Sistemas de ecuaciones

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Rafael Chávez Marín
hace 5 años
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1 Unidad didáctica 5 Sistemas de ecuaciones

2 1.- Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales y dos incógnitas, generalmente x e y. Resolverlo consiste en determinar los valores x e y que hacen ciertas, simultáneamente, las dos igualdades..- Resolución de sistemas de ecuaciones compatibles determinados. Hay tres métodos posibles:.1.- Método de sustitución. x + 4y = 16 1 er paso: se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Puede ser la x o la y. Siempre se procura elegir la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. En este caso, x. 16 4y 8 y º paso: se sustituye, el valor de x obtenido en el paso 1º, en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. 3 (8 y) 4y = 6 3 er paso: se resuelve la ecuación, ahora con una sola incógnita: 4 6y 4y = 6 10y = y = y = = º paso: el valor obtenido de y, se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada = 5º paso: Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema:, y = 3..- Método de igualación. x + 4y = 16 1 er paso: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y 3 Unidad 5: Sistemas de ecuaciones pag. 1

3 º paso: Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita. 3 er paso: Se resuelve la ecuación y = 3 ( 6 + 4y) = 3 (16 4y) 1 + 8y = 48 1 y 8y + 1y = y = y = = 3 0 4º paso: El valor obtenido de y, se sustituye en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x = = 3 3 5º paso: Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema:, y = Método de reducción. x + 4y = 16 1 er paso: Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan. En este caso, lo más fácil sería suprimir la y, de este modo no habría que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que se vea mejor el proceso. 3x 4y = 6 Multiplicando por 6x 8y = 1 x + 4y = 16 Multiplicando por -3 6x 1y = 48 º y 3 er paso: Se restan las dos ecuaciones, desaparece una de las incógnitas y se resuelve la ecuación resultante. 6x 8y = 1 6x 1y = y = y = = 3-0 4º paso: El valor obtenido de y, se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. x = 16 x + 1 = = 5º paso: Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema:, y = 3 Unidad 5: Sistemas de ecuaciones pag.

4 3.- Cómo plantear y resolver problemas. Saber plantear un problema es el paso fundamental para resolverlo, ya que una vez planteado solo hay que aplicar uno de los métodos de resolución antes explicados. Para plantear y resolver un problema conviene dar siempre los mismos pasos: 1. Leer repetidamente el enunciado del problema hasta entender qué información nos dan y qué es lo que nos piden.. Identificar las incógnitas o variables principales de forma precisa. 3. Expresar matemáticamente el problema. 4. Resolver el problema matemático. 5. Interpretar las soluciones. 6. Comprobar que las soluciones son adecuadas. Ejemplo: Un cajero nos ha entregado entre billetes de 0 y 50 euros Si la suma de billetes es igual a 110, cuántos billetes de cada valor nos ha entregado? Paso 1º: Leer el enunciado y entender qué datos no están dando y qué es lo que nos piden. Información que dan: hemos sacado del banco Todos los billetes que nos dan no son iguales, sino que hay mezclados billetes de 0 y de 50. No sabemos cuántos de cada tipo hay pero si que en total tenemos 110 billetes. Qué piden?: cuántos billetes son de 0 y cuántos de 50. Paso º: Identificar las incógnitas o variables principales de forma precisa. nº de billetes de 0 que nos han dado. y = nº de billetes de 50 que nos han dado. Paso 3º: Expresar matemáticamente el problema. 1ª ecuación: el nº de billetes de 0 más el nº de billetes de 50 tiene que ser 110 x + y = 110 ª ecuación: el dinero total recibido (3100 ) tiene que ser suma del número de billetes de 0 por su valor (0 ) y del número de billetes de 50 por su valor (50 ) x 0 + y 50 = 3100 Paso 4º: Resolver el problema matemático: 0 x + 50 y = x + 50 y = y = = x + y = x 0 y = = y = 900 Paso 5º: Interpretar las soluciones: He recibido 80 billetes de 0 y 30 billetes de 50. Paso 6º: Comprobar que las soluciones son adecuadas. Primera ecuación: = = 3100 (correcto) Segunda ecuación: = 110 (correcto) Unidad 5: Sistemas de ecuaciones pag. 3

5 Ejercicios de sistemas de ecuaciones 1.- Resuelve los siguientes sistemas por reducción: 5x 3y = 7 x + 7y = 11 3x + y = 31 5x 8y = 5 x + y = 5 4x + y = 14.- Resuelve los siguientes sistemas por sustitución: x + y = 8 3x y = 3 3x + y = 7 4x 5y = 6 x 3y = 5 1x 3y = Resuelve los siguientes sistemas por igualación: 4x y = 8 3x + y = 1 3x + 7y = 9 8x 9y = x + 3y = 19 5x y = 0 Unidad 5: Sistemas de ecuaciones pag. 4

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