señal de error de la velocidad, comparando la velocidad medida y la de referencia, para luego esta ser amplificada e integrada para producir una señal de control que actúa sobre los inyectores o compuertas de la turbina, dicha señal cambiara cuando el error de velocidad sea cero, esto se debe a las características del control integral. Compuerta Agua / Vapor Turbina Pm G Pe Y ωr ωr Integrador -K Σ ω0

69 48 Donde Figura 2.6 Esquema de un regulador isócrono = Posición de la compuerta = Velocidad del rotor = Potencia mecánica Los cambios que se producen en la potencia de salida se ven reflejados en la velocidad de la máquina, cuando existe un incremento de la potencia eléctrica se da una disminución en la frecuencia, debido a la inercia del rotor del generador. Para que retorne a su velocidad nominal, la potencia mecánica debe comenzar a aumentar hasta conseguir que la velocidad sea la nominal. El valor de la potencia que se debe aumentar es igual a la carga eléctrica aumentada. Figura 2.7 Respuesta de un generador con un regulador isócrono Este tipo de generadores funcionan de una manera propicia cuando trabajan de manera aislada o cuando en un sistema multimáquina solo uno de los generadores es el encargado de responder a los cambios de carga, ya que si todos lo hicieran el sistema se volvería inestable, debido a que todos los generadores tratarían de compensar esa deficiencia de carga.

70 REGULADORES DE VELOCIDAD PARA TURBINAS HIDROELÉCTRICAS Las turbinas hidráulicas tienen una característica especial debido a la inercia del agua. Un cambio en la posición de la compuerta produce un cambio en la potencia inicial de la turbina opuesto al deseado, por ello que para poder tener un control de velocidad adecuado es necesario tener un lazo de retroalimentación de la velocidad en el control de apertura o cierre de la compuerta de la turbina Gobernadores con características de caída de velocidad Cuando existe un sistema multimáquina, los generadores isócronos no pueden ser utilizados ya que cuando exista una variación de carga en el sistema cada uno de ellos tratara de llevar a la frecuencia del sistema a su propia velocidad de referencia, produciéndose oscilaciones en el sistema. Por esta razón los reguladores de velocidad están diseñados para permitir una disminución de la acción de la compuerta cuando exista un incremento de la carga con el fin de darle tiempo al generador de alcanzar la potencia de salida requerida. La característica de decaimiento de la velocidad se obtiene adicionando un lazo de realimentación al integrador de la figura 2.5 como se muestra en la figura 2.8. Compuerta Agua / Vapor Turbina Pm G Pe Y - ωr Integrador K Σ Σ - R ωr ω0 Figura 2.8 Regulador de velocidad con caída de velocidad

71 50 El diagrama de bloques de la función de transferencia puede ser reducido tal como se indica en la siguiente figura, la cual es típica de un controlador proporcional con una ganancia 1/R. - ωr Σ - K 1 s Y R Figura 2.9 Diagrama de bloques con caída de velocidad. ωr - 1 R 1 1+sTG Y Figura 2.10 Diagrama de bloques reducido. Donde: El estatismo R está dado a razón de la variación de la velocidad o frecuencia para cambiar la posición de las compuertas o potencia de salida Típicamente, el valor del estatismo permanente para reguladores de turbinas hidroeléctricas se fija cerca del 5%, tal que para una variación del 5% de la velocidad cause un cambio del 100% en la posición de la compuerta distribuidora, figura 2.11.

72 51 El estatismo permanente asegura un comportamiento equitativo de la carga eléctrica entre las unidades conectadas al sistema. Frecuencia ó Velocidad ω en vacio ω0 = f0 f= ω ω a plena carga P R= f/ P f=f-f0 1.0 Potencia de salida ó posición de la válvula Figura 2.11 Características ideales de estado estable de un gobernador con caída de velocidad Requerimientos de un regulador con estatismo transitorio Para asegurar un comportamiento estable en el regulador de velocidad es necesario retardar la acción de la compuerta hasta que la potencia de salida se equilibre. Esto se consigue con un lazo de realimentación que disminuya la ganancia transitoria. Por lo tanto con ello se consigue un regulador con alto estatismo (baja ganancia) para desviaciones de alta velocidad y el estatismo bajo (alta ganancia) en estado estable, figura Velocidad de referencia + + Σ Σ - - ωr Σ + + Servomotor RP Y δ str 1+sTR

73 52 Figura 2.12 Regulador de velocidad con estatismo permanente. Donde Estatismo permanente Tiempo de reajuste Estatismo transitorio REGULADOR MECÁNICO HIDRÁULICO Los reguladores de velocidad antiguos utilizaban el sistema mecánico hidráulico para la regulación de velocidad. Como se observa en la figura 2.13, la detección de la velocidad, la realimentación del estatismo permanente y las funciones de cálculo son realizadas a través de componentes hidráulicas. Un amortiguador de aire se utiliza para realizar la función de estatismo transitorio. Un arreglo de bypass es utilizado para habilitar el amortiguador deseado. Calibrador de estatismo Transitorio Válvula tipo aguja Varilla de Velocidad Flyballs Rápido Lento d Compensador amortiguador Calibrador de velocidad Calibrador de estatismo permanente Válvula servo piloto b a Válvula Piloto g Servomotor de la compuerta Válvula Relé Figura 2.13 Esquema de un regulador mecánico hidráulico para una hidroturbina.

74 53 La función de transferencia que relaciona al servomotor y la válvula está dada por la ecuación (2.18). (2.18) La función de transferencia de la válvula piloto y el servo piloto esta expresada en la ecuación (2.19). (2.19) Donde determina la relación de la palanca de realimentación y determina las zonas de operación de la válvula piloto. Relacionando las ecuaciones (2.18) y (2.19) se tiene. (2.20) Dónde: = Ganancia del servo piloto = Constante de tiempo válvula piloto / servomotor Asumiendo que el flujo de amortiguador a través de la válvula tipo aguja es proporcional a la del compensador amortiguador, entonces la función de transferencia queda: (2.21) Donde es el estatismo permanente y está dado por la relación de la palanca, es el tiempo de reajuste y esta dado por el tiempo de ajuste de la válvula de aguja. El agua es un fluido que no se comprime muy fácilmente, por tanto los movimientos de las compuertas están limitados. Un cierre muy rápido de las compuertas, puede hacer que se rompan las tuberías de presión de los inyectores.

75 54 La figura 2.14 tiene incorporados los efectos de las bandas muertas, cuyas magnitudes y ubicación son muy difíciles de determinar. Es por esta razón que los efectos de las bandas muertas en estudios de estabilidad no son considerados. Velocidad de referencia + + x Σ - - Banda Muerta Válvula piloto y servomotor 1 1+sTP Rmax open Ks Max. gate position = 1 1 s Compuerta del servomotor 1 1+sTG g ωr Rmax close Min. gate position = 0 Σ + + RP Estatismo Permanente str δ 1+sTR Estatismo transitorio Figura 2.14 Regulador de velocidad para una turbina hidroeléctrica Parámetros = Válvula de tiempo y constante de tiempo del servomotor = Ganancia del servo = Constante de tiempo del servo = Estatismo permanente = Estatismo transitorio = Tiempo de reajuste Constantes Max gate position = Límite máximo de la posición de la válvula Min gate position = Límite mínimo de la posición de la válvula = Tasa máxima de la apertura de la válvula = Tasa mínima de la apertura de la válvula REGULADOR ELECTROHIDRÁULICO

76 55 Los reguladores de velocidad modernos son tipo electrohidráulicos ya que con esta tecnología consigue mejorar los tiempos de operación, debido a que la comparación de velocidades, realimentación del estatismo transitorio, estatismo permanente y envió de las señales de control se realiza eléctricamente, su dinámica de funcionamiento es muy similar a la de un regulador de velocidad mecánico hidráulico REGULADOR DE VELOCIDAD CON CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL Y DERIVATIVO (PID) Algunos reguladores de velocidad modernos tienen las características de acciones de control Proporcional Integral y Derivativa. De esta manera se consigue una respuesta más rápida del sistema reduciendo e incrementando la ganancia transitoria. La acción derivativa es beneficiosa para la operación aislada y particularmente para plantas cuyo tiempo de arranque es o más, figura Kp Velocidad de ref. + Σ - + Σ - K1 s + + Σ + Servo Piloto Servo Compuerta ωr sk D Rp Figura 2.15 Regulador de velocidad con PID Los valores típicos son:, y, una alta ganancia derivativa o un incremento en la ganancia transitoria resultan en excesivas oscilaciones y probablemente el sistema se vuelva inestable. Por esta razón, la ganancia derivativa se la considera cero con lo que el regulador se convierte en un regulador PI y este es equivalente a un regulador mecánico hidráulico. Las ganancias proporcional e

