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1 Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario Prof Ing Raúl ianchi Lastra Cátedra: CONTENIDO Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario Introducción Constantes del cuadripolo Modelos de cuadripolos 3 Cálculo de los parámetros del cuadripolo 3 Modelos Simplificados 7 Equivalente π de una línea corta 8 Equivalente π de una línea media 8 Equivalente π de una línea larga 9 Operaciones con cuadripolos 9 Cuadripolos en serie 9 Cuadripolos en paralelo 10 Elementos sencillos 10 Casos particulares 11 Línea adaptada 11 Línea sin pérdidas, adaptada 1 Potencia Natural 1 Cálculo del flujo de potencia 13 Diagrama de circulo 14

2 Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario Introducción El modelo adecuado de una línea depende del tipo de estudio para el cual se lo usará, y en el caso de una línea de transmisión funcionando en régimen estacionario, ésta puede ser representada mediante un circuito equivalente con parámetros concentrados El análisis de la línea en este estado tiene generalmente dos objetivos: Determinar la caída de tensión (relacionado con la calidad de servicio) Determinar las pérdidas, regulación de tensión, etc (aspecto económico) Si sólo nos interesan los valores de tensión y corriente a ambos extremos de la línea, y a una frecuencia determinada (por ejemplo 50 Hz) el modelo más sencillo de la línea es un cuadripolo con parámetros concentrados Siendo la relación entre tensión y corriente en ambos extremos la siguiente: U I 1s U 1 U s A I s C I D [1] En donde A,, C y D se denominan constantes del cuadripolo y son en general valores complejos Las tensiones en la Ec [1] son tensiones fase tierra El punto sobre la U e I indica además que se tratan de fasores Si el sistema en análisis es trifásico, simétrico y equilibrado, el análisis puede realizarse empleando un modelo monofásico Además, por ser un circuito pasivo y simétrico, se cumple que: Constantes del cuadripolo A partir de las ecuaciones de la línea real: A D AD C 1 U I 1s U s cosh( l) I sinh( l) sinh( l) 1 U s I cosh( l) [] Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

3 Comparando las relaciones [1] y [], se deduce el valor de las constantes ACD del cuadripolo que representa exactamente a la línea a una frecuencia determinada A cosh( l); sinh( l) C sinh( l) ; D A cosh( l) [3] siendo j zy la llamada constante de propagación (aunque en realidad sólo es constante a una frecuencia dada) Modelos de cuadripolos Un cuadripolo puede representarse con un circuito π ó T de parámetros concentrados, según se muestra en la siguiente figura Figura 1 Cuadripolos π y T Una aplicación típica de modelos de líneas como cuadripolos con elementos concentrados en la resolución de flujos de carga, en donde se prefiere el circuito π en lugar del T dado que este último tiene un nodo adicional, lo cual incrementa innecesariamente la dimensión de las matrices, y consecuentemente del tiempo de cálculo Independientemente del circuito utilizado para representar al cuadripolo, es posible obtener los valores de impedancia (Z) y admitancia (Y) en función de las constantes ACD del cuadripolo y viceversa Cálculo de los parámetros del cuadripolo Figura Si optamos entonces por un circuito π para representar al cuadripolo (y consecuentemente a la línea), aplicando la ley de Kirchhoff al circuito de la Figura a, resulta: Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

4 U Z I L con I L I U Y Y U I Z U Z Y 1 U Z I I 1 Y 1 Z Y U 1 Z Y I 4 recordando que: s AU s I I 1 CU s DI se obtiene finalmente los valores de las constantes ACD en función de Z e Y A Z Y 1 Z C Y 1 Z Y 4 D A 1 Z Y [4] Comparando [] y [4] A cosh(l) Z Y 1 sinh(l) Z con z y z z z 1 zy z l l Z l ; y 1 y z y y y 1 zy y l l Y l Y 1 l haciendo Y cosh( l) 1 cosh( l) 1 Z sinh( l) 1 tanh l se llega a las siguientes equivalencias: Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

5 Z Z sinh(l) l Y Y tanh l [5] l Por lo tanto, los parámetros de circuito π son los indicados en la siguiente figura: en donde Z e Y son la impedancia y admitancia total de la línea Es de hacer notar que γl es directamente proporcional a la frecuencia y a la longitud de la línea, y si γl << 1 entonces sinhl l 1, y también tanh 1 l 1 l por lo que Z π Z y Y π / Y/ Para frecuencia bajas y/o para líneas cortas los términos hiperbólicos son prácticamente igual a la unidad Para frecuencia altas y/o líneas larga, se considera a los términos hiperbólicos como factores de corrección (cercanos a 1) por el cual debe multiplicarse la impedancia (ó admitancia) total de la línea para obtener la impedancia (ó admitancia) exacta del circuito π La Figura 3 muestra la variación de los términos hiperbólicos en función de la longitud de la línea, para una frecuencia de 50 Hz Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

