Opción A. 1. Calcular el valor de los parámetros c y d sabiendo que la gráfica de la función ff: R R

Transcripción

1 Nota sobre la puntuación de las preguntas: Los puntos asignados a las distintas preguntas son orientativos. En muchos casos, las preguntas pueden contestarse de varias formas distintas y el corrector debe utilizar la puntuación asignada en las soluciones que aquí se presentan, como guía para la asignación de la puntuación definitiva. Opción A. Calcular el valor de los parámetros c y d sabiendo que la gráfica de la función ff: R R definida por ff(xx) = xx xx + cccc + dd, tiene como recta tangente en el punto P(,-) la recta de ecuación yy = (,5 puntos) -- Como P, es un punto de tangencia, será un punto de la gráfica de f(x), por lo que se cumple que: ff() = = + cc + dd = + cc + dd Es decir: = + cc + dd cc + dd = () -- Por otra parte, el valor de la derivada en el punto de tangencia xx = es igual a la pendiente de la recta tangente yy = 5xx 7 que es 5, y como ff (xx) = 6xx xx + cc se tiene ff () = 6 + cc = 5 cc = =. -- Sustituyendo el valor de c en (), se obtiene: + dd = dd = 4.,5puntos. Resolver las siguientes integrales ee a) (llllllll) dddd (,5 puntos) b) xx xx xx dddd (,5 puntos) a) Resolvemos primero la integral indefinida II = (lnx) dx x -- Hacemos el cambio de variable llllxx = tt dddd = dddd con lo que xx II = (lnx) dx = tt dddd = tt + CC = x 9 (llllxx) + CC -- y aplicando ahora la regla de Barrow resulta e (lnx) dx = ee x 9 (llllxx) = 9 [(llllll) (llll) ] = [ ] = 9 9,75 puntos b) x4 +5x + x x xx dx = xx4 xx dddd + 5 xx xx + 5xx + + CC = xx + 5xx + CC xx xx xx dddd + dddd = xx xx dddd + 5 dddd + xx dddd =.5 puntos

2 . Dadas las matrices: AA = xx ; BB = ; CC = xx a) Calcular el valor xx para que se cumpla: AA + BB + CC = II, donde II es la matriz identidad de orden. () b) Calcular la matriz XX solución de la ecuación matricial: AA XX + CC = II (,5 puntos) a) -- CC = CC CC = -- II = = = 5 -- AA + BB + CC = xx xx + + = xx 5 xx -- Luego : xx = xx = xx = xx b) -- AAAA + CC = II AAAA = II CC XX = AA (II CC ) -- Calculamos AA AA = AA = AAtt = AAAAAA(AAtt ) = AA = AAAAAA AAtt AA = -- II CC = = 5 -- Entonces XX = AA (II CC ) = = 4 4. Dado el plano ππ: aaaa = y la recta rr: xx = yy 66 = zz 44, se pide: a) Calcular el valor del parámetro aa para que la recta rr sea paralela al plano ππ. (,5 puntos) b) Para aa =, calcular el ángulo que forman el plano ππ y la recta rr. (,5 puntos)

3 a) -- Si el plano ππ es paralelo a la recta rr, entonces vector normal a ππ es perpendicular al vector dirección de r y el producto escalar de ambos vectores es Hallamos -- Vector dirección de r : vv rr = (, 6, 4) -- Vector normal a ππ: nn ππ = (5, aa, 4) -- Calculamos su producto escalar, lo igualamos a y despejamos aa 5 vv rr nn ππ = ( 6 4) aa = + 6aa 6 = 6aa 6 = aa = 4 b) Si aa =, entonces nn ππ = (5,, 4). Llamemos αα al ángulo entre r y ππ, entonces, -- sen( αα) = vv rr,nn ππ vv rr nn ππ = ( 4) = = 6 96 = 6 47,9 =,5 luego, αα = aaaaaaaaaaaa(,5) 7,9

4 Nota sobre la puntuación de las preguntas: Los puntos asignados a las distintas preguntas son orientativos. En muchos casos, las preguntas pueden contestarse de varias formas distintas y el corrector debe utilizar la puntuación asignada en las soluciones que aquí se presentan, como guía para la asignación de la puntuación definitiva. Opción B. Dada la función ff(xx) = xx ee xx se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento (,5 puntos) b) Calcular los máximos y mínimos relativos ( ) a) -- Calculamos la derivada primera de ff(xx) ff (xx) = eexx xx xx ee xx xx ee xx = xx xx ee xx -- Calculamos los puntos donde se anula ff (xx) xx xx ee xx = xx xx = xx( xx ) = xx( xx)( + xx) = xx =, xx =, xx = -- Estudiamos el signo de ff (xx) y se tiene: ff (xx) > en los intervalos (, ) yy (,) ff(xx) creciente en (, ) y en (,) ff (xx) < en los intervalos (-,) y (, ) ff(xx) decreciente en (,) y en (, ) b) -- Del estudio del crecimiento y decrecimiento de la función se deduce inmediatamente que: - existe un máximo en xx =. El punto donde está ese máximo es, ff( ) = (, ee ) - existe un mínimo en xx =. El punto donde está ese mínimo es, ff() = (,) - existe un máximo en xx =. El punto donde está ese máximo es, ff() = (, ee ). Dibujar y calcular el área de la región del plano limitada por las siguientes rectas: yy = ; yy = xx ; yy = xx + 88 ; xx = (,5 puntos) -- Calculamos el punto de corte de las rectas yy = xx e yy = xx + 8 resolviendo el sistema que forman las ecuaciones de ambas líneas. 4

5 yy = xx xx = xx + 8 4xx = 8 xx = pppppppppp (,6) yy = xx + 8 Se tiene entonces: AA = AA + AA = (xx xx)dddd + [( xx + 8) xx]dddd = xxxxxx + ( xx + 8)dddd = = xx xx + + 8xx = (4 ) + [( 9 + 4) ( 4 + 6)] = 7,5 puntos. Sea el sistema de ecuaciones lineales + yy + kkkk = kkkk + zz = yy = a) Estudiarlo y clasificarlo para los distintos valores del parámetro k. (,5 puntos) b) Resolverlo para k = () 5

6 kk kk a) -- Sea M = kk la matriz de coeficientes y M = kk la matriz ampliada del sistema. -- det(m) = kk Entonces kk = kk + kk = kk = y kk = SSSS kk yy kk 55 det(m) RRRRRRRR(M) = RRRRRRRR(M ) = SSSSSS -- SSSS kk = det(m) = y como = 5 RRRRRRRR(M) = Además M = tiene rango pues = por lo tanto: RRRRRRRR(M) = RRRRRRRR(M ) = SSSSSS -- SSSS kk = 55 det(m) = y como = 5 RRRRRRRR(M) = Además M = 5 por lo tanto: 5 tiene rango pues el menor 5 = 8 RRRRRRRR(M) = yy RRRRRRRR(M ) = SSSS b) -- Para kk = el sistema es equivalente al siguiente: xx + yy zz = yy zz = y si hacemos zz = tt resulta xx + yy = + tt xx + ( + tt) = + tt xx = 5tt yy = + tt + Luego la solución del sistema es xx = 5tt + yy = tt zz = tt 6

7 4. Dados los planos: ππ : xx yy + = ; ππ : + yy zz =, determinar: a) La ecuación de la recta perpendicular a ππ que pasa por el punto PP(,, ). () b) La ecuación del plano perpendicular a la recta que determinan ππ yy ππ que contiene al punto AA(,, ). (,5 puntos) a.- La recta perpendicular a ππ y que contiene a P tendrá como determinación lineal el par (PP, uu ), siendo uu = (,, ), un vector perpendicular a ππ. Las ecuaciones paramétricas de la recta son: xx = + λλ yy = λλ zz = b.- La recta que determinan ππ yy ππ, se obtiene resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambos planos: xx yy = Si hacemos y = λ, tenemos: la ecuación en forma paramétrica de la recta xx + yy zz = pedida: xx = + λλ rr yy = λλ zz = 6 + λλ,75 puntos El plano pedido, tendrá como vector característico, el vector de dirección de la recta r, es decir el vector vv = (,, ) y su ecuación general será: xx + yy + zz + dd =, que como pasa por el punto AA(,, ), se verifica que: + + dd = dd = Entonces la ecuación general del plano es: xx + yy + + = uu P ππ 7