Algoritmos de búsqueda en grafos II
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- María Luisa Murillo Montero
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1 II Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 12 de febrero de 2018 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
2 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
3 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
4 Recordemos que la búsqueda en profundidad nos ayuda a encontrar componentes conexos en un grafo, e incluso encuentra caminos para cualquier par de vértices alcanzables entre ellos; sin embargo estos caminos no son los más cortos. Definición La distancia entre un par de vértices es la longitud del camino más corto entre ellos. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
5 La idea más simple para encontrar los caminos más cortos es proceder con una búsqueda capa por capa, es decir, visitar todos los vértices que están a una distancia d del vértice de inicio, antes de visitar los que están a una distancia d + 1. Esta es la idea detrás de la búsqueda en anchura. Para implementarla, podemos hacer uso de una cola, en la que estarán, en un momento determinado, sólo los vértices a una distancia d. Conforme se extraigan estos vértices y sean procesados, se irán agregando a la cola los que están a distancia d + 1. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
6 Procedure bfs(g, s) Require: Un grafo G = (V, E), dirigido o no dirigido; un vértice s V Ensure: Para todos los vértices u alcanzables desde s, dist(u) almacenará la distancia de s a u 1: for todo u V do 2: dist(u) = 3: end for 4: dist(s) = 0 5: Q = [s] 6: while Q no esté vacía do 7: u = eject(q) 8: for todas las aristas (u, v) E do 9: if dist(v) = then 10: inject(q, v) 11: dist(v) = dist(u) : end if 13: end for 14: end while Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
7 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
8 Eficiencia del algoritmo BFS 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
9 Eficiencia del algoritmo BFS Eficiencia del algoritmo BFS El algoritmo BFS crea un árbol de los caminos más cortos, porque todos sus caminos son los más cortos posibles si iniciamos del vértice raíz. Por lo tanto, su árbol generalmente será menos profundo pero más ancho que el de DFS. Note también que la diferencia esencial con respecto a DFS, es el uso de una cola en vez de una pila. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
10 Eficiencia del algoritmo BFS Eficiencia del algoritmo BFS Una diferencia más sutil es que en este caso sólo nos interesan las distancias desde la raíz, por lo que el algoritmo no reinicia en otros componentes conexos. El algoritmo BFS requiere tiempo O( V + E ), por las mismas razones que el tiempo requerido por DFS. Cada vértice es colocado exactamente una vez en la cola, y una vez que se retira, todas sus aristas son verificadas. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
11 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
12 BFS considera que todas las aristas tienen igual longitud Sin embargo, esto raramente ocurre en las aplicaciones prácticas Veamos un ejemplo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
13 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
14 BFS no es capaz de manejar aristas con longitudes diferentes Pero puede hacerse un pequeño truco para hacer que BFS pueda manejar estos grafos Dado un grafo G es posible romper sus aristas con longitudes en varias partes con longitud unitaria Veamos un ejemplo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
15 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
16 Sin embargo, esto puede ser ineficiente Para resolver este detalle es posible usar alarmas Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
17 Una en T = 100 para A y otra en T = 200 para B Son tiempos estimados de llegada basados en los vértices ya visitados. Al llegar a A la alarma suene en T = 100, y el tiempo estimado para llegar a B debe ser actualizado a T = 150 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
18 De manera más general el algoritmo funcionaría así: Fijar la alarma para el nodo s en el tiempo 0. Repetir hasta que no haya más alarmas: La distancia de s a u es T Para cada vecino v de u en G Si no hay todavía una alarma para v, crear una con el tiempo T + l(u, v) Si la alarma de v está programada para después de T + l(u, v), entonces actualiza con este tiempo anterior Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
19 El algoritmo que acabamos de describir permite calcular las distancias en cualquier grafo con longitudes positivas en las aristas Para implementar eficientemente el sistema de alarmas se emplea una cola con prioridad (usualmente un heap), que mantiene un conjunto de elementos (vértices) con un valor numérico (llave) asociado y soporta las siguientes operaciones: Insertar Decrementar-llave Extraer-mínimo Construir-cola Las primeras 2 fijan las alarmas, la tercera indica la siguiente alarma que sonará Todo junto no es otra cosa que el algoritmo de Dijkstra Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
20 Algoritmo de Dijkstra 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
21 Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
22 Algoritmo Bellman-Ford 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
23 Algoritmo Bellman-Ford Algoritmo Bellman-Ford El algoritmo de Dijkstra no funciona para grafos con longitudes negativas en las aristas Para resolver el problema de encontrar los caminos más cortos en grafos generales a partir de un solo vértice fuente se requiere del algoritmo de Bellman-Ford Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
24 Algoritmo Bellman-Ford Algoritmo Bellman-Ford Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
25 Tarea 6 1 Algoritmos de búsqueda en grafos Eficiencia del algoritmo BFS Algoritmo de Dijkstra Algoritmo Bellman-Ford Tarea 6 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
26 Tarea 6 Tarea 6 En la carpeta de Dropbox del curso encontrarán un archivo con las especificaciones de esta tarea. Fecha de entrega: Miércoles 21 de febrero antes de las 8 AM. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Búsqueda en grafos II 12 de febrero de / 26
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