UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS PREPARADURÍAS DE MATEMÁTICAS V (MA-2112) PREPARADURÍA N 8

Transcripción

1 Saúl I. Utrera B. Ingeniería de Materiales UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS PREPARADURÍAS DE MATEMÁTICAS V (MA-11) PREPARADURÍA N 8 Campos conservativos. Integrales dobles 1. Campos conservativos: 1.1. Dado el campo vectorial FF(xx, yy) = xxxx + 1 xx + 4yy : a. Demostrar que FF es un campo conservativo, b. Hallar la función potencial ff(xx, yy), tal que ff(xx, yy) = FF(xx, yy), c. Calcular la integral sobre una curva cualquiera que va desde el origen hasta el punto (1,1). DEFINICIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS PP(xx, yy) Dado un campo vectorial FF(xx, yy) = QQ(xx, yy) de clase 1 en todo R. Si se cumple que: (xx, yy) = (xx, yy) Entonces, decimos que FF(xx, yy) es un campo conservativo y existe una función potencial ff(xx, yy): R R, tal que ff(xx, yy) = FF(xx, yy). En general, para los campos conservativos se cumple que: FF, dddd CC = ff pppppppppp ffffffffff dddd CC ff(pppppppppp iiiiiiiiiiiiii dddd CC ) 1

2 a. Demostración de campo conservativo: PP(xx, yy) Para que un campo vectorial FF(xx, yy) = QQ(xx, yy) sea conservativo debe ser de clase 1 en todo R y además Tenemos: (xx, yy) = (xx, yy). Veamos si eso sucede aquí: FF(xx, yy) = xxxx + 1 PP(xx, yy) = xxxx + 1 xx + 4yy QQ(xx, yy) = xx + 4yy Donde PP(xx, yy) = xxxx + 1 y QQ(xx, yy) = xx + 4yy son funciones compuestas por polinomios. Por definición, conocemos que los polinomios son continuos y diferenciables en todo R, por lo tanto, son de clase 1 en todo R. Entonces, FF(xx, yy) es composición de funciones de clase 1 en todo R : FF(xx, yy) es de clase 1 en todo R Ahora, nos queda verificar que: (xx, yy) = (xx, yy) (1) Calculamos: (xx, yy) = (xx + 4yy) = xx (xx, yy) = xx (xx, yy) = (xxxx + 1) = xx (xx, yy) = xx Con lo que verificamos que (1) se cumple. FF(xx, yy) es un campo conservativo b. Cálculo de la función potencial: Sabemos que si un campo vectorial es conservativo, existirá una función potencial ff(xx, yy) (campo escalar) que satisface que ff(xx, yy) = FF.

3 Genéricamente, el gradiente de un campo escalar de dos variables está dado por: (xx, yy) ff(xx, yy) = (xx, yy) Pero este gradiente debe cumplir que: (xx, yy) = xxxx + 1 (xx, yy) xx + 4yy De donde obtenemos un sistema de ecuaciones con una incógnita: ff(xx, yy). (xx, yy) = xxxx + 1 () + 4yy () De (): (xx, yy) = xx + 4yy dddd(xx, yy) = (xx + 4yy)dddd ff(xx, yy) = xx yy + yy + ll(xx) (4) Derivo (4) respecto a xx: ff(xx, yy) = xx yy + yy + ll(xx) (xx, yy) = xxxx + ll (xx) (5) Igualamos () y (5): xxxx + 1 = xxxx + ll (xx) ll (xx) = 1 dddd (xx) = 1 dddd(xx) = dddd dddd

4 ll(xx) = xx + CC, CC R (6) Sustituimos (6) en (4): ff(xx, yy) = xx yy + yy + ll(xx) ff(xx, yy) = xx yy + yy + xx + CC Y nuestra función potencial nos queda: ff(xx, yy) = xx yy + yy + xx + CC, CC R c. Cálculo de la integral sobre una curva cualquiera: En general, para los campos conservativos, se tiene que las integrales de línea no dependen de la trayectoria, sino de los puntos finales e iniciales, así: FF, dddd CC = ff pppppppppp ffffffffff dddd CC ff(pppppppppp iiiiiiiiiiiiii dddd CC ) Donde CC es una curva cualquiera. Del enunciado conocemos que: Punto inicial PP ii = (,) Punto final PP ff = (1,1) Entonces: FF, dddd CC = ff(1,1) ff(,) = 4 + CC CC = 4 Finalmente, la integral pedida es: FF, dddd CC = 4 4

5 1.. Sea FF(xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) xxxxxxxx(yy) + 1 a. Demostrar que FF es un campo conservativo, b. Hallar la función potencial ff(xx, yy), tal que ff(xx, yy) = FF(xx, yy). PP(xx, yy) Para que un campo vectorial FF(xx, yy) = QQ(xx, yy) sea conservativo debe ser de clase 1 en todo R y además Tenemos: (xx, yy) = (xx, yy). Veamos si eso sucede aquí: FF(xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) xxxxxxxx(yy) + 1 PP(xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) QQ(xx, yy) = xxxxxxxx(yy) + 1 Sea PP(xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) con PP aa (xx, yy) = 4xx y PP bb (xx, yy) = ssssss (yy), vemos que PP aa (xx, yy) = 4xx es un polinomio, quienes, por definición, son de clase 1 en todo R, ahora nos queda PP bb (xx, yy) = ssssss (yy). Por Matemáticas I sabemos que las funciones trigonométricas serán continuas y derivables, siempre que sus argumentos sean continuos y derivables. Si traemos esa idea a Matemáticas V, tenemos que, las funciones trigonométricas serán continuas y diferenciables, siempre que su argumento lo sea; en este caso tenemos PP bb (xx, yy) = ssssss (yy), cuyo argumento es un polinomio que es clase 1 en todo R, luego PP bb (xx, yy) también lo será. Entonces PP(xx, yy) es composición de funciones 1 en todo R, por lo que ella también será 1 en todo R. Sea QQ(xx, yy) = xxxxxxxx(yy) + 1 con QQ aa (xx, yy) = xxxxxxxx(yy) y QQ bb (xx, yy) = 1, vemos que QQ bb (xx, yy) = 1 es un polinomio, quienes, por definición, son de clase 1 en todo R, ahora nos queda QQ aa (xx, yy) = xxxxxxxx(yy) que es composición de un polinomio y una función trigonométrica. Los primeros siempre son 1 en todo R, las segundas, como vimos, lo serán siempre que su argumento lo sea, en este caso, tenemos otro polinomio de argumento, ergo, QQ aa (xx, yy) es de clase 1 en todo R. Entonces QQ(xx, yy) es composición de funciones 1 en todo R, por lo que ella también será 1 en todo R. FF(xx, yy) es de clase 1 en todo R NOTA: Entiendo que esto pareciera un trabalenguas, pero de no hacerlo, la resolución de su problema no tendría ninguna validez. CUIDADO! 5

6 Ahora, nos queda verificar que: (xx, yy) = (xx, yy) (1) Calculamos: (xx, yy) = (xxxxxxnn(yy) + 1) = ssssss(yy) (xx, yy) = ssssss(yy) (xx, yy) = (4xx + ssssss (yy)) = ssssss(yy)cccccc(yy) (xx, yy) = ssssss(yy)cccccc(yy) Queda: ssssss(yy) = ssssss(yy)cccccc(yy) Que es una de las identidades trigonométricas más conocidas! FF(xx, yy) es un campo conservativo b. Cálculo de la función potencial Sabemos que si un campo vectorial es conservativo, existirá una función potencial ff(xx, yy) (campo escalar) que satisface que ff(xx, yy) = FF. Genéricamente, el gradiente de un campo escalar de dos variables está dado por: (xx, yy) ff(xx, yy) = (xx, yy) Pero este gradiente debe cumplir que: ff(xx, yy) = FF 6

7 Entonces: (xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) (xx, yy) xxxxxxxx(yy) + 1 De donde obtenemos un sistema de ecuaciones con una incógnita: ff(xx, yy). (xx, yy) = 4xx + ssssss (yy) () (xx, yy) = xxxxxxxx(yy) + 1 () De (): (xx, yy) = xxxxxxxx(yy) + 1 dddd(xx, yy) = (xxxxxxxx(yy) + 1)dddd ff(xx, yy) = xxxxxxxx(yy) + yy + ll(xx) Pero cos(yy) = cccccc (yy) ssssss (yy), entonces: ff(xx, yy) = xx cccccc (yy) ssssss (yy) + yy + ll(xx) (4) Derivamos (4) respecto a xx: (xx, yy) = 1 cccccc (yy) ssssss (yy) + ll (xx) Pero cccccc (yy) = 1 ssssss (yy) entonces: (xx, yy) = 1 1 ssssss (yy) ssssss (yy) + ll (xx) 7

8 (xx, yy) = 1 1 ssssss (yy) + ll (xx) (xx, yy) = ssssss (yy) 1 + ll (xx) (5) Igualamos () y (5): ssssss (yy) 1 + ll (xx) = 4xx + ssssss (yy) ll (xx) = 4xx + 1 dddd dddd (xx) = 4xx + 1 dddd dddd (xx) = 4xx + 1 dddd(xx) = 4xx + 1 dddd ll(xx) = xx + xx + CC, CC R (6) Sustituimos (6) en (4) y nos queda: ff(xx, yy) = xx cccccc (yy) ssssss (yy) + yy + ll(xx) ff(xx, yy) = xx cccccc (yy) ssssss (yy) + yy + xx + xx + CC, CC R Finalmente, nuestra función potencial sería: ff(xx, yy) = xx (cos(yy)) + yy + xx + xx + CC, CC R. Integrales dobles:.1. Sea = {(xx, yy) xx + 4yy 1, xx, yy }. Calcular (xx + yy )dddddddd. Para el cálculo de integrales dobles siempre será necesaria la gráfica de la región de integración. Para realizar esta gráfica debemos identificar las distintas geometrías que se describen en la definición de. Primero nos encontramos con xx + 4yy 1, la igualdad (xx + 4yy = 1) nos indica una recta que corta al eje xx en xx = 1 y al eje yy en yy = 5, la desigualdad (xx + 4yy < 1) nos dice la región está DEBAJO de esa recta (esto podemos comprobarlo tomando un punto que no 8

9 esté sobre la recta y evaluando si se cumple o no la desigualdad). Luego, nos encontramos con xx, yy que es la forma de definir el primer cuadrante del plano cartesiano. Entonces, queda como: yy = 4 xx + 5 B Una vez conocida nuestra región, escogemos un sentido de integración (horizontal o vertical). Aquí escogeremos vertical e integramos desde un punto que llamaremos AA hasta uno que llamaremos BB, donde: AA = xx AA yyaa AA = xx yy AA yy AA = D A BB = xx BB yy BB AA = xx yy BB yy BB = 4 xx + 5 xx 1 Nuestra integral nos quedará: (xx + yy )dddddddd 1 yy BB = (xx + yy )dddd dddd yy AA El diferencial interno debe coincidir con el sentido que escogí para integrar! Si lo hago horizontalmente, será dddd, y si lo hago verticalmente (este caso), será dddd. Entonces: 1 yy BB 4 xx+5 (xx + yy )dddd dddd = (xx + yy )dddd dddd 1 yy AA 1 = xx 4 xx xx + 5 dddd EEEE uuuuuu iiiiiiiiiiiiiiii sencilla dddd MMMMMMMMMMátttttttttt! 9

10 1 xx 4 xx xx + 5 dddd = La integral pedida es: (xx + yy )dddddddd = Sea = {(xx, yy) xx, xx yy xx}. Calcular (xx + 4yy)dddddddd. Como ya lo hemos indicado, es necesario hacer la gráfica de la región para poder calcular la integral. Tenemos xx yy xx, cuyas igualdades (xx = yy y yy = xx) nos indican la gráfica de una parábola que abre hacia arriba y una recta de pendiente que pasa por el origen; sus desigualdades (xx < yy y yy < xx) nos dice que es lo que está en el interior de la parábola y por debajo de la recta con xx. Por lo tanto, nuestra región queda: yy = xx yy = xx B A D Con esto, ya podemos elegir el sentido de integración. En este caso tomaremos el vertical escogeremos vertical e integramos desde un punto que llamaremos AA hasta uno que llamaremos BB, donde: AA = xx AA yyaa AA = xx yy AA yy AA = xx BB = xx BB yy BB AA = xx yy BB yy BB = xx xx Ya tenemos todo para integrar. Nos queda: 1