77 56 integral podrán ser sintonizadas para obtener el estatismo transitorio y el tiempo de reajuste deseado REGULADOR CON CONTROL DOBLE DERIVATIVO Un regulador doblemente derivativo es una variación del regulador con características PID. Este regulador está formado por un término proporcional y dos términos derivativos para procesar la señal de error en la entrada. La suma de estos tres términos es luego integrada a la salida del controlador del gobernador. este integrador final puede ser electrónico o hidráulico. El control doblemente derivativo puede ser usado estratégicamente para obtener un pico de sobrevelocidad al momento del arranque de la unidad, y esto resulta en un pequeño sobredesplazamiento en el límite de la posición del actuador. Este controlador también elimina los efectos producidos por el control proporcional y derivativo cuando existe un cambio en la referencia. La sintonización típica para un regulador doblemente derivativo son: para la primera ganancia derivativa (similar al termino proporcional de un regulador PID), la segunda ganancia derivativa (similar al termino derivativo de un regulador PID), y en general la ganancia integral. El diagrama de bloques típicos para un regulador doblemente derivativo se muestra en la siguiente figura. ωr - + Σ Velocidad de ref K2 s + Σ + s K1 Setpoint + + Σ Σ KT s Turbina bp Figura 2.16 Regulador de velocidad con doble derivativo

78 57 Donde: = ganancia del primer término derivativo, = ganancia del segundo término derivativo, = ganancia integral total, = estatismo permanente,. = operador de Laplace 2.3 REPRESENTACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS EN VARIABLES DE ESTADO Las turbinas hidráulicas son las encargadas de transformar la energía cinética del agua en energía mecánica, la cual posteriormente se transforma en energía eléctrica en los generadores. Las turbinas hidroeléctricas se clasifican de acuerdo al caudal del agua por ello se han clasificado en dos tipos de turbinas de reacción e impulso. Turbinas de impulso.- se las conoce como Pelton, y son muy utilizadas en grandes caídas de agua (mayores a 300 m) donde el flujo del agua no sufre un cambio de presión importante al paso a través del rodete. Turbinas de reacción.- son utilizadas para caídas de agua menores, en las que el flujo del agua sufre un cambio de presión al paso a través del rodete. Las características transitorias de las turbinas hidráulicas están determinadas por la dinámica del flujo de agua en la tubería de presión. La conversión de flujo y altura a potencia en la turbina involucra solamente relaciones no dinámicas. Los modelos más precisos de presión de agua y flujo en la tubería de presión son aquellos que tratan el fenómeno como de ondas viajeras FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA TURBINA HIDRÁULICA Una turbina hidráulica está relacionada por las siguientes consideraciones: La resistencia del agua es despreciable

79 58 La tubería de presión es inelástica y el agua es incomprensible La velocidad del agua varía directamente con la apertura de la compuerta y con la raíz cuadrada del salto o altura neta del agua. La potencia de salida de la turbina es proporcional al producto de la altura de caída del agua y al volumen del flujo En la figura 2.17 se encuentra el esquema de una planta hidroeléctrica Nivel de embalse U L Generador H Tubería de presión Turbina Compuerta Figura 2.17 Esquema de una planta hidroeléctrica Las características de la turbina así como de la tubería de presión están dadas por tres conceptos básicos a. Velocidad del agua en la tubería de presión b. Potencia mecánica de la turbina c. Aceleración de la columna de agua Velocidad del agua en la tubería de presión La velocidad del agua en la tubería de presión está dada por la ecuación (2.22): Donde U (2.22) = Velocidad del agua

80 59 = Constante de proporcionalidad G = Posición de la compuerta H = Altura de caída del agua Analizando para pequeños desplazamientos cercanos al punto de operación de estado estable. (2.23) Resolviendo la ecuación diferencial cercana al punto de equilibrio donde H=, G= y dividiendo para las condiciones iniciales ó (2.24) Donde el subíndice o indica que es un valor de las condiciones iniciales, el prefijo indica que existe una pequeña variación y las letras con énfasis - indica que están en valores base. Potencia mecánica de la turbina La potencia de una turbina hidráulica es directamente proporcional a la presión y al caudal de agua. (2.25) Analizando para pequeños desplazamientos cercanos al punto de operación de estado estable. (2.26) Resolviendo la ecuación diferencial cercana al punto de equilibrio donde, y dividiendo para las condiciones iniciales obtiene:

81 60 ó Sustituyendo de la ecuación (2.24) se llega: (2.27) (2.28) También se puede remplazar Aceleración de la columna de agua (2.29) Esta aceleración se debe a la energía potencial, basada en la segunda ley de Newton. Donde: ρ L A ρla = Densidad de la masa del agua = Longitud de la tubería de presión = Área de la tubería de presión = Aceleración debida a la gravedad (2.30) = Masa del agua dentro de la tubería de presión = Cambio incremental de la presión sobre la compuerta de la turbina t = Tiempo en segundos La ecuación de aceleración (2.30) normalizada en por unidad (dividiendo por ) ó (2.31)

82 61 Donde (2.32) La variable, representa el tiempo que tarda el agua almacenada a una cierta altura H en adquirir una velocidad U, a esta constante se la define como constante de arranque del agua. El rango de valores típicos de en una central a plena carga es entre 0,5 y 4 segundos La ecuación (2.31) representa una característica de las plantas hidroeléctricas, que indica que la aceleración es negativa ante un cambio en la presión al final de la tubería. Esto es debido a que se genera un vacío en el flujo del caudal de agua por la tubería por la apertura o cierre de válvula. Las ecuaciones (2.24) y (2.31) pueden ser expresadas en función del cambio de velocidad y la apertura de la compuerta. (2.33) Aplicando Laplace a la ecuación anterior (2.34) Despejado (2.35) Remplazando en la ecuación de la potencia mecánica (2.29) se obtiene: (2.36)

83 62 La ecuación (2.36) representa la función clásica de transferencia de una turbina hidráulica ideal, sin pérdidas. Donde se aprecia que la potencia mecánica de la turbina está directamente relacionada con el cambio de apertura o cierre de la turbina TURBINA HIDRÁULICA NO IDEAL Para el análisis de una turbina real se consideran las pérdidas en la turbina así como en la velocidad del agua. La expresión representa la variación de la velocidad. Donde: (2.37) (2.38) Las variaciones de la velocidad para pequeñas perturbaciones pueden ser despreciadas ya que si el generador está acoplado a un sistema eléctrico dichas variaciones son insignificantes. Por lo tanto, las ecuaciones quedarían (2.39) (2.40) Remplazando las ecuaciones (2.39) y (2.40) en las ecuaciones (2.24) y (2.28) respectivamente se obtiene la función de transferencia:

84 63 (2.41) Los valores típicos para una turbina ideal son CARACTERÍSTICAS DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS La función de transferencia de una turbina hidráulica presenta una característica especial, dada por un polo y un cero. El polo en el plano izquierdo determina que la función de transferencia es estable, pero el cero en el lado derecho indica que las condiciones iniciales de la potencia de salida presenta un cambio opuesto al de la apertura de la válvula de la turbina. Esto es debido a que el flujo de agua no cambia inmediatamente, por efecto de la inercia del agua. Usando el teorema de valor inicial en la ecuación (2.41) Teorema del valor final

85 64 Fig. 2.18: Respuesta de la turbina a la apertura de la válvula La figura 2.18 indica el comportamiento de la turbina ante la apertura de las válvulas. Como se puede apreciar el cambio de la posición de la compuerta genera un cambio opuesto en la potencia de salida de la turbina. Este modelo es muy usado en la sintonización de los sistemas de control mediante técnicas de análisis lineal. Debido a su simplicidad en este modelo están embebidas las características de respuesta de una turbina hidráulica. La respuesta en el tiempo de la función de transferencia está dada por la ecuación (2.42): (2.42) 2.4 MODELACIÓN DE LA PLANTA TURBINA HIDRÁULICA REGULADOR DE VELOCIDAD - GENERADOR CON EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT POWER FACTORY Se analiza cada uno de los elementos que conforman el sistema de regulación de velocidad y turbina hidráulica. Para la modelación de dichos elementos se utiliza el

86 65 programa computacional DigSILENT Power Factory, el cual cuenta con módulos de simulación dinámica y transitoria para estudios de estabilidad, además de las funciones propias para dicho estudio como son: la comprobación de las condiciones iniciales del sistema en estudio, el flujo de potencia, la definición de los tiempos de simulación, análisis modal y la identificación de parámetros. Para la modelación de la planta turbina hidráulica regulador de velocidad Generador se utiliza una de las unidades de la Central Hidroeléctrica Paute de la Fase AB en el programa computacional DIgSILENT Power Factory CARACTERÍSTICAS DE LA CENTRAL HIDROELÉCTRICA PAUTE FASE AB La central Hidroeléctrica Paute de la Fase AB cuenta con 5 generadores Siemens de origen Alemán, cuyas características son idénticas. En las tablas 2.1, 2.2 y 2.3 se detallan los parámetros eléctricos y mecánicos de la misma. Tabla 2.1: Características eléctricas de una unidad de generación de Paute AB Parámetros eléctricos Potencia 111 MVA Tensión Nominal 13,8 kv +5% Corriente Nominal 4643,9 A Frecuencia 60Hz Factor de Potencia 0,9 Numero de fases 3 Clase de Aislamiento B Numero de Polos 20 Conexión del estator Estrella Velocidad de Rotación 360 rpm Reactancia del eje directo Xd [p.u] 1,09 Reactancia del eje de cuadratura [p.u] 0,74 Límite de potencia reactiva mínima [MVAr] -60 Límite de potencia reactiva máxima [MVAr] 60 Reactancia secuencia cero Xo [p.u.] 0,11 Reactancia secuencia negativa X2 [p.u.] 0,195

87 66 Parámetros eléctricos Resistencia secuencia negativa R2 [p.u.] 0,00042 Reactancia eje directo subtransitorio xd saturada [p.u.] 0,0975 Resistencia del estator [p.u.] 0,00284 Relación de corto circuito 1,02 Constante de inercia H [MJ/MVA] 3,604 Constante de tiempo transitoria de eje directo Td, corto circuito [s] 2,257 Constante de tiempo subtransitoria de eje directo Td corto circuito [s] 0,026 Constante de tiempo subtransitoria de eje cuadratura Tq cortocircuito [s] 0,038 Reactancia eje directo transitoria Xd [p.u.] 0,35 Reactancia eje directo subtransitoria Xd [p.u.] 0,0975 Reactancia eje cuadratura subtransitoria Xq [p.u.] 0,0975 Tabla 2.2: Características mecánicas de una unidad de generación de Paute AB Parámetros mecánicos y físicos Peso Radio Rodete kg 1,815 m Eje y Aux kg 0,39 m Rotor kg 2,241 m Tabla 2.3: Características físicas de la tubería de la central Paute AB Altura Total = 669 m Longitud = 809,8 m Radio de la tubería = 0,777 m Eficiencia = 0,87 La Fase AB de la central Hidroeléctrica Paute Molino se encuentra conectada al sistema nacional interconectado a través de dos transformadores de potencia cuyas características se indican en la tabla 2.4. Tabla 2.4: Características de los transformadores de Paute AB Transformador 1 Transformador 2 Tipo Trifásico Tridevanado Potencia 114 MVA 375 Voltaje primario 13,8 kv 138 kv Voltaje secundario 138 kv 230 kv Núm. de fases 3 3

88 67 Frecuencia 60 Hz 60 Hz Xo 0,118 p.u 0,129 El modelo general de la planta a implementada en DIgSILENT Power Factory se indica en la figura 2.19, y la tabla siguiente se detalla las características de la carga kv 138 kv 230 kv G Trans 1 Trans 2 Figura 2.19 Red de prueba Tabla 2.5: Datos de generación y carga con fp. 0.9 en atraso Potencia [MVA] Potencia Activa [MW] Potencia Reactiva [MVAr] Generador de Paute AB ,9 48,38 Carga 1 [80%] 88,8 79,92 38,704 Carga 2 [10%] 8,88 7,992 3,8704 Donde la carga 2 es una carga adicional que posteriormente es usada para los eventos de variación de carga PROCEDIMIENTO PARA LA MODELACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE CONTROL DE LA PLANTA EN EL PROGRAMA DIGSILENT POWER FACTORY Para la modelación de los elementos de control primero se debe obtener la información del modelo a analizarse, una forma de obtener esta información es el modelo provisto por el fabricante del equipo, otra son los equipos de investigación entre, ellos está el IEEE. El modelo del elemento de control puede estar dado por ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia. Para el modelamiento de los elementos de control, el programa contiene una herramienta de simulación en lenguaje DSL, se parte de los diagramas de bloques, que es la representación disponible más común de los

89 68 dispositivos de control. Para el desarrollo de estos modelos DigSILENT Power Factory tiene dos formas de implementación de los modelos de control: Desarrollo a través del código del lenguaje de simulación DSL Desarrollo gráfico empleando bloques predefinidos en el programa La diferencia está en que en la segunda forma no se requiere de un desarrollo en el lenguaje DSL, ya que las ecuaciones están inmersas en los diagramas de bloques de la biblioteca del programa. Una vez que se tiene la información del modelo de control a implementarse en una máquina sincrónica se debe crear un Modelo Compuesto (Composite Model), que es una herramienta utilizada para administrar los elementos asociados en el funcionamiento del generador y hace referencia al marco compuesto (Composite Frame), la cual es una estructura donde se definen las interfaces o vías de comunicación de las distintas señales o bloques dentro del Modelo Compuesto. En las figuras 2.20, 2.21 y 2.22 se puede observar lo antes expuesto. Power System Stabilizer (PSS) Regulador de Voltaje (VCO) U P Generador (Elm Sym) Regulador de velocidad (PCO) Turbina (PMU) f Figura 2.20 Representación del modelo compuesto Para crear el modelo compuesto se debe de ubicar en la base de Datos, se selecciona el área (Grid) donde está el generador, luego crear un nuevo objeto, el cual despliega un menú de selección de elementos donde se selecciona Modelo Compuesto para la creación del mismo.

90 69 Figura 2.21 Selección del modelo compuesto Luego de esto se despliega otro menú para la selección del marco compuesto, en el submenú seleccionar se escoge de la biblioteca el Marco o Frame, el cual es una interfaz entre los distintos elementos de un generador, ya que este contiene los slots que componen el modelo compuesto. En la figura 2.22 se puede observar el menú de selección del Composite Frame. Figura 2.22 Selección de los slots Una vez seleccionado el Frame se procede a seleccionar los elementos asociados al generador, en la fila que contiene sym Slot se selecciona el generador al cual se implementan los elementos de control. Para el análisis de estabilidad de pequeña señal de sistemas de regulación de velocidad solo se implementa el regulador de velocidad. En este proyecto se analiza a la unidad de Paute con modelo de regulador

91 70 de velocidad pcu_ieeeg3, el cual está definido en la biblioteca de DIgSILENT Power Factory Características principales del regulador de velocidad IEEEG3 El sistema de regulación de velocidad IEEEG3 está formado por los siguientes bloques: Banda Muerta, válvula piloto, válvula distribuidora y servomotor de inyectores e inyectores controlados por el regulador. El servomotor de compuertas puede ser limitado para cambios de grandes excursiones de velocidad. Sin embargo, la realimentación de caída transitoria reduce la probabilidad de limitación por velocidad de cambio en análisis de estabilidad. Existen límites de posición que corresponden a los extremos de apertura de los inyectores SINTONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS REGULADORES DE VELOCIDAD Para la sintonización de los reguladores de velocidad se utiliza la técnica de estimación de parámetros, que consiste en determinar los parámetros mediante minimización del error entre la respuesta que genera el sistema y la respuesta de un modelo de referencia, en este caso es un sistema de segundo orden. Para ello se debe tomar en consideración 2 puntos importantes: Operación estable bajo la condición de sistema aislado u operación aislada Velocidad de respuesta aceptable para tomar y rechazar carga bajo operación normal del sistema Bajo la condición de isla lo recomendable es calibrar las constantes de estatismo transitorio y tiempo de reajuste en función de las constantes del agua y la inercia del generador. Las ecuaciones (2.43), (2.44) muestran la relación indicadas [9]. (2.43) (2.44)

92 71 Adicionalmente, la ganancia del servomotor debe ser sintonizada lo más alta posible. Con la correcta calibración de estas constantes en el regulador de velocidad, se asegura un buen funcionamiento en la condición de isla, que es la condición más crítica. Para una buena estabilidad del control de velocidad en modo aislado la sintonización del regulador de velocidad muestra un conflicto para cambios rápidos de carga bajo operación sincrónica. Para cambios rápido de carga lo deseable es que el regulador tenga también un cambio rápido, sin embargo, si la respuesta es muy rápida causa una inestabilidad de frecuencia. Para la segunda condición, cuando el sistema se encuentra en la condición de toma y rechazo de carga dentro de un sistema eléctrico, la sintonización bajo las condiciones de las ecuaciones (2.43) y (2.44) puede causar que la respuesta sea muy lenta. En este caso lo recomendable es que el tiempo de reajuste sea menor a 1,0, en lo posible alrededor de 0,5 s. Para el correcto funcionamiento del regulador de velocidad bajo estas condiciones se aconseja usar el bypass del estatismo transitorio como: - Con el estatismo transitorio sin bypass las ecuaciones deben satisfacer los requisitos para condiciones en condición aislada - Con el estatismo permanente con bypass el tiempo de reajuste toma un valor reducido a fin de que las velocidades de respuesta sean aceptables para tomas de carga. Un método conveniente para analizar los efectos de las variaciones de estos parámetros en la estabilidad de oscilaciones de frecuencia es mediante el análisis de los valores propios que describen el comportamiento del sistema. En la figura 2.23 se muestra la respuesta del generador ante la variación de los principales parámetros que influyen en la calibración de un sistema regulador de velocidad. Se realiza una prueba de variación de +10% de la potencia de referencia (psetp) en el regulador de velocidad IEEEG3. Los parámetros que se variaran son el estatismo transitorio, tiempo de reajuste y la ganancia del servomotor.

