OPCIÓN A. 1.- Se considera la función

Transcripción

1 Nota sobre la puntuación de las preguntas: Los puntos asignados a las distintas preguntas son orientativos. En muchos casos, las preguntas pueden contestarse de varias formas distintas y el corrector debe utilizar la puntuación asignada en las soluciones que aquí se presentan, como guía para la asignación de la puntuación definitiva..- Se considera la función OPCIÓN A xx + bb ssss xx ff(xx) = xx ssss < xx < xx llll(xx aa) ssss xx donde llll denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R. Justificar la respuesta. (,5 puntos). Para que la función sea derivable en todo R, debe ser continua en todo R. Ya lo es en R, porque las expresiones que definen ff(xx) son polinomios, raíces cuadradas de polinomios, la función llll y productos o composiciones de funciones de esos tipos, que son funciones continuas en sus dominios de definición (por lo que debe ser xx + bb 0 y xx aa > 0), así que solo es preciso analizar la continuidad en los puntos xx = y xx =. i) Continuidad --- Analizamos la continuidad para xx =. ff = + bb = + bb ff(xx) = + bb = + bb = + bb () xx ( ) xx ( ) xx ff(xx) = xx ( ) + xx ( ) +( xx ) = = = 0 () Para que exista el ff(xx) debe ser ()=() + bb = 0 + bb = xx + bb = bb = --- Analizamos la continuidad para xx = ff = ( ) ln aa = ln ( aa) ff(xx) = xx ( ) xx ( ) ( xx ) = = = 0 () ff(xx) = xx ln(xx aa) = ln aa = ln ( aa) () xx ( ) + xx ( ) +

2 Para que exista el xx ff(xx) debe ser ()=() 0 = ln( aa) 0 = ln( aa) aa = ee 0 = aa = = --- Para aa = y bb = la función ff(xx) queda xx + ssss xx ff(xx) = xx ssss < xx < xx ln(xx ) ssss xx que es continua en todo R pues - en xx = ff(xx) = 0 = ff( ) y xx - en xx = ff(xx) = 0 = ff( ) xx ii) Derivabilidad.- En R, la función es derivable y su derivada es xx ssss xx < xx + ff (xx) = xx ssss < xx < xx ln(xx ) + xx ssss < xx xx Para que ff(xx) sea derivable en todo R, también debe ser derivable en y en. Se tiene ff = ( ) + = = ff + = ( ) = como no son iguales, ff(xx)no es derivable en xx = ff = ff + = ln( ) + ( ) = y ff(xx) tampoco es derivable en xx = Luego, no existen valores de aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R..- a) Dibujar las gráficas aproximadas de ff(xx) = xx + + y gg(xx) = +, señalando los puntos de corte. ( punto) b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a). Solución : (,5 puntos) a) Para yy = ff(xx) = xx + xx +. Es una parábola abierta hacia arriba. Los cortes con los ejes son: - corte eje xx yy = 0 xx + xx + = 0 xx = ± - corte eje yy xx = 0 yy = pppppppppp (, 0) Calculamos el vértice de la parábola = pppppppppp (, 0)

3 - yy = xx + = 0 xx = vvérrrrrrrrrr eeee eeee pppppppppp (, 0) - yy = > 0 mmínnnnnnnn --- Para yy = gg(xx) = xx +. Es una recta que corta a los ejes en los puntos (0, ) yy (, 0) --- Puntos de corte de la parábola y la recta. Resolvemos el sistema que forman las ecuaciones de ambas líneas yy = xx + xx + yy = xx + xx + xx + = xx + xx xx = 0 xx = ± +8 = pppppppppp (, 0) pppppppppp (, 9) = ± = b) Área= [(xx + ) (xx + xx + )] dddd = ( xx + xx + ) dddd = xx = = 9 uu,5 puntos + xx + xx = Sean las matrices II = y AA =. Hallar dos números reales nn y mm para 00 que se verifique que (II + AA) = nnnn + mmmm. (,5 puntos) II + AA = = 0 (II + AA) = = 5 9 nnnn + mmmm = nn mm 0 + nn 0 + mm = nn + = mm 0,5 ptos 0 0 nn mm mm mm mm + nn (II + AA) = nnnn + mmmm 0 + nn 0 = mm 5 9 mm mm + nn

4 mm + nn = mm = 5 mm + nn = 9 mm = 5 ; nn = punto xx + yy + zz = 00.- Dadas las rectas rr yy + zz = 00 xx y ss = yy = zz se pide: a) Determinar su posición relativa. (,5 puntos) b) Calcular el ángulo que forman ambas rectas. (,5 puntos) a) Expresamos la recta ss xx - xx - yy = zz = yy = zz = yy xx = yy xx yy = xx yy = Luego ss yy zz = yy = zz yy zz = como intersección de dos planos Estudiamos el sistema que forman las ecuaciones de las dos rectas xx + yy + zz = xx yy + zz = xx yy = yy zz = AA = 0 0. Llamemos AA a la matriz de coeficientes y MM a la matriz ampliada. MM = 0 0 Tanto en AA como en MM la ª fila es la diferencia de la ª fila menos la ª fila de modo que, a efectos de calcular el rango, podemos einarla. Además, en ambas matrices el menor = = 6 0 así que rrrrrrrrrr(aa) = = rrrrrrrrrr(mm) = nnº iiiiccógggg. 0 por lo que se trata de un sistema compatible determinado (solución única) y las rectas son secantes. punto b) Hallamos los vectores directores de ambas rectas: ii jj kk - vector director de rr uu = (,, ) (,, ) = = ii + jj kk uu = (,, ) 0.5 puntos - vector director de ss : vv = (,, ) El ángulo que forman uu y vv es:

