Una proporción es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 miles 1 hour

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1 PROPORCIONES Una proporción es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 miles 1 hour, 65 millas: 1 hora, o 65 millas a 1 hora Para meas información vea las cajas de Apuntes de Matemáticas de la Lección 4..4 del texto Conexiones principales, curso 1 o Lección del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 11 Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes relaciones pueden establecerse: a. Proporción de azul con el número total de canicas 5 0 = 1 4. Problemas b. Proporción de rojo a claro 8 7. c. Proporción de rojo a azul 8 5. d. Proporción de azul a rojo La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano, y tazas de gaseosa de jengibre. Escriba las siguientes proporciones: a. Proporción de jugo de arándano al jugo de manzana. b. Proporción de gaseosa de jengibre al jugo de manzana. c. Proporción de refresco de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla).. Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 0 niñas, 16 niños y profesores en un viaje de campo a la capital del estado. Escriba las siguientes proporciones: a. Proporción entre niñas y niños. b. Proporción entre niños y niñas. c. Proporción de los profesores a estudiantes. d. Proporción de los profesores a los pasajeros.. Es importante para Molly (del problema uno) mantener las proporciones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 0 tazas de bebida de jugo, cuántas tazas de cada líquido se debe usar? 4. Si Molly (del problema uno) necesita 5 tazas de bebida de jugo, cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las proporciones deben seguir iguales. Conexiones principales, cursos 1

2 Proporciones y Relaciones Proporcionales Respuestas 1. a. 5 b. c. 10 = c. manzana, 15 c. arándano, 6 c. gaseosa de jengibre. a = 5 4 b = 4 5 c. 6 d c. manzana, 1 1 c. arándano, 5 c. gaseosa de jengibre CIFRAS DE ESCALA Y FACTOR DE ESCALA Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcional) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La relación de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una relación de escala, es decir, NUEVO ORIGINAL. Para más información vea las cajas de Apuntes de Matemáticas de la Leccion 4.1. del texto Conexiones principales, curso o Lección 6..6 del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 utilizando una ampliación de 00% F C 6 mm 1 mm 5 mm 10 mm B 1 mm A E 4 mm D triángulo original nuevo triángulo Proporciones de longitud de lado: DE AB = 4 1 = 1 FD CA = 6 1 = 1 FE CB = 10 5 = 1 El factor de escala para la longitud es de a 1. Ejemplo Figuras A y B a la derecha son similares. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuetre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la figura B. 1 A B El factor de escala es 1 = 1 4. Las longitudes de los lados que faltan de la figura B son: 1 4 (10) =.5, 1 4 (18) = 4.5, y 1 4 (0) = 5. 0 Guía para padres con práctica adicional 11

3 Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras similares en los problemas 1 a Original Nuevo. Original Nuevo D A 8 6 C B H E 4 G F Original Nuevo 4. Original Nuevo Un triángulo tiene lados 5, 1, y 1. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 00%. a. Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo? b. Cuál es la proporción entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original? 6. Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y una anchura de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 5%. a. Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo? b. Cuál es la proporción entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original? 1 Respuestas = 1. 8 = a. 15, 6, 9 b a. 15 cm y 10 cm b Conexiones principales, cursos 1

4 Proporciones y Relaciones Proporcionales RELACIONES PROPORCIONALES Una proporción es una ecuación que establece que las dos relaciones (fracciones) sean iguales. Dos valores están en una relación proporcional si una proporción puede ser configurada para relacionar los valores. Para más información, consulte las cajas de Apuntes de Matemáticas de las Lecciones 4.., 4..4, y 7.. del texto Conexiones principales, curso o Lecciones 1.. y 7..5 del texto Conexiones principales, curso. Para más ejemplos y práctica, vea los materials de Checkpoint 9 el texto Conexiones principales, curso o los materiales de Checkpoint del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 El costo promedio de un par de pantalones vaqueros de diseño ha aumentado 15 dólares en 4 años. Cuál es la tasa de crecimiento de las unidades (dólares por año)? Solución: La tasa de crecimiento es denominador de uno. 15 dollars 4 years Usando un uno gigante: 15 dollars 4 years 15 dollars 4 years. Para crear un tipo de unidad que necesitamos un = x 1 year dollars. = 4 4 x dollars.75 dollars. 1 year year Ejemplo La famosa receta de chili de Ryan utiliza cucharadas de chile en polvo para 5 porciones. Cuántas cucharadas se necesitan para la reunión familiar que necesita 40 porciones? Solución: La tasa es cucharadas 5 porciones 5 = c 40. Una manera de solucioniar la proporción es usar el Uno Gigante: por lo que el problema puede ser escrito como una proporción: Otro método es utilizar la multiplicación cruzada: Por último, ya que la tasa es 5 cucharada por porción, la ecuación c = p representa la 5 situación proporcional general y se podría sustituir el número de porciones que se necesitan en la ecuación: c = 40 = 4. Con el uso de cualquier método, la respuesta es 4 cucharadas. 5 Guía para padres con práctica adicional 115

5 Ejemplo Basándose en la tabla de la derecha, cuál es la tasa de crecimiento de las unidades (metros por año)? + Solución: Altura (m) Años Problemas +10 Para los problemas 1 a 10 encuentre la tarifa unitaria. Para los problemas 11 a 5, resuelva cada problema. 1. Teclear 71 palabras en 17 minutos (palabras por minuto). Leer 58 páginas en 86 minutos (páginas por minuto). Comprar 15 cajas de cereal por $ 4.5 (costo por caja) 4. Anotar 98 puntos en un partido de 40 minutos (puntos por minuto) 5. Comprar 1 4 libras de plátanos cuestan $ 1,89 (costo por libra) 6. Comprar libras de cacacuetes por $,5 (costo por libra) 7. Cortar 1 1 hectáreas de césped en 4 de la hora (hectáreas por hora) 8. Pagar $,89 por 1,7 libras de pollo (costo por libra) 9. peso (g) length (cm) Cuál es el peso por cm? 10. Para la gráfica de la derecha, cuál es la tasa en millas por hora? 11. Si una caja de 100 lápices cuesta $ 4,75, cuánto espera pagar por 5 lápices? 1. Cuando Ambar hace su tarea de matemáticas, ella termina 10 problemas cada 7 minutos. Cuánto tiempo le tomará a ella en completar 5 problemas? Distancia (millas) Tiempo 1. Ben y sus amigos están teniendo un maratón de televisión, y después de 4 horas han visto 5 episodios de la serie. Cuánto tiempo se tardarán en completar la temporada, que cuenta con 4 episodios? 14. El impuesto de un jarrón de $600 es $54. Cuál debería ser el impuesto de un jarrón de $1.700? 116 Conexiones principales, cursos 1

6 Proporciones y Relaciones Proporcionales 15. Utilice la tabla de la derecha para determinar cuánto tiempo tomará el club Spirit en encerar 60 coches. carros d horas Al hornear, Evan descubrió una receta que requiere 1 tazas de nueces por cada 1 tazas de 4 harina. Cuántas tazas de nueces se necesitará para 4 tazas de harina? 17. Basándose en el gráfico, qué sería el costo para rellenar 50 botellas? 18. Sam creció 1 4 pulgadas en 4 1 meses. Cuánto habrá de crecer en un año? 19. Al trotar en la tarde, Chris tardó 4 minutos en correr millas. Cuántas millas puede correr 4 en 60 minutos? 0. Si Caitlin necesita 1 1 latas de pintura para cada cuarto de su casa, cuántas latas de pintura necesitará ella para pintar la casa de 7 cuartos? $ botellas rellenadas 1. Stephen recibe 0 minutos de tiempo de juego de video cada 45 minutos que camina con el perro. Si él quiere 90 minutos de tiempo de juego, cuántas horas tiene que trabajar?. La vid de uva de Sarah creció 15 centímetros en 6 semanas, escriba una ecuación para representar a su crecimiento después de t semanas.. En promedio, Max hace 45 de los 60 tiros con el baloncesto, escriba una ecuación para representar el número promedio de tiros hechos de x intentos. 4. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 17 anterior. Respuestas 1. 4 palabras minuto $ libra 9. gramos 5 centímetros. páginas minuto 6..8 $ libra millas hora..89 $ caja 7. acre hora puntos minuto 8..9 $ libra 11. $ min horas 14. $ horas tazas 17. $ pulg millas latas 1. 8 horas. g = 5 t. s = 4 5. C =.5b x 4. t = 0.09c Guía para padres con práctica adicional 117

7 TARIFAS Y UNIDADES DE TARIFAS Tasa de variación es la relación que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 16 onzas de harina cuestan $ 0.80, entonces el costo por unidad, es decir el costo por una onza, es $ = $0.05. Para más información vea las cajas Apuntes de Matemáticas de la Lección 7.1. del texto Conexiones principales, curso 1, Lección 4..4 del texto Conexiones principales, curso, o Lección 7..5 del texto Conexiones principales, curso. Para ejemplos y prácticas adicionales, consulte los materials de Checkpoint 9 del texto Conexiones principales, curso o los materiales de Checkpoint del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 15 personas. Al mismo ritmo, cuánto arroz se necesitará para 40 personas? 6 La taza es: así que, resuelve 15 = x tazas 15 personas El multiplicador necesario para el Uno Gigante es o. Usar este multiplicador produce 6 15 Tenga en cuenta que la ecuación 6 15 = x 40 = entonces se necesitan 16 tazas de arroz. también se puede resolver utilizando proporciones. Ejemplo Organice estas tasas de menor a mayor: 0 millas en 5 minutos 60 millas en una hora 70 millas en 1 hra Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 0 mi 5 min = x => = 7 60 mi min 60 mi 1 hr = 60 mi 70 mi 60 min 1 = 70 mi hr 100 min = x 60 => = 4 mi min Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 1 hra < 60 millas en una hora < 0 millas en 5 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos expresar cada velocidad como una tasa unitaria: 4 mph, 60 mph, y 7 mph. 118 Conexiones principales, cursos 1

8 Proporciones y Relaciones Proporcionales Ejemplo Un tren en Francia viajó 9 millas en 5 horas. Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? 9 mi = x 5 hr Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de 1 hora, así: 1 hr. Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de 0. o división simple produce x = millas por hora. 0. Problemas Resuelve cada problema a continuación. Explique su método. 1. Balvina sabe que 6 tazas de arroz produce suficiente arroz español para 15 personas. Ella necesita saber cuántas tazas de arroz necesita para alimentar a 15 personas.. Elaine puede plantar 6 flores en 15 minutos. Cuánto tiempo le tomará a plantar 0 flores a la misma velocidad?. Un avión viaja,400 millas en 8 horas. Hasta dónde podría viajar en 6 horas a esta velocidad? 4. Shane anduvo en bicicleta durante horas y viajó 1 millas. A este ritmo, cuánto tiempo le llevará a viajar millas? 5. El coche de Selina utiliza 15.6 galones de gasolina para ir 4 millas. A este ritmo, cuántos galones se necesitaría a ir 480 millas? 6. Organice estos lectores del más rápido al más lento: Abel leyó 50 páginas en 45 minutos, Brian leyó 90 páginas en 75 minutos, y Charlie leyó 175 páginas en horas. 7. Organice estos compradores de almuerzo de el que gasta más a el que gasta menos asumiendo que compran el almuerzo 5 días a la semana: Alice gasta $ por día, Betty gasta $ 5 cada dos semanas, y Cindy gasta $ 75 por mes. 8. Un tren en Japón puede viajar a 81,5 millas en 5 horas. Encuentre la tasa unitaria en millas por hora. 9. Un patinador de hielo cubrió metros en 106 segundos. Encuentre su tasa unitaria en metros por segundo. 10. Una empresa de telefonía celular ofrece un precio de $ por 00 minutos. Encuentre la tarifa unitaria en el costo por minuto. 11. Un auto recorrió 00 millas en 8 galones de gasolina. Encuentre la tasa unitaria de millas por galón y la tasa unitaria de galones por milla. 1. Leo tiene una cadena de sujetapapeles de pies de largo. Él va a agregar sujetapapeles continuamente durante las siguientes ocho horas. Al final de las ocho horas, la cadena es de 80 pies de largo. Encuentre la tasa unitaria de crecimiento en pies por hora. Guía para padres con práctica adicional 119

9 Respuestas tazas. 75 min. 550 millas 4. hra 5. galones 6. C, B, A 7. C, A, B mi/hra m/s 10. $0.10 /min m/g; 1 g/m pies/hra DISTANCIA, FRECUENCIA Y TIEMPO Distancia (d) es igual al producto de la tasa de la velocidad (r) y el tiempo (t). Se muestra esta relación por debajo de tres formas: d = r t r = d t t = d r Es importante que las unidades de medida sean consistentes. Para más información vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección 8.. del texo Conexiones principales, curso 1. Exjemplo 1 Calcule la tasa de velocidad de un coche de pasajeros, si la distancia recorrida es de 57 millas y el tiempo transcurrido es de 11 horas. las = r 5 millas/hora = r taza de velocidad 57 millas 11 horas Ejemplo Encuentre la distancia recorrida por un tren a 15 millas por hora durante 40 minutos. Las unidades de tiempo no son los mismos así que tenemos que cambiar los 40 minutos a horas = hora d = (15 millas/hora)( hora) d = 90 millas 10 Conexiones principales, cursos 1

10 Proporciones y Relaciones Proporcionales Ejemplo La corrida de hámsters de Central Middle School se acerca rápidamente. Fred dijo que su hámster viajó 60 pies en 90 segundos y Wilma dijo que midió el tiempo por un minuto y su hámster viajó 1 yardas. Cuál hámster tiene la tasa más rápida? velocidad = distancia pero todas las mediciones tienen que estar en las mismas unidades. En este tiempo ejemplo, usamos pies y minutos. 60 pies El hámster de Fred: taza de velocidad = 1.5 minutos taza de velocidad = 40 pies/minuto 6 pies El hámster de Wilma: taza de velocidad = 1 minuto taza de velocidad = 6 pies/minuto El hámster de Fred es más rápido. Problemas Resuelve los siguientes problemas. 1. Encuentre el tiempo si la distancia es de 157,5 millas y la velocidad es de 6 mph.. Encuentre la distancia si la velocidad es de 67 millas por hora y el tiempo es de,5 horas.. Encuentre la tarifa si la distancia es de 47 millas y el tiempo es de,8 horas. 4. Encuentre la distancia si la velocidad es de 60 millas por hora y el tiempo es de 1 hora y 45 minutos. 5. Calcule la tasa en mph si la distancia es de,5 millas y el tiempo es de 0 minutos. 6. Encuentre el tiempo en minutos, si la distancia es de millas y la velocidad es de 0 mph. 7. Qué tasa es más rápido? A: 60 pies en 90 segundos, o B: 60 pulgadas de 5 segundos 8. Cuál distancia es más larga? A: 4 pies / segundo durante un minuto o B: pulgadas / min durante una hora 9. Qué tiempo es más corto? A: 4 millas a 60 millas por hora o B: 6 millas a 80 mph Respuestas 1..5 hra. 4.5 mi. 65 mph mi mph 6. 4 min 7. B 8. A 9. A Guía para padres con práctica adicional 11

11 CALCULAR Y UTILIZAR PORCENTAJES Los estudiantes también calculan los porcentajes utilizando la composición y la descomposición, es decir, rompiendo los números en partes, y luego añadiendo o restando los resultados. Este método es particularmente útil para hacer cálculos mentales. Una regla de porcentaje también se utiliza para los problemas cuando se necesita encontrar el porcentaje o la totalidad. Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección 9..4 del texto Conexiones principales, curso 1. Saber los métodos rápidos de calcular el 10% de un número y un 1% de un número le ayudará a calcular otros porcentajes por composición. Utilice el hecho de que 10% = 1 10 y 1% = Ejemplo 1 Para calcular el % de 40, que se puede pensar en (10% de 40) + (1% de 40). 10% de of 40 = 4 y 1% of 40 1 de 40 = 0.4 así 100 % de 40 (4) + (0.4) = 1.8 Ejemplo Para calcular 9% de 750, se puede pensar en 10% of 750 1% de % de of 750 = 75 y 1% of of 750 = 7.5 así que 100 9% de = 67.5 Otros porcentajes comunes, tales como 50% = 1, 5% = 1 4, 75% = 4, 0% = 1 5 puede utilizar. también se Los estudiantes también utilizan una regla de porcentaje para encontrar las piezas que faltan en problemas de porcentaje. Ejemplo Jana ahorró $ 7.50 del precio original de un suéter cuando estaba en oferta con un 0% de descuento. Cuál era el precio original del suéter? $0 $7.50? 0% 10% 0% 0% 100% Si cada 0% es $7.50, las cuatro otras partes de 0% ( ) indican que100% es $ Conexiones principales, cursos 1

12 Proporciones y Relaciones Proporcionales Ejemplo 4 Para calcular el 17% de 1,4 convirta el porcentaje a un decimal y luego use el cálculo directo con la mano o con una calculadora. 17% de (1.4) 0.17(1.4) = Problemas Resuelva cada problema sin calculadora. Muestre su trabajo o el razonamiento. 1. Cuál es el % de 60?. Cuál es el 9% de 500?. Cuál es el 41% de 8? 4. Cuál es el 8% de 65? es el 0% de qué número? 6. $ 1.50 es el 5% de qué cantidad? qué % de 80? 8. Cuál es el 15% de? 9. Qué porcentaje es 16 de los 0? 10. $ 10 es qué porcentaje de 5 dólares? 11. 0% de qué número es 7? 1. 15% de qué número es 4? Calcule por cualquier método. Redondea a la centésima más cercana según corresponda % de 15,8 14. % de 4, % de % de % de % de $ % de $ ,5% de $ ,65% de $ 10, % de % de 45, % de $ % de 6.,5% de ,6% de 450 Respuestas $ % % % $ $ $48 1. $ $ Guía para padres con práctica adicional 1

13 PROBLEMAS DE PORCENTAJE USANDO DIAGRAMAS Una variedad de problemas de porcentajes descritos en palabras implica la relación entre el por ciento, la parte y el todo. parte del total total Cuando esto se representa mediante una recta numérica, las soluciones se pueden encontrar utilizando el razonamiento lógico o fracciones equivalentes (proporciones). Estos modelos lineales pueden tener un parte de 100% aspecto como el diagrama de la derecha. Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección 5.1. del texto Conexiones principales, curso. 100% Ejemplo 1 Sam s Discount Tires anuncia un neumático que originalmente cuesta $ 50 a la venta por $ 5. Cuál es el porcentaje de descuento? Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha: parte del total parte de 100% $15 off $50 neumático? % 100% En esta situación, es fácil pensar que ya que el total de número de porcentaje (100%) es el doble del total del número de costo ($ 50), el número de porcentaje ahorrado es el doble del número de costo ahorrado y por lo tanto es un descuento del 0%. El problema también puede ser resuelto utilizando una proporción =? 100. total Ejemplo M Martin recibió 808 votos a la alcaldía de Smallville. Si este fue el % del total de votos emitidos, cuántas personas votaron por el alcalde de Smallville? Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha: parte del total parte de 100% 808 votes? número de votos % 100% En este caso, es mejor escribir un par de fracciones equivalentes como una proporción: 808 = x 100 Se se utiliza el Uno Gigante, el multiplicador es 100 = así que = Un total de 5 personas votaron para el alcalde de Smallville. Tenga en cuenta que la proporción en este problema también podría ser resuelto utilizando la multiplicación cruzada. total 14 Conexiones principales, cursos 1

14 Proporciones y Relaciones Proporcionales Problemas Utilice un diagrama para resolver cada uno de los siguientes problemas. 1. La prueba de Inglés de Sarah tenía 90 preguntas y ella contestó 18 preguntas incorrectamente. Qué porcentaje de las preguntas contestó ella correctamente?. Los pantalones cargo que se venden regularmente por $ 6 se ofrecen a un descuento de 0%. Cuánto es el descuento?. La cuenta para una estancia en un hotel fue $188 dólares incluyendo $ 15 de impuestos. Qué porcentaje de la factura fue el impuesto? 4. Alicia contestó 60 preguntas bien en su examen de ciencias. Si recibió una puntuación de 75%, cuántas preguntas había en el examen? 5. Los zapatos de baloncesto están en oferta para el % de descuento. Cuál es el precio normal, si el precio de venta está a $ 4? 6. Sergio sacó 80% en su examen de matemáticas. Si respondió correctamente a 4 preguntas, cuántas preguntas había en el examen? 7. Un abrigo de $ 65 está en oferta por $ 5. Qué porcentaje de descuento se le da? 8. Ellen compró pantalones cortos de fútbol a la venta por $ 6 de descuento del precio regular de $ 40. Qué porcentaje ahorró? 9. De acuerdo con las reglas escolares, Carol tiene que convencer a un 60% de sus compañeros de clase a votar por ella con el fin de ser elegida presidente de la clase. Hay estudiantes en su clase. Cuántos estudiantes hay que convencer? 10. Un suéter que se vendía regularmente por $ 5 está en oferta a un descuento 0% de. Cuál es el precio de venta? 11. Jody encontró un par de sandalias de $88 marcado con 0% de descuento. Cuál es el valor monetario del descuento? 1. Ly obtuvo el 90% en una prueba. Si respondió a 15 preguntas correctamente, cuántas preguntas había en el examen? 1. Para el final de temporada de lucha libre, Mighty Max había bajado siete libras y ahora pesa 18 libras. Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso inicial? 14. George tiene 45 tarjetas en su colección de tarjetas de béisbol. De ellas, 85 de las tarjetas son los lanzadores. Qué porcentaje de las tarjetas son los lanzadores? 15. Julio compró zapatos de fútbol a un descuento de 5% en una oferta y ahorró $ 4. Cuál fue el precio original de los zapatos? Respuestas 1. 80%. $ más o menos 8% preguntas 5. $ preguntas 7. 0% 8. 15% 9. 0 estudiantes 10. $ $ preguntas 1. más o menos 5% 14. más o menos 5% 15. $10 Guía para padres con práctica adicional 15

15 AMPLIACIÓN PARA RESOLVER POR CIENTO Y OTROS PROBLEMAS Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir las cifras además de aumentar y disminuir la cantidad. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades y longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Recordemos que un recíproco es la inversa multiplicativa de un número, es decir, el producto de los dos números es 1. Por ejemplo, el recíproco de es, 1 es 1, y 5 es 1 5. Calcular la escala también puede ser utilizado con problemas porcentuales cuando se aumenta o disminuye una cantidad por un cierto porcentaje. La escala por un factor de 1 no cambia la cantidad. El aumento por un porcentaje determinado puede encontrarse multiplicando por (1 + el por ciento) y una reducción de un cierto porcentaje se puede encontrar multiplicando por (1 el por ciento). Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 El gran triángulo de la derecha se redujo en un factor de escala de para crear un triángulo semejante. Si el lado marcado x ahora 5 tiene una longitud de 80 en la nueva figura, qué fue la longitud original? Para deshacer la reducción, multiplique 80 por el recíproco de 5, a saber 5, o divida 80' por ' 5 es igual a 80 ' 5, así que x = 00'. x 5 80' Ejemplo Solucione: x = 1 Método 1: Use división y el Uno Gigante x = 1 16 x = 1 x = 1 = 1 = 6 = 6 = 18 Método : Use recíprocos x = 1 ( )= ( 1) x x = 18 Conexiones principales, cursos 1

16 Proporciones y Relaciones Proporcionales Ejemplo Samantha quiere dejar una propina del 15% en su factura de la comida de $ Qué factor de escala se debe utilizar y cuánto dinero debe dejar ella como propina? Como dejar una propina aumenta el total, el factor de escala es (1 + 15%) = Ella debe dejar (1.15)(1.50) = $14.8 o más o menos $ Ejemplo 4 Carlos ve que todos los DVD's están en oferta a un 40% de descuento. Si el precio normal de un DVD es $ 4,95, qué es el factor de escala y cuánto es el precio de venta? Si los artículos son reducidos un 40%, el factor de escala es (1 40%) = El precio de venta es (0.60)(4.95) = $ Problemas 1. Un rectángulo fue aumentado por un factor de escala de 5 Cuál era la anchura original? y la nueva anchura es de 40 cm.. Un lado de un triángulo se redujo por un factor de escala de. Si la nueva parte es ahora 18 pulgadas, qué medía el lado original?. El factor de escala utilizado para crear el diseño para un patio trasero es de pulgadas por cada 75 pies ( ). Si en el diseño, el pozo de fuego es de 6 pulgadas de distancia de la 75 casa, a qué distancia de la casa, en pies, se debe cavar el pozo de fuego? 4. Después de un año muy exitoso, Cheap-Rentals elevó los sueldos por un factor de escala de. Si Luan ahora gana $ 14.0 por hora, qué ganaba ella antes? Resuleva: 4 x = Resuleva: 5 x = 4 7. Resuleva: 5 y = Resuleva: 8 m = 6 9. Cuál es el costo total de una cena de $ 9.50 después de agregar una propina de 0%? 10. Si el costo actual de asistir el parque Magicland es $ 9.50 por persona, cuál será el costo después de un aumento del 8%? 11. Abrigos de invierno están en liquidación a un descuento de 60%. Si el precio regular es $79, cuál es el precio de venta? 1. El presidente de la compañía ha ofrecido reducir su sueldo un 10% para reducir los gastos. Si ella ahora gana dólares, qué será su nuevo sueldo? Guía para padres con práctica adicional 17

17 Respuestas cm. 7 pulgadas pies 4. $ $ $ $ $157,500 POR CIENTO DE AUMENTO O DISMINUCIÓN Un porcentaje de aumento es la cantidad que la cantidad ha aumentado en base a un porcentaje de la cantidad original. Un porcentaje de disminución es la cantidad que la cantidad se ha reducido en base a un porcentaje de la cantidad original. Una ecuación que representa esta situación es: Cantidad de aumento o disminución = (% cambio)(cantidad original) Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección del texo Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 La población de un pueblo creció desde hasta 7.46 en cinco años. Cuál fue el porcentaje de aumento de la población? Reste para encontrar el cambio: = 5547 Ponga los números conocidos en la ecuación: 5547 = (x)(1879) El factor de escala se convierte en x, lo desconocido: = x Divida: x = Cambie a porcentaje: x = 95.% La población aumentó un 95.%. Ejemplo Un luchador de sumo se retiró de la lucha de sumo y se puso a dieta. Cuando se retiró, él pesó 85 libras. Después de dos años pesaba 8 libras. Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso? Reste para encontrar el cambio: 85 8 = 147 Ponga los números conocidos en la ecuación: 147 = (x)(85) El factor de escala se convierte en x, lo desconocido = x Divida: x = Cambie a porcentaje: x 8.% Su peso disminuyó aproximadamente 8. %. Conexiones principales, cursos 1

18 Proporciones y Relaciones Proporcionales Problemas Resuelva los siguientes problemas. 1. Hace cuarenta años la gasolina costaba $ 0.0 por galón en promedio. Hace diez años la gasolina promedió alrededor de $ 1.50 por galón. Cuál es el porcentaje de aumento en el costo de la gasolina?. Cuando Spencer tenía 5 años, medía 8 pulgadas de alto. Hoy mide 5 pies y pulgadas de altura. Cuál es el porcentaje de aumento de la altura de Spencer?. Los coches de los 1900 costaban $ 500. Hoy un coche nuevo cuesta un promedio de $ Cuál es el por ciento de aumento del costo de un automóvil? 4. La población de los EE.UU en el primer censo en 1790 fue.99 personas. Para el año 000 la población había aumentado a 84 millones. Cuál es el porcentaje de aumento de la población? 5. En 000 la tasa de una estampilla de correos de primera clase en EE.UU aumentó a $ 0,4. Esto representa un aumento de 0,1 dólares desde Cuál es el porcentaje de incremento en el costo a partir de 1917? 6. En 1906 los estadounidenses consumieron un promedio de 6,85 litros de leche por año. En 1998 el consumo promedio fue de 8. galones. Cuál es el porcentaje de reducción en el consumo de leche? 7. En 1984 había 15 estudiantes por cada computadora en las escuelas públicas de Estados Unidos. En 1998 había 6,1 alumnos por cada computadora. Cuál es el porcentaje de disminución de la proporción de estudiantes a las computadoras? 8. Sara compró un vestido en oferta por $ 0. Ella ahorró un 45%. Cuál fue el costo original? 9. Pat estaba de compras y encontró una chaqueta con el precio original de $10 en oferta por $9.99. Cuál fue el porcentaje de disminución en el costo? 10. El precio de un par de pantalones se redujo de $49.99 a $ Cuál fue el porcentaje de disminución en el precio? Respuestas %. 15%. 500% 4. 7,8,0.4% % % % 8. $ % % Guía para padres con práctica adicional 19

19 INTERESES SIMPLES Y COMPUESTOS En curso estudiantes son introducidos a un interés simple, el interés se paga sólo sobre el importe inicial invertido. La fórmula para el interés simple es: I = Prt y el monto total incluyendo intereses sería: A = P + I. En curso, los estudiantes son introducidos al interés compuesto con la fórmula: A = P(1 + r) n. El interés compuesto se paga tanto en el importe inicial invertido y el interés ganado con anterioridad. Tenga en cuenta que en estas fórmulas, P = capital (importe invertido), r = tasa de interés, t y n ambos representan el número de períodos de tiempo para el que se calcula la cantidad total A y I = intereses devengados. Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección del texto Conexiones principales, curso o Lección 8.1. del texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 Wayne gana 5.% de interés simple durante 5 años en $,000. Cuánto interés es lo que gana y cuál es la cantidad total de la cuenta? Ponga los números en la fórmula I = Prt. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. Añada principal e intereses. I = 000(5.%)5 = 000(0.05)5 = 795 Wayne ganaría $795 en intereses $000 + $795 = $795 en la cuenta Ejemplo Use los números en el ejemplo 1 para encontrar la cantidad de dinero que Wayne tendría si se ganó el interés de 5,% anual compuesto. Ponga los números en la fórmula A = P(1 + r) n. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. Wayne tendría $ A = 000(1 + 5.%) 5 = 000( ) 5 or 000(1.05) 5 = Se les pide a los alumnos que comparen la diferencia en las ganancias cuando una cantidad se está ganando el interés simple o compuesto. En estos ejemplos, Wayne tendría $ más con el interés compuesto que iba a tener con el interés simple: $88.86 $795 = $ Conexiones principales, cursos 1

20 Proporciones y Relaciones Proporcionales Problemas Resuelva los siguientes problemas. 1. Tong le prestó $50 a Jody por un mes. Le cobró 5% de interés simple para el mes. Cuánto dinero tiene Jody que pagarle a Tong?. Los abuelos de Jessica le dieron $.000 para la universidad para poner en una cuenta de ahorros hasta que ella empiece la universidad en cuatro años. Sus abuelos accedieron a pagarle un 7,5% de interés simple adicional en los $.000 dólares por cada año. Cuánto dinero adicional tendrán que darle sus abuelos al final de cuatro años?. David leyó un anuncio ofreciendo 8 % de interés simple en cuentas que tiene más que 4 $500 por un mínimo de 5 años. Él tiene $500 y piensa que esto parece un buen negocio. Cuánto dinero se gana en los 5 años? 4. Los padres de Javier invirtieron una cantidad de dinero cuando él nació. Se ganaron 4.5% de interés simple sobre ese dinero cada año. Cuando Javier tenía 15 años, la cuenta tenía un total de $ 1,01.50 de intereses pagados. Cuánto invirtieron los padres de Javier cuando nació? 5. Kristina recibió $15 para su cumpleaños. Sus padres le ofrecieron pagarle,5% de interés simple anual si ella los ahorrara por lo menos durante un año. Qué interés podría ganar Kristina? 6. Kristina decidió que sería mejor si ella pusiera su dinero en el banco, que pagan intereses de.8% compuesto anualmente. Tenía razón? 7. Supongamos que Jessica (del problema ) hubiera puesto sus $000 en el banco a un interés del,5% anual compuesto. Cuánto dinero le habría ganado allí después de 4 años? 8. Mai puso $4.50 en el banco a un interés de 4,4% anual compuesto. Cuánto había en su cuenta después de 7 años? 9. Cuál es la diferencia en la cantidad de dinero en el banco después de cinco años, si se invierte.500 dólares a un interés del,% anual compuesto, o con un interés del,9% anual compuesto? 10. Ronna estaba escuchando a sus padres hablar de que tan buena oferta el interés compuesto era para una cuenta de jubilación. Se preguntó cuánto dinero tendría si ella invirtiera $000 a los 0 años en el,8% de interés compuesto trimestralmente (cuatro veces al año) y lo dejara hasta que llegara a los 65 años. Determine el valor que la capital original de $000 tendría. Guía para padres con práctica adicional 11

21 Respuestas 1. I = 50(0.05)1 = $.50; Jody pagó $ I = 000(0.075)4 = $600. I = $500(0.0875)5 = $ $ = x(0.045)15; x = $ I = 15(0.05)1 = $ A = 15( ) 1 = $18.50; No, por un año ella necesita tomar la tasa de interés más alta si se compone anualmente. Sólo después de un año de interés simple ganará más componiéndola. 7. A = 000( ) 4 = $ A = 450( ) 7 = $ A = 500( ) 5 500( ) 5 = $96.4 $ = $ A = 000( ) 180 (porque 45 4 = 180 cuartos) = $88, Conexiones principales, cursos 1

22 Proporciones y Relaciones Proporcionales LA INCLINACION La inclinación de una línea es la relación entre el cambio en y al el cambio en x entre dos puntos cualesquiera de una línea. La inclinación indica que tan empinada (o plana) una línea, así como su dirección (arriba o abajo) de izquierda a derecha. cambio vertical La inclinación se determina por la relación entre dos puntos cualesquiera en cambio horizontal una línea. Para las líneas que van hacia arriba (de izquierda a derecha), el signo de la pendiente es positiva (el cambio en y es positivo). Para las líneas que van hacia abajo (de izquierda a derecha), el signo de la pendiente es negativa (el cambio es y es negativo). Una línea horizontal tiene pendiente cero, mientras que la pendiente de una línea vertical no está definida. Para más información, vea la caja de Apuntes de Matemáticas en la Lección 7..4 en el texto Conexiones principales, curso. Ejemplo 1 Escriba la inclinación de la línea que contiene los puntos ( 1, ) y (4, 5). Primero grafique los dos puntos y dibuje la línea a través de ellos. y ( 4, 5) Busque y dibuje un triángulo de pendiente usando los dos puntos dados. Escriba la relación triángulo rectángulo: 5. cambio vertical en y cambio horizontal en x usando las piernas del ( 1, ) 5 x Asigne un valor positivo o negativo a la pendiente (éste es positivo), dependiendo de si la línea va hacia arriba (+) o hacia abajo (-) de izquierda a derecha. Ejemplo y Si los puntos no son convenientes para graficar, utilice un "triángulo de pendiente genérico," visualizando donde los puntos se encuentran con respecto a la otra. Por ejemplo, encuentre la inclinación de la línea que contiene los puntos ( 1, 1) y (17, 4), trace la gráfica de la derecha para aproximarse a la posición de los dos puntos, dibuje un triángulo de pendiente, encuentre la longitud de la pierna de cada triángulo, y escriba la relación y x = 16, luego simplifique. La 8 inclinación es 8 ya que el cambio en y es negativo 19 (disminuyendo). ( 1, 1) x (17, 4) Guía para padres con práctica adicional

23 Problemas Escriba el pendiente de la línea que contiene cada par de puntos. 1. (, 4) y (5, 7). (5, ) y (9, 4). (1, ) y ( 4, 7) 4. (, 1) y (, ) 5. (, ) y (4, ) 6. (, 1) y (1, 0) Determine el pendiente de cada línea utilizando los puntos resaltados. 7. y 8. y 9. y x x x Respuestas Conexiones principales, cursos 1