Ing. Enrique D Onofrio Lic. Mónica Fiore LAS NUEVAS ESCALAS DE TIEMPO EN EL CÁLCULO DE LA MAREA

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1 INICIO Ing. Enrique D Onofrio LAS NUEVAS ESCALAS DE TIEMPO EN EL CÁLCULO DE LA MAREA La mayoría de los cálculos de marea hasta el presente y en la práctica corriente, se basan en fórmulas astronómicas que se remontan a principio del siglo XX. Si bien las técnicas de cálculo de marea se han implementado en computadora, las fórmulas básicas utilizan las longitudes astronómicas medias correspondientes al Sol y a la Luna (s, h, p, N, p, ν, ξ), establecidas por Doodson (1954) o Schureman (1988). Ambos trabajos están basados en trabajos mucho más antiguos realizados por Newcomb (1895) y Brown (1919). Para estos cálculos se utiliza el Tiempo Universal (UT) equivalente al Tiempo Medio de Greenwich (GMT), el cuál se ajusta al movimiento de rotación de la Tierra, suponiendo uniforme a la duración de los días. El Tiempo Universal es el tiempo civil de Greenwich. Se determina a partir del Tiempo Sidéreo mediante una fórmula que los vincula. Esta escala de tiempo refleja el movimiento de rotación de la Tierra. El UT está determinado retrospectivamente de las observaciones de rotación de la Tierra, de manera tal que las 0 horas de UT coinciden con el pasaje del Sol medio aparente sobre el meridiano de 180. Se definen tres variedades de Tiempo Universal: UT0: es el tiempo solar medio en el meridiano de Greenwich determinado a partir de una observación (a través del Tiempo Sidéreo). Está afectado por las irregularidades de la rotación de la Tierra. UT1: se obtiene al corregir a UT0 de los efectos del movimiento de los polos terrestres. UT2: resulta de corregir UT1 de los efectos de las desigualdades periódicas de la rotación terrestre. El Tiempo Sidéreo (TS) se define como el ángulo horario del equinoccio vernal. Se denomina Tiempo Sidéreo Aparente cuando se considera el movimiento del equinoccio verdadero, y Tiempo Sidéreo Medio cuando está definido a través del movimiento del equinoccio medio. La Ecuación de los Equinoccios representa la diferencia entre el Tiempo Sidéreo Aparente y el Tiempo Sidéreo Medio. Esta escala de tiempo también refleja el movimiento de rotación de la Tierra. Si al ángulo horario del equinoccio medio vernal se lo mide desde Greenwich se lo denomina Tiempo Medio Sidéreo de Greenwich (GMST). El Astronomical Almanac para el año 1984 (AA84) brinda la siguiente fórmula que vincula el GMST con el UT1 a las 0 horas: GMST a las 0 h de UT1 = 6 h 41 m 50 s s T u + 0 s T u 2 6 s T u 3 donde T u es el número de centurias julianas (1 centuria juliana = días solares medios) transcurridos desde el 1 de Enero de 2000 a las 12 horas de UT1 (corresponde al día juliano ). El día juliano (JD) correspondiente a cualquier instante es el intervalo en días solares medios (dsm) transcurrido desde el 1 de enero de 4713 antes de Cristo (-4713) a las 12 horas del meridiano de Greenwich. Los días julianos se utilizan en el calendario Gregoriano que es el utilizado actualmente ( ver APÉNDICE). Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 115

2 Desde 1950 los astrónomos han revisado en profundidad estos conceptos de tiempo, en lo concerniente a la precisión de las mediciones. Al comprobarse que la rotación de la Tierra era irregular e impredecible, surgió la necesidad de definir una nueva escala de tiempo conocida como Tiempo de Efemérides (ET), que se ajusta a la Orbita de la Tierra Alrededor del Sol. Esta nueva escala se utilizaría para todos los cálculos astronómicos, incluyendo las longitudes medias de la Luna y el Sol. El UT era igual al ET en 1903, pero tiene desde entonces un retraso que se incrementa cada vez más con respecto al ET y que en 1985 era cercano al minuto. En 1971 el ET fue reemplazado por el Tiempo Atómico Internacional (TAI) como la escala de tiempo estándar para propósitos técnicos y científicos. El TAI fue establecido por el Bureau International de la hora (BIH), en París, y está basado en las lecturas de relojes atómicos que funcionan de conformidad con la definición del segundo del Sistema Internacional de Unidades (SI). Este segundo fue definido en 1967 cómo la duración de períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. El TAI es uniforme y se relacionan a él las otras escalas de tiempo. Es establecido en forma atrasada por el BHI con la información suministrada por numerosos Servicios Nacionales de la Hora. Con la definición de segundo en el sistema SI apareció el Tiempo Universal Coordinado (UTC) que es la escala de tiempo uniforme que tiene como unidad al segundo del SI. Se propala como emisiones horarias con la aproximación necesaria para sus aplicaciones navegación, astronomía, geodesia. La diferencia entre las escalas de UTC y de TAI es un número entero de segundos. La diferencia entre UTC y UT1 no puede exceder 0,9seg (esto fue realizado a comienzos de 1972). Para mantener este compromiso, el 1 de enero y/o el 1 de julio se efectúan saltos de 1 seg en la escala de UTC. Las emisiones de señales horarias se adaptan al UTC con una precisión de ±0,001 seg. De esta manera el UTC provee una base adecuada para los cálculos del ángulo horario de los cuerpos celestes, para el uso de navegación y cálculos de marea. El UTC es el tiempo emitido por la radio. En la década de 1980 la Unión Astronómica Internacional ha introducido un nuevo juego de constantes astronómicas y un nuevo sistema de tiempo que son apropiados para utilizar en teorías relativísticas, pues el ET es definido solamente para teorías Newtonianas. En el AA84 se introducen nuevas efemérides calculadas por integración numérica utilizando las nuevas constantes astronómicas y las nuevas definiciones de tiempo. Las efemérides de la Luna y el Sol ya no son calculadas más como perturbaciones armónicas relacionadas con longitudes astronómicas medias. De cualquier modo y afortunadamente para el cálculo de la marea las fórmulas de las longitudes astronómicas medias, revisadas en el AA84, están dadas para el propósito primario de la nutación de la Tierra. Las nuevas fórmulas son referidas a la época como origen de tiempo, mientras que las viejas fórmulas estaban referidas a Desde 1984 se introdujo en las efemérides geocéntricas aparentes la escala de tiempo denominado Tiempo Dinámico Terrestre (TDT), en lugar del ET usado anteriormente. El TDT es equivalente al ET con respecto a las observaciones realizadas desde la Tierra. Para evitar discontinuidades con respecto a la escala anterior el TDT está avanzado respecto al TAI en 32 s.184. Se define de la siguiente manera con propósitos prácticos: Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 116

3 TDT = ET = TAI + 32 s.184 Ing. Enrique D Onofrio El TDT es la escala de tiempo usada por todas las efemérides de los fenómenos observados desde la Tierra. Desde 1991 se acordó denominar al TDT como Tiempo Terrestre (TT). El Tiempo Dinámico Baricéntrico (TDB) es la escala de tiempo utilizada en las efemérides referidas al baricentro del Sistema Solar. Difiere del TDT solamente en términos cuasi periódicos de amplitudes menores que 0.002seg. Cálculos realizados por el BHI mostraron que la diferencia: T = TDT - TU1 toma valores de 10-4 seg en un período de 5 días.la Figura 1 muestra valores de T obtenidos del AA84 para el siglo XX. T= TDT - TU1 Figura 1 Los valores de UT1 o más rigurosamente los de UTC se utilizan para la medición de marea. En la Figura 2 se observa la comparación entre los tiempos UT2 y UTC con el TAI, durante el período Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 117

4 TAI - UTC TAI UT2 Figura2 Cartwright (1985) presenta las últimas fórmulas de longitudes astronómicas medias para ser utilizadas en los cálculos de marea, teniendo en cuenta el nivel de precisión requerido. Además se comparan los valores numéricos de las longitudes astronómicas medias obtenidos con las fórmulas viejas con los de las nuevas. También se observan algunos cambios sistemáticos seculares de las amplitudes y velocidades de las componentes más importantes de marea. LONGITUDES MEDIAS DE LA LUNA Y EL SOL Aquí se presenta lo expuesto por Cartwright (1985). Las longitudes medias usualmente utilizadas en el desarrollo armónico del potencial generador de mareas presentado por Darwin son: s: longitud media de la Luna h: longitud media del Sol p: longitud media del perigeo lunar N: longitud media del nodo lunar p : longitud media del perihelio las cuales han sido expresadas durante muchas décadas en la forma: a + b.t + c.t 2 + d.t 3 [1] Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 118

5 donde a, b, c y d son un conjunto de constantes distintas para cada longitud media, y T es el tiempo en centurias julianas medido desde una época estándar. En las primeras fórmulas de longitudes astronómicas medias presentadas por Newcomb (1895) y Brown (1919), T fue contado en UT0 y la época estándar de origen fue el 0.5 de enero de 1900, que corresponde al 31/12/1899 a las 12 hs o al día juliano Doodson (1954) repitió prácticamente las mismas fórmulas con la época estándar adelantada al 01/01/1900 a las 12 hs. Otra versión de las mismas fórmulas en término de número de años y días fue dada por Doodson (1928); Franco (1981) no obstante da otra variante. El primer cambio radical en estas fórmulas aparece con la introducción del ET y otras mejoras descriptas en la publicación conjunta del US Naval Observatory y el Royal Greenwich Observatory, de 1954 Improved Lunar Ephemeris (ILE, 1954). La revisión de las fórmulas de las longitudes medias y otras no mencionadas aquí se encuentran en la página 288 del ILE, con T expresado en días de ET, no obstante desde la época 1900 utilizada por Newcomb. En el ILE, 1954 también se encuentran los siguientes argumentos ya presentados por Brown (1919): l = s p (anomalía lunar) l = h p (anomalía solar) F = s - N (extensión media lunar respecto del nodo) [2] D = s h (extensión media lunar respecto del sol medio) N se denota como Ω en las fórmulas de Brown. Las fórmulas más recientes aparecen en el AA84, como parte de otra intensa revisión de las constantes astronómicas. Los coeficientes, referidos a centurias julianas de TDT desde la época 01/01/2000 a las 12 hs, que aparecen en la página S26 del AA84 son: l = (1325.r ). T T T 3 l = (99.r ).T T T 3 F = (1342.r ). T T T 3 [3] D = (1236.r ).T T T 3 N = (5.r ).T T T 3 donde r = 360 De las fórmulas 2 y 3 pueden obtenerse los valores de s, h, p y p. La Tabla 1 resume las principales constantes a, b y c de la ecuación 1 para tres generaciones de fórmulas: 1. las de Newcomb (1895), adoptadas por Schureman (1988) 2. las que utilizan el ET dado en ILE (1954) 3. las que utilizan el TDT dado en el AA84 Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 119

6 Tabla 1 Las unidades están en grados y fracción con 4 decimales, con una precisión aceptable para los cálculos de marea. Se presentan los coeficientes para los cuatro argumentos principales de Brown l, l, F, D, y la longitud nodal Ω o N. La longitud L o h es redundante puesto que puede ser deducida de la ecuación: h = L = F D + Ω [4] La fila correspondiente a ε y ω corresponden a los valores de la oblicuidad de la eclíptica. Todos los valores del coeficiente d de la ecuación 1 son despreciables para los cálculos de marea. En algunos casos en la columna correspondiente al coeficiente b se suprimió la parte entera por tener el mismo valor. Las ecuaciones correspondientes a las escalas de tiempo 1 y 2 de la Tabla 1 están referidas a la época enero 0.5 de 1900, y la 3 a enero 1.5 de Del análisis de la misma surge que en las escalas 1 y 2 los valores de a son bastante cercanos y que por lo tanto la diferencia con el valor correspondiente a la escala 3 se debe mayormente al cambio de época que a la medición del tiempo. Esta afirmación se basa en que la diferencia de tiempo de las escalas 2 y 3 es muy pequeña. Sin embargo, hay un cambio fundamental en el valor de b de la escala 1 a la 2 o a la 3, debido al aumento de la diferencia entre el UT y el ET o el TDT. Si bien las fórmulas más actualizadas para la determinación de las longitudes astronómicas medias utilizadas en los cálculos de mareas son las correspondientes a la escala de tiempo 3, no pueden ser utilizadas sin realizarles alguna corrección pues los mareógrafos trabajan con UTC. Luego la ecuación 1 se modifica de la siguiente manera: Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 120

7 a + b.t + c.t 2 + b. T [5] donde b = b.10-9 y T está expresado en segundos. Los valores numéricos de b están tabulados en la última columna de la Tabla 1. Por ejemplo para el año 2000 el valor de T es de aproximadamente 65 seg (extrapolado de la Figura 1), por lo cual el incremento correspondiente a la anomalía l de la Luna para la predicción en UTC es: de la última columna de la Tabla 1 se obtiene b = luego b. T = = CAMBIOS EN LOS ARGUMENTOS DE LA MAREA Los argumentos de equilibrio de las principales componentes armónicas de marea son simples combinaciones lineales de las longitudes astronómicas medias básicas detalladas en la Tabla 1. Con el objeto de determinar numéricamente los cambios en los argumentos mencionados que resultan de las nuevas fórmulas, la Tabla 2 muestra para las principales componentes diurnas y semidiurnas, valores en grados con 4 decimales de sus argumentos angulares para el 01/01/1980 a las 0 hs y para el 01/01/2000 a las 0 hs, calculados con las viejas fórmulas (1) en el renglón de arriba y con las más recientes (3) en el de abajo. En la Tabla 2 sólo figura el V del argumento de equilibrio (Schureman, 1988) sin incluir el término correspondiente al ángulo horario del Sol medio. El término u del argumento de equilibrio no fue tenido en cuenta porque sus valores no son sustancialmente alterados por las nuevas fórmulas. Para calcular el tiempo en centurias julianas T de la Tabla 2 se realizaron los siguientes cálculos: Para la fecha Escala de tiempo 1 (más antigua) T=( dsm. 1cj)/36525 dsm Escala de tiempo 3 (más reciente) T=( dsm. 1cj)/36525 dsm Para la fecha Escala de tiempo 1 (más antigua) T=( dsm. 1cj)/36525 dsm Escala de tiempo 3 (más reciente) T=(-0.5 dsm. 1cj)/36525 dsm En ambos casos, para la escala de tiempo 1, se utilizó el origen de tiempo 01/01/ hs utilizado por Doodson. Las fórmulas para el cálculo de los argumentos astronómicos de la Tabla 2 para la escala de tiempo 3 requirieron adoptar un t para de 50.5 seg (AA84, pág. K9) mientras que para el se calculó un t de 65 seg. Un error próximo a 1 seg en t afecta en estos resultados solamente a la cuarta cifra decimal. Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 121

8 Tabla 2 CAMBIOS EN AMPLITUD Y VELOCIDAD Durante el último siglo la disminución uniforme en la oblicuidad de la eclíptica de en 1900 a en 2000 ha sido la causa principal de los cambios sufridos en la amplitud de las componentes en el potencial generador de marea. Si bien a la oblicuidad de la eclíptica ω se la puede considerar constante durante muchos años, responde a la siguiente ecuación: ω = T T T 3 donde T es el tiempo en centurias julianas desde el En el cálculo de mareas se puede adoptar como valor constante (para cálculos próximos al 2000). Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 122

9 El desarrollo armónico de Doodson (1954) utilizaba el valor de la oblicuidad de la eclíptica para 1900 y esto a algún lector no suficientemente informado puede haberle llevado a pensar que la amplitud de las componentes se mantenía constante. Cartwright y Tayler (1971) recalcularon las amplitudes de las fórmulas de Brown, usando las expresiones completas para cada elemento que dependía del tiempo, para 3 épocas diferentes: 1870, 1924 y Una ligera tendencia secular fue encontrada en muchas de las amplitudes armónicas, algunas positivas y otras negativas. Hay razones para suponer que estas tendencias pueden ser tratadas como variaciones lineales en el tiempo en un período de unas pocas centurias. Por lo que es fácil interpolar o extrapolar entre los valores tabulados en 1870 y 1960 para dar amplitudes apropiadas para las épocas estándar 1900 y 2000.En relación con este último párrafo, cuando se trabaja con series muy extensas de marea deberá evaluarse la incidencia de las variaciones de las amplitudes teóricas en el tiempo. Otras de las variables, en el cálculo de la marea considerada como una constante es la velocidad de cada componente. La misma se obtiene como la derivada respecto del tiempo de la parte V del argumento de equilibrio (ejemplo V(M 2 ) = 2T 2s + 2h, no confundir en este caso T ángulo horario con T tiempo en centurias julianas). Para el caso de la M 2 la expresión de la velocidad σ(m 2 ) = 2.dT(áng.hor)/dT(tiempo cj) 2. (ds/dt dh/dt) σ(m 2 ) = 2.15 /h 2. (ds/dt dh/dt) Como el aumento medio lunar respecto del Sol medio es D = s h entonces σ(m 2 ) = 30 /h 2. dd/dt Luego, de acuerdo con la ecuación 5 D = a + b.t + c.t 2 + b. T dd/dt = b + 2. c.t + b.(d T/dT) σ(m 2 ) = 30 2.(b +2.c.T) 2.b.(d T/dT) [6] De esta última expresión surge que las velocidades de las componentes de marea sufren variaciones debidas a los cambios en la velocidad de rotación de la Tierra. Para llevar a la práctica la ecuación 6 se deberá tomar una época de referencia para adoptar un valor para T y se podrá tener en cuenta que un valor promedio de cambio de T para el siglo XX fue de 0.7seg/año, aunque hay variaciones anuales entre 0 y 2 seg/año. Los valores representados por el último término de la ecuación 6 son evidentemente demasiado pequeños para ocasionar alguna consecuencia en cálculos prácticos que comprenden velocidades de las componentes. APÉNDICE El original calendario romano, introducido hacia el siglo VII a.c., tenía 10 meses con 304 días en un año que comenzaba en marzo. Dos meses más, enero y febrero, fueron añadidos Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 123

10 posteriormente en el siglo VII a.c., pero como los meses tenían solamente 29 o 30 días de duración, había que intercalar un mes extra aproximadamente cada segundo año. Los días del mes eran designados por el incómodo método de contar hacia atrás a partir de tres fechas: las calendas, o primeros de mes; los idus, o mediados de mes, que caían el día 13 de ciertos meses y el día 15 de otros; y las nonas, o el noveno día antes de los idus. El calendario romano se hizo enormemente confuso cuando los funcionarios que tenían encomendada la adición de días y meses abusaron de su autoridad para prolongar sus cargos o para adelantar o retrasar elecciones. En el año 45 a.c. Cayo Julio César, siguiendo el consejo del astrónomo griego Sosígenes (siglo I a.c.), decidió utilizar un calendario estrictamente solar. Este calendario, conocido como calendario juliano, fijó el año normal en 365 días, y el año bisiesto, cada cuatro años, en 366 días. El calendario juliano también estableció el orden de los meses y los días de la semana tal como figuran en los calendarios actuales. En el 44 a.c. Julio César cambió el nombre del mes Quintilis a Julius (julio), por él mismo. El mes Sextilis recibió el nuevo nombre de Augustus (agosto) en honor de Augusto, que sucedió a Julio César. Algunos expertos mantienen que Augusto estableció la duración de los meses que utilizamos actualmente. El año juliano era 11 minutos y 14 segundos más largo que el año solar. Esta diferencia se acumuló hasta que hacia 1582 el equinoccio de primavera se produjo 10 días antes y las fiestas de la iglesia no tenían lugar en las estaciones apropiadas. Para conseguir que el equinoccio de primavera se produjera hacia el 21 de marzo, como ocurrió en el 325 d.c., año del primer Concilio de Nicea, el papa Gregorio XIII promulgó un decreto eliminando 10 días del calendario. Para prevenir nuevos desplazamientos instituyó un calendario, conocido como calendario Gregoriano, que estipulaba que los años centenarios divisibles por 400 debían ser años bisiestos y que todos los demás años centenarios debían ser años normales. Por ejemplo, 1600 fue un año bisiesto, pero 1700 y 1800 no lo fueron. El calendario gregoriano recibe también el nombre de cristiano, porque emplea el nacimiento de Cristo como punto de partida. Las fechas de la era cristiana son designadas a menudo con las abreviaturas d.c. (después de Cristo) y a.c. (antes de Cristo) El calendario gregoriano se fue adoptando lentamente en toda Europa. Hoy está vigente en casi todo el mundo occidental y en partes de Asia. La Unión Soviética adoptó el calendario gregoriano en 1918, y Grecia lo adoptó en 1923 por motivos administrativos, aunque muchos países de religión cristiana oriental conservaron el calendario juliano para la celebración de las fiestas de la iglesia. Aunque el nacimiento de Cristo fue originalmente fijado el 25 de diciembre del año 1 a.c., los investigadores modernos lo sitúan ahora hacia el cuarto año de nuestra era. Puesto que el calendario gregoriano todavía supone meses de distinta duración, haciendo que fechas y días de la semana cambien con el tiempo, se han hecho numerosas propuestas para un calendario reformado más práctico. Estas propuestas incluyen un calenda rio fijo de 13 meses iguales y un calendario universal de cuatro periodos trimestrales idénticos. Hasta ahora no se ha adoptado ninguno. Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 124

11 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ing. Enrique D Onofrio Astronomical Almanac for the Year 1984 (with Supplement). Washington. US Govt. Printing Office. London. H.M.S.O. Brown, E. W. (1919) : Tables of the motion of the Moon; 3 vol. New Haven. Cartwright, D. E. (1985) : Tidal prediction and modern time scales. Int. Hydrog. Rev. Mónaco, LXII (1). January 1985, Cartwright, D. E. and Tayler, R.J. (1971) : New computations of the tide-generating potential. Geophys. J.R. Astr. Soc 23, Doodson, A. T. (1928) : The analysis of tidal observations. Phil. Trans R. Soc. A, Doodson, A. T. (1954) : The harmonic development of the tide-generating potential. Int. Hydrog. Rev., 31 (1), (Reprinted from (1921) : Proc. R. Soc. A, 100, ). Franco, A. dos S. (1981) : Tides Fundamentals Analysis & Prediction. Inst. Pesquisas Technolog., Sao Paulo. 232 pp. Improved Lunar Ephemeris (1954) : (A joint supplements to the American Ephemeris and British Nautical Almanac). US Govt. Printing Office, Washington. Newcomb, S (1895) : Tables of the Sun. Astron. Pap. American Ephemeris & Naut. Almanac, 6 (1). Washington. Schureman, P. (1988) : Manual of armonic analysis and prediction of tides. U. S. Govt. Printing Office, Whashington, 317 pp. (1st edition 1924; reprinted 1940, 1958, 1976, 1988). Cátedra de Mareas (FCEyN-UBA) 125