PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN El CÁLCULO DE ARMÓNICOS

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1 1/5 Title PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN El CÁLCULO DE ARMÓNICOS Registration Nº: (Abstract) 850 Empresa o entidad CORPOELEC Región Capital (Venezuela) 1 y UCV, Facultada de Ingeniería Autors of te paper Name Country Héctor Briceño 1 Venezuela Claudio M. Rocco S. Venezuela Keywords Armónicos, incertidumbre, sensibilidad, Monte Carlo El aumento vertiginoso en el desarrollo tecnológico a venido acompañado de la implementación de sistemas electrónicos, que además de proporcionar control en los procesos y aligerar las tareas diarias, también a introducido problemas asociados a la calidad del servicio, entre los que se destaca la generación de armónicos (voltaje y corriente). La presencia de estos armónicos es responsables de operaciones erráticas de equipos, circulación de corrientes por neutro asta el punto de sobrecárgalo, operación no deseada en protecciones, entre otros. El siguiente trabajo intenta describir la variación que se puede presentar en cada armónico (), a través de la respectiva impedancia equivalente vista en un punto específico de un sistema eléctrico ( Z v, ), mediante un análisis de propagación de incertidumbre, utilizando para ello las ventajas que ofrece la técnica de simulación de Monte Carlo. Además, este estudio permite obtener la función de distribución de probabilidades empírica asociada a la salida del modelo (impedancia para cada armónico, Z v, ), como valor agregado de la técnica de análisis de incertidumbre seleccionada. El enfoque descrito se evalúa en un sistema de potencia, a la salida de una subestación de distribución de energía eléctrica, contando con elementos en serie y derivación, los cuales son luego resumidos en un equivalente de Tevenin para su posterior análisis. La expresión algebraica de la impedancia es común para cada armónico en estudio, pero considera el orden () o frecuencia (f ) de cada armónico seleccionado. 1 / 5

2 /5 INTRODUCCIÓN La creciente modernización de los equipos a venido acompañada de una serie de fenómenos que asta ace unos años no eran tomados en cuenta, como son los armónicos presentes en un sistema eléctrico. Sin embargo, una vez que se comenzó a estudiarlos, los mismos eran analizados desde un punto de vista determinista donde la incertidumbre asociada a las características de la red no era considerada. No obstante, la realidad del mundo donde esta nueva tecnología interactúa, a orientado la revisión de estos esquemas tradicionales, por estudios que involucren el análisis de sensibilidad e incertidumbre de los modelos adoptados [1] [4]. El presente trabajo ofrece una forma de realizar estos análisis, utilizando la técnica de simulación de Monte Carlo, la cual no sólo presenta la cuantificación de la incertidumbre a la salida de un modelo, sino que además proporciona una función de distribución de probabilidades (fdp) empírica que puede ser utilizada para iniciar otras evaluaciones. El tema se desarrolla en cuatro partes: la primera, refleja el fenómeno de los armónicos, la segunda, ace una breve descripción sobre el análisis de sensibilidad e incertidumbre, la tercera, presenta la técnica de simulación empleada (Monte Carlo) y la cuarta parte ilustra la aplicación de la técnica a un caso de estudio. METODOLOGÍA 1. Armónicos Es la componente sinusoidal de una onda periódica a una frecuencia con múltiplo entero de la frecuencia fundamental (f 1 ) [6]. Por ejemplo, una componente de frecuencia al triple de f 1, es llamada tercer armónico, 3* f 1 (ver Figura N 1). De acuerdo con esto, en un sistema de potencia, operando a f 1, una componente armónica es una sinusoidal que tiene una frecuencia expresada como [8]: f * f 1 Donde: f : componente armónica en Hz. : orden del armónico (1,, 3, 4,, m) f 1 : frecuencia fundamental del sistema, 50 o 60 Hz. (1) Figura N 1. Descomposición en armónicos (series de Fourier) de una onda distorsionada, f 1 = 60 Hz []. La descomposición en armónicos de una onda distorsionada es estudiada a través de las series de Fourier (ver Figura N 1), enfoque matemático que permite describir a una función periódica como la representación de una serie infinita de sumas de funciones senos y cosenos múltiplo de f 1 (detalles de la descomposición pueden ser consultados en []). Varios análisis aplicados al estudio de armónicos utilizan la impedancia equivalente vista en un punto específico de un sistema eléctrico ( Z v, ), la cual es obtenida mediante el cálculo de un equivalente de Tevenin, para evaluar otros aspectos de interés como [1] []: - Cálculo de distorsión armónica total (THD) o individual, ya que las variables de corriente y voltaje se relacionan a través de la Ley de Om con la impedancia. - Problemas de resonancia paralela o serie del sistema, que requieren el cálculo de impedancia para obtener la reactancia. - La impedancia característica, el factor de amplificación y el diseño de filtros para compensar corrientes de armónicos, que al igual que al caso anterior requieren el valor de la reactancia.. Análisis de sensibilidad e incertidumbre Un modelo matemático puede considerarse una aproximación a la realidad. En éstos se trata de representar una o más funciones de salida (denominadas funciones de desempeño) a través / 5

3 3/5 de relaciones funcionales entre las variables de entrada y considerando, posiblemente, algún tipo de simplificación. Los sistemas eléctricos no escapan a este enfoque. Por lo general, los modelos desarrollados consideran que las variables de entrada (parámetros de elementos pasivos, fuentes de energía, entre otros) se conocen exactamente, lo cual no siempre ocurre debido al grado de incertidumbre que éstas presentan. La incertidumbre es un estimado que caracteriza el rango de valores donde se encuentra el valor exacto y puede aparecer, entre otras cosas, por imprecisión o por inabilidad de poder realizar mediciones adecuadas [5]. La incertidumbre puede ser caracterizada de diversas maneras y en este trabajo se considera representarla a través de variables aleatorias con fdp conocidas. La evaluación de cómo los efectos de la incertidumbre afectan el rendimiento de los sistemas puede ser analizada y calculada (ver Figura Nº ) con varias técnicas [4]:.1 Análisis de sensibilidad Métodos que permiten comparar la importancia de la incertidumbre de las entradas, en términos de su contribución relativa a la incertidumbre de la salida.. Análisis o propagación de incertidumbre Son aquellos métodos o técnicas que permiten calcular la incertidumbre en la salida de un modelo, producida por la incertidumbre de las variables de entrada. Las técnicas de análisis de sensibilidad e incertidumbre pueden incluir [11]: - Análisis determinista en los que se evalúa un modelo, variando sólo un parámetro de entrada y manteniendo el resto constante. - Análisis determinista en conjunto, donde el valor de más de un parámetro es variado simultáneamente. - Análisis paramétrico que permiten variar uno o varias entradas en un rango seleccionado razonablemente, obteniéndose un límite inferior y superior, para examinar la forma de la respuesta. - Análisis probabilístico usando funciones de distribución de probabilidades y técnicas de simulación (Monte Carlo). Figura N. Propagación de incertidumbre [4]. Detalles de estas y otras técnicas así como de métodos de cálculo pueden ser consultados en [4]. 3. Técnicas de simulación - Monte Carlo Entre las técnicas existentes para realizar análisis de sensibilidad e incertidumbre, se consideró el uso de la técnica de simulación de Monte Carlo. Ésta supone evaluar repetidamente el modelo bajo estudio variando sistemáticamente los valores asociados a las variables de entrada. Cada variable de entrada es caracterizada a través de una variable aleatoria, con fdp conocida. Esto ace que la salida o salidas del modelo sean consideradas a su vez como variables aleatorias con fdp generalmente desconocida. La técnica supone: 1) la extracción de valores probables de cada variable de entrada (de acuerdo con sus respectivas fdp) y ) la evaluación del modelo. Los pasos 1) y ) se repiten un número de veces prefijado por el usuario. Al final es posible tener una aproximación de la fdp de la salida (o salidas) y estimar características tales como media, varianza y, en general, cualquier percentil de la distribución. Una característica interesante de la técnica es que permite la variación simultánea de las variables de entrada. Esta situación puede considerarse mejor ajustada a la realidad, ya que estos modelos (aproximación a un problema), pocas veces presentan el escenario de los análisis tradicionales, donde sólo se varía un parámetro a la vez, mientras que los demás permanecen constantes en un valor nominal. Adicionalmente es posible considerar posibles efectos de correlación entre las variables de entrada (por ejemplo, variaciones debidas a efectos de temperatura). 3 / 5

4 4/5 Entre sus principales desventajas se encuentran el posible elevado costo computacional requerido para estimar adecuadamente la fdp de la salida. En general, la simulación se detiene cuando se alcanza un error predeterminado para alguna característica de la fdp empírica (generalmente la media), 4. Caso de estudio El sistema eléctrico analizado, corresponde a la salida de una subestación de distribución de energía eléctrica, que posee elementos en serie y derivación (ver Figura Nº 3 y 4), los cuales son descritos más adelante. Las ecuaciones () y (3) presentan el modelo que relaciona las entradas (resistencias y reactancias) con la salida ( Z v, ), siendo ésta la impedancia vista en el punto v del sistema eléctrico. Z Z R jx v, v, v, v, ( Rv, ) ( X v, ) () (3) Las expresiones respectivas para calcular la resistencia (R v, ) y la reactancia (X v, ) de acuerdo al orden del armónico (), se encuentran en los apéndices. Aplicando la técnica de simulación de Monte Carlo (10,000 muestras) en conjunto con las ecuaciones (3), (4) y (5), y suponiendo incertidumbre del + 0 % con respecto al valor base, modelada a través de fdp uniformes e independientes, se obtuvo la incertidumbre asociada a Z v,. La Tabla Nº1 presenta el promedio de Z v,, los límites inferior y superior (correspondientes a los percentiles 0 y 100) y el % máximo de variación (desviación) entre el valor promedio y la máxima diferencia con cualquiera de los límites, para varios valores de. Tabla N 1. Resultados de la simulación para Z v, Z v, Límite inferior Límite superior % max. de variación Figura N 3. Modelo de un sistema eléctrico [10] A manera de ejemplo, la Figura Nº 4 muestra la fdp empírica asociada a Z v,5. Figura N 4. Circuito equivalente [10]. Los parámetros del sistema son: *Xkq= * 0.05 % Pn= 4 MW Rl 110 = 0.01 % Rn= 100/Pn % *Xl 110 = *0.033 % Qc= 1. MVA Rt = 0.01 % Xc/= -100/(*Qc) % *Xt= *0.5 % Rl 10 = % = orden del armónico *Xl 10 = *0.19 % % en MVA Figura N 5. Histograma (fdp empírica) de Z v,5. 4 / 5

5 5/5 CONCLUSIONES El presente trabajo analiza cómo la incertidumbre asociada a los elementos de un sistema eléctrico de distribución afecta la impedancia vista por la fuente de armónicos. El análisis se basa en el uso de la técnica de simulación de Monte Carlo. La aplicación presentada determinó las fdp empíricas de la impedancia vista por la fuente del armónico Z v,, para los armónicos, = 1, 3, 5 y 7. De aquí es posible cuantificar los valores extremos (límites inferiores y superiores) y la máxima variación que puede presentarse en el cálculo de Z v,1 (6.4 % para = 5). BIBLIOGRAFÍA [1] T. A. Sort, Electric Power Distribution, CRC Press LLC, USA, 005. [] M. McGranagan, R. Dugan, W. Beaty, Electrical Power Systems Quality, McGraw-Hill Books, Second Edition, 004. [3] M. Granger, M. Henrion, Uncertainty, Cambridge University Press, USA, [4] A. Saltelli, S. Tarantola, F. Campolongo, M. Ratto, Sensitivity Analysis in Practice: A Guide to Assessing Scientific Models, Jon Wiley & Sons Ltd, England, 004. [5] L. V. Kolev, Interval Metods for Circuit Analysis, World Scientific Publising Co., USA, [6] Norma Técnica Venezolana COVENIN 384:004, Control de Armónicos en Sistemas Electricos, Venezuela, 004. [7] A. Greenwood, Electrical Transients in Power Systems. Second Edition, Jon Wiley & Sons, Inc, Canada, [8] ANSI/ IEEE Std , IEEE Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems, USA, 199. [9] C.M.Rocco, N. Guarata Te Use of Interval Aritmetic as an Alternative Metod to Evaluate Uncertainty in Input-Output Models. [10] C.M. Rocco. Interval Metods Applied to Variability Analysis of Power Systems, Upec 98, Edinburg, [11] C.M. Rocco, J.A. Moreno, Carrasquero N. Robust Design Using a Hybrid-Cellular- Evolutionary and Interval-Aritmetic Approac: A Reliability Application. Reliability Engineering and System Safety, 003, 79/ pp APÉNDICES Expresiones para calcular la resistencia (R v, ) y la reactancia (X v, ) de acuerdo al orden del armónico (): Rt 1 ( * Xkq * Xl110 * Xt) Rn R v, Rl 10 Rt 1 * Xkq * Xl110 * Xt ( * Xkq * Xl110 * Xt) Rn ( * Xkq * Xl110 * Xt) Xc (4) * Xkq * Xl110 * Xt ( * Xkq * Xl110 * Xt) Xc X v, * Xl 10 Rt 1 * Xkq * Xl110 * Xt ( * Xkq * Xl110 * Xt) Rn ( * Xkq * Xl110 * Xt) Xc (5) 5 / 5

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