Compatibilidad electromagnética y circuitos impresos 1

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1 Compatibilidad electromagnética y circuitos impresos Introducción Desde hace mucho tiempo, se sabe que existen fuentes de ondas electromagnéticas de banda ancha que pueden causar ruido o interferencias en dispositivos eléctricos y electrónicos tales como receptores de radio o de comunicaciones telefónicas. Algunas de estas fuentes son las chispas, los rayos y relámpagos, las luces fluorescentes, los motores eléctricos de DC, los relés, las señales de radar pulsadas, etc. Otra fuente cada vez más importante de emisiones electromagnéticas está asociada con los dispositivos electrónicos digitales (y en particular, con los ordenadores digitales) debido a que los tiempos de computación entre dos niveles lógicos distintos es cada vez más pequeño, y el espectro de las emisiones de estos dispositivos es cada vez más amplio. Un dispositivo electrónico digital debe estar diseñado de manera que se minimicen las interferencias producidas por el dispositivo o captadas por el dispositivo, y cuando esto se cumple, decimos que el dispositivo es electromagnéticamente compatible con su entorno. Siendo más precisos, podemos afirmar que un sistema electrónico es electromagnéticamente compatible con su entorno si satisface tres criterios: a) No causa interferencias en otros sistemas. b) No es susceptible a las emisiones electromagnéticas de otros sistemas. c) No causa interferencias consigo mismo. En este tema de la asignatura nos vamos a centrar en el estudio del tercero de estos requisitos. Concretamente, vamos a analizar cómo se deben diseñar las interconexiones en un circuito digital para evitar que las interferencias generadas por las interconexiones lleven a un mal funcionamiento de dicho circuito. La transmisión de señales digitales y analógicas entre dos puntos a menudo tiene lugar sobre una pareja de conductores metálicos paralelos, a la que se conoce como una línea de transmisión (consulte el tema 1 de la asignatura). La Fig. (4.1) muestra líneas de transmisión utilizadas en las placas de circuitos impresos PCI (printed circuit boards PCB en inglés). Los conductores de estas líneas de transmisión tienen sección transversal rectangular y son conocidos comúnmente como terrenos (lands en inglés) en referencia a las hendiduras que presentan las ánimas de los rifles para hacer girar la bala y estabilizar su trayectoria. La Fig. (4.1)(a) muestra una línea triplaca (stripline en inglés). Esta línea de transmisión es típica de las PCI que tienen metalizaciones enterradas entre capas (innerplanes en inglés). La Fig. (4.1)(b) muestra una línea microstrip. Aunque los conductores de esta línea están situados en las superficies exteriores de un sustrato dieléctrico, estas líneas también se suelen utilizar en PCI que contienen metalizaciones enterradas. Finalmente, la Fig. (4.1)(c) muestra una línea de tiras coplanares (coplanar strips en inglés) con sus dos conductores en una sola cara de un sustrato dieléctrico. Estas últimas líneas se suelen utilizar en PCI que no contienen metalizaciones enterradas. A mediados de los 80, las líneas de transmisión utilizadas en las interconexiones de los circuitos impresos no tenían consecuencias porque eran eléctricamente cortas,

2 4.1. Introducción 2 Figura 4.1: Líneas de transmisión utilizadas en las placas de circuitos impresos PCI. (a) Línea triplaca. (b) Línea microstrip. (c) Línea de tiras coplanares. con lo cual, la tensión y la intensidad de corriente a la entrada de las líneas eran e- sencialmente las mismas que a la salida. Hoy en día, esto ya no es verdad. Al subir las velocidades de transmisión de datos y las frecuencias de reloj, los conductores de interconexión de las líneas tienen un efecto cada vez más significativo en las señales que transmiten, y ya no pueden ser ignorados. Existe una nueva disciplina

3 4.1. Introducción 3 conocida como integridad de la señal IS (signal integrity en inglés) que establece los límites de frecuencia por encima de los cuales no se puede ignorar el efecto de los conductores de interconexión, y que diseña estrategias para impedir que este efecto degrade la calidad de las señales que se transmiten. De alguna manera, la IS estudia cómo asegurar que las formas de onda a la entrada y a la salida de una línea de transmisión de una PCI sean iguales, o al menos muy parecidas. La integridad de señal vela porque la PCI sea electromagnéticamente compatible consigo misma. Un efecto obvio de una línea de transmisión es que introduce un retraso temporal en una señal que viaja de un extremo de la línea al otro. Si un tramo de línea de transmisión tiene una longitud L y la velocidad de propagación en la línea vale v, este retraso temporal viene dado por: T D = L v (4.1) Si consideramos una línea triplaca fabricada con FR-4 (resina de vidrio utilizada en las PCI) de permitividad relativa ɛ r = 4,7, se cumple que v = 1/ µ 0 ε 0 ε r = 1, m/s por ser la línea triplaca una línea homogénea (véase el tema 1), y el retraso de la línea resulta ser de 7.2 ns/m. Para una línea microstrip de 50 Ω fabricada sobre FR-4, el retraso es aproximadamente un 20 % más pequeño. Un tramo de 15cm de la línea triplaca sobre FR-4 produce un retraso de 1.1 ns. A mediados de los 80, ese retraso era despreciable frente a los retrasos a través de las puertas (que son del orden de decenas de nanosegundos). Hoy en día, debido a que los tiempos de subida y bajada de las señales de reloj son del orden de picosegundos, hay que considerar tanto los retrasos en las puertas como los retrasos en las interconexiones. Un problema adicional que introducen las líneas de interconexión es el de las reflexiones. Si la impedancia característica Z C de una línea de transmisión es igual a la impedancia de carga Z L, no habrá reflexiones. En cambio, si la línea no está adaptada y Z C Z L, entonces habrá una porción de la señal reflejada en la carga (ya que el coeficiente de reflexión será distinto de cero, tal y como se vio en el tema 1). El fenómeno de la reflexión en líneas desadaptadas es una de las causas principales de degradación de la integridad de la señal. A lo largo de este tema analizaremos distintas estrategias para combatir el efecto de las reflexiones. Otro factor importante en el diseño de una PCI que sea electromagnéticamente compatible consigo misma es el crosstalk. El crosstalk esencialmente hace referencia al acoplamiento electromagnético entre terrenos de una PCI que están muy cerca. El crosstalk entre terrenos de una PCI forma parte de las interferencias internas al sistema de la PCI, y no tiene nada que ver con las interferencias entre la PCI y el mundo exterior (esto es, la fuente de interferencias y el receptor están dentro de la propia PCI). Debido a que las frecuencias de reloj y a que las velocidades de transferencia de datos no paran de aumentar, el crosstalk entre terrenos de una PCI se está convirtiendo en un mecanismo interferencial significativo en los sistemas digitales modernos. Para comprender cómo se modela el crosstalk, es preciso conocer la teoría de líneas de transmisión multiconductoras con tres o más conductores. En las líneas de transmisión de dos conductores estudiadas en el tema 1 no hay crosstalk. Para que haya

4 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 4 crosstalk, son precisos tres o más conductores. En este tema, se describirán las ecuaciones que gobiernan el funcionamiento de una línea de transmisión de tres conductores, y se comentarán brevemente las soluciones de esas ecuaciones en el contexto de problemas de crosstalk. La Fig. (4.2) muestra algunos ejemplos de líneas de transmisión de tres conductores que aparecen en las PCI. Concretamente, la Fig. (4.2)(a) muestra una línea triplaca de tres conductores (también conocida como línea triplaca acoplada o coupled stripline en inglés), la Fig. (4.2)(b) muestra una línea microtrip de tres conductores (también conocida como línea microstrip acoplada o coupled microstrip line en inglés), y la Fig. (4.2)(c) muestra una línea de tiras coplanares de tres conductores. En los problemas de crosstalk que se van a estudiar en este tema, uno de los tres conductores va a actuar como conductor generador por estar conectado directamente a un generador, otro de los tres conductores va a actuar como conductor receptor ya que se va a acoplar electromagnéticamente con el conductor generador (mediante acoplamiento inductivo y/o capacitivo) y va a transmitir una señal de interferencia, y el tercer conductor va a actuar como conductor de referencia (este conductor está a masa en el caso concreto de las líneas de tres conductores de las Figs. (4.2)(a) y (4.2)(b)) con respecto al cual se definen las tensiones del conductor generador y del conductor receptor Líneas de transmisión en el dominio del tiempo La Fig. (4.3) muestra el esquema de circuito de una línea de transmisión sin pérdidas de longitud L. El generador (una puerta lógica digital, un sensor, un transmisor, etc.) se representa mediante un circuito equivalente Thevenin que consiste en un generador de tensión V S (t) y un resistor en serie de resistencia R S. La carga (que puede representar la entrada a una puerta lógica) se representa mediante una resistor de resistencia R L (más adelante en este apartado, nos referiremos también a cargas dinámicas tales como inductores, condensadores e incluso terminaciones no lineales). Los dos conductores de la línea de transmisión se suponen paralelos al eje z de un sistema de coordenadas, tomándose la conexión del generador a la línea en el plano z = 0 y la conexión de la línea a la carga en el plano z = L (nótese que esta notación es ligeramente diferente a la utilizada en el tema 1, donde se tomó la conexión de la línea a la carga en el plano z = 0, tal y como muestran las Figs. 1.4 y 1.7). El análisis de circuito en el dominio del tiempo de la línea de transmisión consiste en la determinación de la tensión V (z, t) entre los conductores de la línea y de la intensidad de la corriente en dichos conductores I(z, t) (recuérdese que la intensidad de corriente en los dos conductores es la misma en valor absoluto, pero lleva sentidos contrarios) a partir de los valores de V S (t), R S, R L, y de los parámetros característicos de la línea de transmisión -impedancia característica Z C y velocidad de propagación v-. En el caso de que la línea de transmisión de la Fig. (4.3) tuviera pérdidas, habría que incluir también en el análisis un tercer parámetro de la línea de transmisión que es la constante de atenuación α. No obstante, a lo largo de este apartado supondremos siempre que las pérdidas son despreciables al analizar líneas de transmisión en el dominio del tiempo

5 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 5 Figura 4.2: Sección transversal de líneas de transmisión de tres conductores existentes en las PCI. (a) Línea triplaca. (b) Línea microstrip. (c) Línea de tiras coplanares. ya que, en presencia de pérdidas, Z C y α son función de la frecuencia y el análisis en el dominio del tiempo se complica en ese caso considerablemente. Una posible manera de resolver las ecuaciones de los telegrafistas para líneas de transmisión en el dominio del tiempo consiste en llevar a cabo la transformada de Fourier de dichas ecuaciones con respecto al tiempo, en resolver a continuación las ecuaciones en el dominio de Fourier siguiendo el procedimiento descrito en el tema 1 (ya que las transformadas de Fourier de V (z, t) e I(z, t) con respecto a t satisfacen exactamente las mismas ecuaciones que los fasores de tensión e intensidad definidos

6 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 6 Figura 4.3: Esquema de circuito de una línea de transmisión sin pérdidas, que está alimentada por un generador de tensión arbitrario y está terminada en una carga resistiva. en el tema 1), y finalmente, en llevar a cabo la transformada inversa de Fourier de los resultados obtenidos. En este apartado, se va a describir un método gráfico alternativo que se basa en el cálculo de las sucesivas reflexiones de las ondas de tensión e intensidad en la carga y en el generador, y que da una visión muy física de cómo contribuyen todas esas reflexiones a la forma de onda final que resulta en la línea. Además, en este apartado se va a mostrar también la posibilidad de usar el programa de circuitos SPICE (o más concretamente, PSPICE) para llevar a cabo el análisis de las líneas en el dominio del tiempo. El programa SPICE no permite obtener una visión tan física de la solución como la que permite el método gráfico, pero a cambio permite trabajar con cargas dinámicas (inductores y condensadores) y con cargas no lineales Soluciones gráficas En el tema 1 se mostró que las ecuaciones de los telegrafistas para la tensión V (z, t) y la intensidad de corriente I(z, t) en la línea de transmisión sin pérdidas de la Fig. (4.3) vienen dadas por: V z I z = L I t = C V t (4.2) (4.3) donde L es la autoinducción p.u.l. de la línea de transmisión y C es la capacidad p.u.l. Si desacoplamos estas dos ecuaciones (derivando una ecuación con respecto a z y la

7 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 7 otra con respecto a t, y sustituyendo), se llega a que: 2 V 1 2 V z 2 v 2 t = 0 (4.4) 2 2 I 1 2 I z 2 v 2 t = 0 (4.5) 2 donde v = 1/ LC. Las ecs. (4.4) y (4.5) son ecuaciones de onda monodimensionales para la tensión V (z, t) y la intensidad de corriente I(z, t), y v representa la velocidad de propagación, tanto de la onda de tensión V (z, t) como de la onda de intensidad I(z, t). Las soluciones a las ecuaciones de onda (4.4) y (4.5) pueden escribirse como: V (z, t) = V + (t z v ) + V (t + z v ) (4.6) I(z, t) = I + (t z v ) + I (t + z v ) (4.7) En las ecs. (4.6) y (4.7) V + e I + representan ondas escalares que viajan en el sentido positivo del eje z a la velocidad v (esto es debido a que conforme aumenta el tiempo, z también debe aumentar para que se mantenga constante el argumento de V + e I +, o lo que es lo mismo, para que se pueda seguir el movimiento de un punto de la onda). Por su parte, V e I representan ondas que viajan en el sentido negativo del eje z a la velocidad v. Introduciendo (4.6) y (4.7) en (4.2), es fácil demostrar que: I + (t z v ) = 1 Z C V + (t z v ) (4.8) I (t + z v ) = 1 Z C V (t + z v ) (4.9) donde Z C = L/C es la impedancia característica de la línea de transmisión. Las ecs. (4.8) y (4.9) muestran que las ondas de tensión e intensidad en la línea de transmisión no son independientes ya que están ligadas a través de las ecuaciones de los telegrafistas. Consideremos la porción de línea de transmisión de la Fig. (4.3) conectada al generador en z = 0, tal y como se muestra en la Fig. (4.4)(a). Cuando conectemos el generador a la línea en t = 0, una onda de tensión se excitarán en z = 0 y se propagará por la línea en el sentido positivo del eje z. Esa onda tardará un tiempo L/v en llegar a la carga, se reflejará en la carga, y tardará otro tiempo L/v en volver al plano z = 0. Eso significa que en todo el intervalo de tiempo 0 < t < 2L/v sólo habrá en z = 0 una onda viajando en el sentido positivo del eje z. Debido al principio de causalidad, no tiene sentido físico que exista en z = 0 una onda viajando en el sentido negativo del eje z en el intervalo 0 < t < 2L/v ya que esa onda sólo puede proceder de reflexiones en la carga, y por tanto, no hay tiempo material para que la onda pueda llegar al plano z = 0. De acuerdo con este razonamiento y con las ecuaciones (4.6), (4.7) y (4.8),

8 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 8 Figura 4.4: (a) Porción de línea de transmisión excitada por un generador de tensión arbitrario. (b) Circuito equivalente visto a la entrada de la línea antes de que la onda de tensión reflejada en la carga llegue de nuevo al generador. podemos afirmar que: V (z = 0, t) = V + (t) 0 < t < 2L/v (4.10) I(z = 0, t) = V + (t) Z C 0 < t < 2L/v (4.11) Por otro lado, si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la entrada de la línea de transmisión de la Fig. (4.4)(a), se debe cumplir en todo instante de tiempo que: V S (t) = R S I(z = 0, t) + V (z = 0, t) (4.12) Y si sustituimos las ecuaciones (4.10) y (4.11) en (4.12), llegaremos a que: V (z = 0, t) = I(z = 0, t) = Z C V S (t) R S + Z C 0 < t < 2L/v (4.13) V S (t) R S + Z C 0 < t < 2L/v (4.14)

9 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 9 Las ecuaciones (4.13) y (4.14) nos indican que la onda de tensión excitada por el generador en la línea de transmisión en el intervalo 0 < t < 2L/v tiene la misma Z forma que la tensión del generador salvo un factor multiplicativo C R S +Z C. Asimismo, dichas ecuaciones muestran que en el intervalo 0 < t < 2L/v la resistencia de entrada de la línea de transmisión vale Z C (véase la Fig. (4.4)(b)), lo cual permite calcular V (z = 0, t) e I(z = 0, t) en dicho intervalo utilizando conceptos elementales de teoría de circuitos. Figura 4.5: Reflexión de ondas en la carga de una línea de transmisión. Consideremos ahora lo que ocurre en la porción de la línea de transmisión de la Fig. (4.3) conectada a la carga resistiva en z = L (véase la Fig. (4.5)). Si la línea de transmisión se conecta al generador en t = 0, la onda de tensión procedente del gec Rafael R. Boix

10 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 10 nerador llegará a la carga pasado un tiempo L/v. Esta onda de tensión se reflejará en la carga como indica la Fig. (4.5), y para t > L/v, la tensión en la carga será la superposición de una onda de tensión incidente y una onda de tensión reflejada. Sabemos que la tensión y la intensidad en la carga deben estar relacionadas mediante la ley de Ohm en todo instante de tiempo como se indica: V (z = L, t) = R L I(z = L, t) (4.15) Y si tenemos en cuentas las ecuaciones (4.6) a (4.9) en (4.15), se llega a que cuando t > L/v, se va a cumplir que: V + (t L v ) + V (t + L v ) = R L (V + (t Lv Z ) V (t + Lv ) ) (4.16) C donde V + (t L ) representa la onda de tensión incidente en la carga (que viaja en el v sentido positivo del eje z) y V (t + L ) representa la onda de tensión reflejada en la v carga (que viaja en el sentido negativo del eje z). Operando en la ecuación (4.16), se llega a que: donde: V (t + L v ) = Γ LV + (t L ) t > L/v (4.17) v Γ L = R L Z C R L + Z C (4.18) De acuerdo con lo que se ha visto en el tema 1, Γ L representa el coeficiente de reflexión en la carga de la línea de transmisión (véase la ecuación (1.33)). Y de acuerdo con las ecs. (4.17) y (4.18), la onda de tensión reflejada en la línea de transmisión será igual a la onda de tensión incidente multiplicada por el coeficiente de reflexión en la carga, tal y como ocurre con las ondas de tensión incidente y reflejada en la carga en régimen sinusoidal estacionario (véase el tema 1). Si ahora hacemos uso de las ecs. (4.8) y (4.9) en (4.17), se llega fácilmente a que: I (t + L v ) = Γ LI + (t L ) t > L/v (4.19) v lo cual demuestra que el coeficiente de reflexión para la onda de intesidad en la carga es Γ L, y por tanto, es igual al coeficiente de reflexión para la onda de tensión en la carga y de signo contrario. La Fig. (4.5) muestra que la onda de tensión reflejada en una carga resistiva es una réplica especular de la onda de tensión incidente multiplicada por Γ L. Asimismo, dicha figura muestra que la tensión total en la carga es la superposición de la onda de tensión incidente y de la onda de tensión reflejada cuando t > L/v. Volvamos ahora a analizar lo que pasa en la porción de línea de transmisión conectada al generador en z = 0 cuando t > 2L/v. Pasado un tiempo 2L/v, la onda reflejada en la carga llega al generador y se vuelve a reflejar, dando lugar a una nueva onda que incide sobre la carga. Por tanto, podemos afirmar que en el intervalo 2L/v < t < 4L/v

11 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 11 la tensión en z = 0 será la superposición de la tensión suministrada por el generador a partir de t = 0, de la onda de tensión que incide sobre el generador procedente de la carga (y viaja en el sentido negativo del eje z) y de la onda de tensión reflejada en el generador (que viaja en dirección a la carga en el sentido positivo del eje z). De acuerdo con esto y con las ecs. (4.13) y (4.14), podemos afirmar que la tensión y la intensidad en z = 0 se pueden escribir en el intervalo 2L/v < t < 4L/v mediante la expresión: V (z = 0, t) = I(z = 0, t) = Z C V S (t) + V1 (t) + V 1 + (t) R S + Z C (4.20) V S (t) V 1 (t) + V 1 (t) R S + Z C Z C (4.21) Z C donde V1 (t) representa la onda incidente sobre el generador a partir de t = 2L/v (esta onda viaja en el sentido negativo del eje z) y V 1 + (t) representa la onda reflejada en el generador a partir de t = 2L/v (esta onda viaja en el sentido positivo del eje z). Si ahora sustituimos las ecs. (4.20) y (4.21) en la ecuación (4.12), se llega a que: y a partir de (4.22), es fácil deducir que: donde: 0 = R S Z C ( V 1 (t) + V + 1 (t) ) + ( V 1 (t) + V + 1 (t) ) (4.22) V + 1 (t) = Γ S V 1 (t) 2L/v < t < 4L/v (4.23) Γ S = R S Z C R S + Z C (4.24) Por analogía con Γ L, Γ S representa el coeficiente de reflexión en el generador de la línea de transmisión (definido en el tema 1). La ecuación (4.23) nos indica que la onda de tensión reflejada en el generador es igual a la onda de tensión incidente multiplicada por el coeficiente de reflexión en el generador, tal y como ocurre con las ondas de tensión reflejada e incidente en la carga. Aunque esa relación sólo se ha establecido para las ondas incidente y reflejada en el generador en el intervalo 2L/v < t < 4L/v, es fácil comprobar que la relación sigue siendo válida para las ondas que inciden y se reflejan en el generador en cualquier otro intervalo temporal. Al igual que ocurre con las ondas incidente y reflejada en la carga, la ec. (4.24) nos dice que la onda de tensión reflejada en el generador será una réplica especular de la onda de tensión incidente multiplicada por Γ S (véase una vez más la Fig. (4.5)). Si ahora hacemos uso de las ecs. (4.8) y (4.9) en (4.23), se llega a que: I + 1 (t) = Γ S I 1 (t) 2L/v < t < 4L/v (4.25) lo cual demuestra que el coeficiente de reflexión para la onda de intesidad en el generador es Γ S, y por tanto, es igual al coeficiente de reflexión para la onda de tensión en

12 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 12 el generador y de signo contrario (al igual que ocurre con los coeficientes de reflexión para ondas de intensidad y tensión en la carga). Ya hemos visto que la primera reflexión en la carga se produce en t = L/v, y que la primera reflexión en el generador se produce en t = 2L/v. A partir de ahí, se seguirán produciendo reflexiones en la carga cuando t = (2n + 1)L/v (n = 1, 2,...), y en el generador cuando t = (2n + 2)L/v (n = 1, 2,...). Fijado un instante de tiempo, la tensión en un punto de la línea será la suma de todas las ondas de tensión (incidentes y reflejadas) que hayan pasado por ese punto en ese instante, y la intensidad en ese punto también será la suma de todas las ondas de intensidad que hayan pasado por ese punto. Para calcular la tensión en cualquier punto de la línea en cualquier instante, se puede recurrir al diagrama de múltiples reflexiones que aparece en la Fig. (4.6). Se puede obtener un diagrama similar para la intensidad si se sustituyen Γ L por Γ L y Γ S por Γ S en el diagrama de múltiples reflexiones para la tensión. Utilizando el diagrama de múltiples reflexiones para la tensión de la Fig. (4.6) con t = 0, es fácil comprobar que la tensión a la entrada de la línea de transmisión de la Fig. (4.3) (plano z = 0) vendrá dada por: Z C V (z = 0, t) = [V S (t) + (1 + Γ S )Γ L V S (t 2T D ) R S + Z C +(1 + Γ S )(Γ S Γ L )Γ L V S (t 4T D ) + (1 + Γ S )(Γ S Γ L ) 2 Γ L V S (t 6T D ) +... ] [ ] = Z C R S + Z C V S (t) + (1 + Γ S )Γ L n=0 (Γ S Γ L ) n V S (t 2(n + 1)T D ) (4.26) donde T D es el retraso temporal definido en (4.1). Análogamente, el diagrama de múltiples reflexiones para la tensión de la Fig. (4.6) nos dice que la tensión en la carga de la línea de transmisión de la Fig. (4.3) (plano z = L) vendrá dada por: Z C V (z = L, t) = [(1 + Γ L )V S (t T D ) + (1 + Γ L )(Γ S Γ L )V S (t 3T D ) R S + Z C +(1 + Γ L )(Γ S Γ L ) 2 V S (t 5T D ) + (1 + Γ L )(Γ S Γ L ) 3 Γ L V S (t 7T D ) +... ] = Z C R S + Z C (1 + Γ L ) (Γ S Γ L ) n V S (t (2n + 1)T D ) (4.27) n=0 Por otro lado, las intensidades de corriente en la entrada y en la carga de las líneas de transmisión de la Fig. (4.3) pueden ser obtenidas fácilmente a partir de las ecuaciones (4.26) y (4.27) si se tiene en cuenta que el coeficiente de reflexión para las ondas de intensidad es igual al coeficiente de reflexión de las ondas de tensión y de signo contrario. El resultado que se obtiene es: [ ] 1 I(z = 0, t) = V S (t) (1 Γ S )Γ L (Γ S Γ L ) n V S (t 2(n + 1)T D ) (4.28) R S + Z C I(z = L, t) = 1 R S + Z C (1 Γ L ) n=0 (Γ S Γ L ) n V S (t (2n + 1)T D ) (4.29) n=0

13 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 13 Figura 4.6: (a) Diagrama de múltiples reflexiones para la determinación de la tensión en un punto de una línea de transmisión excitada por un generador de tensión arbitrario. Se supone que la línea se conecta al generador en el instante t = t. (b) Tensión a la entrada de la línea en z = 0 y t = t, y su relación con la tensión del generador V S (t).

14 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 14 Cuando la línea está adaptada a la carga y R L = Z C, el coeficiente de reflexión Γ L es nulo (véase la ec. (4.18)) y las ecuaciones (4.26) a (4.29) quedan reducidas a: V (z = 0, t) RL =Z C = V (z = L, t) RL =Z C = I(z = 0, t) RL =Z C = I(z = L, t) RL =Z C = Z C R S + Z C V S (t) (4.30) Z C V S (t T D ) R S + Z C (4.31) 1 V S (t) R S + Z C (4.32) 1 V S (t T D ) R S + Z C (4.33) Las ecuaciones anteriores nos indican que en el caso en que la línea está adaptada a la carga, las tensiones e intensidades a la entrada y a la salida de la línea son idénticas, y el único efecto de la línea de transmisión es introducir un retraso temporal T D. Ejemplo 4.1: Línea de transmisión alimentada por un escalón de tensión Una línea de transmisión está conectada por un extremo a una carga resistiva de resistencia R L = 100 Ω, y por el otro extremo, a una fuente de continua de 30 V y resistencia de salida despreciable (R S = 0) a través de un interruptor. La línea tiene una impedancia característica Z C = 50 Ω, una velocidad de propagación v = 200m/µs y una longitud L = 400 m. Si el interruptor que conecta la fuente a la línea se cierra en t = 0, represente frente al tiempo la tensión en los terminales de la línea conectados a la carga (V (z = L, t)) y la intensidad de corriente en los terminales de la línea conectados al generador (I(z = 0, t)). Solución Para poder resolver este ejercicio, hay que calcular en primer lugar los coeficientes de reflexión en la carga y en el generador. Haciendo uso de las ecuaciones (4.18) y (4.24), se obtiene que: Γ L = = 1 3 Γ S = = 1 A continuación, vamos a calcular el retraso temporal en la línea: T D = = 2 µs Como R S = 0, la ec. (4.13) nos dice que en t = 0 habrá un cambio brusco de tensión de 0 V a 30 V en z = 0, y ese cambio de tensión se propagará a lo largo de la línea en dirección a la carga durante todo el intervalo 0 < t < 2 µs. A lo largo de todo ese intervalo, la tensión será de 30 V en aquellos puntos de la línea a los que haya llegado el cambio de tensión, y será de 0 V en aquellos puntos de la línea a los que

15 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 15 no haya llegado el cambio de tensión. De acuerdo con la Fig. (4.6)(a), en t = 2 µs el cambio de tensión llega a la carga y genera un cambio de tensión reflejado de 0 V a 30Γ L = 10 V, que se superpone al cambio de tensión incidente. Por tanto, en t = 2 µs, habrá en la carga un cambio acumulado de tensión de 0 a 40 V. El cambio de tensión reflejado en la carga de 0 V a 10 V viaja por la línea en dirección al generador en el intervalo 2 µs < t < 4 µs y se refleja en el generador en t = 4 µs, produciéndose en éste un nuevo cambio de tensión reflejado de 0 V a 10Γ S = 10 V. El nuevo cambio de tensión reflejado de 0 V a -10 V viaja por la línea en dirección a la carga durante el intervalo 4 µs < t < 6 µs. En t = 6 µs, el cambio de tensión de 0 V a -10 V se refleja en la carga y produce un nuevo cambio de tensión reflejado de 0 V a 10Γ L = 3,333 V. Por tanto, aunque en la carga se ha mantenido la tensión en 40 V desde t = 2 µs hasta t = 6 µs, en t = 6 µs hay que añadirle a los 40 V un cambio de tensión acumulado (debidos a la onda incedente y reflejada) de 0 a V, con lo cual, la tensión en la carga termina siendo de V. Esta tensión se mantendrá así en la carga en el intervalo 6 µs < t < 10 µs hasta que llegue la nueva onda procedente de la reflexión en el generador en t = 10 µs. Esta nueva onda introduce un cambio de 0 V a 3,333Γ S = 3,333 V, y se refleja, dando lugar a un cambio de 0 V a 3,333Γ L = 1,111 V. Por tanto, a los V que había en la carga en el intervalo 6 µs < t < 10 µs, hay que sumarle un cambio acumulado de tensión de 0 V a V en t = 10 µs, con lo cual resulta una tensión de V, que se mantiene en la carga durante todo el intervalo 10 µs < t < 14 µs. En t = 14 µs, habrá que sumarle a la tensión en la carga un nuevo cambio de tensión acumulado (suma de los cambios de las ondas incidente y reflejada) de V, resultando una tensión en la carga de V que se mantendrá durante todo el intervalo 14 µs < t < 18 µs. La representación gráfica de la tensión en la carga V (z = L, t) durante todo el intervalo 0 < t < 18 µs se muestra en la Fig. (4.7)(b), junto con todos los cambios parciales ocasionados por las ondas de tensión incidentes y reflejadas. Esta figura muestra que la tensión en la carga converge asintóticamente hacia un valor estacionario de 30 V, que es la tensión que habría en la carga si se elimina la línea de transmisión (téngase en cuenta que el efecto de la línea desaparece cuando ha pasado un tiempo t T D ). En cuanto a la intensidad de corriente en el generador I(z = 0, t), la ecuación (4.28) nos dice que sufrirá cambios en t = 0, t = 4 µs, t = 8 µs, t = 12 µs, etc. Además, partiendo de un cambio de 0 A de 30/50 = 0,6 A en t = 0, la intensidad sufrirá cambios acumulativos de 0,6(1 Γ S )Γ L = 0,4 A en t = 4 µs, de 0,4Γ S Γ L = 0,133 A en t = 8 µs, de 0,133Γ S Γ L = 0,044 A en t = 12 µs, y así sucesivamente. La Fig. (4.7)(c) muestra la representación gráfica de I(z = 0, t) frente a t. Se observa que el valor obtenido de A para la intensidad en el intervalo 12 µs < t < 16 µs está muy cerca del valor estacionario esperado de 30/100 = 0,3 A (que se obtiene cuando la línea no está presente).

16 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 16 Figura 4.7: (a) Línea de transmisión alimentada por un escalón de tensión de 0 a 30 V. (b) Tensión en la carga de la línea de transmisión en función del tiempo. (c) Intensidad de corriente a la entrada de la línea de transmisión en función del tiempo.

17 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 17 Ejemplo 4.2: Línea de transmisión alimentada por un pulso rectangular de duración igual al retraso temporal Una línea de transmisión está conectada por un extremo a un generador de tensión de resistencia de salida R S = 300 Ω, y por el otro extremo, a un circuito abierto (R L = ). El generador de tensión produce en t = 0 un pulso rectangular de 20 V y 1 ns de duración. La línea de transmisión tiene una impedancia característica Z C = 100 Ω, una velocidad de propagación v = 200m/µs y una longitud L = 0,2 m. Represente la tensión en los terminales de la línea conectados al generador (V (z = 0, t)) y en los terminales de la línea en circuito abierto (V (z = L, t)). Solución De acuerdo con las ecuaciones (4.18) y (4.24), los coeficientes de reflexión en la carga y en el generador vienen dados por: Γ L = R L 100 lím R L R L = +1 Γ S = = 1 2 El retraso temporal en la línea viene dado por: T D = 0, = 1 ns con lo cual, T D coincide exactamente con la duración del pulso rectangular. La Fig. (4.8)(b) muestra la representación de la tensión a la entrada de la línea frente al tiempo. De acuerdo con la ecuación (4.13), un pulso rectangular de 20[100/( )] = 5 V y duración 1 ns sale en t = 0 de los terminales de entrada de la línea de transmisión, se refleja sin cambiar de forma en la carga (Γ L = +1), y vuelve a la entrada de la línea pasado un tiempo 2T D = 2 ns. Como la duración del pulso es inferior al tiempo que tarda en ir a la carga y volver, el pulso que vuelve al generador no interfiere con el que salió, y por tanto, no se distorsiona. En t = 2 ns coinciden en el generador el pulso incidente de 5 V procedente de la carga y el pulso de 5Γ S = 2,5 V reflejado en el generador, con lo cual, en la entrada de la línea se registra un pulso de 7.5 V y duración 1 ns. Pasados otros 2 ns, el pulso de 2.5 V ha viajado hacia la carga y ha vuelto después de reflejarse sin cambiar de forma. Por tanto, a partir de t = 4 ns, se solapan en el generador un pulso incidente de 2.5 V y duración 1 ns, y un pulso reflejado de 2,5Γ S = 1,25 V y duración 1 ns, con lo cual, en V (z = 0, t) aparece un pulso de tensión de 3.75 V entre t = 4 ns y t = 5 ns. El proceso continúa y a partir de t = 4 ns, cada 2 ns aparece en V (z = 0, t) un pulso de duración 1 ns cuya tensión es la mitad de la del pulso anterior, tal y como muestra la Fig. (4.8)(b). La Fig. (4.8)(c) muestra la representación de la tensión en los terminales de la línea en circuito abierto. Después de un retraso de 1 ns, el pulso inicial de 5 V procedente del generador llega a la carga y genera un pulso reflejado que también tiene 5 V. Al solaparse estos dos pulsos (el incidente y el reflejado), aparece un pulso de 10 V en la

18 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 18 Figura 4.8: (a) Línea de transmisión alimentada por un pulso rectangular de 1 ns de duración. (b) Tensión a la entrada de la línea en función del tiempo. (c) Tensión en la carga en función del tiempo. carga en el intervalo 1 ns< t <2 ns. En t = 3 ns aparece por la carga el pulso de 2.5 V reflejado en el generador. Este pulso se superpone al pulso reflejado en la carga de

19 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo V, y produce un pulso acumulado de 5 V en V (z = L, t) en el intervalo 3 ns< t <4 ns. El proceso continúa, y cada 2 ns, aparece en la carga un pulso de duración 1 ns cuya tensión es la mitad de la del pulso anterior, tal y como le ocurría a la tensión en los terminales de entrada de la línea a partir de t = 4 ns (véanse las Figs. (4.8)(b) y (4.8)(c)). En el estado estacionario, las tensiones V (z = 0, t) y V (z = L, t) tienden a cero ya que se anula la tensión en el generador y la línea no recibe excitación. Ejemplo 4.3: Línea de transmisión alimentada por un pulso rectangular de duración mayor que el doble del retraso temporal Un cable coaxial está conectado por un extremo a un generador de tensión de resistencia de salida R S = 150 Ω, y por el otro extremo, está en cortocircuito (R L = 0). El generador de tensión produce en t = 0 un pulso rectangular de 100 V y 6 µs de duración. El cable coaxial tiene una capacidad p.u.l. c = 100 pf/m, una autoinducción p.u.l. l = 0,25 µh/m y una longitud L = 400 m. Represente la tensión en los terminales del cable coaxial que están conectados al generador (V (z = 0, t)). Solución De acuerdo con lo que se ha visto en el tema 1, la impedancia característica del cable coaxial y la velocidad de propagación vienen dadas por: Z C = l c = 8 v = 1 lc = = 50 Ω = m/s De acuerdo con el resultado anterior, los coeficientes de reflexión en la carga y en el generador vienen dados por: Γ L = = Γ S = = 1 2 El retraso temporal en la línea viene dado por: T D = = 2 µs con lo cual, T D es la tercera parte de la duración del pulso rectangular. De acuerdo con la ecuación (4.13), un pulso rectangular de 100[50/( )] = 25 V y duración 6 µs sale en t = 0 de los terminales de entrada de la línea de transmisión. En t = 2 µs el pulso se refleja en la carga y genera un pulso reflejado de 25Γ L = 25 V y duración 6 µs que llega al generador en t = 4 µs. Ese pulso a su vez origina en el generador un nuevo pulso reflejado de 25Γ S = 12,5 V y duración 6 µs, y los dos

20 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 20 Figura 4.9: (a) Cable coaxial alimentado por un pulso rectangular de 6 µs de duración. (b) Tensión a la entrada del cable coaxial en función del tiempo. pulsos, el incidente y el reflejado, interfieren con el pulso de 25 V que salió en t = 0 y que se mantiene hasta t = 6 µs. El resultado es que entre t = 0 y t = 4 µs la tensión a

21 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 21 la entrada de la línea vale 25 V, en t = 4 µs la tensión cambia de 25 V a =-12.5 V, y en t = 6 µs cambia de V a =-37.5 V. El pulso de V que sale de la carga en t = 4 µs se convierte en la carga en un pulso reflejado de 12,5Γ L = +12,5 V y llega de vuelta al generador en t = 8 µs. Allí se superpone a un pulso reflejado en el generador de 12,5Γ S = 6,25 V, y los dos pulsos, el incidente y el reflejado, hacen que la tensión en el generador cambie en t = 8 µs de V a = V. Por otro lado, los pulsos de tensión de -25 V y V que aparecen en el generador en t = 4 µs tienen una duración de 6 µs y desaparecen en t = 10 µs, con lo cual, la tensión en el generador sube en t = 10 µs de V a V= V. El pulso de tensión de 6.25 V que parte del generador en t = 8 µs llega a la carga en t = 10 µs, y allí se convierte en un pulso reflejado de 6,25Γ L = 6,25 V que llega al generador en t = 12 µs. Este pulso se refleja y da lugar a un nuevo pulso reflejado de 6,25Γ S = 3,125 V. Por tanto, la tensión en el generador experimenta un nuevo cambio en t = 12 µs, pasando de a =9.375 V. El proceso continúa como se muestra en la Fig. (4.9)(b), interfiriendo cada nuevo pulso reflejado que se origina en el generador con el pulso precedente. En el estado estacionario, la tensión V (z = 0, t) tiende a cero, que es lo que cabría esperar para la tensión entre los extremos de un cortocircuito (piénsese que en el estado estacionario la línea de transmisión no tiene ningún efecto) El modelo de SPICE Aunque el método gráfico descrito en la sección anterior permite representar las soluciones en el dominio del tiempo de circuitos en los que interviene una línea de transmisión, es deseable disponer de un método numérico implementable en un ordenador personal que permita manejar cargas dinámicas y no lineales. A continuación, se describe un método que puede ser implementado en el programa de análisis de circuitos SPICE (simulation program with integrated-circuit emphasis en inglés). Este método es estrictamente válido para líneas de transmisión sin pérdidas. Para ver cómo se puede construir un modelo de SPICE de líneas de transmisión sin pérdidas, vamos a reescribir las ecuaciones (4.6) a (4.9) como: V (z, t) = V + (t z v ) + V (t + z v ) (4.34) Z C I(z, t) = V + (t z v ) V (t + z v ) (4.35) Evaluando estas ecuaciones en z = 0 y en z = L, se obtiene: V (z = 0, t) = V + (t) + V (t) (4.36) Z C I(z = 0, t) = V + (t) V (t) (4.37) V (z = L, t) = V + (t T D ) + V (t + T D ) (4.38) Z C I(z = L, t) = V + (t T D ) V (t + T D ) (4.39) donde T D ha sido definido en (4.1). Sumando y restando las ecs. (4.36) y (4.37), y las

22 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 22 ecs. (4.38) y (4.39), se obtiene lo siguiente: V (z = 0, t) + Z C I(z = 0, t) = 2V + (t) (4.40) V (z = 0, t) Z C I(z = 0, t) = 2V (t) (4.41) V (z = L, t) + Z C I(z = L, t) = 2V + (t T D ) (4.42) V (z = L, t) Z C I(z = L, t) = 2V (t + T D ) (4.43) Si ahora introducimos un retraso T D en el tiempo en las ecuaciones (4.40) y (4.43) y hacemos algunas reagrupaciones, las ecuaciones (4.40) a (4.43) se pueden reescribir: V (z = 0, t) = Z C I(z = 0, t) + 2V (t) (4.44) V (z = L, t) = Z C I(z = L, t) + 2V + (t T D ) (4.45) V (z = 0, t T D ) + Z C I(z = 0, t T D ) = 2V + (t T D ) (4.46) V (z = L, t T D ) Z C I(z = L, t T D ) = 2V (t) (4.47) Sustituyendo ahora (4.47) en (4.44), se obtiene: V (z = 0, t) = Z C I(z = 0, t) + E 0 (z = L, t T D ) (4.48) donde: E 0 (z = L, t T D ) = V (z = L, t T D ) Z C I(z = L, t T D ) (4.49) Y si sustituimos (4.46) en (4.45), se obtiene: V (z = L, t) = Z C I(z = L, t) + E L (z = 0, t T D ) (4.50) donde: E L (z = 0, t T D ) = V (z = 0, t T D ) + Z C I(z = 0, t T D ) (4.51) Las ecuaciones (4.48) a (4.51) sugieren el circuito equivalente mostrado en la Fig. (4.10)(a) para la línea de transmisión completa. La fuente E L (z = 0, t T D ) está controlada por la tensión y la intensidad de corriente a la entrada de la línea de transmisión, medidas ambas en un tiempo T D anterior al tiempo presente. A su vez, la fuente E 0 (z = L, t T D ) está controlada por la tensión y la intensidad de corriente en la carga da la línea de transmisión, estando de nuevo ambas magnitudes medidas en un tiempo T D anterior al tiempo presente. El circuito equivalente de la Fig. (4.10)(a) es una solución exacta de las ecuaciones de línea de transmisión para línea de transmisión de dos conductores sin pérdidas. Pues bien, el programa SPICE contiene exactamente este modelo entre su lista de modelos de componentes de circuito disponible que el programa puede llamar. El modelo es el elemento TXXX de la Fig. (4.10)(b), donde XXX es el nombre del modelo elegido por el usuario. SPICE utiliza fuentes controladas con retraso temporal para construir el circuito equivalente de la Fig. (4.10)(a). El usuario sólo necesita introducir la impedancia característica de la línea Z C (SPI- CE llama a este parámetro Z0) y el retraso temporal en la línea T D (SPICE llama a este parámetro TD). Por tanto, SPICE produce soluciones exactas de las ecuaciones

23 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 23 de línea de transmisión. Además, SPICE puede manejar terminaciones no lineales como diodos y transistores, así como terminaciones dinámicas como condensadores e inductores, lo cual sería extremadamente difícil si se recurriera a la solución gráfica descrita en el apartado anterior. Por tanto, es altamente recomendable usar SPICE para el análisis en el dominio del tiempo de circuitos electrónicos que involucran a líneas de transmisión. Figura 4.10: (a) Modelo de circuito exacto de una línea de transmisión sin pérdidas mediante fuentes controladas con retraso temporal. (b) Modelo de SPICE de una línea de transmisión sin pérdidas.

24 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 24 Ejemplo 4.4: Análisis mediante SPICE de Línea de transmisión alimentada por un escalón de tensión Utilice SPICE (o su versión de ordenador personal, PSPICE) para resolver el ejercicio propuesto en el ejemplo 4.1. Solución La entrada de SPICE (Método Directo) para el análisis del circuito mostrado en la Fig. (4.11)(a) es: EXAMPLE 4.4 VS 1 0 PWL(0 0.01U 30) T Z0=50 TD=2U RL TRAN.01U 20U 0.01U.PRINT TRAN V(2) I(VS) *THE LOAD VOLTAGE IS V(2) AND *THE INPUT CURRENT IS -I(VS).PROBE.END En el fichero de entrada de SPICE del Ejemplo 4.4 se ha especificado la fuente de tensión mediante la función lineal a tramos (piecewise linear en inglés) PWL. Esta función permite introducir una tensión lineal a tramos como una secuencia de líneas rectas que empiezan en los instantes 0, T1, T2, T3,... tomando los valores 0, V1, V2, V3,..., tal y como se muestra en la Fig. (4.12). La orden de SPICE que invoca la función lineal a tramos de la Fig. (4.12) es: VXXX N1 N2 PWL(0 0 T1 V1 T2 V2 T3 V3...) siendo N1 y N2 los nudos entre los que está conectada la fuente de tensión. Se observa que, con vistas al análisis mediante SPICE, al escalón de tensión de la Fig. (4.7)(a) se le ha añadido en la Fig. (4.11)(a) una pequeña rampa de subida de duración 0,01 µs. Esto es así porque SPICE no permite trabajar con señales de tensión con pendiente infinita. La orden.probe de SPICE utilizada en el Ejemplo 4.4 es la que proporciona las representaciones gráficas de la tensión en la carga y de la intensidad a la entrada de la línea que aparecen en las Figs. (4.11)(b) y (4.11)(c). Se observa que estas representaciones gráficas coinciden con las que se muestran en las Figs. (4.7)(b) y (4.7)(c).

25 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 25 Figura 4.11: Solución de SPICE para el ejemplo 4.1. (a) Circuito, nudos y excitación. (b) Solución de SPICE para la tensión en la carga. (c) Solución de SPICE para la intensidad de corriente a la entrada de la línea. La orden.tran de SPICE utilizada en el Ejemplo 4.4 es la que lleva a cabo el análisis en el dominio del tiempo de la línea de transmisión. Esta orden incluye los

26 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 26 Figura 4.12: Notación utilizada para programar la forma de onda lineal a tramos en SPICE. siguientes campos:.tran [print step] [final solution time] [print start] [maximum solution time step] El campo print step nos indica el intervalo de tiempo que separa a los resultados en el fichero de salida creado mediante la orden.print, y el campo final solution time es el instante de tiempo en el que finaliza el análisis del circuito. Estos dos primeros campos de la orden.tran son obligatorios y los dos últimos campos son opcionales. Aunque las soluciones siempre empiezan a generarse en t = 0, el campo print start retrasa la presentación de resultados en el fichero de salida (obtenido con la orden.print) hasta el momento indicado en ese campo. El último de los campos maximum solution time step se necesita para controlar la precisión y la resolución de la solución obtenida. Para resolver las ecuaciones de circuito de la línea de transmisión con los componentes a la que está conectada la línea, SPICE discretiza el tiempo en incrementos t. En la resolución de las citadas ecuaciones, se avanza en el tiempo a saltos, y en cada salto, se actualiza la solución existente en ese momento a partir de las soluciones obtenidas en instantes de tiempo anteriores. El parámetro maximum solution time step nos dice cuál es el tamaño mínimo de esos saltos. Cuando trabajamos con líneas de transmisión, hemos visto que los cambios de la tensión y la intensidad de corriente

27 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 27 en los extremos de las líneas se producen en instantes de tiempo cuya separación es del orden del retraso temporal T D (véanse las Figs. (4.7) a (4.9)). No obstante, la duración de esos cambios es del orden del tiempo de subida establecido en el escalón de tensión de excitación de la Fig. (4.11)(a), que es de 0,01 µs. Pues bien, para que no se pierda resolución en esos cambios, es preciso que el maximum solution time step sea del orden del tiempo de subida del escalón de tensión, y por tanto mucho menor que T D (por ejemplo, en el Ejemplo 4.4, se toma el maximum solution time step igual a T D /200). Este matiz es importante porque las primeras versiones de SPICE utilizaban un maximum solution time step igual a la mitad de T D cuando analizaban circuitos con líneas de transmisión, y eso traía consigo que se obtuvieran resultados muy imprecisos. Ejemplo 4.5: Análisis mediante SPICE de una línea de transmisión alimentada por un pulso rectangular de duración igual al retraso temporal Utilice SPICE (o su versión de ordenador personal, PSPICE) para resolver el ejercicio propuesto en el ejemplo 4.2. Solución La entrada de SPICE para el análisis del circuito mostrado en la Fig. (4.13)(a) es: EXAMPLE 4.5 VS 1 0 PWL( N 20 1N N 0) RS T Z0=100 TD=1N RL 3 0 1E8.TRAN.01N 10N 0.01N.PRINT TRAN V(2) V(3) *THE LOAD VOLTAGE IS V(3) AND *THE INPUT VOLTAGE IS V(2).PROBE.END Al igual que en el ejemplo anterior, se ha utilizado la función PWL de SPICE para especificar la tensión de excitación. La Fig. (4.13)(a) muestra que en el análisis de SPI- CE se han introducido pequeños tiempos de subida y bajada para modelar el pulso rectangular de la Fig. (4.8)(a) ya que, como se ha dicho anteriormente, SPICE no admite señales de tensión con pendiente infinita. Asimismo, el circuito abierto en la carga de la Fig. (4.8)(a) ha sido modelado mediante una resistencia de 10 8 Ω ya que SPICE no admite nudos flotantes (esto es, nudos sin conexión). Se observa que las tensiones de entrada y salida generadas por SPICE para el circuito de la Fig. (4.13)(a) -véanse las Figs. (4.13)(b) y (4.13)(c)- coinciden con las representadas en las Figs. (4.8)(b) y (4.8)(c).

28 4.2. Líneas de transmisión en el dominio del tiempo 28 Figura 4.13: Solución de SPICE para el ejemplo 4.2. (a) Circuito, nudos y excitación. (b) Solución de SPICE para la tensión en la carga. (c) Solución de SPICE para la tensión a la entrada de la línea.

29 4.3. Interconexiones digitales de alta velocidad e integridad de señal 29 Ejemplo 4.6: Análisis mediante SPICE de una línea de transmisión alimentada por un pulso rectangular de duración mayor que el doble retraso temporal Utilice SPICE (o su versión de ordenador personal, PSPICE) para resolver el ejercicio propuesto en el ejemplo 4.3. Solución La entrada de SPICE para el análisis del circuito mostrado en la Fig. (4.14)(a) es: EXAMPLE 4.6 VS 1 0 PWL( U 100 6U U 0) RS T Z0=50 TD=2U RL 3 0 1E-6.TRAN.01U 20U 0.01U.PRINT TRAN V(2) *THE INPUT VOLTAGE IS V(2).PROBE.END Al igual que en el Ejemplo 4.5, se ha utilizado la función PWL de SPICE para modelar el pulso rectangular de excitación. La carga en cortocircuito se ha modelado mediante una resistencia de 1 µω ya que SPICE no permite el uso de resistores de resistencia nula. Se puede comprobar que la tensión obtenida mediante SPICE a la entrada de la línea de transmisión-representada en la Fig. (4.14)(b)- coincide con la que aparece en la Fig. (4.9)(b) Interconexiones digitales de alta velocidad e integridad de señal La frecuencia de las señales de reloj en los sistemas digitales está creciendo a un ritmo estacionario. Actualmente, las señales de reloj de los ordenadores personales tienen una frecuencia del orden de 3 GHz. Las velocidades de transferencia de datos digitales también está creciendo. Ambos tipos de señales (de reloj y de datos) se transfieren de un punto a otro mediante terrenos de PCI. Y los retrasos temporales introducidos al atravesar estos terrenos se están convirtiendo en un factor crítico en la planificación de los sistemas digitales, de forma que los retrasos en los terrenos ya son del orden de los tiempos de subida y bajada de los pulsos.