93 s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u [s] PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=1.5) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=2.5) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=5.705) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=10) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=15) PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable Figura 2.23 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de. En la figura 2.23 se puede ver que mientras más pequeño es el parámetro la respuesta del regulador de velocidad es más rápida, por lo que el sistema comienza a oscilar, pero a medida que este aumenta la respuesta es más lenta y el sistema comienza a ser más amortiguado. Lo recomendable es que la respuesta del sistema se asemeje a la de un sistema de segundo orden amortiguado. En la tabla 2.6 se indican los efectos que tiene la variación del parámetro en los modos de oscilación, para ello se utiliza la herramienta de análisis modal del programa computacional DIgSILENT Power Factory. Tabla 2.6: Efectos de la variación del tiempo de reajuste en el regulador de velocidad de un sistema aislado. Parámetros del regulador Modos Ks Delta Tr Frec Hz Amort Frec Hz Amort 5 0,3957 1,5-3,973-1,112-0, ,415i -0, ,415i -0,293 0,066 0, ,3957 2,5-3,818 0,772-0, ,349i -0, ,349i -0,334 0,056 0, , ,702-0, ,407i -0, ,407i -0, ,124i -0, ,124i 0,065 0,733 0,020 0, , , ,495i ,495i -0, ,033i -0, ,033i 0,079 0,669 0,005 0, , , ,527i ,527i -0,19-0,068 0,084 0,646

94 73 La tabla 2.6 contiene los valores propios asociados con la variación de. Se nota que mientras más bajo es este parámetro, el amortiguamiento también lo es. Nótese además que el amortiguamiento puede llegar a tomar su máximo valor alrededor del valor dado por la ecuación (2.43) para un sistema aislado. La frecuencia en cambio continúa subiendo a medida que aumenta, por lo que se podría decir que el parámetro está relacionado con el amortiguamiento de este modo de oscilación, que repercute en el amortiguamiento del sistema aislado. En la figura 2.24 se muestra el efecto que tiene la variación del el estatismo transitorio en la prueba de variación de +10% de la potencia de referencia psetp s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u [s] PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.20) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.25) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.30) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.35) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.45) PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable Figura 2.24 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación del estatismo transitorio En la figura 2.24 se puede ver que la variación del estatismo transitorio, tiene un comportamiento similar al tiempo de reajuste, mientras más pequeño es la velocidad de respuesta del regulador de velocidad es más rápida, por lo que el generador tiene un amortiguamiento bajo, es decir el sistema es más oscilatorio, pero a medida que esté aumenta la respuesta es más lenta y el sistema es mucho más amortiguado.

95 74 En la tabla 2.7 se encuentran tabulados los modos relacionados a la variación del estatismo transitorio. Tabla 2.7: Efectos de la variación del estatismo transitorio en el regulador de velocidad de un sistema aislado. Parámetros del regulador Modos Ks Delta Tr Frec Hz Amort Frec Hz Amort 5 0,2 5,705-3,019-0, ,593i -0, ,593i -0, ,069i -0, ,069i 0,094 0,247 0,011 0, ,25 5,705-3,163-0, ,555i -0, ,555i -0, ,086i -0, ,086i 0,088 0,381 0,014 0, ,3 5,705-3,327-0, ,509i -0, ,509i -0, ,102i -0, ,102i 0,081 0,513 0,016 0, ,35 5,705-3,513-0, ,457i -0, ,457i -0, ,115i -0, ,115i 0,073 0,635 0,018 0, ,45 5,705-3,951-0, ,346i -0, ,346i -0, ,129i -0, ,129i 0,055 0,826 0,021 0,769 Con los datos anteriores se puede notar que a medida que aumenta el estatismo transitorio la velocidad de respuesta del sistema también lo hace, esto se puede concluir analizando los modos asociados a esta variación. El amortiguamiento de los modos 5 y 6 aumenta haciendo que el sistema sea más amortiguado, mientras la frecuencia disminuye; no obstante este efecto es contrario para los modos 7 y 8, donde la frecuencia aumenta y el amortiguamiento decae desde un amortiguamiento alto hacia uno amortiguamiento que sin embargo no es tan bajo. El efecto que tiene la variación del estatismo transitorio se podría decir que ayuda al aumento del amortiguamiento del sistema acompañado de una disminución en el tiempo de establecimiento del sistema. En la figura 2.25 se observa el efecto que tiene el sistema ante la variación de la constante de tiempo del servomotor.

96 s p.u s p.u s p.u [s] PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=2.5) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=5.0) PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=10) PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable Figura 2.25 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp con variación de la constante de tiempo del servomotor La variación de la ganancia del servomotor tiene un comportamiento similar al de las otras dos variables es decir, a medida que aumenta el sistema se amortigua pero no tan rápidamente como en los dos casos anteriores. En la tabla 2.8 se encuentran tabulados los valores propios asociados al cambio de Tabla 2.8: Efectos de la variación ganancia del servomotor en el regulador de velocidad de un sistema aislado Parámetros del regulador Modos Ks Delta Tr Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Frec Hz Amort Frec Hz Amort 2,5 0,3957 5,705-2,558-0, ,346i -0, ,346i -0, ,133i -0, ,133i 0,055 0,686 0,021 0, ,3957 5,705-3,702-0, ,407i -0, ,407i ,124i -0, ,124i 0,065 0,733 0,020 0, ,3957 5,705-9, ,418i ,418i ,120i -0, ,120i 0,067 0,787 0,019 0,817 En la tabla 2.8 se puede notar que la variación en este parámetro influye en la rapidez con la que actúa la válvula del servomotor y esta constante de tiempo está asociada con el modo 4. Su influencia dentro del sistema es casi imperceptible ya que este parámetro no actúa sobre un modo oscilatorio.

97 76 Se puede observar que los modos 5, 6, 7 y 8 ante esta variación mantienen su frecuencia y amortiguamiento casi estables, por esta razón el sistema tiene una respuesta casi imperceptible cuando se varía este parámetro. 2.5 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA, VARIABLES DE ENTRADA Y SALIDA DE LA PLANTA En la figura 2.77 se indica el modelo compuesto de la planta implementada en DigSILENT Power Factory, donde se puede observar todas las variables de entrada y salida de los distintos interfaces de los elementos de control asociados al generador. w(1) pg ui ur i_i u(1) fe i_r ie u 0 1 curgn a psie 6 7 vco slot ElmVco* ve 2 pg 8 2 b pss slot ElmPss* 2 a b upss qg a 11 3 c 0 b 7 3 c b 12 1 c 8 c i1:bus1 3 xm dm psie a 3 8 pt 9 Qsum :bus1 b 4 10 fe pturb c 11 5 sym Slot12 ElmSym* 13 psco 3 2 a d 6 14 pturb 4 3 b pcu Slot ElmPcu* c e b c 7 5 d f 8 18 c d 8 6 e 19 d e 9 7 f g 9 f 10 8 g 20 e g 11 h g h 12 9 h 23 h xmt cosn sgnn w pgt(1.. xme pgt Figura 2.26 Modelo compuesto de la planta

98 77 En las tablas 2.9 y 2.10 se encuentran descritas las principales variables de entrada y salida del generador, para el modelo compuesto de la planta. Tabla 2.9: Variables de entrada del generador Variables de entrada Ve pt Voltaje de excitación Potencia de la turbina Tabla 2.10: Variables de salida del generador Variables de salida S Potencia aparente q Potencia reactiva total p Potencia activa total pgt Potencia eléctrica U Voltaje terminal I Corriente eléctrica w Velocidad fe Frecuencia eléctrica ie Corriente de excitación cosn Factor de potencia nominal pset Potencia activa de operación sgn n Potencia aparente nominal total xmt Torque mecánico xe Torque eléctrico En la figura 2.27 se muestra el diagrama de funciones de transferencia del regulador de velocidad IEEEG3 implementado en DigSILENT Power Factory con el nombre de pcu_ieeeg3.

99 78 pcu_ieeeg3: IEEE Type 3 Speed-Governing Model DIgSILENT pgt sgnn cosn 3 psco 4 psetp pref K Sigma Uo Pmax 0 5 w - dw - 1/K Tg {1/(1+sT)} Tp {1/s} at a23(1+(a11-a13a21/a23)stw)/(1+a11stw) a11,a13,a21,a23,tw pturb Turb(1) Pturb pt 0 wo Uc Pmin 1 K Sigma kst/(1+st) delta,tr Figura 2.27 Diagrama de la función de transferencia del regulador de velocidad IEEEG3 En la tabla 2.11 se indican las variables de entrada y salida del regulador de velocidad IEEEG3 implementado en DIgSILENT Power Factory: Tabla 2.11: Variables de entrada del regulador de velocidad pcu_ieeeg3 Nombre Pgt sgnn cosn psetp W Nombre pt pturb Descripción Variables de entrada Potencia eléctrica Potencia nominal aparente Factor de potencia Señal paso de potencia Velocidad Variables de salida Descripción Potencia eléctrica de la turbina Potencia mecánica de la turbina En la tabla 2.12 se encuentran descritos los parámetros del regulador de velocidad IEEEG3 y sus rangos de calibración.

100 79 Tabla Descripción, valores y rangos de parámetros de las variables del pcu_ieeeg3 para el sistema aislado Descripción Parámetros Fase AB Rango de Parámetros Característica de regulación permanente 0,05 0 < < 0,1 Tg Constante de tiempo del servomotor de compuerta 0,2 4*< < 1,0 Tp Constante de tiempo de la válvula piloto 0,04 4*< < 0,1 Delta Caída temporal 0, <<1,0 Tr Constante de tiempo del regulador ,0 < < 50 a11 Primer Contante transitoria de la turbina 0,5 0 < < 1,5 a13 Segunda Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5 a21 Tercera Contante transitoria de la turbina 1,5 0 < < 1,5 a23 Cuarta Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5 Tw Constantes de tiempo del agua 1,141 4*< < 10 Pturb Potencia de la turbina Uc Límite de velocidad de cierre -0, Pmin Potencia mínima 0 0,5 0,5 Uo Límite de velocidad de apertura 0,2 0 0,3 Pmax Potencia máxima 1 0, ANÁLISIS DE LA CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DE LA PLANTA El análisis de controlabilidad y observabilidad permite determinar las características de respuesta de los elementos de un sistema. Este análisis se lo realiza con la ayuda del programa computacional Matlab, para dicho análisis se utiliza la función linearize que permite linealizar un modelo no lineal en un punto de operación. Primero se introduce el modelo en el módulo Simulink de Matlab, con todos sus parámetros, luego se define las entradas y salidas. Una vez seleccionadas las entradas y salidas del modelo en la ventana de trabajo de Matlab se ejecuta la función linearize ( Modelo ) Análisis de controlabilidad y observabilidad del generador representado por el modelo clásico El análisis de observabilidad y controlabilidad del generador se realiza a partir de su modelo clásico dado en la sección El cálculo de los parámetros del generador se presenta en el Anexo 1.

101 80 En las ecuaciones (2.45) y (2.46) se describe el modelo del generador de la sección en variables de estado linealizadas por medio de Matlab. Donde: d dt x1 0 x d dt 0,1387 x1 0 u1 2,466 x2 1 y u 1 (2.45) x1 x2 (2.46) Variación del ángulo delta Variación de la velocidad Variación del torque mecánico Variación del ángulo delta De esta manera el generador representado por el modelo clásico es un sistema de segundo orden, con esta información se parte a encontrar la matriz de controlabilidad, aplicando la ecuación descrita en 1.7.1, se obtiene la matriz: 0 0,1387 Co (2.47) 1 2,466 Si el sistema es controlable debe cumplir con la condición de que el rango de su matriz de controlabilidad es igual al número de variables de estado, con lo que su determinarte debe ser distinto de cero. El número de filas o columnas es igual a su rango. det( Co ) 303,81 (2.48) Como se puede observar el determinante en la ecuación (2.48) es distinto de cero, por lo tanto el rango de la matriz es igual a 2, con lo que el sistema es completamente controlable.

102 81 A continuación se muestra la matriz de observabilidad (2.49) descrita en la sección 1.7.2, donde: Ob (2.49) 0 52,2889 Para establecer si el sistema es observable debe cumplir con la condición de que el rango de su matriz de manera similar sea igual al número de variables de estado, con lo que su determinarte debe ser distinto de cero. det( Ob ) 19712,9 (2.50) Como se observa el determinante en (2.50) es distinto de cero, por lo tanto el rango de la matriz es 2 y consecuentemente el sistema es completamente observable Análisis de controlabilidad y observabilidad del regulador de velocidad y turbina hidroeléctrica A continuación se analiza la controlabilidad y la observabilidad del sistema regulador de velocidad y turbina hidráulica IEEG3 descrito en la sección La matriz de variables de estado que describe el sistema regulador de velocidad y turbina hidráulica calculado en Matlab está dado por las ecuaciones (2.51) y (2.52): d dt x1 0,1753 x2 0 x3 0 x4 0, , , x x2 0 u1 0 x3 0 25x4 1 (2.51)

103 82 d dt x1 x2 (2.52) x3 x4 y u 1 Donde Suma de las respuestas de los estatismos Posición de la válvula Torque de salida de la turbina Velocidad de respuesta del servomotor Torque de salida de la turbina Cambio requerido de torque mecánico La matriz de controlabilidad es (2.53): 0, Co (2.53) 0 1 1, , , Donde el determinante de la matriz de controlabilidad es (2.54): det( 6 Co ) 3,08*10 (2.54) Por lo que se concluye que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica es controlable. Calculando la matriz de observabilidad (2.55) se tiene: 0 2 5, ,257 9, Obs (2.55) 17,34 102,251 16, ,12 482, ,86 28, ,62

104 83 Donde el determinante de la matriz de controlabilidad (2.56) es: det( 6 Ob ) 3,3*10 (2.56) Por lo que el sistema regulador de velocidad - turbina hidráulica es observable Análisis de controlabilidad y observabilidad de la planta En la figura 2.29 se muestra el diagrama de bloques del modelo general de la planta representada por el modelo clásico del generador con su respectiva turbina hidráulica y regulador de velocidad IEEEG3. En este sistema se procede a analizar su controlabilidad y observabilidad. Los valores de los parámetros del modelo clásico de la máquina sincrónica son presentados en el Anexo 1. Componente de torque sincronizante δ ω0 s 1 2H s ωr KS Te - + Σ - Tm Componente de torque amortiguador KD Po ωr - Σ - Válvula piloto y servomotor 1 1+sTP Rmax open Ks Max. gate position = 1 1 s Turbina 1-Tws 1+0,5Tws Rmax close Min. gate position = 0 Σ + + RP Estatismo Permanente RT str 1+sTR Estatismo transitorio Fig. 2.29: Diagrama de bloques de la planta

105 84 El sistema matricial en variables de estado de la planta generador, regulador de velocidad y turbina hidráulica está dado por las ecuaciones (2.57) y (2.58). d dt x1 0,1753 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0, x6 0 Donde: d dt 0 2, ,1387 0, , , , y u x x2 1 0 x3 0 u1 0 x4 0 0 x5 0 0 x6 0 (2.57) x1 x2 x3 (2.58) x4 x5 x6 Compensación de caída transitoria Velocidad Integrador del regulador de velocidad Turbina Válvula piloto y servomotor Integrador de la velocidad Variación del ángulo Variación de la carga La matriz de controlabilidad (2.59) es: , , ,93 1 2, ,79 768, , , ,33 476, , ,1359 Co (2.59) , , , ,1387 3, , , , ,1387 0, , , ,54

106 85 Cuyo determinante tiene el valor de: det( Co ) 303,81 (2.60) Por lo que se puede concluir que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica es controlable, ya que el rango es igual al número de ecuaciones en variables de estado. Calculando la matriz de observabilidad (2.61) se tiene: Obs 0 130, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,44 (2.61) , , ,94 Donde el determinante de la matriz de observabilidad es: det( 16 Ob ) 2,71*10 (2.62) Por lo que se puede concluir que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica es observable, ya que el rango es igual al número de variables de estado.

107 86 CAPÍTULO 3 APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA El modelo de un sistema eléctrico de potencia para estudios de estabilidad debe reflejar el comportamiento real del mismo frente un determinado fenómeno, evaluado mediante la comparación de los resultados de simulación con los registros oscilográficos. Para la modelación de un sistema se requiere conocer sus características, como por ejemplo: tamaño del sistema, número y tipos de generadores, dependencia de cargas con la frecuencia, entre otras. En este capítulo se presenta el análisis para pequeña señal del sistema de regulación de velocidad IEEEG3, tanto en un sistema aislado como incorporado al sistema de 9 barras del IEEE. Las simulaciones para dicho análisis se realizan en el programa computacional DigSILENT Power Factory. Los casos de estudio para el análisis de estabilidad de pequeña señal comprenden los siguientes: Simulación del generador de la fase AB de la central Paute-Molino con su respectivo regulador de velocidad funcionando de manera aislada. Simulación de los generadores del sistema de prueba 9 barras del IEEE con un regulador de velocidad en uno de los generadores. Análisis de resultados de las respuestas dinámicas en el tiempo y la frecuencia Comparación de los índices de las respuestas dinámicas con valores estándar del IEEE.

108 SISTEMA GENERADOR DE LA FASE AB DE LA CENTRAL PAUTE MOLINO BARRA INFINITA Para verificar el funcionamiento del regulador de velocidad se utiliza un sistema asilado compuesto de una de las unidades de la fase AB de la Central Hidroeléctrica Paute - Molino DESCRIPCIÓN DE LA PLANTA GENERAL La modelación de una unidad generadora de la central Hidroeléctrica Paute Molino, se realiza al 80% de su capacidad nominal alimentando a una carga 1, independiente de las variaciones de voltaje y frecuencia, a través de 2 transformadores de elevación de 13,8 kv a 138 kv y de 138 kv a 230 kv, como se muestra en la figura 3.1. Una carga 2, independiente también de las variaciones de voltaje y frecuencia, se utiliza para las pruebas de variaciones de carga, cuyas características se indican en las tablas 2.1 a 2.5 del Capítulo AB_PAUTE_230_kV Carga_1 Transf ormador_ AB_PAUTE_138_kV Carga_ Transformador_ AB_PAUTE_13.8_kV G ~ PAUTE_AB Figura 3 1 Planta general de una unidad de la fase AB de Paute - Molino

109 PRUEBAS DEL MODELO DE REGULADOR DE VELOCIDAD La respuesta del regulador de velocidad incorporado en el modelo de planta general para el análisis estabilidad de pequeña señal, se analiza en dos condiciones: aislada y como parte de un sistema multimáquina. En la condición aislada se realizan las distintas pruebas internas y externas al regulador de velocidad y su comportamiento en estado estable. Las variables analizadas son: Velocidad, Potencia de referencia, Potencia activa, Potencia reactiva, Potencia de la turbina, Voltaje fase-neutro y Frecuencia Pruebas internas: Respuesta al escalón del sistema de control de velocidad Una vez determinados los modelos dinámicos a usarse así como la sintonización de los valores de los parámetros, se verifica la respuesta del regulador de velocidad ante la prueba de escalón en la potencia de referencia del regulador de velocidad. La respuesta al escalón del sistema de control de velocidad presenta una frecuencia de oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un valor estable. En la figura 3.2 se muestra el comportamiento típico de un sistema frente a un entrada de escalón o paso, siendo los indicadores de mayor interés: tiempo de establecimiento, sobre impulso, tiempo para alcanzar su pico máximo, tiempo de crecimiento, amortiguamiento y frecuencia de oscilación. Estos indicadores se analizan en la sección 3.4. Para estudios de estabilidad de pequeña señal no es posible determinar cuáles son los rangos de respuesta aceptables frente a este tipo de pruebas, debido a que son una medida de la velocidad relativa de la acción de control, principalmente determinados por las características dinámicas del generador. Generalmente la señal de salida analizada tiene relación directa con la señal de entrada.

110 89 Estado estable Sobreimpulsó 90% Banda especificada para el tiempo de establecimiento Tiempo de Crecimiento Valor Pico 10% Tiempo de retardo Tiempo para alcanzar el valor pico Tiempo de establecimiento Figura 3.2 Respuesta de un sistema de control frente a una entrada paso Para las pruebas de respuesta al paso, DIgSILENT Power Factory cuenta con una herramienta específica, pero presenta limitantes debido a que solo se analiza la respuesta al escalón máquina sincrónica carga, omitiendo el resto de elementos que conforman la red, como transformadores y líneas de transmisión. Además analiza únicamente las variables de salida relacionados a la respuesta al paso del incremento de la potencia de referencia, como son potencia de la turbina, velocidad y potencia eléctrica. Con el evento de simulación parámetro de ajuste: variación de la constante de la potencia de referencia del regulador de velocidad, se analizan las variables que no están consideradas en la herramienta misma del programa, como son voltaje terminal del generador, potencia reactiva entregada y velocidad rotacional. En la figura 3.3 se indican los eventos de simulación para el análisis de estabilidad de pequeña señal del regulador de velocidad.

111 90 Figura 3.3 Eventos de simulación El parámetro de ajuste dentro del evento de simulación es la potencia de referencia (psetp) con un cambio de 10% de su valor inicial. El valor inicial de esta variable es 0,804 p.u., en la figura 3.4 se indica el ingreso del nuevo valor de la variable. Figura 3.4 Pantalla de dialogo del parámetro de ajuste En las figuras 3.5 y 3.6 se presentan las respuestas frente al escalón de +/-10% de la potencia de referencia psetp en el sistema generador barra infinita.

112 91 DIgSILENT s p.u s s p.u s p.u s s p.u s p.u s [s] PAUTE_AB: Potencia Eléctrica, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Eléctrica, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Eléctrica, Estado Estable [s] pcu_ieeeg3: Potencia de referencia, con +10% de Potencia nominal pcu_ieeeg3: Potencia de referencia, con +10% de Potencia nominal pcu_ieeeg3: Potencia de referencia, Estado Estable s Hz s Hz s MW s MW s Hz s MW s Hz s Hz s MW s MW [s] PAUTE_AB: Frecuencia eléctrica, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Frecuencia eléctrica, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Frecuencia eléctrica, Estado Estable [s] PAUTE_AB: Potencia Activa, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Activa, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Activa, Estado Estable E.P.N PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD PCU_10%_Pt_1 Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PCU_IEEEG3 Figura 3 5 Curvas del PCU en la prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp)

113 92 DIgSILENT s Mvar s Mvar s kv s kv s Mvar s kv s Mvar s Mvar s kv s kv [s] PAUTE_AB: Potencia Reactiva, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Reactiva, con -10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Potencia Reactiva, Estado Estable [s] PAUTE_AB: Voltaje Línea - Neutro [kv], con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Voltaje Línea - Neutro [kv], con -10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Voltaje Línea - Neutro [kv], Estado Estable s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u [s] PAUTE_AB: Pot de la turbina, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Pot de la turbina, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Pot de la turbina Estado Estable s p.u [s] PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal PAUTE_AB: Velocidad Estado Estable E.P.N PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD PCU_10%_Pt_2 Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PCU_IEEEG3 Figura 3 6 Curvas del PCU en la prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp)

114 93 Como se muestra en las figuras 3.5 y 3.6, las variables de salida del generador tienen una respuesta amortiguada, en razón de los ajustes de los parámetros del regulador efectuados para que tenga una respuesta lenta y no produzcan oscilaciones de potencia. La respuesta de las potencias del sistema y la velocidad tiene una componente inicial opuesta al cambio de incremento o decremento de la potencia de referencia, esto se debe a la característica de la turbina hidráulica Pruebas externas El principal fenómeno directamente relacionado con el análisis de estabilidad de pequeña señal es el desbalance entre generación y carga, provocado por una variación de la carga. Para este punto se analiza la respuesta del sistema de regulación de velocidad frente a un incremento de carga activa y reactiva: Toma y rechazo de 10% de carga activa Toma y rechazo de 10% de carga reactiva Toma y rechazo de 10% de carga activa Esta prueba consiste en aumentar y disminuir una carga activa al sistema, mediante el cierre del disyuntor de la carga 2 con un valor del 10% de la carga de operación del generador al tiempo 0,1 s. Luego, después de estabilizarse el sistema se realiza la apertura del disyuntor 2 al tiempo 100 s. La carga 1 corresponde al 80% de la capacidad del generador. En esta prueba se analiza las variables: potencia activa, potencia reactiva, voltaje terminal, frecuencia, velocidad y potencia de la turbina, a partir del estado estable, con y sin el regulador de velocidad, como se detallan en la figura 3.7.

115 s MW s MW s MW s Hz s Hz s p.u s p.u s MW s Hz s p.u s Hz s p.u [s] PAUTE_AB: P [MW], +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Potencia Activa [MW], Estado Estable PAUTE_AB: P [MW], +/-10% de Carga R sin reg [s] PAUTE_AB: Frec [Hz], +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Frec [Hz], Estado Estable PAUTE_AB: Frec [Hz], +/-10% de Carga R sin reg [s] PAUTE_AB: Pot de la Turb, +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Pot de la Turb, Estado Estable PAUTE_AB: Pot de la Turb, +/-10% de Carga R sin reg s Mvar s Mvar s Mvar s p.u s p.u s p.u s p.u s kv s kv s kv s p.u s kv s kv [s] PAUTE_AB: Q [MVar], +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Potencia Reactiva [MVar], Estado Estable PAUTE_AB: Q [MVar], +/-10% de Carga R sin reg [s] PAUTE_AB: Vel, +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable PAUTE_AB: Vel, +/-10% de Carga R sin reg [s] PAUTE_AB: Volt L-N [kv], +/-10% de Carga R con reg. PAUTE_AB: Voltaje Linea-Neutro [kv], Estado Estable PAUTE_AB: Volt L-N [kv], +/-10% de Carga R sin reg. E.P.N PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD Toma de Carga R +/- 10% Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PCU_IEEEG3 Figura 3.7 Curvas del PCU en la prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia activa 94 DIgSILENT

116 95 Al existir un incremento de carga activa, la velocidad del sistema decae esto se puede apreciar analizando la ecuación de movimiento (2.6), al no existir un regulador de velocidad la frecuencia decae sin tener un amortiguamiento mientras que con el regulador de velocidad esta se amortigua tratando de retornar a su frecuencia nominal, pero debido al estatismo del generador esta no lo hace. El voltaje a la salida del generador disminuye esto se debe a que al variar la potencia activa cambia el punto de operación del generador, manteniendo el voltaje de campo constante, lo que produce una disminución en la potencia reactiva y por ende en el voltaje de salida, esto se puede apreciar en la figura 3.8 del diagrama de operación de un generador. P If P1 E = f( If ) P0 δ0 Q = f(v) Q1 Q0 Q I Figura 3.8 Lugar geométrico de generación con excitación constante Toma de +/-10% de carga reactiva Esta prueba consiste en aumentar y disminuir una carga reactiva al sistema de prueba, mediante el cierre del disyuntor de la carga 2 la cual es el 10% de la carga de operación del generador al tiempo 0.1 s, después de estabilizarse el sistema se realiza la apertura del disyuntor 2 al tiempo 100 s, la carga 1 es el 80% de capacidad del generador. En esta prueba se analiza las variables: potencia activa, potencia reactiva, el voltaje terminal, la frecuencia, la velocidad y la potencia de la turbina, todas estas respuestas se las analizara en estado estable, con el regulador de velocidad y sin este, figura 3.9.

117 s MW s Hz s p.u s p.u s MW s Hz s p.u s MW s Hz [s] PAUTE_AB: P [MW], +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Potencia Activa [MW], Estado Estable PAUTE_AB: P [MW], +/-10% de Carga L sin reg [s] PAUTE_AB: Frec [Hz], +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Frec [Hz], Estado Estable PAUTE_AB: Frec [Hz], +/-10% de Carga L sin reg [s] PAUTE_AB: Pot de la Turb, +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Pot de la Turb, Estado Estable PAUTE_AB: Pot de la Turb, +/-10% de Carga L sin reg s Mvar s Mvar s p.u s kv s kv s Mvar s p.u s p.u s kv [s] PAUTE_AB: Q [MVar], +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Potencia Reactiva [MVar], Estado Estable PAUTE_AB: Q [MVar], +/-10% de Carga L sin reg [s] PAUTE_AB: Vel, +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable PAUTE_AB: Vel, +/-10% de Carga L sin reg [s] PAUTE_AB: Volt L-N [kv], +/-10% de Carga L con reg. PAUTE_AB: Voltaje Linea-Neutro [kv], Estado Estable PAUTE_AB: Volt L-N [kv], +/-10% de Carga L sin reg. E.P.N PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD Toma de Carga L +/- 10% Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PCU_IEEEG3 Figura 3.9 Curvas del PCU en la prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia reactiva 96 DIgSILENT

118 97 En la figura 3.9 se muestra el efecto del regulador de velocidad en el sistema aislado. En la prueba de aumento de carga reactiva, como se puede observar se produce una disminución en el voltaje, adicionalmente por el cambio del punto de operación se produce una disminución en la potencia activa entregado y con ello una potencia de aceleración que produce un aumento de la frecuencia. Sin la presencia del regulador de velocidad, la velocidad de la máquina aumenta y no se estabiliza por el insuficiente amortiguamiento del sistema ANÁLISIS MODAL DE LA PLANTA Este tipo de análisis es usado para determinar si un sistema es estable frente a cambios pequeños en el balance generación - carga, así como la naturaleza de las oscilaciones producidas en un sistema. El programa DIgSILENT Power Factory cuenta con una herramienta para realizar el análisis modal, por el cual se identifican los modos de oscilación y modos de participación de un sistema eléctrico de potencia. En la tabla 3.1 se encuentran listados los valores propios asociados al sistema generador con sistema regulador de velocidad - barra infinita, así como los principales parámetros, como por ejemplo: amortiguamiento, coeficiente de amortiguamiento, frecuencia y relación de amplitudes A1/A2. Tabla 3.1 Modos del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad En la figura 3.10 se muestran los valores propios del sistema aislado, en el que el generador tiene implementado el regulador de velocidad.

119 98 DIgSILENT Parte imaginaria [rad/s] Parte real [1/s] Valores propios estables Valores propios inestables E.P.N Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD PCU_IEEEG3 Gráfica Valores Propios Figura 3.10 Valores propios del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita Los valores propios 6, 7, 8 y 9 son modos oscilatorios, pero su frecuencia de amortiguamiento es muy baja por lo cual no se podría considerar que pertenezcan a un tipo particular que pueda producir una inestabilidad oscilatoria. Al estar el sistema aislado, los modos que pueden presentarse son modos de control, torsión y locales. La velocidad de decaimiento que presentan estos modos oscilatorios es muy alta, esto se puede deducir de la relación A1/A2, dada por la amplitud de la primera oscilación y la segunda. Como se muestra en la figura 3.11, estos modos de participación presentan un amortiguamiento alto, que no afecta en mayor medida la estabilidad del sistema.

120 99 Figura 3.11 Modos de participación del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita 3.2 SISTEMA DE NUEVE BARRAS DEL IEEE [3] En esta sección se realiza el análisis de estabilidad de pequeña señal en un sistema multimáquina, en el que un generador tiene regulador de velocidad DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA El sistema eléctrico de potencia de 9 barras, mostrado en la figura 3.12, es uno de los sistemas clásicos utilizados en estudios de estabilidad. Este sistema se encuentra incorporado en la biblioteca del programa computacional DIgSILENT Power Factory, cuyas características se detallan en las tablas 3.2 y Carga C 9 Gen 2 G G Gen Carga A Carga B 4 1 G Gen 1 Figura 3.12 Sistema de 9 barras del IEEE

121 100 Tabla 3.2 Datos de los generadores del sistema de 9 barras Generador Potencia [MVA] 247,5 192,0 128,0 Voltaje [kv] 16, ,8 Factor de potencia 1 0,85 0,85 Tipo Hidráulica Térmica Térmica Velocidad [rpm] ,1460 0,8958 1,3125 0,0969 0,8645 1,2578 0,0608 0,1198 0,1813 0, ,25 Tabla 3.3 Datos de las Cargas Carga A B C Potencia Activa [MW] Potencia Reactiva [MVAr] Las reactancias de las tablas 3.2 y 3.3 están dadas en base de 100 MVA PRUEBAS EN EL SISTEMA DE 9 BARRAS Las pruebas para comprobar el funcionamiento y la estabilidad de pequeña señal del sistema multimáquina con un sistema regulador de velocidad se realizan mediante un incremento de 10% de la carga activa. La variación de carga activa se define debido a su directa relación con la velocidad. La prueba se efectúa mediante la variación de 12,5 MW de la carga A, a partir de su valor inicial de 125 MW y 50MVAr. Las variables observadas en la prueba de incremento de carga son: Voltaje terminal y potencia de la turbina en cada uno de los generadores, frecuencia eléctrica, ángulo del rotor respecto al ángulo del voltaje de la barra de referencia, potencia activa y reactiva de generación y los voltajes en las barras Sintonización del sistema regulador de velocidad El sistema de 9 barras del IEEE tiene dos generadores térmicos y uno hidráulico, al cual se ha incorporado el regulador de velocidad.

122 101 La sintonización del regulador de velocidad se realiza para que tenga una respuesta rápida, es decir los valores de y deben ser bajos con el objeto de que la respuesta del regulador de velocidad sea rápida. En la tabla 3.4 se indican los valores del regulador de velocidad implementado en el generador 1. Tabla 3.4 Descripción, Valores y Rangos de Parámetros del Modelo pcu_ieeeg3 del Generador 1 en Sistema de 9 Barras Descripción Parámetros Rango de Parámetros Fase AB Característica de regulación permanente 0,05 0 < < 0,1 Tg Constante de tiempo del servomotor de compuerta 0,2 4*< < 1,0 Tp Constante de tiempo de la válvula piloto 0,04 4*< < 0,1 Delta Caída temporal 0,3 0.2<<1,0 Tr Constante de tiempo del regulador 2.5 1,0 < < 50 a11 Primer Contante transitoria de la turbina 0,5 0 < < 1,5 a13 Segunda Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5 a21 Tercera Contante transitoria de la turbina 1,5 0 < < 1,5 a23 Cuarta Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5 Tw Constantes de tiempo del agua 1,141 4*< < 10 Pturb Potencia de la turbina Uc Límite de velocidad de cierre -0, Pmin Potencia mínima de 0 0,5 0,5 Uo Límite de velocidad de apertura 0,2 0 0,3 Pmax Potencia máxima 1 0,5 1 En las figuras 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 y 3.17 se muestran las respuestas de las distintas variables frente a la variación de carga activa para el sistema de 9 barras del IEEE.