5 αα = aaaaaa cccccc uu vv (,, ) (,,) + 9 = aaaaaa cccccc = aaaaaa cccccc = aaaaaa cccccc = uu. vv aaaaaa cccccc = 06,6 0,75 puntos 7 (También αα = aaaaaa cccccc = 7, ) 7 5

6 OPCIÓN B.- Calcular los siguientes límites: a) llllll (xx xx) xx xx llllll b) llllll xx + ( xx + xx xx) c) llllll( xx+ ) xx xx xx (,5 puntos) a) --- Solución usando que para xx el infinitésimo llllll es equivalente a xx. (xx xx) xx xx llllll = 0 = (xx xx) 0 xx xx(xx ) --- Solución usando L Hopital (xx xx) xx xx llllll = (xx xx) = = xx xx xx xx = 0 = 0 LL (xx ) HHHHHHHHHHHHHH = xx llllll+xx( = ( ) = = 0,75 puntos xx ) llll+ 0+ b) xx + xx + xx xx = = xx + xx xx +xx+xx = = c) xx+ xx = xx xx xx + xx xx xx xx + xx xx +xx xx ( xx +xx xx)( xx +xx+xx) = xx + ( xx +xx+xx) = xx + + xx + = +0+ = xx +xx xx = xx + xx +xx+xx 0,75 puntos Usamos que ff(xx) xx aa gg(xx) h(xx) = eexx aa h(xx) ff(xx) gg(xx). Se tiene xx xx xx+ xx = xx xx xx+ xx xx xx = xx xx xx+ xx (xx ) xx = = (xx )xx xx xx = Luego el resultado es ee punto.- Un granjero dispone de 00 metros de valla para deitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima? (,5 puntos) Área total vallada AA = xxxx Perímetro total a vallar PP = xx + yy = 00 yy = 00 xx 6

7 Sustituyendo el valor de yy en AA AA = xx. 00 xx = 00xx 8xx AA = 00 6xx 00 = 0 xx = = 5mm 6 yy = 00.5 = = 00 mm.- Estudiar, para los distintos valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando aa =. (,5 puntos) aaaa yy + = aa xx aaaa + zz = aa aaaa + yy = aa Llamemos AA a la matriz de coeficientes y MM a la matriz ampliada. Se tiene: aa AA = aa aa aa MM = aa aa aa aa aa AA = aa aa + + aa aa = 6aa aa = 0 aa = 0 ó aa = --- Si aa 0 y aa, rrrrrrrrrr(aa) = = rrrrrrrrrr(mm) = nnº dddd iiiiiiógggggggggggg ssssssssssssss cccccccccccccccccccc dddddddddddddddddddddd (ssssssssssssónn únnnnnnnn) --- Si aa = 0, entonces 0 0 AA = 0, MM = En AA está el menor y el sistema de ecuaciones es homogéneo 0 = 0 rrrrrrrrrr(aa) = < = nnº iiiiiiógggggggggggg ssssssssssssss hooooooooénnnnnn cccccccccccccccccccc ( ssssssssssssssssssss) --- Si aa =, entonces AA =, MM = En AA el menor = + 0 rrrrrrrrrr(aa) = 9 En MM el menor = rrrrrrrrrr(mm) = 7

8 Luego rrrrrrrrrr(aa) = = rrrrrrrrrr(mm) ssssssssssssss iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii (nnnn ssssssssssssónn) 0,5 ptos --- Para aa = el sistema, que es compatible determinado, es el siguiente xx yy + zz = xx yy + zz = xx + yy zz = La solución, si usamos Cramer, es: xx = yy = zz = donde el determinante de la matriz de coeficientes es = = = = = = =.- Dados los planos ππ xx + yy + zz = y ππ xx + yy mmmm = 00 se pide: a) Calcular el valor del parámetro mm para que ambos planos sean paralelos. (0,75 ptos) b) Calcular el valor de mm para que ambos planos sean perpendiculares. (0,75 puntos) c) Para mm =, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos. ( punto) a) --- vector director del plano ππ aa = (,, ) --- vector director del plano ππ bb = (,, mm) --- Para que los planos sean paralelos los vectores aa y bb también deben serlo y en consecuencia, sus coordenadas serán proporcionales; luego = = mm mm = b) --- Ambos planos serán perpendiculares si sus vectores directores también lo son y ello ocurre si su producto escalar es cero. Así aa bb = 0 (,, ) (,, mm) = ( mm) = mm = 0 mm = 0,75p c) Para mm = la recta rr intersección de los dos planos es xx + yy + zz = rr xx + yy zz = 0 (*) ii jj kk --- El vector director de la recta es vv = aa bb = = ii + jj = (,, 0) 0,5 pt --- Un punto de la recta lo obtenemos como una solución (de las que tiene) del sistema (*) 8

9 Así, restando las dos ecuaciones de (*) zz = zz = y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones resulta xx + yy =, de donde, para yy = 0 sale xx =. Por tanto, un punto de la recta es PP(, 0, ) y las ecuaciones paramétricas de la recta rr pedidas son xx = tt rr yy = tt zz = xx = tt (Si usamos como vector vv el de coordenadas (,, 0) rr yy = tt zz = ) 9