Gráfica del campo de direcciones y curvas solución. Encontrar valores numéricos de la solución en valores t.

Transcripción

1 Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Práctica Computacional Ecuaciones Diferencales 2015-II Contenido: 1. Funciones en la línea de comando. 2. Campo de direcciones. 3. Soluciones numéricas de un problema de valor inicial. Gráfica de la solución. Gráfica del campo de direcciones y curvas solución. Encontrar valores numéricos de la solución en valores t. 4. Solución simbólica de las EDOs. Solución general. Resolución de los problemas de valor inicial. Gráfica de la solución. Encontrar valores numéricos de la solución en valores t. 1. Definición de funciones en la línea de comando Si se desea utilizar una función varias veces es conveniente definirla como una función de línea de comando (inline function): f1=inline( sin(x)*x, x ) define la función f 1 (x) = sen(x) x. Hay que notar que los argumentos de inline deben ser cadenas de caracteres (strings) y no expresiones simbólicas. De esta forma se puede usar f1 en las expresiones que se escriban en la línea de comando. También se pueden definir funciones de varias variables: g1=inline( x*y+sin(x), x, y ) define la función g 1 (x, y) = xy + sen(x) de dos variables. 2. Campo de direcciones En primer termino debes copiar el archivo dirfield.m al directorio de trabajo de Matlab. function dirfield(f,tval,yval) % dirfield(f, t1:dt:t2, y1:dy:y2) % grafica el campo de direcciones para la ED ordinaria de primer orden y =f(t,y) % usando valores de t desde t1 hasta t2 con espaciamiento dt

2 % usando valores de y desde y1 hasta t2 con espaciamiento dy % f es el nombre de funcion escrita (sin comillas) (inline function) o el % nombre de un archivo m (con comilas). % Ejemplo: y = -y^ 2+t % Muestra el campo de direcciones para t en [-1,3], y en [-2,2], usando % un espaciamiento de 0.2 tanto para t como para y: % f = inline( - y^ 2 + t, t, y ) % dirfield(f, -1:.2:3, -2:.2:2) [tm,ym]=meshgrid(tval,yval); dt = tval(2) - tval(1); dy = yval(2) - yval(1); yp=feval(vectorize(f),tm,ym); s = 1./max(1/dt,abs(yp)./dy)*0.35; h = ishold; quiver(tval,yval,s,s.*yp,0,.r ); ; quiver(tval,yval,-s,-s.*yp,0,.r ); if h else axis([tval(1)-dt/2,tval()+dt/2,yval(1)-dy/2,yval()+dy/2]) Se define la función g en la línea de comando. Dicha función es de dos variables: t y y, correspondientes al lado derecho de la ecuación diferencial y (t) = g(t, y(t)). Por ejemplo, la ecuación diferencial y (t) = ty 2 se define como: g=inline( t*y^ 2, t, y ) Es necesario utilizar inline(..., t, y ), aunque las variables t o y no aparezcan en la fórmula. Para graficar el campo de direcciones de la EDO para un domino de t desde t0 hasta t1 con un espaciamiento de dt y y desde y0 hasta y1 con un espaciamiento de dy, se utiliza dirfield(g,t0:dt:t1,y0:dy:y1). Por ejemplo, para t y y entre -2 y 2 con un espaciamiento de 0.2, es necesario escribir en la línea de comando: lo que resulta en: dirfield(g,-2:0.2:2,-2:0.2:2)

3 3. Solución numérica de un problema de valor inicial En primer término es necesario definir la función en la línea de comandos g correspondiente al lado derecho de la ecuación diferencial y (t) = g(t, y(t)). Continuando con el ejemplo, la ecuación diferencial y (t) = ty 2 se define como: g=inline( t*y^ 2, t, y ) Para graficar la solución numérica de un problema de valor inicial con la condición inicial y(t 0 ) = y 0, se puede graficar la solución para t que va desde t0 hasta t1 usando ode45(g,[t0,t1],y0). Ejemplo: Para resolver el problema de valor inicial y (t) = ty 2 sujeto a y( 2) = 1 en el intervalo [ 2, 2] se usa: lo que resulta en ode45(g,[-2,2],1) Los círculos marcan los puntos en los que se realizó el cálculo numérico (dichos puntos son elegidos por Matlab para optimizar la exactitud y eficiencia del algoritmo). Se pueden obtener los vectores ts y ys con las coordenadas de estos puntos usando [ts,ys]=ode45(g,[t0,t1],y0). Posteriormente es posible graficar la solución usando plot(ts,ys) y de esta manera se puede obtener una gráfica sin los círculos. Para combinar las gráficas de campos de direcciones y varias curvas soluciones se usan los comandos y después de obtener la primera gráfica se escribe, por lo que todos los comandos relativos a las gráficas subsecuentes serán ejecutados en la misma ventana. Después del último comando se escribe.

4 Ejemplo: Graficar el campo de direcciones y las 13 curvas solución con las condiciones iniciales y( 2) =-0.4,-0.2,...1.8, 2: dirfield(g,-2:0.2:2,-2:0.2:2) for y0=-0.4:0.2:2 ts,ys=ode45(g,[-2,2],y0); Plot(ts,ys) generando: Para obtener valores numéricos de la solución en determinados valores de t: Se puede especificar un vector tv de t valores y usar [tx,ys]=ode45(g,tv,y0). El primer elemento del vector tv es el valor inicial de t; el vector tv debe de tener al menos 3 elementos. Ejemplo: Obtener la solución con la condición inicial y( 2) = 1 en t = 2,1.5,,1.5, 2 y mostrar los resultados en una tabla con dos columnas. [ts,ys]=ode45(g,-2:0.5:2,1); [ts,ys] Para obtener el valor numérico de la solución en el valor final de t se utiliza ys(). 4. Solución Analítica de EDOs Para resolver una ecuación de manera simbólica es necesario definir la ecuación diferencial como una cadena de caracteres, usando Dy para y (t) y y para y(t). Ejemplo: para resolver la ecuación diferencial y (t) = ty 2 se escribe en la línea de comando: sol=dsolve( Dy=t*y^ 2, t ) El último argumento t es el nombre de la variable indepiente. Si Matlab no puede encontrar una solución regresará como solución un símbolo vacío. Si Matlab encuentra varias soluciones regresará un vector de soluciones. En algunos casos Matlab no podrá encontrar soluciones explicitas, pero regresará la solución en forma implicita, esto es dsolve( Dy=1/(y-exp(y)), t ) regresa

5 t-1/2*y^ 2+exp(y)+C1=0 Para resolver un problema de valor inicial se debe de especificar la condición inicial: sol=dsolve( Dy=t*y^ 2, y(-2)=1, t ) Para graficar la solución se utiliza (sol,[t0,t1]).ejemplo: Grafique las curvas solución de la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales y(t) =0.2,0.4,,1.8,2: sol=dsolve( Dy=t*y^ 2, y(-2)=y0, t ) for y0=0.2:0.2:2 ezplot(subs(sol, y0,y0),[-2 2]) axis tight resultando: