GUÍA DE EJERCICIOS. TEMA 1. Integrales de trayectoria, integrales de línea y longitud de arco.

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1 Elaborado por: Br. Saúl Utrera Ingeniería de Materiales UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS PREPARADURÍAS DE MATEMÁTICAS V (MA-) GUÍA DE EJERCICIOS Segundo parcial de MA-: Integración TEMA. Integrales de trayectoria, integrales de línea y longitud de arco... INTEGRALES DE TRAYECTORIA... Calcular ffffff σσ tt con σσ(tt) = tt para tt εε [,] y ff(xx,, zz) = xxxxxxxx(zz) ff: R R. tt tt... Calcular σσ (xx + zz)dddd con σσ(tt) = para tt εε [,]. tt tt... Sea σσ(tt) = ssssss() con tt εε [, ln ()] y ff(xx,, zz) = ff: R R. Calcular σσ ffffff. ln (8)... Dada la curva mostrada en la figura..a y la función ff(xx,, zz) = xx cos(zz) ff: R R. Calcule ffffff...5. Calcular ffffff con ff(xx, ) = xx y = {(xx, ) = xx xx }. = xx Figura..A

2 .. LONGITUD DE ARCO... Calcule la longitud de arco de σσ(tt) = tt ee tt con tt εε [,]. ee tt tt... Sea σσ(tt) = tt + con tt εε [,], calcule la longitud de arco de σσ(tt). tt... Calcule la longitud de arco de la curva mostrada en la figura..a.... Calcule la longitud de arco de la curva mostrada en la figura..b. = xx Figura..A Figura..B..5. Demuestre, utilizando la teoría de la longitud de arco, que la longitud de arco de una circunferencia de radio r está dada por la expresión:.. INTEGRALES DE LÍNEA LL =... Sea σσ(tt) = tt con tt εε [,]. Calcular xxxxxx + tt σσ.... Sea σσ(tt) = tt tt con tt εε [,]. Calcular σσ + xxxxxx.... Sea σσ(tt) = tt tt con tt εε [,] y FF(xx, ) = xxxx FF: R R. Calcular σσ FF, dddd. tt... Sea σσ(tt) = ssssss (tt) con tt εε [,] y FF(xx, ) = + xx FF: R R. Calcular FF, dddd σσ.

3 ..5. Sea σσ(tt) = eett ssssss(tt) ee tt con tt εε [,] y FF(xx, ) = cos (tt) xx (xx + ) 5 (xx + ) 5 tt..6. Sea σσ(tt) = tt con tt εε [,]. Calcular xxxxxxxx + xxxxxxxx tt σσ. FF: R R. Calcular σσ FF, dddd...7. Calcular 6xxxxxxxx + (xx + )dddd con el cuadrado de ecuación xx + =...8. Calcular 6xxxxxxxx + (xx + )dddd con = {(xx, ) xx + = rr } en sentido antihorario...9. Calcular xx + dddd + xx xx + dddd con = {(xx, ) xx + = } en sentido antihorario.... Calcular dddd+dddd xx + antihorario. con el contorno del cuadrado de vértices (,) (,) (,) (, ) en sentido... Sea la curva mostrada en la figura..a. Calcular (xx xxxx)dddd + ( xxxx)dddd.... Sea la curva mostrada en la figura..b y FF(xx, ) = xx + xx FF: R R. Calcular FF, dddd.... Sea la curva mostrada en la figura..c y FF(xx, ) = + FF: R R. Calcular FF, dddd. = xx OO: = ssssss(xx) = OO KK = xx KK: = ssssss(xx) Figura..A Figura..B Figura..C Respuestas a los ejercicios planteados Tema. Integrales de trayectoria, integrales de línea y longitud de arco.... II = II = 6... II = ssssss() ln ()... II = II = 5 5

4 ... II = ee (ee )... II =... II =... II =... II =... II =... II = II = 7 + ssssss ssssss..5. II = ee II =..9. II =... II =... II = II = II = 5... II =..7. II = TEMA. Campos conservativos.. CAMPOS CONSERVATIVOS Dadas las funciones que se muestran a continuación (....9), definidas como FF: R R : (a) Demostrar si F es un campo conservativo. (b) Hallar la función potencial f, definida como ff: R R, tal que ff = FF. (c) Calcular la integral a lo largo de alguna curva que va desde el origen hasta el punto (,).... FF(xx, ) = xxxx + xx +... FF(xx, ) = + + 9xx + xx... FF(xx, ) = xx xx + xx +... FF(xx, ) = xx + + xx + xx FF(xx, ) = xx + ssssss () xxxxxxxx() FF(xx, ) = 5xx + 6xx + 6xx + xx FF(xx, ) ee xx+ + = ee xx+ ( + ) FF(xx, ) = ssssss() + eexx ee xx cccccc() FF(xx, ) = 6xxxx + 6 xxxx xx... Hallar el valor de aa de modo que FF, dddd solo dependa de los puntos AA = BB =. va desde A hasta B y FF(xx, ) = + aaaaaa xx + aaaaaa. Respuestas a los ejercicios planteados Tema. Campos conservativos.... (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx + + xx + CC. (c) II =... (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx + xxxx + xx + CC. (c) II = 6... (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx + xxxx + + 5xx + CC. (c) II = 9

5 ... (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx + xxxx xx + CC. (c) II =..5. (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx cos() + + xx + xx + CC. (c) II = (7 cos())..6. (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx + xxxx xx 5 + CC. (c) II = (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = ee xx+ + + xx + CC. (c) II = ee (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = ee xx ssssss() + + xx + CC. (c) II = + eeeeeeee()..9. (a) Es un campo conservativo. (b) ff(xx, ) = xx xx + 6xx + CC. (c) II =... aa = TEMA. Integrales dobles y cambios en el orden de integración... INTEGRALES DOBLES... Calcular xx 5 dddddddd... Calcular ssssss()dddddddd... Calcular (xx + ln())dddddddd... Calcular ( xx )dddddddd con = [,]xx[,]. con = [,]xx,. con = [,]xx[, ]. con = [,]xx[,]...5. Demuestre, utilizando integrales dobles, que el área de un rectángulo centrado en el origen, de lados aa y bb, con bb = aa, está dado por: LL = aa..6. Sea = {(xx, ) xx + =, xx, }. Calcular (xx + )dddddddd...7. Sea = {(xx, ) xx, xx xx}. Calcular (xx + )dddddddd...8. Sea = {(xx, ) xx ssssss(xx), xx }. Calcular xxxxxxxx(xx)dddddddd...9. Sea = (xx, ) xx aaaaaaaaaaaa(xx), xx. Calcular dddddddd. 5

6 ... Sea = {(xx, ) xx xx, xx }. Calcular xx + dddddddd.... Sea = (xx, ) xx,. Calcular ff(xx, )dddddddd con ff(xx, ) = +, ssss tttt(xx), ssss < tttt(xx).... Sea = (xx, ) xx,. Calcular ff(xx, )dddddddd. xx, ssss xx < cos (y) Donde ff(xx, ) = ssssss(), ssss xx cos ().... Sea = {(xx, ) xx }. Calcular ff(xx, )dddddddd xxxx, ssss xx con ff(xx, ) =, ssss xx >.... El área de una región plana D viene dada por AA() = dddd. Demuestre que el área de la región R, acotada por xxxx, 7 xx y la recta que pasa por el origen con pendiente mm =, viene dada por: xx xx EJERCICIO DE DESAFÍO: Sea ff(xx, ) = ff(xx, )dddddddd. xx dddddddd + dddddddd xx +xx + xx 7 xx y = (xx, ) xx,. Calcular Recomendación..5: Integre horizontalmente... INVERTIR EL ORDEN DE INTEGRACIÓN Invertir el orden de integración de las integrales dobles que siguen (....7):... ff(xx, ) dddd dddd arccos (xx)... xx ff(xx, ) dddd dddd... ff(xx, ) dddd dddd xx... ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd xx xx..6. ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd xx xx xx xx..5. ff(xx, ) dddd dddd aaaaaaaaaaaa()..7. ff(xx, )dddd dddd..8. Calcular II = ee xx dddd dddd. 6

7 ..9. Calcular II = ssssss() dddd dddd + xx xx xx ssssss() dddd dddd.... Calcular II = xxxx dddd dddd + xxxx dddd dddd. Respuestas a los ejercicios planteados Tema. Integrales dobles y cambios en el orden de integración.... II = 8... II =... II = ( ) + ln()... II =..6. II = II =..8. II = ssssss() + ssssss() 8 cos() cos()..9. II = II = II = 5 ln() II = cos()... II = II = 6 6 ln + + ln 6 + ln + + ( ) + xx... ff(xx, ) dddd dddd... 6 ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd 6 cos () xx... ff(xx, ) dddd dddd... ff(xx, ) dddd dddd YY..6. ff(xx, ) dddd dddd..5. ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd + ff(xx, ) dddd dddd ssssss(xx) ssssss(xx)..7. ff(xx, ) dddd dddd + ( ff(xx, ) dddd)dddd ( xx)..8. II = ee..9. II = ssssss() cos ()... II = 7 TEMA. Cambios de variables.. CAMBIOS DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES... Sea = {(xx, ) xx +, xx, }. Usar el cambio de variables uu =, vv = xx + para calcular ssssss[(xx + ) ]dddddddd.... Sea = (xx, ) xx, xx,. Usar el cambio de variables uu = xx, = uuuu para calcular ssssss(xx ) dddddd. xx 7

8 ... Sea = {(xx, ) xx +, xx xx}. Usar el cambio de variables xx = uu( vv), = uu xx para calcular ee xx+ dddddddd.... Sea la región acotada por las rectas xx + =, xx + =, xx =, xx =. Usar el xx cambio de variables uu = xx +, vv = xx para calcular ee xx+ dddddddd. (xx+)..5. Sea = {(xx, ) xx, xx }. Usar el cambio de variables xx = rrrrrrrr(θθ), = rrrrrrrr(θθ) para calcular dddddddd. xx Sea = {(xx, ) xx xx, xx }. Usar el cambio de variables xx = uu + vv, = vv uu para calcular (xx +) dddddddd...7. Sea el cuadrado de vértices (, ), (, ), (, ), (, ). Calcular (xx ) ssssss(xx + )dddddddd el cambio de variables uu = xx, vv = xx Sea = {(xx, ) xx +, xx, }. Calcular cccccc[(xx + ) ]dddddddd uu = xx +, vv = xx. usando usando el cambio de variables..9. Sea = {(xx, ) xx,, xx + }. Usar el cambio de variables uu = xx +, vv = para calcular ee (xx+) dddddddd.... Sea la región acotada por el cuadrado de vértices (,), (,), (,) (6,). Usar el cambio de variables uu = xx +, vv = xx para calcular ee (xx ) (xx + )dddddddd. Respuestas a los ejercicios planteados Tema. Cambios de variables en integrales dobles.... II = ( cos(6))... II =... II = ee ee... II = (ee + 5 ee ee )..5. II = ln () ee..6. II = + (arctan arctan 5 )..7. II =..8. II = ssssss()..9. II = (ee 5)... II = (ee ) 8

9 TEMA 5. Teorema de Green 5.. TEOREMA DE GREEN 5... Calcular (xx )dddd + (xx xxxx + 6 )dddd con la curva mostrada en la figura 5..A Sea FF(xx, ) = xx, = {(xx, ) xx + 6}, = {(xx, ) (xx ) + }, = {(xx, ) (xx + ) + }, = {(xx, ) (xx, ), (xx, ) ( )} y la frontera de R recorrida en sentido antihorario. Calcular FF, dddd Calcular xx xx + dddd + (,), (, ), (,), (, ). xx + dddd con la frontera del cuadrado cuyos vértices están en los puntos 5... Calcular (ssssss(xx) cos())dddd + (xxxx + ssssss() cos(xx))dddd siendo la frontera de la región encerrada por las curvas = xx, = xx con el sentido positivo de la regla de la mano derecha Calcular el área encerrada por la elipse de ecuación xx + = utilizando integrales de línea Calcular (xx )dddd + ( xx)dddd con la curva mostrada en la figura 5..B Calcular (xx )dddd +, donde es la curva que va de (,) aa (,) sabiendo que el área encerrada por esta curva y los ejes coordenados es 5 (Ver figura 5..C) Sea una curva simple cerrada en R. Mostrar que el área encerrada por es: AA = xxxxxx = = xx + = xx = xx D C Figura 5..A Figura 5..B Figura 5..C 9

10 5..9. Calcular ee xxxxxxxx ln + xx + xxxx + dddd + (xx xx + )dddd σσ tt εε [, ]. con σσ(tt) = + ssssss(tt) con cos(tt) 5... Calcular + xx + dddd con recorrida desde (,) hasta (,) y definida por: = {(xx, ) xx =, } {(xx, ) xx + =, xx, } Respuestas a los ejercicios planteados Tema 5. Teorema de Green II = 5... II = II = 5... II = AA = 6 (uuuuuuuuuuuuuuuu dddd árrrrrr) II = I = II = 5... II = + ln() TEMA 6. Integrales triples, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. 6.. INTEGRALES TRIPLES 6... Calcular zz zzxx zzxx dddddddddddd con II = [,]xx[,]xx[,]. II +xx 6... Calcular zz ee xx dddddddddddd II con II = [,]xx[,]xx[,] Sea S un sólido en el primer octante limitado por el cilindro xx + = y el plano + zz = 5. Calcular xxxxxxxxxxxxxx. SS 6... Sea S el sólido determinado por zz + xx 6, zz, xx. Calcular. SS Calcular el volumen del sólido Ω = {(xx,, zz) zz + xx, xx} Calcular el volumen del sólido limitado por el primer octante y los planos xx + = 6, zz = Calcular el volumen del tetraedro delimitado por el primer octante y los planos 6 xx = zz, zz =.

11 6..8. Calcular dddddddddddd con D el sólido limitado por el paraboloide xx + = zz, el plano xx + = y el primer octante Calcular ( + xx + + zz) dddddddddddd octante. con D el sólido limitado por el plano xx + + zz = y el primer 6... Demostrar utilizando integrales triples que el volumen de una esfera maciza centrada en el origen de radio rr = aa está dado por la expresión: VV = 6aa 6.. COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 6... Calcular el volumen del sólido dado por Ω = {(xx, ) xx + xx, xx + + zz 6, zz } Calcular el volumen de Ω = {(xx, ) xx + zz, xx + + zz aa, xx + aaaa} con aa una constante positiva Calcular el volumen delimitado por Ω = (xx, ) zz xx Calcular el volumen de la región delimitada por Ω = (xx, ) zz (xx + ), zz xx +, zz Calcular Ω R. donde Ω es el sólido acotado por xx + + zz = 8, (xx + ) = zz ; (xx,, zz) EJERCICIO DE DESAFÍO: Calcular el volumen del cuerpo delimitado por las curvas de ecuaciones xx + = zz, zz = xx EJERCICIO DE DESAFÍO: Calcular el volumen del sólido limitado por los planos zz =, zz = y las 5 5 esferas xx + + zz =, xx + + (zz ) =. Respuestas a los ejercicios planteados Tema 6. Integrales triples, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas II = II = ee 6... II = 6... II = VV = VV = 8

12 6..7. VV = II = II = ln() VV = VV = aa ( 5 6 ) 6... VV = 6... VV = II = VV = VV = 7 5 (Con y en unidades de volumen). Última actualización: de noviembre de. Cualquier error que encuentre en esta guía notifíquelo al correo: sauliutrerab@gmail.com. Muchas gracias. NOTA DEL AUTOR: Este problemario fue completado con ejercicios obtenidos de las guías de los profesores Libuska Juricek y Farith Briceño, además del texto oficial del curso y las notas del profesor Morales Bueno. Su uso es totalmente educativo. Se espera facilitar el estudio de una asignatura compleja como MA-. Saúl I. Utrera B. Universidad Simón Bolívar Ingeniería de Materiales Carné: -