La palabra bono tiene muchos sinónimos: obligación, pagaré, nota Se denomina bono cupón cero al que sólo promete un pago en una fecha determinada.

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1 Valoración de bonos del Estado: valor actual y TIR. Profesor de finanzas del IESE fernandezpa@iese.edu Web: 23 de marzo de 2016 Se presenta la valoración de bonos (activos del mercado de deuda). Para ello se definirán los parámetros utilizados para su valoración, y la sensibilidad de su valor con respecto a las oscilaciones de los tipos de interés. Contenido 0. Qué es un bono? 1. Valoración de un bono. 2. TIR de un bono (yield to maturity). 3. Precio de un punto básico. 4. La estructura temporal de los tipos de interés y el precio de los bonos. 5. Riesgo de tipo de interés de un bono 6. Ejercicios sobre el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de rentabilidad (TIR): Cuatro bonos con distintas características. Anexo 1. Cálculo de la estructura temporal del tipo de interés Anexo 2. Evolución de los tipos de interés IESE. Universidad de Navarra. Camino del Cerro del Águila Madrid. Tel Fax xipplnmplsj 0. Qué es un bono? Un bono es un papel 1 en el que se pueden leer muchas cosas, pero sólo 3 interesantes: a) Fechas en las que el poseedor del bono recibirá algo b) Qué recibirá el poseedor del bono en esas fechas c) Quién promete los pagos anteriores (se le suele llamar emisor del bono) La palabra bono tiene muchos sinónimos: obligación, pagaré, nota Se denomina bono cupón cero al que sólo promete un pago en una fecha determinada. En la mayor parte de este capítulo se ha adoptado la simplificación de descontar todos los flujos monetarios generados por el bono a una única tasa, la TIR del bono o rentabilidad exigida al vencimiento. Esto equivale a considerar una estructura temporal de los tipos de interés (yield curve) plana, cuyos desplazamientos son paralelos y, por tanto, iguales para todos los flujos, cualquiera que sea el tiempo que haya de transcurrir hasta que se produzcan. No obstante, en el apartado 4 se muestra qué es la curva de tipos. La información relativa a los bonos del Estado español puede consultarse en la web del Banco de España: En el apartado Del mercado secundario de valores (público y privado) se indican los tipos de interés sin riesgo de cada día. Por ejemplo, el tipo de interés sin riesgo a años del 24 de octubre de 2007 fue 4,27% y el 16 de enero de 2013 fue 5,05%. 1 O documento. También se utilizan documentos informáticos o registros contables denominados anotaciones en cuenta. Para entender mejor qué es un bono es preferible pensar en los bonos que son un papel. C44-1

2 1. Valoración de un bono El precio (valor de mercado) de un bono se obtiene descontando los flujos (cash flows) que recibirá su poseedor en el futuro con una determinada tasa de descuento. Esta tasa de descuento viene impuesta por el mercado, de acuerdo con el riesgo que éste percibe para el bono en cuestión y para otros bonos sin riesgo similares. Vamos a valorar un bono de valor nominal N con T periodos hasta su amortización. El bono tiene un interés de C euros por periodo. En el último periodo, el poseedor del bono recibirá el interés más el valor nominal del bono (N + C). HOY t = T-1 T C C C C C C N+C R es el tipo de interés por periodo que se aplica para valorar instrumentos de renta fija de similar riesgo y plazo que el bono que estamos valorando 2. Es evidente que cuando el tipo de interés (R) aumenta, el precio del bono disminuye y viceversa. Se emplea la siguiente notación: P: Precio del bono en el momento actual CF t : Flujo de tesorería en el instante t (pago del cupón y devolución del nominal) t: Instante medido desde el momento actual (en años) en que se produce un flujo T: Tiempo hasta la fecha de vencimiento R: Tasa de descuento (en base anual). Es la tasa interna de rentabilidad (yield to maturity) De acuerdo con lo señalado anteriormente el precio del bono hoy viene determinado por la siguiente ecuación: T T C N P= (1 R) t (1 R) CF t (1) T (1 R) t t=1 t=1 En primer lugar vamos a valorar un bono con vencimiento dentro de años. Este bono paga un cupón del 5% y su valor nominal son que se pagarán dentro de años: t = Tabla 1. Cálculo del precio del bono a años con cupón del 5% para R = 5%, R = 7% y R = 3% R = 5,0% 5,0% 7,0% 7,0% 3,0% 3,0% t CF 1/(1+R) t [2]x[3] 1/(1+R) t [2]x[5] 1/(1+R) t [2]x[7] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] , ,619 0, ,729 0, , , ,351 0, ,672 0, , , ,192 0, ,815 0, , , ,135 0, ,145 0, , , ,176 0, ,649 0, , , ,311 0, ,317 0, , ,768 35,534 0, ,137 0, , , ,842 0, ,0 0, , , ,230 0, ,197 0, , , ,609 0, ,767 0, ,299 SUMA 1.000,00 859, ,60 La tabla 1 muestra un cálculo del precio del bono para distintas tasas de descuento. La columna [1] indica el año en que se produce cada pago del bono que se indica en la columna [2]. La columna [3] es el factor de descuento, esto es, el número por el que hemos de multiplicar el flujo del bono para calcular su valor actual, que se indica en la columna [4]. La columna [3] y la columna [4] nos sirven para calcular el precio del bono si descontamos los flujos futuros con una tasa del 5%. Nótese que como descontamos los flujos al 5% y el cupón es del 5%, su precio es igual al valor nominal, esto es, Las columnas [5] y [6] muestran el cálculo del valor del bono si descontamos sus flujos futuros al 7%. Lógicamente su valor (859,53 ) es inferior al nominal R es la tasa interna de rentabilidad (TIR) del bono y se denomina yield to maturity en inglés. C44-2

3 Las columnas [7] y [8] nos muestran el cálculo del valor del bono si descontamos sus flujos al 3%. Como era de esperar, su valor en este caso es superior al nominal. La tabla 2 muestra el precio del bono para distintas tasas de descuento. Los precios del bono para tasas del 3, 5 y 7% coinciden con los valores calculados en la tabla 1. Al representar P en función de R no obtenemos una línea recta sino una curva convexa. Su forma concreta depende de los parámetros que aparecen, explícita o implícitamente, en la expresión (1), que son: - T, tiempo hasta el vencimiento - t, instantes en que se producen los flujos monetarios - C t, cupones pagados por el bono, incluidos dentro de CF t - N, nominal del bono, pagado a su poseedor en el instante T, como parte de CF T La figura 1 es la representación gráfica del precio del bono en función de la rentabilidad exigida al mismo y se obtiene de los valores que aparecen en la tabla 2. El precio del bono disminuye cuando aumenta la rentabilidad exigida al mismo. Tabla 2. Precio del bono a años con cupón del 5% según la rentabilidad exigida R (%) 2,0% 3,0% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% 7,0% 9,0%,0% 12,0% 14,0% 15,0% P 1.269, , , , ,00 962,31 926,40 859,53 743,29 692,77 604,48 530,55 498,12 P Figura 1. Precio del bono (P) según la rentabilidad exigida (R). 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % 11% 12% 13% 14% 15% R 2. TIR de un bono (yield to maturity) En el apartado anterior hemos calculado el precio de un bono a partir de la rentabilidad exigida al mismo (R). Sin embargo, en los mercados primarios y secundarios de bonos normalmente observamos el precio, y a partir del precio calculamos la rentabilidad exigida que los inversores piden a un determinado bono. La rentabilidad exigida se denomina, como hemos dicho anteriormente, la TIR del bono (en inglés IRR, internal rate of return, y también denominada yield to maturity). El cálculo de la TIR del bono a partir de su precio de mercado es precisamente la operación inversa a la que hemos realizado anteriormente. Esto es, partiríamos del precio del bono como dato e iríamos dando valores a la tasa de descuento hasta que llegásemos a una tasa que hace coincidir el precio que calculamos con el precio de mercado. Esa tasa es la que denominamos tasa interna de rentabilidad (TIR). Se deja como ejercicio para el lector que compruebe que si el precio de mercado de nuestro bono fuese de 934,12 euros su TIR sería el 5,89%. 3. Precio de un punto básico (PB) La figura 1 permite comprobar que la rentabilidad exigida al bono (R) es el factor determinante para su precio. Hemos comprobado que cuando R aumenta, el precio disminuye y cuando R disminuye el precio aumenta. Sin embargo, nos gustaría cuantificar esta variación. Para realizar esta cuantificación se calcula lo que se denomina el precio de un punto básico, que no es más que la variación en el precio del bono cuando la rentabilidad exigida varía 0,01% ( punto básico se denomina a esta cantidad: 0,01%, es decir un 1% se compone de 0 puntos básicos). Dada la pequeña variación en la rentabilidad exigida, el cambio en el precio del bono es prácticamente el mismo tanto si la rentabilidad requerida aumenta como si disminuye en 1 punto básico. La tabla 3 muestra el cálculo del valor de un punto básico para nuestro bono. Nótese como al cambiar la tasa interna de rentabilidad del 5% al 5,01% el valor de nuestro bono disminuye en 0,77 euros, los mismos que aumenta de valor si la TIR pasa de 5 a 4,99%. Así, si la TIR de nuestro bono fuese el 5%, esto es si se estuviese negociando en el mercado por 1.000, diríamos que el valor de un punto básico es de 0,77 euros. C44-3

4 Tabla 3. Valor de un punto básico. Bono a años con cupón del 5%. Precio del bono para R = 5%; 5,01% y 4,99% R = 5,00% 5,00% 5,01% 5,01% 4,99% 4,99% t CF 1/(1+R) t [2]x[3] 1/(1+R) t [2]x[5] 1/(1+R) t [2]x[7] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] , ,619 0, ,615 0, , , ,351 0, ,343 0, , , ,192 0, ,180 0, , , ,135 0, ,119 0, , , ,176 0, ,158 0, , , ,311 0, ,289 0, , ,768 35,534 0,721 35,5 0, , , ,842 0, ,816 0, , , ,230 0, ,203 0, , , ,609 0, ,995 0, ,223 SUMA 1.000,00 999, ,77 Valor de un punto básico (0,01%) = -0,77 0,77 La tabla 4 nos presenta el cálculo del valor de un bono a años y con cupón anual del 5% pero con pagos semestrales de cupones. Si la TIR anual es del 5%, la TIR semestral 3 es del 2,47% porque: ( 1,05) - 1 = 0,0247. Nótese que en este caso, para una TIR del 5% el valor del bono es de 1.004,77. Intuitivamente, es lógico pensar que un bono con pagos semestrales valga más que un bono análogo pero con pagos anuales. La razón es que cualquier inversor prefiere recibir 25 dentro de 6 meses y otros 25 dentro de 12 meses, que 50 dentro de 12 meses. Tabla 4. Precio del bono a años con cupón del 5% anual, pagadero semestralmente para R = 5%, 7% y 3% R anual = 5,00% 5,00% 7,0% 7,0% 3,0% 3,0% R semestral = 2,470% 2,470% 3,441% 3,441% 1,489% 1,489% t CF 1/(1+R) t [2]x[3] 1/(1+R) t [2]x[5] 1/(1+R) t [2]x[7] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] , ,398 0, ,168 0, , , ,8 0, ,364 0, , , ,236 0, ,587 0, , , ,115 0, ,598 0, , , ,727 0, ,146 0, , , ,261 0, ,058 0, ,696 SUMA 1.004,77 865, ,78 4. La estructura temporal de los tipos de interés y el precio de los bonos Hasta ahora hemos supuesto que tanto los cupones como el pago del nominal del bono se descontaban a la misma tasa. Así, cuando los descontábamos al 5%, el valor de nuestro bono con años y con un cupón del 5% pagadero anualmente era de Pero, normalmente los tipos de interés no son constantes para todos los plazos, esto es, se aplica un mayor descuento a aquellos pagos más alejados en el tiempo. La tabla 5 nos muestra en sus 4 primeras columnas el cálculo del precio del bono si la tasa interna de rentabilidad es del 5%. Nótese que en estos cálculos actualizamos los pagos de cupones y principal (columna [2]) al 5% anual. Sin embargo, la columna [5] nos representa el tipo de interés real para cada periodo. Así, el mercado descuenta un pago en el año 1 al 3%, y un pago en el año al 5,119% anual. La columna [6] es el factor de actualización de los flujos futuros contenidos en la columna [2] si los tipos de interés son los indicados en la columna [5]. Finalmente la columna [7] nos muestra el valor actual de los flujos de la columna [2] actualizados con los tipos de interés de la columna [5]. Nótese que si los tipos de interés reales fuesen los indicados en la columna [5], un analista que calculase la TIR de este bono cuyo precio (según la columna [7]) es de concluiría que la TIR de este bono es del 5%. Esto no quiere decir que todos los flujos de este bono se actualicen al 5%, sino que cada uno se actualiza con la tasa de descuento indicada en la columna [5]. Nótese que el 5% sería una especie de media ponderada de los tipos de interés indicados en la columna [5]. La figura 2 es la representación gráfica de los tipos de interés que aparecen en la tabla 5. La línea horizontal del 5% representaría la TIR, aunque la curva de tipos de interés sería la indicada con círculos, esto es, Rt. Es importante darse cuenta que la tasa interna de rentabilidad no es más que una media ponderada de los tipos de interés Rt. Denominamos normal a la estructura temporal de tipos de interés en la que el interés es mayor cuanto mayor es el plazo. Tabla 5. Cálculo del precio del bono a años con cupón del 5% anual, para R =5%. El tipo de interés no es 5% para todas las amortizaciones. R = 5,00% 5,00% t CF 1/(1+R) t [2]*[3] Rt 1/(1+Rt) t [2]*[6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 3 (1 + TIR anual ) = (1 + TIR semestral ) 2 C44-4

5 1 50 0, ,62 3,000% 0, , , ,35 3,500% 0, , , ,19 3,900% 0, , , ,14 4,200% 0, , , ,18 4,450% 0, , , ,31 4,650% 0, , ,77 35,53 4,8% 0, , , ,84 4,930% 0, , , ,23 5,030% 0, , , ,61 5,119% 0, ,35 SUMA 1.000, ,00 5,5% Figura 2. Estructura temporal de tipos de interés normal. R (TIR) Rt (tipo de interés) 5,0% 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% Año Tabla 6. Cálculo del precio del bono a años con cupón uniforme para R = 5%. El tipo de interés no es 5% para todos los plazos R = 5,00% 5,00% t CF 1/(1+R)^t [2]*[3] R t 1/(1+R t ) t [2]*[6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 1 129,505 0, ,34 3,000% 0, , ,505 0, ,46 3,500% 0, , ,505 0, ,87 3,900% 0, , ,505 0,8227 6,54 4,200% 0,8483 9, ,505 0,7835 1,47 4,450% 0,8044 4, ,505 0, ,64 4,650% 0, , ,505 0,77 92,04 4,8% 0, , ,505 0, ,65 4,930% 0, , ,505 0, ,48 5,030% 0, ,27 129,505 0, ,50 5,119% 0, ,61 SUMA 1.000, ,92 La tabla 6 es similar a la tabla 5, pero en ella calculamos el valor de un bono con pagos iguales en cada año. Este bono paga a su poseedor una cantidad de 129,505 euros cada año. Nótese que el valor de este bono (columnas [3] y [4]), si todos sus flujos se descuentan al 5%, es de 1.000, igual que el del bono con cupón del 5% que aparece en la tabla 5. Sin embargo, si aplicamos los tipos de interés de la columna [5] a los flujos de este cupón resulta que su precio es de 1.017,92 euros. El precio es superior a porque los tipos de interés más bajos, los de los primeros años, se aplican a mayores cantidades de dinero, ya que el poseedor de este bono recibe durante los 9 primeros años 129,505 euros en lugar de 50. La comparación entre la tabla 5 y 6 permite concluir que a pesar de que se aplique una misma TIR a dos bonos y obtengamos el mismo valor, en este caso de 1.000, si aplicamos en realidad la curva de tipos de interés podemos obtener distintos valores para los dos bonos. Otra cosa importante que permiten recalcar estas dos tablas es que la tasa interna de rentabilidad no es más que la media ponderada de las tasas de interés que aparecen en la columna [5] y que la ponderación es -lógicamente- distinta para cada bono. Si el precio del bono de la tabla 5 fuese 1.017,92 euros, su TIR sería 4,77%. 5. Riesgo de tipo de interés de un bono Se entiende por riesgo de tipo de interés de un bono el cambio en el precio del bono cuando varía el tipo de interés. Como hemos visto en la figura 1, el precio de un bono cambia cuando se modifica la TIR (la rentabilidad exigida al bono). La figura 3 muestra cómo distintos bonos responden de distinta manera a cambios en el tipo de interés. La figura 3 muestra 3 bonos: dos bonos a años, uno con cupón anual del 5% y otro con cupón anual del 3%; y otro bono a 4 años C44-5

6 con el cupón anual del 5%. A simple vista se observa que un cambio en la rentabilidad exigida a los bonos produce una variación mayor en el precio para el bono a años que para el bono a 4 años. Matemáticamente, esta variación puede calcularse a través de la derivada, respecto a la rentabilidad exigida, del precio del bono. Figura 3. Variación en el precio de distintos bonos cuando cambia la rentabilidad exigida (R) P años, C = 5% años, C = 3% 4 años, C = 5% 600 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % R La tabla 7 proporciona un resumen de los factores que afectan al valor del bono y que se pueden deducir de bonos estudiados hasta el momento. Al aumentar el tiempo hasta la amortización, el valor del bono aumenta si la TIR es menor que el cupón y disminuye si la TIR que se aplica al bono es mayor que el cupón del mismo. Para todos los casos, cuando aumenta la TIR (R), disminuye el valor del bono; cuanto mayor es el cupón del bono mayor es el valor del mismo y cuanto mayor es la frecuencia con que se produce el pago de cupones es mayor el valor del bono. Hemos visto anteriormente como un bono que paga su cupón semestralmente tiene mayor valor que otro bono igual pero que paga sus cupones anualmente. Tabla 7. Factores que afectan al valor de un bono Al aumentar el valor del bono T aumenta (si R < C) / disminuye (si R > C) R disminuye C aumenta frecuencia del cupón aumenta 6. Ejercicios sobre el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de rentabilidad (TIR) El valor actual neto (VAN) de un bono es la suma del valor actual de sus flujos de fondos. El valor actual de cada flujo se calcula aplicando una tasa de descuento i, que depende del tipo de interés sin riesgo del mercado y del riesgo del bono. Calcular el VAN de un bono, o de cualquier otra inversión en la que se den flujos de fondos, consiste en equiparar cantidades de dinero de distintos momentos temporales en un solo momento temporal. Para ello se debe considerar el interés que, para el dinero, se puede obtener en el mercado en bonos de similar riesgo. Por ejemplo, un flujo de euros que se produzca el año que viene, tiene un valor en euros de hoy de /(1+. De la misma forma, un flujo de euros que se produzca dentro de dos años, tiene un valor en euros de hoy de /(1+ 2. En ambos casos i es la rentabilidad, el tipo de interés que se exige al bono. Si se descuentan a esta tasa todos los flujos producidos por un bono, los cobros y los pagos, y se suman, obtenemos el VAN del bono. CF1 CF2 CF3 CFn VA... 1 i 2 3 n (1 (1 (1 VAN P CF1 CF2 CF3 CFn... 1 i 2 3 n (1 (1 (1 El VAN representa el valor de todos los flujos de dinero de la inversión en euros de hoy. Al aumentar la tasa de interés sin riesgo aumenta la tasa exigida al bono y el VAN calculado para tasas de descuento mayores va disminuyendo hasta que llega a hacerse cero. En este caso la inversión es indiferente. Pues bien, la tasa de descuento que hace que el valor del VAN se anule se denomina TIR, tasa interna de rentabilidad. n CFi VAN 0 - P + i i =1(1+ TIR) El cálculo de la TIR se puede realizar por tanteo, dándole distintos valores en la ecuación anterior, o bien utilizando una calculadora programable. La TIR representa la rentabilidad del bono. Cuando la tasa de rentabilidad que ofrece el bono es superior a la que se le exige, el VAN es positivo y la inversión en ese bono, la compra del bono, es atractiva. C44-6

7 6.1. Cuatro bonos con distintas características Analizamos cuatro bonos distintos. El precio de todos los bonos es 0 euros. Para cada uno de estos bonos calcularemos la tasa interna de rentabilidad (TIR), el valor actual neto (VAN) de la compra de los bonos para distintas tasas de descuento y construiremos la gráfica tasa de descuento - VAN. El bono A es un bono con vencimiento dentro de cinco años. Su precio hoy es 0 euros (igual a su valor nominal) y paga un % anual ( euros/año). Dentro de 5 años el poseedor del bono recibirá el interés correspondiente ( euros) más la devolución del nominal (0 euros). El bono B es idéntico al A en todas sus características, salvo en que es un bono con vencimiento dentro de años. Su precio es hoy 0 euros (igual a su valor nominal) y paga un % anual ( euros/año). Dentro de años el poseedor del bono recibirá el interés correspondiente ( euros) más la devolución del nominal (0 euros). El bono C es idéntico al A y al B en todas sus características, salvo en que es un bono perpetuo. Su precio es 0 euros (igual a su valor nominal) y paga un % anual ( euros/año) siempre (no devuelve nunca el nominal). El bono proporciona un flujo perpetuo de cada año. El bono D es idéntico al C en todas sus características, salvo en que el interés que paga anualmente se incrementa en un 2% cada año. Su precio es 0 euros (igual a su valor nominal) y paga un % ( euros) el primer año,,2 euros el segundo año,, 4 euros el tercer año y así sucesivamente. Es un bono perpetuo y no devuelve nunca el nominal. El bono proporciona un flujo perpetuo que aumenta un 2% cada año. BONO A t = BONO B t = BONO C t = BONO D t = ,2,4,6,8 11,0 11,3 11,5 11,7 12, Valoración de los bonos La siguiente tabla muestra los flujos asociados a la compra de los cuatro bonos. Flujos de los bonos A, B, C y D. Año Bono A -0 1 Bono B -0 1 Bono C Bono D -0,2,40,61,82 11,04 11,26 11,49 11,72 11, % VAN A VAN B 0 (1 (1 2 (1 3 (1 4 1 (1 1 0 ( (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 5 C44-7

8 VAN C VAN D 0 (1 (1 2 (1 3 (1 4 (1,2,40,61, ( (1 (1 (1 ( i VAN x1,02 x1,02 x1,02 x1,02 D si i (1 (1 (1 (1 (1 5 (i 0,02) = si i < 2% La tasa interna de rentabilidad (TIR) de cada bono es, como hemos dicho, la tasa de descuento que hace cero el VAN. Mediante la tabla 8 o mediante la figura 4 es inmediato comprobar que: TIR A = TIR B = TIR C = %. TIR D = 12% Es importante que el lector pierda algún tiempo observando la figura 4, para familiarizarse con estos conceptos y darse cuenta de las diferencias entre los distintos bonos. Tabla 8. VAN de los bonos A, B, C, D y E. i VAN A VAN B VAN C VAN D 0% 50,00 0,00 1% 43,68 85,24 900,00 2% 37,71 71,86 400,00 3% 32,06 59,71 233,33 900,00 5% 21,65 38,61 0,00 233,33 7% 12,30 21,07 42,86 0,00 9% 3,89 6,42 11,11 42,86 % 0,00 0,00 0,00 25,00 11% -3,70-5,89-9,09 11,11 12% -7,21-11,30-16,67 0,00 15% -16,76-25,09-33,33-23,08 20% -29,91-41,92-50,00-44,44 20,14% -30,23-42,31-50,35-44,87 25% -40,34-53,56-60,00-56,52 30% -48,71-61,83-66,67-64,29 50% -69,47-78,61-80,00-79,17 70% -79,68-85,29-85,71-85,29 73,37% -80,86-86,02-86,37-85,99 80% -82,87-87,25-87,50-87,18 0% -87,19-89,91-90,00-89,80 VAN Figura 4. Curvas Tasa de descuento - VAN de los bonos A, B, C y D. 60 VAN A 40 VAN B VAN C 20 VAN D % 5% % 15% 20% 25% 30% i Si la tasa de descuento exigida, calculada en función del tipo de interés sin riesgo y del riesgo del bono, es inferior a la TIR, el VAN es positivo, tanto más cuanto menor sea la tasa utilizada. Por el contrario, utilizando una tasa de descuento superior a la TIR se obtiene un valor del VAN negativo. En el primer caso la inversión en el bono será atractiva, en el segundo no. La figura 4 permite observar que al aumentar la tasa de interés exigida (, el VAN va descendiendo hasta que se hace cero (i = TIR = % para los tres bonos). Para tasas de descuento superiores el VAN se hace negativo y cada vez más negativo. Las pendientes de las curvas varían en función del plazo de los bonos: la de C44-8

9 mayor pendiente es la del bono C, que es perpetuo, y la de menor pendiente es la del bono A, que es el de menor plazo. La forma en la que el VAN varía en función de la tasa de descuento (rentabilidad) exigida, depende de la estructura de los flujos de los bonos. Anexo 1. Cálculo de la estructura temporal del tipo de interés La tabla A1 proporciona en la columna [4] los precios de varios bonos. En la primera fila nos indica que un bono cupón cero que se amortizará dentro de un año tiene un precio hoy de 97,09 euros, con lo que su rentabilidad exigida es 3% (0/97,09 = 1,03). En la segunda fila podemos ver un bono que proporcionará a su poseedor 4,5 dentro de un año y 4,5 dentro de dos tiene un precio de mercado hoy de 2,29, y por consiguiente su rentabilidad exigida es 3,30%. En la última fila podemos ver cómo un bono que se amortizará dentro de años y que paga un cupón anual de 5,4 tiene un precio de 91,82, con lo que su TIR es 6,12%. Tabla A1. Construcción de la curva temporal de tipos de interés a partir del precio de mercado de bonos con distintas amortizaciones. Estructura temporal de tipos de interés normal. Amortización (años) Cupón anual R (Y.T.M.) Precio del bono Precio del último pago Tipo de interés del último pago (R t ) Tasa forward (t-1):t [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 1 0,00% 3,00% 97,09 97,090 3,00% 2 4,50% 3,30% 2,29 97,921 3,30% 3,61% 3 4,50% 3,59% 2,55 93,964 3,61% 4,21% 4 4,25% 3,87% 1,38 89,450 3,90% 4,80% 5 5,00% 4,14% 3,81 85,484 4,20% 5,39% 6 5,50% 4,39% 5,75 81,114 4,48% 5,89% 7 4,00% 4,62% 96,36 75,367 4,71% 6,09% 8 4,25% 4,82% 96,29 70,905 4,94% 6,55% 9 4,60% 5,02% 97,02 66,416 5,18% 7,12% 4,00% 5,21% 90,75 61,598 5,38% 7,20% 11 4,50% 5,38% 92,83 57,369 5,60% 7,89% 12 4,75% 5,53% 93,29 53,251 5,80% 7,99% 13 5,00% 5,65% 94,13 49,442 5,96% 7,96% 14 4,80% 5,75% 91,03 45,869 6,08% 7,58% 15 4,75% 5,84% 89,30 42,531 6,19% 7,80% 16 5,% 5,92% 91,67 39,384 6,33% 8,35% 17 4,75% 5,99% 87,00 36,522 6,39% 7,48% 18 5,20% 6,03% 91,03 33,957 6,48% 8,02% 19 5,25% 6,08% 90,80 31,484 6,56% 7,91% 20 5,40% 6,12% 91,82 29,194 6,63% 8,00% La columna [5] representa el precio del último pago, esto es, qué parte del precio total del bono (columna [4]) se debe al último pago. Para el cálculo del bono con cupón anual de 4,5, con amortización dentro de dos años, realizamos la siguiente operación: el valor actual del pago del primer cupón será 4,5/1,03 = 4,369. Por consiguiente el precio del último pago será 2,29-4,369 = 97,921. El interés anualizado del último pago será por consiguiente (4,5/97,921) 1/2-1 = 3,30%. Procediendo así con todos los demás bonos se puede construir la columna [6] que es la columna de tipos de interés: el tipo de interés aplicable a un flujo de dinero que se recibirá dentro de los años que indica la columna [1]. Nótese que la columna [3] y la columna [6] son distintas. La figura A1 es la representación de las columnas [3] y [6] con la tasa forward implícita de la columna [6] de la tabla A1. Nótese como al considerar una estructura temporal de tipos de interés normal (los tipos de interés a largo plazo son superiores a los tipos a corto plazo) la tasa interna de rentabilidad de los bonos es inferior al interés anualizado del último pago: la TIR está por debajo de la línea que nos marca la tasa de interés aplicable a bonos cupón cero, que es lo que indica la columna [6] de la tabla A2. La columna [6] representa la tasa de interés implícita en la columna [5], esto es, a cuánto descuenta cada año el mercado un pago que se producirá en el año siguiente. Así, en el año 0 el mercado descuenta un pago que se realizará en el año 1 al 3%. En el año 1 el mercado descuenta un pago que se realizará en el año 2 al 4,002% y en el año 9 el mercado descuenta un pago que se realizará en el año al 9,4%. Nótese que la columna [6] (el tipo de interés implícito en la curva de interés) se deduce de la columna [5]. Puede comprobarse que 1,05923 = (1,05119) / (1,05030) 9. t (1+ R t ) 1+ R (t-1): t = t1 (1+ R t-1 ) Figura A1. Curva temporal de tipos de interés normal y tasa forward C44-9

10 9% tasa forward (t-1):t R (Y.T.M.) Interés del último pago 8% 7% 6% 5% 4% 3% Plazo (años) La tabla A2 muestra otro ejemplo de cálculo de la estructura temporal de los tipos de interés a partir del precio de una serie de bonos. La diferencia entre la tabla A2 y la tabla A1 es que en la tabla A2 la estructura de los tipos de interés resulta invertida, esto es, la TIR que se aplica a bonos con amortización más lejana es inferior a la TIR que se aplica a bonos que se amortizarán a corto plazo. Nótese que la columna [7] también resulta decreciente, lo que indica que la tasa para actualizar flujos a corto plazo es superior a la tasa para actualizar flujos a largo plazo. Tabla A2. Construcción de la curva temporal de tipos de interés a partir del precio de mercado de bonos con distintas amortizaciones. Estructura temporal de los tipos de interés invertida. Amortización (años) Cupón anual R (Y.T.M.) Precio del bono Precio del último pago Tipo de interés del último pago (R t ) Tasa forward (t-1):t [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 1 0,00% 8,00% 92,59 92,590 8,00% 2 4,50% 7,70% 94,27 90,3 7,69% 7,38% 3 4,50% 7,41% 92,42 84,373 7,39% 6,79% 4 4,25% 7,13% 90,27 79,239 7,% 6,22% 5 5,00% 6,86% 92,34 75,562 6,80% 5,62% 6 5,50% 6,61% 94,64 72,226 6,52% 5,12% 7 4,00% 6,38% 86,89 67,851 6,29% 4,94% 8 4,25% 6,18% 88, 65,098 6,06% 4,48% 9 4,60% 5,98% 90,61 62,841 5,82% 3,94% 4,00% 5,79% 86,69 60,140 5,63% 3,89% 11 4,50% 5,62% 90,99 58,519 5,41% 3,26% 12 4,75% 5,47% 93,78 56,845 5,23% 3,19% 13 5,00% 5,35% 96,78 55,188 5,07% 3,25% 14 4,80% 5,25% 95,62 53,169 4,97% 3,60% 15 4,75% 5,16% 95,79 51,371 4,86% 3,45% 16 5,% 5,08% 0,22 50,027 4,75% 3,03% 17 4,75% 5,01% 97,07 48,061 4,69% 3,74% 18 5,20% 4,97% 2,69 46,652 4,62% 3,46% 19 5,25% 4,92% 4,01 45,5 4,56% 3,48% 20 5,40% 4,88% 6,55 43,648 4,51% 3,49% La figura A2 muestra la curva de tipos de interés invertida : la TIR [3], el interés anualizado del último pago [6] y la tasa forward implícita [7]. 9% Figura A2. Curva temporal de tipos de interés invertida y tasa forward. tasa forw ard (t-1):t R (Y.T.M.) Interés del último pago 8% 7% 6% 5% 4% 3% Plazo (años) C44-

11 En casos más habituales (cuando los bonos no se solapan perfectamente como en los ejemplos mostrados), la curva cupón cero se calcula con métodos algo más complejos, como los de McCulloch, Nelson y Siegel o Svensson. Estos métodos consisten en calcular una curva cupón cero que consiga la máxima aproximación al precio de los bonos existentes en el mercado. Anexo 2. Evolución de los tipos de interés C44-11