123 102 DIgSILENT s p.u E E s p.u E E s p.u E s p.u E E s p.u E E [s] Potencia de la turbina [p.u], con regulador de velociad Potencia de la turbina [p.u], sin regulador de velociad G 1: Potencia de la turbina [p.u], Estado estable 1.003E [s] Potencia de la turbina [p.u], con regulador de velociad Potencia de la turbina [p.u], sin regulador de velociad G2: Potencia de la turbina [p.u], Estado estable 7.812E [s] Potencia de la turbina [p.u], con regulador de velociad Potencia de la turbina [p.u], sin regulador de velociad G3: Potencia de la turbina [p.u], Estado estable s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz s Hz [s] : Frecuencia eléctrica [Hz], con regulador de velocidad : Frecuencia eléctrica [Hz], sin regulador de velocidad G 1: Frecuencia eléctrica [Hz], Estado Estable [s] : Frecuencia eléctrica [Hz], con regulador de velocidad : Frecuencia eléctrica [Hz], sin regulador de velocidad G3: Frecuencia eléctrica [Hz], Estado Estable [s] : Frecuencia eléctrica [Hz], con regulador de velocidad : Frecuencia eléctrica [Hz], sin regulador de velocidad G2: Frecuencia eléctrica [Hz], Estado Estable EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Pot de la turb y frecuencia Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3 Figura 3.13 Potencia de la turbina y frecuencia en estado estable y con cambios de carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad

124 103 DIgSILENT s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW [s] G 1: Potencia Activa [MW], con regulador de velocidad G 1: Potencia Activa [MW], sin regulador de velocidad G 1: Potencia Activa [MW], Estado estable s MW [s] G2: Potencia Activa [MW], con regulador de velocidad G2: Potencia Activa [MW], sin regulador de velocidad G2: Potencia Activa [MW], Estado estable s MW [s] G3: Potencia Activa [MW], con regulador de velocidad G3: Potencia Activa [MW], sin regulador de velocidad G3: Potencia Activa [MW], Estado estable s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar s Mvar [s] G 1: Potencia Reactiva, con regulador de velocidad G 1: Potencia Reactiva, sin regulador de velocidad G 1: Potencia Reactiva, Estado Estable [s] G2: Potencia Reactiva, con regulador de velocidad G2: Potencia Reactiva, sin regulador de velocidad G2: Potencia Reactiva, Estado estable [s] G3: Potencia Reactiva, con regulador de velocidad G3: Potencia Reactiva, sin regulador de velocidad G3: Potencia Reactiva, Estado estable EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Potencias Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3 Figura 3.14 Potencia activa y reactiva del generador en estado estable y con cambios de carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad

125 104 DIgSILENT s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv s kv [s] : Voltaje Línea-Neutro [kv], con regulador de velocidad 1: Voltaje Línea-Neutro [kv], sin regulador de velocidad G 1: Voltaje Línea-Neutro [kv], Estado estable [s] : Voltaje Línea-Neutro [kv], con regulador de velocidad 2: Voltaje Línea-Neutro [kv], sin regulador de velocidad G2: Voltaje Línea-Neutro [kv], Estado estable [s] : Voltaje Línea-Neutro [kv], con regulador de velocidad 3: Voltaje Línea-Neutro [kv], sin regulador de velocidad G3: Voltaje Línea-Neutro [kv], Estado estable s deg s deg s deg s deg s deg s deg s deg s deg s deg [s] G 1: Ángulo int [Grad], con regulador de velocidad G 1: Ángulo int [Grad], sin regulador de velocidad G 1: Ángulo int [Grad], Estado Estable [s] G2: Ángulo int [Grad], con regulador de velocidad G2: Ángulo int [Grad], sin regulador de velocidad G2: Ángulo int [Grad], Estado Estable [s] G3: Ángulo int [Grad], con regulador de velocidad G3: Ángulo int [Grad], sin regulador de velocidad G3: Ángulo int [Grad], Estado Estable EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Voltaje y ángulo int Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3 Figura 3.15 Voltaje l-n y ángulo interno de los generadores en estado estable y con cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad

126 105 DIgSILENT s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW [s] Line 1: Potencia activa [MW], con regulador Line 1: Potencia activa [MW], sin regulador Line 1: Potencia activa [MW], Estado estable [s] Line 2: Potencia activa [MW], con regulador Line 2: Potencia activa [MW], sin regulador Line 2: Potencia activa [MW], Estado estable [s] Line 3: Potencia activa [MW], con regulador Line 3: Potencia activa [MW], sin regulador Line 3: Potencia activa [MW], Estado estable s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW s MW [s] Line 4: Potencia activa [MW], con regulador Line 4: Potencia activa [MW], sin regulador Line 4: Potencia activa [MW], Estado estable s MW [s] Line 5: Potencia activa [MW], con regulador Line 5: Potencia activa [MW], sin regulador Line 5: Potencia activa [MW], Estado estable s MW [s] Line 6: Potencia activa [MW], con regulador Line 6: Potencia activa [MW], sin regulador Line 6: Potencia activa [MW], Estado estable EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Potencia en las lineas Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3 Figura 3.16 Flujos de potencia activa y reactiva en las líneas en estado estable y con cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad

127 106 DIgSILENT s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u [s] Line 1: Voltaje Linea - Neutro [p.u], con regulador Line 1: Voltaje Linea - Neutro [p.u], sin regulador Line 1: Voltaje Linea - Neutro [p.u], Estado estable [s] Line 2: Voltaje Linea - Neutro [p.u], con regulador Line 2: Voltaje Linea - Neutro [p.u], sin regulador Line 2: Voltaje Linea - Neutro [p.u], Estado estable [s] Line 3: Voltaje Linea - Neutro [p.u], con regulador Line 3: Voltaje Linea - Neutro [p.u], sin regulador Line 3: Voltaje Linea - Neutro [p.u], Estado estable s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u s p.u [s] Line 4: Voltaje Linea - Neutro [p.u], con regulador Line 4: Voltaje Linea - Neutro [p.u], sin regulador Line 4: Voltaje Linea - Neutro [p.u], Estado estable [s] Line 5: Voltaje Linea - Neutro [p.u], con regulador Line 5: Voltaje Linea - Neutro [p.u], sin regulador Line 5: Voltaje Linea - Neutro [p.u], Estado estable [s] Line 6: Voltaje Linea - Neutro [kv], con regulador Line 6: Voltaje Linea - Neutro [kv], sin regulador Line 6: Voltaje Linea - Neutro [kv], Estado estable EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Voltajes en las lineas Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3 Figura 3.17 Voltaje l-n en las líneas en estado estable y con cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad

128 107 En las figuras 3.13 a 3.17 se puede notar que el sistema tiene una respuesta amortiguada en las principales variables de control, como son voltaje y frecuencia del sistema. Las potencias y ángulos del sistema tienen una respuesta con pequeñas perturbaciones al inicio de la actuación del regulador de velocidad, debido a que el efecto del regulador de velocidad es insignificante en oscilaciones de modo local o modos entre máquinas ya que estas frecuencias oscilan entre 1 Hz y 3 Hz. Típicamente los reguladores de velocidad tienen una aplicación más real al controlar las oscilaciones de baja frecuencia, debido a que su tiempo de actuación es relativamente alto en comparación con los reguladores de voltaje, estas oscilaciones generalmente se presentan en sistemas interconectados ANÁLISIS MODAL DEL SISTEMA DE NUEVE BARRAS El análisis modal en el sistema de 9 barras será efectuado sin y con el regulador de velocidad en el generador Análisis modal sin reguladores de velocidad En la tabla 3.5 se indican los valores propios del sistema. Como se puede apreciar la principal diferencia es que el sistema sin reguladores presenta dos modos oscilatorios (dos pares de modos complejos conjugados). En un sistema eléctrico sin sistemas de control, el número de modos electromecánicos es igual al número de generadores menos uno. En la figura 3.18 se presentan los valores propios del sistema de 9 barras sin reguladores de velocidad.

129 108 Tabla 3.5 Modos del sistema de 9 barras del IEEE sin reguladores de velocidad DIgSILENT Parte imaginaria [r Parte real [1/s] Valores propios estables Valores propios inestables EPN Sistema de 9 barras del IEEE PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD PCU_IEEEG3 Gráfica Valores Propios Figura 3.18 Valores propios del sistema de 9 barras sin reguladores de velocidad Las frecuencias que presentan los modos oscilatorios 2 y 3; y, 4 y 5 son de 3,044 y 1,932 Hz, respectivamente. Estos son modos electromecánicos causados por oscilaciones generadas en las partes móviles de los generadores. Además, los coeficientes de amortiguamiento de estos modos son relativamente bajos: 8% y 6%. El límite del coeficiente de amortiguamiento para pequeña señal es 5%.

130 109 En la figura 3.19 se muestran los factores de participación de los modos electromecánicos 2 y 3, que son producidos por una oscilación del generador 3 en contra de los dos generadores restantes; en tanto que, los modos 4 y 5 son producidos por una oscilación del generador 1 en contra de los otros dos. Figura 3.19 Modos de participación del sistema de 9 Barras del IEEE sin elementos de control Análisis modal con regulador de velocidad en el generador 1 En la tabla 3.6 se presentan los modos de oscilación del sistema de 9 barras del IEEE con un regulador de velocidad implementado en el generador 1. Tabla 3.6: Modos del sistema de 9 barras del IEEE con regulador de velocidad