6 Figura 3 Los graficos de la Figura 4 muestran como difieren la resistencia, reactancia y admitancia del circuito π exacto (en color verde), con respecto a los mismos parámetros del circuito π nominal (en azul), es decir, del obtenido al despreciar los términos hiperbólicos Se observa que el error en la impedancia es de signo contrario que en la admitancia, es decir, en la impedancia se comete un error por exceso mientras que en la admitancia es por defecto si no se utiliza el circuito π exacto para lineas largas Figura 4 En la Figura 5 se grafica la variación del error en función de la longitud de la línea, y a 50 Hz El mayor error es en la resistencia, luego en la reactancia y el menor de todos es en la admitancia Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

7 Figura 5 Es de notar que, para el caso de líneas aéreas en donde =, j, con 6º 100km, con lo que el error porcentual en función de la longitud de la línea es prácticamente igual para cualquier línea, independiente de su tensión nominal Del gráfico de la Figura 5 se desprende entonces que para líneas de hasta 13 kv, las cuales raramente exceden los 100 km de longitud, pueden despreciarse en la práctica los términos hiperbólicos Modelos Simplificados En función de la longitud de la línea, y sólo para análisis de 50 Hz, puede considerarse que ésta es corta, media o larga según los siguientes criterios: Línea corta: es cuando puede despreciarse su admitancia transversal Es en general razonable considerar así a las líneas de longitud inferior a 80 km aproximadamente, o de hasta 13 kv Línea media: para longitudes de 80 a 50 km, en donde no es correcto despreciar su admitancia, aunque todavía puede considerarse a los términos hiperbólicos iguales a la unidad Línea larga: son aquellas líneas de longitud mayor a 50 km, en donde no se puede despreciar los términos hiperbólicos, y por lo tanto debe utilizarse el circuito π exacto Es de mencionar sin embargo que los términos corta, media y larga no están únicamente asociados a la longitud en km de la línea, sino que también hay que considerar la frecuencia a la cual se utilizará el modelo Así para una línea de 50 km de longitud deberá utilizarse un Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

8 modelo de línea larga si el análisis del comportamiento de la línea se hará a 5000 Hz, por ejemplo Equivalente π de una línea corta Dado que para una línea corta puede despreciarse su admitancia transversal Y, el circuito π de la misma se transforma en el siguiente: Con una simple inspección del mismo, se deduce que: U ZI I 1 I y por lo tanto las constantes del cuadripolo serán: A 1 Z C 0 D A 1 Equivalente π de una línea media U ZI L con I L I U Y Y U I Z U ZY 1 U ZI I 1 Y 1 ZY 4 U 1 ZY I con lo cual se deduce que: Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

9 A ZY 1 Z C Y 1 ZY 4 D A 1 ZY Equivalente π de una línea larga por lo tanto: Operaciones con cuadripolos Cuadripolos en serie U coshl I sinhl I 1 U sinhl I coshl A coshl sinhl C 1 sinhl D A Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

10 U 1 İ1 U 1 İ1 U 1 İ1 U 1 İ1 A 1 1 Uİ C 1 D 1 A 1 1 A U C 1 D 1 C D A A C 1 1 C 1 A D 1 C A C Uİ A U C D I I A 1 1 D C 1 D 1 D U D I U I por lo tanto: A A 1 A 1 C C C 1 A D 1 C A 1 1 D D C 1 D 1 D Cuadripolos en paralelo A A 1 A 1 1 C C 1 C A 1 A D D D 1D D 1 1 Elementos sencillos Elementos sencillos del sistema de transmisión pueden representarse también como cuadripolos: Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

11 U A 1 0 I 1 U Y I C Y D 1 I 1 I C 0 D 1 U IZ A 1 Z Casos particulares Línea adaptada La línea se considera adaptada cuando la impedancia de carga (Z ) es igual a su impedancia característica ( ) La impedancia característica de una línea real es compleja, con la parte imaginaria negativa U (x ) U coshx I sinhx I (x) U sinhx I coshx y como U I Z, reemplazando en la expresión anterior tendremos: con lo cual: U (x ) I Z coshx I sinhx I (x) I Z sinhx I coshx Z (x) U (x ) I (x ) Z coshx sinhx Z sinhx coshx si Z resulta finalmente que: Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

12 Z (x) U (x ) I (x ) U I por lo tanto, cuando la impedancia de carga de la línea es igual a su impedancia característica, le relación entre tensión y corriente en cualquier punto de la línea es igual a la relación entre tensión y corriente en la carga Línea sin pérdidas, adaptada Si la resistencia de la línea es nula, el factor de atenuación α es cero y por lo tanto resultará que: cosh( x) cosh(x jx) cosh(x)cos(x) jsinh(x)sin(x) sinh( x) sinh(x jx) sinh(x)cos(x) jcosh(x)sin(x) Si 0 cosh( x) cosx sinh( x) jsin x partiendo de las ecuaciones de la tensión y corriente en cualquier punto de la línea, U (x ) U cosx ji sinx I (x) j U sinx I cosx y considerando Z I U tendremos finalmente que: U (x) U cosx j sinx U x I (x) I cosx j sinx I x Es decir, el perfil de tensión de la línea es plano La tensión en cualquier punto de la línea es igual en módulo a la tensión en el recibo, sólo cambia la fase Dado que la línea es sin pérdidas, Zc es puramente resistiva, y por lo tanto U (x) e I (x) están en fase Potencia Natural Es la potencia en la carga cuando su impedancia es igual a la impedancia característica de la línea: P nat 3U s I * 3 U s U nom Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

13 Para el caso de una línea ideal, la es resistiva pura, y por lo tanto el reactivo de la carga es nulo En la bibliografía de lengua inglesa, a la potencia natural se la expresa con las siglas SIL por Surge Impedance Loading Además, Z U I L C Z c U I L C I L U C lo cual indica que para la línea cargada con su potencia natural, la energía del campo magnético en la inductancia de la línea es igual a la energía del campo eléctrico, por lo que la línea no demanda potencia reactiva del sistema Para P = P nat no hay demanda de reactivo Si P > P nat la línea demanda potencia reactiva inductiva Si P < P nat la línea demanda potencia reactiva capacitiva Cálculo del flujo de potencia El cuadripolo equivalente de la línea puede utilizarse para calcular la potencia activa y reactiva en uno de sus puertos, si son conocidas la tensión y corriente en el otro puerto Partiendo de las ecuaciones del cuadripolo: despejando I de la primera, tendremos que: s AU s I I 1 CU s DI I s AU s s AU s Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

14 siendo además S 3 U s I *, llegamos finalmente a la expresión de la potencia activa y reactiva en el extremo de recibo, en función de las tensiones en ambos extremos: P U Q U cos(b ) A U sin(b ) A U cos(b a) sin(b a) en donde A Aa, b, D Dd y δ es el ángulo entre la tensiones y U que en estas expresiones son las tensiones entre fases en los extremos (NO fase tierra) De la misma forma podemos obtener la expresiones de las potencia en el extremo de envío, las cuales resultan: Diagrama de circulo P 1 D U 1 cos(b d) U cos(b ) Q 1 D U 1 sin(b d) U sin(b ) Se observa en las expresiones anteriores que tanto la potencia activa como la reactiva resultan expresadas como la resta de dos fasores, los cuales pueden graficarse en un plano complejo cuyos ejes son P y Q, tal como se muestra en la Figura 6 Se observa en la figura que la posición del fasor O N no cambia si se mantiene constante el módulo U La posición del fasor O M cambiará sin embargo con la variación de la potencia de la carga P +jq Figura 6 Diagrama de círculo Si se asume que el módulo de U1 también es constante, el módulo del fasor O M también será constante, pero no así su ángulo, el cual dependerá de δ, el desfasaje entre las tensiones y U El lugar geométrico del punto M será entonces un circulo de radio O M y centro en O, y de aquí el nombre del diagrama Se deduce por lo tanto del diagrama que, con los módulos de y U constantes, el efecto de la variación de P y/o Q será únicamente una variación del ángulo δ, es decir, del desfasaje entre las tensiones y U Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

15 Un aumento de P deberá además estar acompañado por una disminución de Q para que el punto M permanezca en el circulo, y viceversa Es importante destacar además que, para un par de valores de y U (los cuales no difieren mucho entre sí), existe un límite máximo para la potencia activa que se puede transmitir P,max, el cual ocurre cuando δ=b Cualquier incremento adicional de δ producirá una reducción en la potencia transmitida P,max U A U cos(b a) Sin embargo, la transmisión de ésta potencia máxima también producirá una elevada demanda de reactivo, es decir, de compensación, a la vez que pueden existir límites de transmisión inferiores debido a problemas térmicos o de estabilidad del sistema Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16

16 ANEXO A Resumen Z sinhl Z sinhl l Y 1 sinhl Y tanh l l Modelos de líneas en estado estacionario Ing Raúl ianchi Lastra de 16