11 (xx + 4yy)dddddddd yy BB = (xx + 4yy)dddd dddd = (xx + 4yy)dddd dddd yy AA xx xx xx (xx + 4yy)dddd dddd = xx (xx xx ) + (4xx xx 4 ) dddd = 15 xx 15 Luego, la integral pedida es: (xx + 4yy)dddddddd = Sea = (xx, yy) xx 1, yy. Calcular ff(xx, yy)dddddddd xx 1, ssss xx cccccc(yy) ff(xx, yy) = ssssss(yy), ssss xx > cccccc(yy) Como en todos los problemas de integración doble, debemos dibujar la región y escoger un sentido de integración, en este caso, lo haremos yy = aaaaaaaaaaaa(xx) horizontalmente. A C yy = yy = 1 D B Tenemos que es un rectángulo de la forma xx 1, yy, pero, además, la función cambia antes y después de la gráfica de xx = cccccc(yy) que pasa por el interior del rectángulo. Por lo anterior, para el cálculo de esta integral debemos tener especial cuidado pues en nuestra región tenemos distintos valores de ff(xx, yy). 11

12 Consideraremos dos subregiones 1 y asociadas a cada trozo de la función ff(xx, yy). Luego sumaremos ambos resultados y obtendremos la integral pedida. Esto es: ff(xx, yy) dddddddd = ssssss(yy) dddddddd + (xx 1) dddddddd 1 Para la subregión 1 (xx > cccccc(yy) ff(xx, yy) = ssssss(yy)) Como decidimos integrar horizontalmente, nos queda: AA = xx AA yyaa AA = xx xx 1 AA = cos(yy), AA yy xx AA = yy xx AA =, yy BB = xx BB yy BB AA = xx BB yy xx BB = 1 yy Entonces, nuestra primera integral nos queda: II 1 = ssssss(yy) 1 xx BB dddddddd = ssssss(yy) dddd dddd + ssssss(yy) dddd dddd 1 xx AA 1 = ssssss(yy) dddd dddd + ssssss(yy) dddd dddd cos(yy) 1 xx BB xx AA = ssssss(yy)(1 cos(yy)) dddd + ssssss(yy) dddd = ssssss(yy) dddd ssssss(yy) cos(yy) dddd + ssssss(yy) dddd = cos () ssssss(yy) 1 dddddddd = cos () 1

13 Ahora, para la subregión (xx cccccc(yy) ff(xx, yy) = xx 1) Como decidimos integrar horizontalmente, nos queda: CC = xx CC yy CC CC = xx CC yy xx CC = = xx yy = xx yy xx = cos(yy) yy Entonces, nuestra segunda integral nos queda: xx II = (xx 1) dddddddd = (xx 1) dddd dddd = (xx 1) dddd dddd xx CC cos (yy) cos(yy) = (xx 1) dddd dddd = cccccc (yy) cos(yy) dddd = cos(yy) dddd 1 cos(yy) dddd = 4 (xx 1) 1 dddddddd = 4 La integral pedida es: ff(xx, yy) dddddddd = ssssss(yy) dddddddd + (xx 1) dddddddd 1 ff(xx, yy) dddddddd = cos () 4 1

14 Cualquier error que encuentre notifíquelo al correo: Muchas gracias. NOTA DEL AUTOR: Esta guía fue completada con ejercicios obtenidos de las guías de los profesores Libuska Juricek y Farith Briceño, además del texto oficial del curso y las notas del profesor Morales Bueno. Su uso es totalmente educativo. Se espera facilitar el estudio de una asignatura compleja como MA-11. Saúl I. Utrera B. Universidad Simón Bolívar Ingeniería de Materiales Carné: