Transferencia de potencia en RF

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1 Transferencia de potencia en RF N. Tempone A. Henze H. Silva G. Monasterios Lab. Metrología RF & Microondas, INTI Mayo 2012 (rev. 05/2013)

2 Índice 1. Formulación clásica de RF 2 2. Formulación con múltiples reflexiones 3 3. Definición de P d, P Z0 y P av 5 4. Formulación clásica de teoría de circuitos 5 5. Medición de potencia 6 Resumen La Figura 1 muestra un circuito muy simple. Su estudio, sin embargo, puede realizarse a partir de análisis muy diferentes. El objetivo principal de este artículo es presentar diferentes formas de resolver y analizar esta situación. Además, a partir de estos resultados, se deducen las expresiones utilizadas en la medición de potencia en RF. Figura 1: Circuito estudiado. 1

3 1. Formulación clásica de RF Sean, en la Figura 2, a y b las ondas de tensión incidente y reflejada[1] a la carga, respectivamente. La línea de transmisión no tiene pérdidas, y su impedancia característica es Z 0. b G a Γ G Γ L Figura 2: Diagrama de flujo de ondas de tensión. El generador produce una onda de tensión incidente, generalmente llamada V +. Esta es la tensión incidente debida a V G en una línea de transmisión cargada con una impedancia igual a Z 0 : V + = b Z 0 Z G + Z 0 V G (1) Esta onda de tensión, normalizada a la raíz de Z 0, representa la onda viajera b G : b G = V + Z0 = Z 0 (Z G + Z 0 ) Z 0 V G = Entonces las potencias incidente P i y reflejada P r resultan: Z0 Z G + Z 0 V G (2) P i = a 2 P r = b 2 (3) Los coeficientes de reflexión a la entrada, Γ G, y a la salida, Γ L, son respectivamente: Por otro lado: Γ G = Z G Z 0 Z G + Z 0 Γ L = Z L Z 0 Z L + Z 0 (4) Γ L = b a (5) La potencia disipada en la carga Z L es la diferencia entre la potencia incidente y la reflejada: Del diagrama de flujo resulta: P d = P i P r = a 2 b 2 = a 2 (1 Γ L 2 ) = P i (1 Γ L 2 ) (6) 2

4 a = b G + Γ G b = b G + a Γ G Γ L (7) Reordenando se obtiene: Reemplazando en (6): a = b G 1 Γ G Γ L (8) 2. Formulación con múltiples reflexiones P d = b G 2 (1 Γ L 2 ) 1 Γ G Γ L 2 (9) Se considera un esquema como el de la Figura 3, en el que V G es la tensión RMS del generador. Los coeficientes de reflexión a la entrada, Γ G, y a la salida, Γ L, son respectivamente: b G b G Γ L Γ L Γ G b G Γ L Γ G Γ L b G Γ L 2 Γ G Γ G b G Γ L 2 Γ G 2 Γ L Figura 3: Múltiples reflexiones. Γ G = Z G Z 0 Z G + Z 0 Γ L = Z L Z 0 Z L + Z 0 (10) Donde Z 0 es la impedancia característica de la línea de transmisión. Se consideran las onda viajeras a y b, como indica la Figura 3. La onda incidente debida al generador, b G, fue definida en la sección 1. De esta manera: 3

5 b = b G Γ L + b G Γ G Γ 2 L + b G Γ 2 G Γ 3 L + + b G Γ n G Γ n+1 L + (11) = b G Γ L (Γ G Γ L ) } {{ } n=0 α (12) Por lo tanto, se tiene una serie geométrica del tipo n=0 αn, que converge si α < 1. Como los módulos de los coeficientes de reflexión son menores que 1, la serie converge. En particular, converge a: Reemplazando el valor de α: n=0 α n = 1 1 α (13) b = b GΓ L 1 Γ G Γ L (14) La relación entre las ondas a y b está dada por el coeficiente de reflexión en la carga: Γ L = b a (15) A partir de estas relaciones, la potencia incidente P i y reflejada P r quedan definidas como: y P i = a 2 = b G 2 1 Γ G Γ L 2 (16) P r = b 2 = b G 2 Γ L 2 1 Γ G Γ L 2 (17) La potencia disipada en la carga, P d, está dada por la diferencia entre las potencias incidente y reflejada: Esta expresión es la misma que (9). P d = P i P r = b G 2 ( 1 Γ L 2) 1 Γ G Γ L 2 (18) 4

6 3. Definición de P d, P Z0 y P av La expresión en (9) o (18) es un restultado general, que relaciona la potencia disipada en la carga P d con la potencia incidente b G 2 en función de los coeficientes de reflexión a la entrada y a la salida. A partir de esta expresión, se define P Z0 como la potencia entregada por el generador a una carga igual a la impedancia característica, esto es, Z L = Z 0. En esta situación, Γ L = 0, resultando: P Z0 = b G 2 (19) De forma similar, se puede definir la potencia disponible en el generador, P av, que es la máxima potencia que éste es capaz de entregar. Se puede demostrar que la condición para máxima transferencia de potencia es Z L = Z G, o bien Γ L = Γ G. Por lo tanto: P av = P d(γl =Γ G ) = b G 2 1 Γ G 2 1 Γ G 2 2 = b G 2 Despejando b G 2 en (20) y reemplazando en (9), queda: 1 Γ G 2 (20) P d = P av (1 Γ G 2 )(1 Γ L 2 ) 1 Γ G Γ L 2 (21) La expresión (21) relaciona la potencia disipada en una carga Z L con la potencia disponible del generador, en función de los coeficientes de reflexión a la entrada y a la salida. 4. Formulación clásica de teoría de circuitos Sea V G y V L la tensión RMS del generador y en la carga, respectivamente. La tensión y la corriente en la carga vale: V L = I L = V G Z L Z G + Z L (22) V G Z G + Z L (23) (24) La potencia disipada en la carga se expresa como la parte real del producto entre la tensión y el conjugado de la corriente: P d = R(V G I L ) = V G 2 R(Z L ) Z G + Z L 2 (25) La potencia máxima disponible, P av, se desarrolla sobre la carga cuando se cumple que Z L = Z G. En esta situación, dado que Z G + Z G 2 = 2 R(Z G ) 2 : 5

7 P av = V G 2 R(Z G ) 2 R(Z G ) 2 = V G 2 4 R(Z G ) De esta manera, para cualquier valor de Z G y Z L : (26) P d = P av 4 R(Z G )R(Z L ) Z G + Z L 2 (27) Empleando la definición de coeficiente de reflexión, se puede escribir: Por otra parte: ( ) 1 + ΓG,L Z G,L = Z 0 1 Γ G,L R(Z G,L ) = Z 0 1 Γ G,L 2 1 Γ G,L 2 (28) Z G + Z L 2 = 4 Z Γ G Γ L 2 1 Γ G 2 1 Γ L 2 (29) Por lo tanto, reemplazando (28) y (29) en (27) se obtiene: Este es el mismo resultado hallado en (21). P d = P av (1 Γ G 2 )(1 Γ L 2 ) 1 Γ G Γ L 2 (30) 5. Medición de potencia Cuando se mide potencia en RF, la magnitud que interesa conocer es la potencia que el generador le entregaría a una carga perfectamente adaptada (Z L = Z 0 ), es decir, P Z0. Dado que P Z0 = b G 2 y utilizando la expresión (9), se obtiene: Haciendo uso de (6) y (31) se puede escribir: P Z0 = P d 1 Γ G Γ L 2 1 Γ L 2 (31) P Z0 = P i (1 Γ L 2 ) 1 Γ L 2 1 Γ GΓ L 2 = P i 1 Γ G Γ L 2 (32) Se utiliza esta expresión dado que los sensores de potencia emplean un parámetro llamado factor de calibración [1], K, que relaciona la potencia incidente P i con la potencia de substitución de continua, P sub : K = P sub P i (33) 6

8 A su vez, otro factor utilizado es la eficiencia efectiva, η e, que indica qué porción de la potencia disipada en la carga es efectivamente convertida en potencia de substitución: Puede verse que: η e = P sub P d (34) Despejando P i en (33) y reemplazando en (32) se obtiene: K = η e (1 Γ L 2 ) (35) P Z0 = P sub K 1 Γ GΓ L 2 } {{ } M El término M se debe a las reflexiones múltiples entre el generador y la carga, y puede ser menor o mayor que uno dependiendo de las fases de Γ G y Γ L. (36) Referencias [1] Agilent AN 1449, Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements,

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