DISTANCIA, TASA Y TIEMPO 7.1.1

Transcripción

1 DISTANCIA, TASA Y TIEMPO Distancia (d) es igual al producto de la tasa de la velocidad (r) y el tiempo (t). Se muestra esta relación a continuación de tres formas: d = r t r = d t t = d r Es importante que las unidades de medida sean consistentes. Ejemplo 1 Halle la tasa de un coche de pasajeros, si la distancia recorrida es de 57 millas y el tiempo transcurrido es de 11 horas. 57 millas = r 11 millas 57 millas 11 horas = r 5 millas/hora = tasa Ejemplo Halle la distancia recorrida por un tren a 15 millas por hora durante 40 minutos. Las unidades de tiempo no son los mismos así que tenemos que cambiar los 40 minutos a horas = hora. d = (15 millas/hora)( hora) d = 90 millas Ejemplo La corrida de hámsters de Central Middle School se acerca rápidamente. Fred dijo que su hámster viajó 60 pies en 90 segundos y Wilma dijo que midió el tiempo por un minuto y su hámster viajó 1 yardas. Cuál hámster tiene la tasa más rápida? tasa = distancia pero todas las mediciones tienen que estar en las mismas unidades. En este tiempo ejemplo, usamos pies y minutos. El hámster de Fred: tasa = El hámster de Wilma: tasa = El hámster de Fred es más rápido. 60 pies 1.5 minutos tasa = 40 pies/minuto 6 pies 1 minuto tasa = 6 pies/minuto 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

2 Problemas Resuelve los siguientes problemas. 1. Halle el tiempo si la distancia es de millas y la velocidad es de 6 mph.. Halle la distancia si la velocidad es de 67 mph y el tiempo es de.5 horas.. Halle la tasa si la distancia es de 47 millas y el tiempo es de.8 horas. 4. Halle la distancia si la velocidad es de 60 mph y el tiempo es de 1 hora y 45 minutos. 5. Halle la tasa en mph si la distancia es de.5 millas y el tiempo es de 0 minutos. 6. Halle el tiempo en minutos si la distancia es de millas y la velocidad es de 0 mph. 7. Qué tasa es más rápido? A: 60 pies en 90 segundos o B: 60 pulgadas de 5 segundos 8. Cuál distancia es más larga? A: 4 pies/segundo durante un minuto o B: pulgadas/minuto durante una hora 9. Qué tiempo es más corto? A: 4 millas a 60 mph o B: 6 millas a 80 mph Respuestas 1..5 hora. 4.5 mi. 65 mph mi mph 6. 4 min 7. B 8. A 9. A 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

3 USO DE ESCALAS PARA RESOLVER POR CIENTO Y OTROS PROBLEMAS 7.1. y 7.1. Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir figuras además de aumentar y disminuir cantidades. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades y longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Recuerde que un recíproco es la inversa multiplicativa de un número, es decir, el producto de los dos números es 1. Por ejemplo, el recíproco de es, 1 es 1 y 5 es 1 5. Calcular la escala también puede ser utilizado con problemas porcentuales cuando se aumenta o disminuye una cantidad por un cierto porcentaje. Usar un factor de escala de 1 no cambia la cantidad. El aumento por un porcentaje determinado puede encontrarse multiplicando por (1 + el por ciento) y una reducción de un cierto porcentaje se puede encontrar multiplicando por (1 el por ciento). Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo 1 El gran triángulo de la derecha se redujo en un factor de escala de para crear un triángulo semejante. Si el lado marcado x ahora 5 tiene una longitud de 80' en la nueva figura, qué fue la longitud original? Para deshacer la reducción, multiplique 80' por el recíproco de 5, a saber 5, o divida 80' por 5. Ejemplo 80' 5 es igual a 80' 5, así que x = 00'. Resuelva: x = 1 x 80' Método 1: Use división y el Uno Gigante x = 1 x = 1 x = 1 = 1 = 6 = 6 = 18 Método : Use recíprocos x = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso ( ) = 1 x x = 18 ( )

4 Ejemplo Samantha quiere dejar una propina del 15% en su factura de la comida de $1.50. Qué factor de escala se debe utilizar y cuánto dinero debe dejar ella como propina? Como dejar una propina aumenta el total, el factor de escala es (1 + 15%) = Ella debe dejar (1.15)(1.50) = $14.8 o más o menos $ Ejemplo 4 Carlos ve que todos los DVD s están en oferta a un 40% de descuento. Si el precio normal de un DVD es $4.95, qué es el factor de escala y cuánto es el precio de venta? Si los artículos son reducidos un 40%, el factor de escala es (1 40%) = El precio de venta es (0.60)(4.95) = $ Problemas 1. Un rectángulo fue aumentado por un factor de escala de 5 Cuál era el ancho original? y el nuevo ancho es de 40 cm.. Un lado de un triángulo se redujo por un factor de escala de. Si el nuevo lado es ahora 18 pulgadas, qué medía el lado original?. El factor de escala utilizado para crear el diseño para un patio trasero es de pulgadas por cada 75 pies ( ). Si en el diseño, el pozo de fuego es de 6 pulgadas de distancia de la 75 casa, a qué distancia de la casa, en pies, se debe cavar el pozo de fuego? 4. Después de un año muy exitoso, Cheap-Rentals elevó los sueldos por un factor de escala de. Si Luan ahora gana $14.0 por hora, qué ganaba ella antes? Resuelva: 4 x = Resuelva: 5 x = 4 7. Resuelva: 5 y = Resuelva: 8 m = 6 9. Cuál es el costo total de una cena de $9.50 después de agregar una propina de 0%? 10. Si el costo actual de asistir el parque Magicland es $9.50 por persona, cuál será el costo después de un aumento del 8%? 11. Abrigos de invierno están en liquidación a un descuento de 60%. Si el precio regular es $79, cuál es el precio de venta? 1. El presidente de la compañía ha ofrecido reducir su sueldo un 10% para reducir los gastos. Si ella ahora gana $175,000, qué será su nuevo sueldo? 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

5 Respuestas cm. 7 pulgadas pies 4. $ $ $ $ $157, CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

6 ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir figuras además de aumentar y disminuir cantidades. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades o longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones de un paso con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Para quitar fracciones en ecuaciones más complicadas los estudiantes usan el método de Rompe fracciones. Multiplicando todos los términos de una ecuación por el denominador común quitará todas las fracciones de la ecuación. Después la ecuación se puede resolver de la manera normal. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo de una ecuación de un paso Resuelva: x = 1 Método 1: Use división y denominadores comunes x = 1 x = 1 x = 1 = 1 = 6 = 6 = 18 Método : Use recíprocos x = 1 ( ) = 1 x x = 18 ( ) Ejemplo de Rompe fracciones Resuelva: x + 5 x = 6 Multiplicando por 10 (el denominador común) eliminará las fracciones. 10( x + 5 x ) = 10(6) 10( x ) +10( 5 x ) = 10(6) 5x + x = 60 7x = 60 x = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

7 Problemas Resuelva cada ecuación x = x = 4. 5 y = m = 6 5. x+1 = 5 6. x x 5 = 7. y+7 = y 5 8. m m 5 = x = 10. x + x 5 = x x = 4 1. x 5 + x 1 = 4 Respuestas 1. x = 80. x = 105. y = m = y = 6. x =.5 7. y = m = 9. x = x = x = x = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

8 POR CIENTO DE AUMENTO O DISMINUCIÓN Un porcentaje de aumento es la cantidad que la cantidad ha aumentado en base a un porcentaje de la cantidad original. Un porcentaje de disminución es la cantidad que la cantidad se ha reducido en base a un porcentaje de la cantidad original. Una ecuación que representa esta situación es: cantidad de aumento o disminución = (% cambio)(cantidad original) Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo 1 La población de un pueblo creció desde 1879 hasta 746 en cinco años. Cuál fue el porcentaje de aumento de la población? Reste para encontrar el cambio: = 5547 Ponga los números conocidos en la ecuación: 5547 = (x)(1879) El factor de escala se convierte en x, lo desconocido: = x Divida: x = Cambie a porcentaje: x 95.% La población aumentó aproximadamente 95.%. Ejemplo Un luchador de sumo se retiró de la lucha de sumo y se puso a dieta. Cuando se retiró, él pesó 85 libras. Después de dos años pesaba 8 libras. Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso? Reste para encontrar el cambio: 85 8 = 147 Ponga los números conocidos en la ecuación: 147 = (x)(85) El factor de escala se convierte en x, lo desconocido: = x Divida: x = Cambie a porcentaje: x 8.% Su peso disminuyó aproximadamente 8.%. 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

9 Problemas Resuelva los siguientes problemas. 1. Hace cuarenta años la gasolina costaba $0.0 por galón en promedio. Hace diez años la gasolina promedió alrededor de $1.50 por galón. Cuál es el porcentaje de aumento en el costo de la gasolina?. Cuando Spencer tenía 5 años, medía 8 pulgadas de alto. Hoy mide 5 pies y pulgadas de altura. Cuál es el porcentaje de aumento de la altura de Spencer?. Los coches de los 1900 costaban $500. Hoy un coche nuevo cuesta un promedio de $7,000. Cuál es el por ciento de aumento del costo de un automóvil? 4. La población de los EE.UU. en el primer censo en 1790 fue,99 personas. Para el año 000 la población había aumentado a 84,000,000. Cuál es el porcentaje de aumento de la población? 5. En 000 la tasa de una estampilla de correos de primera clase en EE.UU. aumentó a $0.4. Esto representa un aumento de $0.1 desde Cuál es el porcentaje de incremento en el costo a partir de 1917? 6. En 1906 los estadounidenses consumieron un promedio de 6.85 galones de leche por año. En 1998 el consumo promedio fue de 8. galones. Cuál es el porcentaje de reducción en el consumo de leche? 7. En 1984 había 15 estudiantes por cada computadora en las escuelas públicas de Estados Unidos. En 1998 había 6.1 estudiantes por cada computadora. Cuál es el porcentaje de disminución de la razón de estudiantes a las computadoras? 8. Sara compró un vestido en oferta por $0. Ella ahorró un 45%. Cuál fue el costo original? 9. Pat estaba de compras y encontró una chaqueta con el precio original de $10 en oferta por $9.99. Cuál fue el porcentaje de disminución en el costo? 10. El precio de un par de pantalones se redujo de $49.99 a $ Cuál fue el porcentaje de disminución en el precio? Respuestas %. 15%. 500% 4. 7,8,0.4% % % % 8. $ % % 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

10 INTERÉS SIMPLE En Curso estudiantes son introducidos a un interés simple, el interés se paga sólo sobre el importe inicial invertido. La fórmula para el interés simple es: I = Prt y el cantidad total incluyendo interés sería: A = P + I. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo Wayne gana 5.% de interés simple durante 5 años en $000. Cuánto interés es lo que gana y cuál es la cantidad total de la cuenta? Ponga los números en la fórmula I = Prt. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. Añada principal e interés. I = 000(5.%)5 = 000(0.05)5 = 795 Wayne ganaría $795 en intereses $000 + $795 = $795 en la cuenta Problemas Resuelva los siguientes problemas. 1. Tong le prestó $50 a Jody por un mes. Le cobró 5% de interés simple para el mes. Cuánto dinero tiene Jody que pagarle a Tong?. Los abuelos de Jessica le dieron $000 para la universidad para poner en una cuenta de ahorros hasta que ella empiece la universidad en cuatro años. Sus abuelos accedieron a pagarle un 7.5% de interés simple adicional en los $000 por cada año. Cuánto dinero adicional tendrán que darle sus abuelos al final de cuatro años?. David leyó un anuncio ofreciendo 8 4 % de interés simple en cuentas que tiene más que $500 por un mínimo de 5 años. Él tiene $500 y piensa que esto parece un buen negocio. Cuánto dinero se gana en los 5 años? 4. Los padres de Javier invirtieron una cantidad de dinero cuando él nació. Se ganaron 4.5% de interés simple sobre ese dinero cada año. Cuando Javier tenía 15 años, la cuenta tenía un total de $ de interés pagado. Cuánto invirtieron los padres de Javier cuando nació? 5. Kristina recibió $15 para su cumpleaños. Sus padres le ofrecieron pagarle.5% de interés simple anual si ella los ahorrara por lo menos durante un año. Qué interés podría ganar Kristina? 014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

11 Respuestas 1. I = 50(0.05)1 = $.50; Jody pagó $ I = 000(0.075)4 = $600. I = $500(0.0875)5 = $ $ = x(0.045)15; x = $ I = 15(0.05)1 = $ CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

12 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LOS DATOS AM de 7.1 Los estudiantes representan distribuciones de datos numéricos de una variable utilizando diagramas de puntos, diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja e histogramas. Representan datos categóricos de una variable en gráficas de barras. Cada representación se comunica la información de una manera ligeramente diferente. DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Un diagrama de tallo y hojas es una manera de mostrar los datos que muestra los valores individuales de un conjunto de datos y cómo se distribuyen los valores. La parte de tallo del diagrama representa todos los dígitos, excepto el último. La parte de hoja del diagrama representa el último dígito de cada número. Lea más acerca de diagramas de tallo y hojas, y cómo se comparan con diagramas de puntos e histogramas, en el recuadro de Apuntes de matemáticas de las Lección del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo 1 Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 4, 1, 7, 44, 8, 9, 4, 4, 4, 4, 5 y Ejemplo Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 9, 8, 80, 9, 78, 75, 95, 77 y Problemas Haga un diagrama de tallo y hoja de cada conjunto de datos. 1. 9, 8, 4, 0,, 6, 18 y 4.. 5, 4, 7, 5, 19, 1, 4 y , 89, 79, 84, 95, 79, 89, 67, 8, 76, 9, 89, 81 y , 104, 101, 111, 100, 107, 11, 118, 11, 101, 108, 109, 105, 10 y 91. Respuestas CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso