UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS PREPARADURÍAS DE MATEMÁTICAS V (MA-2112) PREPARADURÍA N 6

Transcripción

1 Saúl I. Utrera B. Ingeniería de Materiales UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS PREPARADURÍAS DE MATEMÁTICAS V (MA-11) PREPARADURÍA N 6 Máximos y mínimos: clasificación y Multiplicadores de Lagrange 1. Máximos y mínimos: Un punto (xx, yy ) es crítico de una función ff: R R sí y solo sí, satisface la relación: ff(xx, yy) = 0 0 Clasificación de puntos críticos: Si (xx, yy ) es un punto crítico de una función ff: R R y: (a) det HH(xx, yy ) > 0 yy h 11 > 0 eeee (xx, yy ) ff tttttttttt uuuu MMÍNNNNNNNN LLLLLLLLLL. (b) det HH(xx, yy ) > 0 yy h 11 < 0 eeee (xx, yy ) ff tttttttttt uuuu MMÁXXXXXXXX LLLLLLLLLL. (c) det HH(xx, yy ) < 0 (xx, yy ) eeee uuuu PPPPPPPPPP SSSSSSSSSS. (d) det HH(xx, yy ) = 0 EEEE cccccccccccccccc nnnn cccccccccccccccc. SSSS dddddddd eeeeeeeeeeeeeeee llllllllllllllllllll Hallar todos los puntos críticos de la función ff(xx, yy) = xx yy3 + 4yy xx yy + y clasificarlos. Los puntos críticos de una función ff(xx, yy) son todos aquellos en los que ff(xx, yy) = 0 0 con ff: R R. Entonces, necesitamos el gradiente de la función. Veamos: 1

2 (xx, yy) (xx, yy) = 4xx3 xxyy ff(xx, yy) = ff(xx, yy) = (xx, yy) (xx, yy) = yy + 8yy yyxx 4xx 3 xxyy ff(xx, yy) = yy + 8yy yyxx ff(xx, yy) = xx(xx yy ) yy(yy + 4 xx ) Luego: (11) xx = 0 ff(xx, yy) = 0 0 xx(xx yy ) (aa) yy(yy + 4 xx ) (bb) = 0 0 () yy = 0 (33) (xx yy ) = 0 (44) (yy + 4 xx ) = 0 De (1) tenemos: xx = 0 xx = 0 Sustituimos xx = 0 en (b): yy(yy + 4 xx ) = 0 yy(yy + 4) = 0 yy 1 = 0, yy = 4 Entonces, los primeros puntos críticos tienen la forma: {(xx, yy) xx = 0 (yy = 0 yy = 4)} AA = 0 0 yy BB = 0 4 De (3) tenemos: xx yy xx = yy xx = yy xx = ± yy xx = ± 1 yy xx = ± yy Sustituimos xx = ± yy en (b):

3 yy(yy + 4 xx ) = 0 yy yy yy = 0 yy 1 = 0, yy ii = ± 36 De resolver la ecuación de segundo grado! Entonces, los otros puntos críticos tienen la forma: (xx, yy) xx = ± yy (yy = 0 yy = 4 yy = ) PP ii = ± yy yy CC =, DD =, EE =, FF = 4 4 De sustituir () en (a) volveremos a obtener el punto AA. Para (4) debemos decidir cuál variable escribiremos en función de la otra. Aquí escribiremos yy en función de xx para simplificar las cuentas, así: yy + 4 xx = 0 yy = xx 4 Sustituimos en (a): xx(xx yy ) = 0 xx(xx (xx 4) ) = 0 xx(xx xx 4 + 8xx 16) = 0 xx(xx xx 4 + 8xx 16) = 0 xx(xx 4 10xx + 16) = 0 xx = 0, xx 4 10xx + 16 = 0 De sustituir xx = 0 en yy = xx 4 volvemos a obtener el punto BB. Si resolvemos la ecuación xx 4 10xx + 16 = 0 y sus soluciones la sustituimos en yy = xx 4 tendremos los puntos CC, DD, EE yy FF. Entonces, concluimos: LLLLLL pppppppppppp ccccítttttttttt dddd ff(xx, yy)ssssss: AA = 0 0, BB = 0, CC =, DD =, EE = yy FF =

4 Hemos concluido la primera etapa del ejercicio y, ciertamente, la más sencilla. Ahora debemos clasificarlos. Para esto seguimos los criterios establecidos al principio de esta preparaduría. Entonces, tendremos que calcular la Matriz Hessiana de ff(xx, yy), HH ff (xx, yy). La Matriz Hessiana de una función ff: R R está dada por: (xx, yy) HH ff (xx, yy) = (xx, yy) (xx, yy) (xx, yy) Con (xx, yy) = 4xx3 xxyy y (xx, yy) = yy + 8yy yyxx, tenemos: (xx, yy) = 1xx yy (xx, yy) = 4xxxx (xx, yy) = 4xxxx (xx, yy) = 4yy xx + 8 Entonces, la Matriz Hessiana de ff(xx, yy) es: HH ff (xx, yy) = 1xx yy 4xxxx 4xxxx 4yy xx + 8 Evaluamos la Matriz Hessiana para cada uno de los puntos críticos y calculamos el determinante asociado: Para AA = 0 0 : HH ff (0,0) = det HH ff(0,0) = 0 Según el literal (d) de los criterios de clasificación: no se puede concluir sobre el punto AA. 4

5 Para BB = 0 4 : HH ff (0, 4) = det HH ff(0, 4) = 56 Tenemos que det HH ff (0, 4) > 0 yy h 11 = 3 < 0, por lo tanto, según el literal (b) de los criterios de clasificación: en BB, ff(xx, yy) tiene un MÁXIMO LOCAL. Para CC = 4 : HH ff, 4 = 64 3 det HH ff, 4 = Tenemos que det HH ff, 4 < 0, por lo tanto, según el literal (c) de los criterios de clasificación: En CC, ff(xx, yy) tiene un PUNTO SILLA. Para DD = 4 : HH ff, 4 = det HH ff, 4 = 1536 Tenemos que det HH ff, 4 < 0, por lo tanto, según el literal (c) de los criterios de clasificación: En DD, ff(xx, yy) tiene un PUNTO SILLA. Para EE = : HH ff, = det HH ff, = 19 5

6 Tenemos que det HH ff, < 0, por lo tanto, según el literal (c) de los criterios de clasificación: En EE, ff(xx, yy) tiene un PUNTO SILLA. Para FF = : HH ff, = det HH ff, = 19 Tenemos que det HH ff, < 0, por lo tanto, según el literal (c) de los criterios de clasificación: En FF, ff(xx, yy) tiene un PUNTO SILLA. 1.. Sea ff(xx, yy) = xx + kkkkkk + yy, kk εε R, determinar los valores de kk para que: (a) En (0,0) sea un punto silla, (b) En (0,0) ff tiene un mínimo local, (c) El criterio de segunda derivada no permita concluir. Lo primero que tenemos que hacer es verificar que el (0,0) sea un punto crítico, ya que este podría ser uno de esos ejercicios mal intencionados en los que generalmente caemos los estudiantes: Según la definición, los puntos críticos son todos aquellos (xx, yy) tales que ff(xx, yy) = 0 0. (xx, yy) (xx, yy) = xx + kkkk ff(xx, yy) = ff(xx, yy) = (xx, yy) (xx, yy) = yy + kkkk xx + kkkk ff(xx, yy) = yy + kkkk = 0 0 xx + kkkk = 0 (11) yy + kkkk = 0 () 6

7 De (1) tenemos que xx + kkkk = 0 xx = kkkk xx = 1 kkkk. Sustituimos xx en () y nos queda: kk 1 kkkk + yy = 0 1 kk yy + yy = 0 yy 1 kk = 0 y = 0 (aa) Sustituimos (a) en xx = 1 kkkk: xx = 1 kkkk xx = 1 kk(0) x = 0 Entonces AA = (0,0) es un punto crítico. Verificado! Para clasificar necesitamos HH ff (xx, yy): (xx, yy) HH ff (xx, yy) = (xx, yy) (xx, yy) kk (xx, yy) = kk HH ff(xx, yy) = kk kk Evaluamos HH ff (xx, yy) en el punto (0,0) y calculamos el det HH ff (0,0) : HH ff (0,0) = kk kk det HH ff(0,0) = 4 kk (a) Para punto silla: det HH ff (0,0) < 0 4 kk < 0 4 < kk kk > > kk > Para kk εε (, ) (, ) en (0,0) ff tiene un PUNTO SILLA. (b) Para mínimo local: Tenemos dos condiciones det HH ff (0,0) > 0 y h 11 > 0 h 11 = > 0 Se cumple! 7

8 4 kk > 0 4 > kk > kk > kk > Para kk εε (,) en (0,0) ff tiene un MÍNIMO LOCAL. (c) Para que el criterio falle: det HH ff (0,0) = 00 4 kk = 0 4 = kk kk = kk = ± Para kk = ± en (0,0) el criterio de la segunda derivada falla.. Máximos y mínimos con restricciones (fronteras): Dados ff: R R y DD R, hallar los máximos y mínimos de ff que pertenecen a DD se traduce en: (a) Obtener los puntos críticos, (b) Descartar aquellos puntos que no pertenezcan a DD, (c) Evaluar ffen los puntos dentro de la frontera de DD, (d) Hallar los puntos críticos en la frontera de DD y evaluar ff en esos puntos. Para esto existen dos métodos: (d.1) Parametrizar la frontera, (d.). Multiplicadores de Lagrange. (e) Entre los valores de ff evaluados en los puntos críticos el más grande es un MÁXIMO GLOBAL y el más pequeño es un MÍNIMO GLOBAL.. A. Multiplicadores de Lagrange: El método consiste en hallar xx, yy y λλ tales que: ff(xx, yy) = λλ gg(xx, yy) gg(xx, yy) = 0 Multiplicador de Lagrange Donde gg(xx, yy) = 0 es la gráfica de la frontera de DD. 8

9 .1. Hallar los extremos globales de la función ff(xx, yy) = xx + 3yy sujeta a la restricción 3xx + yy = 3. Hallamos los puntos críticos de la función ff(xx, yy) = xx + 3yy mediante la relación ff(xx, yy) = 0 0. (xx, yy) (xx, yy) = ff(xx, yy) = ff(xx, yy) = (xx, yy) (xx, ff(xx, yy) = yy) = Por ff(xx, yy) 0 concluimos que NO hay puntos críticos. 0 Veamos ahora en la frontera de DD: 3xx + yy = 3 donde gg(xx, yy) = 3xx + yy 3. Usaremos Multiplicadores de Lagrange: Necesitamos gg(xx, yy) = (xx,yy) = 6xx (xx,yy) 4yy ff(xx, yy) = λλ gg(xx, yy) gg(xx, yy) = 0, entonces por Lagrange: ff(xx, yy) = λλ gg(xx, yy) = λλ 6xx 3 4yy gg(xx, yy) = 0 3xx + yy 3 = 0 Tendremos un sistema de ecuaciones como el que sigue: = λλ(6xx) (11) 3 = λλ(4yy) () 3xx + yy 3 = 0 (33) De (1) despejaremos xx, de () despejaremos yy y por último ambos despejes los sustituiremos en (3), así: = λλ(6xx) xx = 6λλ 3 = λλ(4yy) yy = 3 4λλ 3 1 3λλ + 3 4λλ 3 = 0 (44) 9

10 Despejaremos λλ de la expresión (4): 3 1 3λλ + 3 4λλ 3 = 0 8λλ + 7λλ 7λλ 4 4λλ = λλ = 0 35 = 7λλ λλ = ± 35 7 λλ 1 = 35 7, λλ = 35 7 Para cada valor de λλ consigo un xx e yy usando (1) y (): λλ 1 = xx =, yy = El primer punto crítico en la frontera de DD es: AA = 3 7 eeeeeeeeeeeeeeeeee ff eeee AA ff(aa) = = ff(aa) = = = 7 35 = = ff(aa) = Ahora vemos para λλ : λλ = xx =, yy = El otro punto crítico en la frontera de DD es: BB = 3 7 eeeeeeeeeeeeeeeeee ff eeee BB ff(bb) =

11 ff(bb) = ff(bb) = 1 35 Como ff(aa) > ff(bb) concluimos que: max DD 70 ff = yy min ff = 70 DD 3. Problemas propuestos: 3.1. Hallar y clasificar los puntos críticos de ff(xx, yy) = xx yy3 + 4yy xx yy +. (Resp.: En (0,4) ff tiene un máximo local, en (0,0) un mínimo local y ± 8, 4, (±, ) son puntos silla). 3.. Hallar y clasificar los puntos críticos de ff(xx, yy) = xx 3 4xx 16xx + yy 3 4yy. (Resp.: En 4, 0 ff tiene un máximo local, en 4, 3 8 un mínimo local y 3 (4,0), 4, 3 8 son puntos silla) Hallar los máximos y mínimos globales de ff(xx, yy) = xxxx(1 xx yy ) en [0,1]xx[0,1]. (Resp.: En 1, 1 ff tiene un máximo global y en (1,1) tiene un mínimo globa)l Determinar los valores máximos y mínimos globales de ff(xx, yy) = xx + 8yy yy en el disco cerrado xx + yy 4. (Resp.: En 0, ( 1 ) existe un mínimo global y (0, ) un 16 máximo global Calcule las dimensiones de la caja de mayor volumen que esté contenida en la región limitada por los tres planos coordenados y por el plano dado por {(xx, yy, zz) aaaa + bbbb + cccc 1 = 0, cccccc aa, bb, cc > 0}. Se sabe que la caja tiene tres de sus caras apoyadas en cada uno de los planos coordenados y el vértice que no pertenece a ninguna de esas tres caras está en el conjunto antes mencionado. (Resp.: Las dimensiones de la caja son xx = 1 1, yy = yy zz = 1 ). 3aa 3bb 3cc Cualquier error que encuentre notifíquelo al correo: sauliutrerab@gmail.com. Muchas gracias. 11

12 NOTA DEL AUTOR: Esta guía fue completada con ejercicios obtenidos de las guías de los profesores Libuska Juricek y Farith Briceño, además del texto oficial del curso y las notas del profesor Morales Bueno. Su uso es totalmente educativo. Se espera facilitar el estudio de una asignatura compleja como MA-11. Saúl I. Utrera B. Universidad Simón Bolívar Ingeniería de Materiales Carné: