La Cristalografía: una visión global

Transcripción

1 La Cristalografía: una visión global Producción y purificación Cristalización Difracción Análisis de datos I hkl Mapa inicial El problema de la fase MR MIR MAD Φ(hkl)? Constr.modelo Refinam.modelo Modelo final DT

2 Aspectos Básicos de la Difracción de Rayos X Juan A. Hermoso GCMBE- Instituto Rocasolano. CSIC. Madrid.

3 capítulo 3: la difracción de rayos X (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - Ejemplo de aplicación - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas. - Ondas y su suma - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

4 capítulo 3: la difracción de rayos X (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - Ejemplo de aplicación - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

5 HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA

6 HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA BUSCANDO LA λ ADECUADA Por qué es importante la longitud de onda? Muestra Muestra Luz visible Rayos-X Para penetrar en la muestra se necesita una longitud de onda similar o menor al tamaño de la muestra.

7 ESRF BUSCANDO LA RADIACIÓN ADECUADA ILL (Beam-Line DB21) λ = 1.0 Å φ = 1.0 º t (exp) = 5 min/image t (total)= 120 min Resolución= 2.8 Å material muy ordenado ESRF λ = Å φ = 0.15º t (exp) = 30 min/image t (total)= 6 semanas Resolución= 18 Å material parcialmente desordenado ILL

8 HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA Según la longitud de onda y de las relaciones de fase de esta radiación dispersada, nos podemos referir a procesos elásticos, o inelásticos (dispersión Compton), dependiendo de que no cambie, o cambie, la longitud de onda, y de coherencia o incoherencia según que las relaciones de fase se mantengan en el tiempo y en el espacio, o no. Los intercambios de energía y momento que se producen pueden incluso dar lugar a la expulsión de un electrón fuera del átomo, seguido de la ocupación del nivel de este electrón por electrones de niveles superiores. Todos estos tipos de interacciones dan lugar a diferentes procesos en el material como pueden ser: refracción absorción fluorescencia dispersión Rayleigh dispersión Compton polarización difracción reflexión...

9 DISPERSIÓN Y DIFRACCIÓN La radiación electromagnética puede interaccionar consigo y con la materia, dando lugar a multitud de fenómenos como la reflexión, la refracción, la dispersión, la polarización de la luz... Reflexión y refracción de la luz en la superficie de unión entre un vidrio con índice de refracción 1.5 y el aire con índice de refracción 1.0 Refracción de la luz a su paso por un prisma de vidrio. Dependiendo de la longitud de onda (color) del haz que incide desde la izquierda, el ángulo de refracción varía, es decir, se dispersa Polarización de la luz a su paso por un polarizador. Dependiendo del giro del polarizador, se filtra uno de los componentes de la luz no polarizada que incide desde la derecha de la imagen Pues bien, la difracción (de los rayos X) es el fenómeno físico a través del cual se manifiesta la interacción fundamental de los rayos X con los cristales (materia ordenada)

10 HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA El índice de refracción de todos los materiales, con relación a los rayos X, es próximo a la unidad, por lo que el fenómeno de la refracción de rayos X es despreciable, y provoca que no se puedan fabricar lentes para ellos. Por lo tanto, el proceso de formación de imágenes, como en el caso de la luz visible, no se puede llevar a cabo con los rayos X. La absorción se produce por la atenuación del haz transmitido al perder energía por todo tipo de interacciones, fundamentalmente las térmicas, la fluorescencia, las dispersiones inelásticas, la formación de radicales libres y otras modificaciones químicas (que pueden llegar a dar lugar a la degradación del material). La disminución de intensidad sigue un modelo exponencial con la distancia atravesada del material y un coeficiente (coeficiente de absorción lineal) que depende de la densidad y composición del material. Los procesos de fluorescencia, en los que un electrón es arrancado de un nivel energético del átomo, suministran información sobre la composición química del material. Debido a la expulsión de electrones de los diferentes niveles, se producen discontinuidades bruscas en la absorción contínua de la radiación por el material, lo que permite análisis local alrededor de un átomo (EXAFS). En el efecto Compton, la interacción es inelástica y la radiación sale con menor energía. Este fenómeno siempre está presente en la interacción de los rayos X con la materia, pero por su baja intensidad, si incoherencia y por afectar a todas las direcciones, contribuye sólo a la radiación de fondo producida en la interacción. Por dispersión nos vamos a referir aquí a los cambios de dirección que sufre la radiación incidente, y NO al caso de la separación de radiación en componentes según la longitud de onda.

11 HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA DISPERSIÓN POR DISTINTOS MEDIOS ORDEN

12 capítulo 3: la difracción de rayos x (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

13 CONCEPTO DE DIFRACCIÓN La interferencia entre ondas refuerza, disminuye o elimina la amplitud de la onda resultante. La interferencia cooperativa, que se da especialmente en los cristales como consecuencia de la repetición de los centros dispersores, se llama difracción.

14 EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (I) Direct beam Resultant (A) Difracción por una única rendija (C) (B) (A) Intensity (B) (C) A medida que aumenta el ángulo de dispersión aumenta el desfase entre las ondas. La intensidad resultante depende del ángulo de dispersión

15 EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (II) Difracción por 2 rendijas Intensity La intensidad resultante depende del ángulo de dispersión. Para un ángulo de dispersión hay interferencia (constructiva o destructiva) entre las ondas de rendijas adyacentes. El mapeado de la envoltura es inversamente proporcional a la distancia entre rendijas.

16 Ordenes de Difracción EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (III)

17 EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (IV) Atlas of Optical Transforms (G. Harburn, C.A. Taylor, T.R. Welberry; Ed. G. Bell and Sons, London 1975) Diagramas de difracción Imágenes ópticas obtenidas molécula rodio - ftalocianina Dependiendo del tamaño del diagrama de difracción que usemos (resolución), es decir, del número de máximos empleados para formar la imagen, ésta es más o menos reconocible.

18 Scattering Preámbulo: La Estructura molecular y la ordenación de las moléculas en la celdilla unidad determina las intensidades de los haces difractados. Por tanto debemos encontrar una relación entre las Intensidades de los haces difractados y la estructura cristalina. De hecho esta relación es entre los datos de difracción y la distribución de la densidad electrónica en el cristal, ya que los rayos X son dispersados exclusivamente por los electrones en los átomos y no por los núcleos. La dispersión (Scattering) es una interacción entre los rayos X como ondas electromagnéticas y los electrones. Si una onda electromagnética incide sobre un sistema de electrones, los componentes eléctricos y magnéticos de la onda ejercen una fuerza sobre los electrones. Esto causa que los electrones oscilen con la misma frecuencia que la onda incidente. Los electrones oscilando actuan como dispersores de radiación y emiten radiación de la misma frecuencia que la radiación incidente. Los electrones absorben la energía de la onda incidente y después la emiten: Como hay una atracción entre los electrones y el núcleo atómico, existe una cierta fuerza de restauración de los electrones de un átomo. Sin embargo en la difracción de rayos X, suponemos que los electrones en un átomo pueden entenderse como si fueran electrones libres.

19 Scattering Preámbulo: La Onda dispersada por el cristal puede describirse como la suma del enorme número de ondas dispersadas por cada uno de los electrones del cristal!!!!! Si tenemos en cuenta que una única celdilla unidad de un cristal de proteína contiene aproximadamente o más electrones y que hay muchísimas celdillas unidad en un cristal..y que todas esas ondas deben añadirse.. Esta claro que necesitamos una forma conveniente de manejar y sumar ondas. Presentaremos este método inicialmente y veremos cómo se simplifica el proceso. Posteriormente veremos cómo derivar las expresiones para cada onda dispersada por el cristal con la distribución de la densidad electrónica en el cristal y en su celdilla unidad. El siguiente paso será invertir esta expresión y derivar la distribución de la densidad electrónica como una función de la información de scattering.

20 NOCIONES DE ONDAS Una onda es un fenómeno ondulatorio, corresponde a la propagación en el espacio y en el tiempo de una perturbación oscilatoria, es decir, un fenómeno regularmente repetido. Esta perturbación se propaga a una cierta velocidad (v) y se modela satisfaciendo la llamada ecuación de ondas, escalar o vectorial, dependiendo de la naturaleza de la perturbación. Las soluciones de esta ecuación son, en general, combinaciones de términos trigonométricos que vienen caracterizados, cada uno, por una amplitud (A), que mide el valor extremo (máximo o mínimo) respecto de una situación de equilibrio de la perturbación, y una fase Φ.

21 NOCIONES DE ONDAS Una onda puede describirse como una función coseno: E (t=0; z) = A cos 2π z λ E es la fuerza del campo electromagnético. λ es la longitud de onda de la radiación y ν = c/ λ la frecuencia. c es la velocidad de la luz. A es la amplitud de la onda.

22 NOCIONES DE ONDAS E (t=0; z) = A cos 2π z λ Al cabo de un tiempo t, la onda recorre t x c = t x λ x ν Por tanto al tiempo t, la fuerza del campo en la posición z es igual a lo que era al tiempo t = 0 y posición z t x λ x ν Para z = 0 E (t; z= 0) = A cos 2πν t = A cos ω t ω

23 NOCIONES DE ONDAS Consideremos dos ondas con la misma λ y la misma amplitud pero desplazadas una distancia Z (mayúscula) con respecto a la onda original. Z corresponde con un salto de fase de (Z/ λ) x 2π = α E orig (t; z= 0) = A cos ω t Cuándo estarían en fase las dos ondas??? E new (t; z= 0) = A cos (ω t + α) Cos (α +β) = cosα cosβ - sinα sinβ sin β = cos (β +90)

24 NOCIONES DE ONDAS E orig (t; z= 0) = A cos ω t E new (t; z= 0) = A cos (ω t + α) = Para sumar diferentes ondas con distintos ángulos de fase: Sus partes reales pueden sumarse juntas porque todas ellas tienen ángulo de fase 0º. Sus partes imaginarias, todas ellas con ángulo de fase 90º, pueden sumarse juntas.. A cos (ω t + α) puede visualizarse como compuesto por dos ondas: Onda 1 de amplitud A cos α y ángulo de fase 0º. Onda 2 de amplitud A sin α y ángulo de fase 90º La Onda 1 se llama parte real y la onda 2 la parte imaginaria de la onda total.

25 NOCIONES DE ONDAS Diagrama de Argand La multiplicación de un vector C en el diagrama de Argand por i significa rotar C 90º en sentido antihorario. Expresión matemática para la onda entera: i = -1 A cos α + i A sin α = Α exp [iα]

26 NOCIONES DE ONDAS Conclusión: Hemos simplificado el problema de sumar ondas con la misma frecuencia (o λ) aplicando el siguiente procedimiento: 1. Representar cada onda como un vector en un sistema axial bidimensional. La long. de cada vector es igual a la amplitud de la onda y el ángulo que forma con el eje real (horizontal) es la fase respecto a la onda de referencia. 2. El vector que representa la onda total de un sistema se obtiene de la suma de los vectores de cada una de las ondas individuales.

27 NOCIONES DE ONDAS A cos α + i A sin α = Α exp [iα] Algunas propiedades de las funciones exponenciales:

28 ONDAS CONTRA PARTICULAS: DISPERSIÓN Un electrón aislado en el seno de un frente de ondas X se convierte en un foco emisor de rayos X de la misma longitud de onda... Cuando hay varios centros dispersores comienzan las interferencias...

29 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES La diferencia del camino entre los dos haces (p + q) depende de: 1) La posición del electrón e 2 con respecto al e 1. 2) La dirección de dispersión. p = λ. r. s o q = - λ. r. s So y S son los vectores de los haces incidentes y dispersados (y magnitud 1/ λ) La diferencia del camino: P + q = λ. r. (s o s) El signo es porque la proyección de r sobre S tiene sentido opuesto a S

30 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES P + q = λ. r. (s o s) La onda que pasa por el electrón e2 está retrasada en fase (comparada con la onda en e1): -2πr. (s o s) λ / λ = 2πr. S con S = s s o Recuerda: Z corresponde con un salto de fase de (Z/ λ) x 2π = α La onda puede imaginarse como reflejándose en un plano tal que θ es el ángulo de reflexión y S = 2 sin θ / λ S es perpendicular a este plano!

31 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES El producto de dos vectores a y b

32 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES P + q = λ. r. (s o s) El desfase (origen en e 1 ): -2πr. (s o s) λ / λ = 2πr. S Si utilizamos el Diagrama de Argand para sumar las ondas 1 y 2: Los vectores 1 y 2 tienen igual amplitud y un desfase de 2π r. S (para la onda 2 respecto a la 1 ). El vector T representa la suma de las dos ondas. T = = exp [2π i r. S]

33 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES p + q = λ. r. (s o s) Si ahora cambiamos el origen a un punto arbitrario O El desfase (origen en e 1 ): -2πr. (s o s) λ / λ = 2πr. S Respecto a la onda 0, la onda 1 tiene una fase de 2π R. S y la onda 2 tiene una fase de 2π (r+r). S. El vector T que representa la suma de las dos ondas será:

34 DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES Conclusión: Un cambio de origen de R provoca un incremento de todos los ángulos de fase de 2π R. S La amplitud y la Intensidad (que es proporcional al cuadrado de la amplitud) de la onda T no cambian.

35 DISPERSIÓN POR UN ÁTOMO La dispersión de un haz de rayos X por la nube de electrones de un átomo depende de: - El número de electrones del átomo. - La posición de los electrones en la nube. Como la velocidad de los electrones en el átomo es mucho mayor que la variación del vector eléctrico de la onda, la radiación sólo "ve" una nube electrónica media, que viene caracterizada por la densidad electrónica de carga ρ(r). Queremos representar el scattering de una átomo con el origen del sistema en el núcleo (ya que el scattering de un átomo localizado en cualquier parte sería el mismo pero con un cambio de fase, como ya vimos antes

36 DISPERSIÓN POR UN ÁTOMO Si suponemos que la nube es centrosimétrica alrededor del origen: ρ (r) = ρ (-r) El scattering de un átomo siempre es real!!! La parte imaginaria de cada vector de scattering está compensada por la parte imaginaria de su centrosimétrico que tiene igual long. Pero ángulo de fase de signo opuesto.

37 DISPERSIÓN POR UN ÁTOMO El factor de scattering atómico será: Si descomponemos la suma en las dos mitades del espacio: El scattering de un átomo no depende de La orientación del átomo respecto a la dirección de S. f depende de la longitud de S: Recuerda que para dos electrones vimos que S = 2 sinθ / λ S = 2 sinθ / λ

38 EL FACTOR DE SCATTERING ATÓMICO f es función de 2 sinθ / λ Llamamos factor atómico de dispersión ("scattering") a la razón entre la amplitud dispersada por un átomo y la de un electrón aislado. Factor de scattering para el átomo de carbono el factor atómico de dispersión viene a representar un número de electrones, el número efectivo de electrones, en un tipo concreto de átomo, que dispersan en fase en esa dirección La hipótesis de isotropía, es decir, que este factor atómico no depende de la dirección de S, no resulta muy adecuada para momentos de transición en los que hay involucrados orbitales d ó f, ni para los electrones de valencia.

39 EL FACTOR DE SCATTERING ATÓMICO Dispersión de la luz por una partícula de tamaño pequeño frente a la longitud de onda Dispersión de la luz por una partícula de tamaño grande frente a la longitud de onda sin θ/λ = 0 f = Z Factores atómicos de dispersión calculados para átomos y iones con diferente número de electrones. El único electrón del hidrógeno (H) apenas dispersa en comparación con los otros elementos, sobre todo a medida que aumenta θ. El hidrógeno es, pues, dificil de "ver". sin θ/λ Independiente de la λ

40 EL FACTOR DE SCATTERING ATÓMICO Factores atómicos de dispersión calculados para iones con el mismo número de electrones que el Ne. Se puede observar que el O-- tiene la nube electrónica más difusa que el Si 4+, y por tanto, su decaimiento es más rápido.

41 EL FACTOR DE TEMPERATURA Debido a los movimientos de vibración térmica de los átomos dentro del material, el volumen efectivo del átomo se amplia, lo cual da lugar a una disminución exponencial del poder de dispersión y está caracterizado por el coeficiente B (inicialmente isotrópico) del factor exponencial de Debye-Waller (1913, 1923): Con F(S) exp [ -B iso sen 2 θ / λ 2 ] B = 8π 2 <u 2 > siendo <u2> la amplitud cuadrática media de vibración térmica según la dirección de S. En el modelo isotrópico de vibración, se considera que es igual en todas direcciones.

42 EL FACTOR DE TEMPERATURA En el modelo ISOTRÓPICO de vibración, B suele valer entre 3 y 6 Angstroms 2 en cristales de compuestos orgánicos bien formados, para un cristal de proteína suele ser alrededor de por qué? El factor de temperatura puede describir también una agitación térmica ANISOTRÓPICA. En este caso el factor de temperatura viene definido matemáticamente por un tensor que describe un elipsoide llamado ELIPSOIDE DE VIBRACIÓN. En determinación de estructura de proteínas se suele trabajar con factores ISOTRÓPICOS para los átomos individuales. Por qué? Estos parámetros térmicos pueden no reflejar únicamente la vibración, pues se ven afectados por otros factores como desorden estático, absorción, factores de dispersión incorrectos, etc.

43 EL FACTOR DE TEMPERATURA Resolución de los datos experimentales. Resolución (Å) Observaciones/parámetro (x,y,z,b iso ) Para una proteína con 2000 átomos en la unidad asimétrica tendriamos 8000 parámetros desconocidos. Para obtener uns estructura fiable, elnúmero de datos medidos (reflexiones) debe exceder el número de parámetros y esto no ocurre casi nunca si introducimos el B anisotrópico.

44 DISPERSIÓN POR UNA CELDILLA Supongamos una celdilla unitaria con n átomos en posiciones r j (j=1, 2, 3, n) Si consideramos cada núcleo como su propio origen, los átomos difractarían siguiendo el factor de scattering propio Si consideramos como origen el origen de la celdilla:

45 DISPERSIÓN POR UNA CELDILLA n es el número de átomos El scattering total de la celdilla: F(S) se denomina FACTOR DE ESTRUCTURA por que depende de la distribución (estructura) de los átomos en la celdilla unidad

46 DISPERSIÓN POR UN CRISTAL El cristal tiene vectores de translación a, b y c y contiene n 1 celdillas en la dirección a, n 2 en la dirección b y n 3 en la dirección c Si tomamos O como origen. Entonces para la celdilla unitaria con su propio origen en la posición t.a + u.b + v.c ( con t, u, v números enteros) el scattering es: El scattering total del cristal:

47 DISPERSIÓN POR UN CRISTAL Dado el enorme número de celdillas en el cristal y que cada vector de scattering apuntan a diferentes orientaciones; el scattering en general del cristal es nulo salvo en el caso particular de que a. S sea un entero h 0 si y sólo si a.s es un número entero h Diagrama de Argand t = 5 t = 4 t = 3 t = 2 t = 6 t = 7 t = 1 2π a.s t = 0 Sólo si a.s es un número entero entonces todos los vectores apuntan hacia la derecha y la suma es apreciable.

48 DISPERSIÓN POR UN CRISTAL Conclusión: Un cristal no dispersa rayos X salvo que: a. S = h b. S = k c. S = l Son las llamadas ecuaciones de Laue La amplitud de la onda total dispersada es proporcional al factor de estructura F(S) y el número de celdillas en el cristal.

49 Scattering RESUMEN El factor de scattering atómico el factor atómico de dispersión f viene a representar un número de electrones, el número efectivo de electrones, en un tipo concreto de átomo, que dispersan en fase en esa dirección f depende de la longitud de S: S = 2 sinθ / λ El scattering de una celdilla: el scattering de una celdilla depende del número de átomos y de su disposición dentro de ella. F(S) se denomina FACTOR DE ESTRUCTURA por que depende de la distribución (estructura) de los átomos en la celdilla unidad El scattering de un cristal: La amplitud de la onda total dispersada es proporcional al factor de estructura F(S) y el número de celdillas en el cristal. a. S = h b. S = k c. S = l ECUACIONES DE LAUE

50 capítulo 3: la difracción de rayos x (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

51 EXPERIMENTO (casero) DE DIFRACCIÓN Conceptos Fundamentales La λ debe ser proporcional al tamaño del objeto. La distancia entre puntos es inversamente proporcional a la distancia entre nudos de la red. A medida que nos alejamos del centro la difracción es más débil. La geometría de los puntos de difracción está relacionada con la geometría de la red. La resultante de la difracción cooperativa se denomina Factor de Estructura. Es una onda y se expresa como una amplitud y una fase.

52 capítulo 3: la difracción de rayos x (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

53 MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL Construcción del espacio recíproco Espacio real Espacio recíproco b a γ γ a* b* K/b K/a

54 MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL La red recíproca σ hkl = ha* + kb* + lc* Vector de posición de cualquier punto recíproco Relaciones entre el espacio real y el recíproco

55 capítulo 3: la difracción de rayos x (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

56 INTERPRETACIÓN DE BRAGG a c b Ley de Bragg 2 d sen θ = n λ Bragg: Las ondas difractadas se comportan como si se reflejaran en planos imaginarios que pasan a traves de los puntos de la red cristalina

57 INTERPRETACION DE BRAGG Ley de Bragg 2 d sen θ = n λ Relación entre θ y resolución?

58 INTERPRETACION DE BRAGG Densidad electrónica de una macromolécula calculada en una zona de la celdilla elemental, a medida que el límite de resolución se ajusta lentamente de 0.5 a 6.0 Å. Para este cálculo las fases están perfectamente determinadas, e igualmente el factor de acuerdo es máximo (R = 0,0%).Se observa que las cadenas laterales son prácticamente reconocibles hasta una resolución de 3.5 Å.

59 INTERPRETANDO LA LEY DE BRAGG Ley de Bragg 2 d sen θ = n λ Modelo de Ewald sen θ = λ /2 d 1/d = 2 / λ -El cristal puede situarse en el centro del P círculo de radio 1/λ -El punto O es el origen de la red recíproca 1/d del cristal. θ -Cualquier A punto de la red recíproca sobre la O circunferencia 1/λ satisface la ley de Bragg -La difracción de rayos 2/λ X sólo puede ocurrir cuando un punto de la red recíproca se encuentra sobre la esfera, llamada ESFERA DE REFLEXION o ESFERA DE EWALD.

60 LUZ SOBRE LA DIFRACCIÓN, AL FIN Red Recíproca y Modelo de Ewald

61 LUZ SOBRE LA DIFRACCIÓN, AL FIN Red Recíproca y Modelo de Ewald Método oscilatorio

62 LUZ SOBRE LA DIFRACCIÓN, AL FIN Red Recíproca y Modelo de Ewald Método oscilatorio

63 LA INTENSIDAD DIFRACTADA K es el factor de escala que permite poner los factores de estructura exp. a la escala absoluta. Se puede estimar mediante el plot de Wilson. A es un factor de absorción, que igualmente puede estimarse conociendo la composición del cristal y sus dimensiones. L es el denominado factor de Lorentz, que es un factor responsable de corregir la distinta velocidad angular por la que pasan los puntos recíprocos por la superficie de la esfera de Ewald) y para geometrías con goniómetros de cuatro círculos es un factor tan sencillo como 1/sen 2θ, en donde θ representa el ángulo de Bragg de la reflexión (punto recíproco). p es el factor de polarización, que corrige el efecto de la polarización del haz incidente sobre el cristal y viene dado por la expresión (1+cos 2 2θ)/2, en donde igualmente θ representa el ángulo de Bragg de la reflexión (punto recíproco).

64 LA INTENSIDAD DIFRACTADA El plot de Wilson I rel representa la intensidad promedio (en escala relativa) en un determinado intervalo de θ fj es la suma al cuadrado de los factores atómicos de dispersión en esa zona angular. EL valor de la ordenada en el origen es el logaritmo neperiano de C, relacionado con el factor de escala K ( = 1 / C), que lleva los factores de estructura experimentales a una escala próxima a la absoluta (a la de los factores de estructura teóricos), es decir a la de aquellos que se podrían calcular con el modelo estructural. La pendiente de la recta representa el valor de -2B, en donde B es un factor de vibración térmico, isotrópico, general para todos los átomos de la estructura

65 LA INTENSIDAD DIFRACTADA

66 capítulo 3: la difracción de rayos x (I) - HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA - El espectro electromagnético - Buscando la λ adecuada - Buscando la radiación adecuada - La interacción de la radiación con los estados de la materia - INTERFERENCIA DE ONDAS - Interferencia de 2 ondas - Experimentos con rejillas - Ondas contra átomos - El factor de scattering -UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN - MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL -Construcción del espacio recíproco - Relaciones entre espacio real y espacio recíproco. - CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO? - Descripción de Bragg - Descripción de Laue - Equivalencia entre Bragg y Laue - Interpretación de la ley de Bragg según Ewald - Luz sobre el patrón de difracción por fín - EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA - La intensidad difractada - La fase, la llave que abre los 2 mundos. - Los problemas continúan, el problema de la fase.

67 EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA Espacio real: cristal Espacio recíproco: espectro Siempre??? TF ρ (x y z) = 1/V Σ F(h k l) exp {-2 π i (hx+ky+lz)+ i Φ (h k l)}

68 IMPORTANCIA DE LA FASES.

69 Efecto de las amplitudes de difracción La película muestra el efecto (casi imperceptible) de calcular un mapa de densidad electrónica con amplitudes (intensidades de de difracción) erróneas, es decir, muy mal medidas. Las imágenes de esta película representan el cambio gradual de las amplitudes (desde valores razonables de desacuerdo con las teóricas, R=10%, hasta valores aleatorios, R=75%).Es interesante darse cuenta de que si las fases son correctas (tal como es el caso) el mapa apenas cambia hasta llegar a valores de R=30% y que es todavía interpretable hasta valores próximos a R=50%.

70 La película de la derecha muestra el efecto del cálculo de un mapa de densidad electrónica con fases mal estimadas. La "figura de mérito" de las fases (el coseno del error de la fase) se muestra como "m". Obsérvese la fuerte dependencia existente entre la bondad de las fases y la apariencia del mapa para poder reconocer la localización de los átomos. Efecto de las fases

71 LA FUNCIÓN DE PATTERSON Históricamente hablando, la primera solución al problema de las fases vino de la mano de Arthur Lindo Patterson. Basándose en la imposibilidad de resolver de un modo directo la función de la densidad electrónica (Fórmula 1, más arriba, o más abajo), y tras su aprendizaje sobre convolución de transformadas de Fourier con el matemático estadounidense Norbert Wiener, en 1934 Patterson introdujo una nueva función P(uvw) (Fórmula 4, más abajo). Esta nueva función, que define en un nuevo espacio (espacio de Patterson), puede considerarse sin exageración como el desarrollo singular más importante para la Cristalografía, tras el propio descubrimiento de los rayos X por Röntgen en Arthur L. Patterson( ) Su elegante fórmula, conocida como la función de Patterson (Fórmula 4, más abajo), supone una simplificación de la información contenida en la función de densidad electrónica, ya que suprime la información de las fases, y los módulos de los factores de estructura se sustituyen por sus cuadrados. Es, pues, una función que puede calcularse de inmediato a partir de la información experimental de que se dispone (las intensidades, que a su vez se derivan de los módulos de los factores de estructura). ρ(xyz) = (1/V) ΣΣΣ [F(hkl)] cos 2π (hx + ky + lz - Φ(hkl)) electrónica Función de densidad P(uvw) = (1/V) ΣΣΣ [F(hkl)] 2 cos 2π (hu + kv + lw)) Función de Patterson

72 LA FUNCIÓN DE PATTERSON Función de densidad elec. Función de Patterson Cristal Cristal Patterson

73 LA FUNCIÓN DE PATTERSON- PROPIEDADES El número de máximos es elevado: N átomos N 2 máximos (N 2 -N) vectores Alta densidad Cristal (3 átomos) Patterson (3 2-3) = 6 vectores Los máximos son anchos, hay solapamiento: Cristal Patterson

74 LA FUNCIÓN DE PATTERSON PROPIEDADES Altura de los máximos La altura de los máximos es proporcional al producto de los números atómicos implicados: Z i Z j facilidad para detectar átomos pesados

75 LA FUNCIÓN DE PATTERSON PROPIEDADES Simetría de la función Simetría del cristal Simetría de Patterson 230 Grupos espaciales 24 Grupos espaciales La simplificación es consecuencia de la pérdida de información que ocurre al pasar de: (F, φ) F 2 Cristal sin centro de simetría Patterson siempre con centro de simetría uvw + uvw

76 EL PROBLEMA DE LA FASE. CÓMO RESOLVERLO??? Métodos de Faseado Métodos directos ρ 0, átomos discretos Remplazamiento Molecular Modelo homólogo Remplazamiento Isomorfo Subestructura de átomos pesados Dispersión Anómala Subestructura de átomos anómalos Modificación de Densidad (mejora de las fases) Aplanamiento de solvente Histogram matching Promediado simetría no-cristalográfica Estructura Parcial Extensión de fases

77 Más información en: Mi dirección