ECUACIONES CON MÚLTIPLES VARIABLES Ejemplo 2. Ejemplo 4

Transcripción

1 ECUACIONES CON MÚLTIPLES VARIABLES Resolviendo ecuaciones con más de un variable se usa el mismo proceso que cuando se resuelve una ecuación con una variable. La única diferencia es que en lugar de que la respuesta siempre sea un número, puede ser una expresión que incluya números y variables. Los pasos típicos pueden incluir: remover las paréntesis, simplificar, combinar términos semejantes, remover los variables deseados a un lado de la ecuación y el resto de los variables al otro lado y posiblemente dividir o multiplicar. Ejemplo 1 Ejemplo Resuelva para y Reste x Divida por Simplifique x y = 6 y = x + 6 y = x+6 y = x Resuelva para y Reste 7 Distribuye el Reste x Divida por Simplifique 7 + (x + y) = 11 (x + y) = 4 x + y = 4 y = x + 4 y = x+4 y = x + Ejemplo Ejemplo 4 Resuelva para x y = x 4 Sume 4 y + 4 = x y+4 Divida por = x Resuelva para t Divida por pr I = prt I pr = t Problemas Resuelva cada ecuación para el variable específico. 1. y en 5x + y = 15. x en 5x + y = 15. w en l + w = P 4. m en 4n = m 1 5. a en a + b = c 6. a en b a = c 7. p en 6 (q p) = 4p 8. x en y = 1 x r en 4(r s) = r 5s 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

2 Respuestas (Otras formas equivalentes son posibles.) 1. y = 5 x + 5. x = 5 y +. w = l + P 4. m = 4n+1 5. a = c b 6. a = c b 7. p = q 8. x = 4y 4 9. r = 7s or b c 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

3 ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS 5.1. Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir figuras además de aumentar y disminuir cantidades. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades o longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones de un paso con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Para quitar fracciones en ecuaciones más complicadas los estudiantes usan el método de Rompe fracciones. Multiplicando todos los términos de una ecuación por el denominador común quitará todas las fracciones de la ecuación. Después la ecuación se puede resolver de la manera normal. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5..1 del texto Core Connections en español, Curso. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 7 de Core Connections en español, Curso. Ejemplo de una ecuación de un paso Resuelva: x = 1 Método 1: Use división y denominadores comunes x = 1 x = 1 x = 1 = 1 = 6 = 6 = 18 Método : Use recíprocos x = 1 ( ) = 1 x x = 18 ( ) Ejemplo de Rompe fracciones Resuelva: x + 5 x = 6 Multiplicando por 10 (el denominador común) eliminará las fracciones. 10( x + 5 x ) = 10(6) 10( x ) +10( 5 x ) = 10(6) 5x + x = 60 7x = 60 x = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

4 Problemas Resuelva cada ecuación x = x = 4. 5 y = m = 6 5. x+1 = 5 6. x x 5 = 7. y+7 = y 5 8. m m 5 = x = 10. x + x 5 = x x = 4 1. x 5 + x 1 = 4 Respuestas 1. x = 80. x = 105. y = m = y = 6. x =.5 7. y = m = 9. x = x = x = x = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Dos rectas en una cuadrícula de coordenadas xy se conoce como un sistema de ecuaciones lineales. Se intersectan en un punto, a menos que sean paralelas o las ecuaciones sean diferentes formas de la misma línea. El punto de intersección es el único par de valores (x, y) que harán las dos ecuaciones verdaderas. Una manera de encontrar el punto de intersección es graficar las dos rectas. Sin embargo graficando los dos es una de perdición de tiempo y en muchos casos, no exacta por que el resultado podría ser sola una cerca aproximación de las coordenadas. Cuando dos ecuaciones lineales están escritas para igualar a y (en general, la forma es y = mx + b), nosotros podríamos tomar ventaja de que los dos valores y son los mismos (de igual valor) en el punto de intersección. Por ejemplo, si dos rectas están descritas por las ecuaciones y = x + 5 e y = x 1, y sabemos que los dos valores de y son iguales, entonces los otro dos lados de la ecuación tendrían que ser iguales. Decimos que los dos lados derechos de estas ecuaciones tiene valores iguales en el punto de intersección y escriba x + 5 = x 1, para que el resultado se vea como el trabajo que hicimos en los Tableros de ecuaciones. Podemos resolver esta ecuación en la manera usual y encontrar que x =. Ahora sabemos el coordenada x de la punto de intersección. Ya que este valor es igual en las dos ecuaciones originales en el punto de intersección, podríamos substituir x = en cualquier ecuación para resolver por y: y = () + 5 así que y = 1 o y = 1 e y = 1. Así que las dos líneas en este ejemplo intersectan en (, 1). Para más información, vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 5.., 5.. y 5..4 del texto Core Connections en español, Curso. Ejemplo 1 Encuentre el punto de intersección para y = 5x + 1 e y = x 15. Substituya las partes iguales de las ecuaciones. Resuelva para x. 5x +1 = x 15 8x = 16 x = Remplace x con en la cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva por y. y = 5( ) +1 y = o y = ( ) 15 y = 6 15 Las dos líneas interceptan en (, 9). y = 9 y = 9 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

6 Ejemplo El Parque de diversiones matemática es diferente a otros parques de diversiones. Los visitantes encuentran su primera decisión matemática cuando tienen que pagar su pase de entrada. Tienen dos opciones. Con el Plan 1 ellos pagan $5 para entrar al parque y $ por cada juego. Con el Plan, ellos pagan $1 para entrar al parque y $ por cada juego. Por cuantos juegos de cada plan costara el mismo precio? El primer paso a esta solución es escribir una ecuación que describa el costo total de cada plan. En este ejemplo, deje que x sea igual al número de juegos e y el costo total. La ecuación para representar el Plan 1 para juegos x es y = 5 + x. Similarmente, la ecuación representando el Plan para juegos x es y = 1 + x. Sabemos que si los dos planes cuestan lo mismo, entonces el valor y de y = 5 + x e y = 1 + x deben ser lo mismo. El próximo paso es escribir una ecuación usando x y después resolver por x. 5 + x = 1 + x 5 + x = 1 x = 7 Use el valor de x para encontrar y. y = 5 + (7) = 6 La solución es (7, 6). Esto significa que si sube a 7 juegos, los dos planes deben tener el mismo costo de $6. 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

7 Problemas Encuentra el punto de intersección (x, y) para cada sistema de ecuaciones lineales. 1. y = x 6 y = 1 x 4. y = x 5 y = x y = x 5 y = x + 5. y = x + 7 y = 4x 5. y = x + 16 y = 5x y = 7 x y = x 8 Escriba un sistema de ecuaciones lineales para cada problema y úselo para encontrar una solución. 7. Jacques lavará las ventanas de una casa por $15.00 más $1.00 por ventana. Ray las lavará por $5.00 más $.00 por ventana. Deja que x sea el número de ventanas y la y el total que cobran por lavarlas. Escriba una ecuación que represente cuanto cada persona cobra para la lavar las ventanas. Resuelva el sistema de ecuaciones y explique lo que signifique la solución y cuando será más económico de usar a cada lava ventanas. 8. Elle se mudó a Hawksbluff por un año y quiere ingresarse a un club de salud. A reducido sus opciones a dos lugares: Thigh Hopes y ABSolutely fabulus. Thigh Hopes cobra un precio de $95 para ingresarse y $15 adicionales por mes. ABSolutely fabulus cobra un precio de $15 para ingresar y $1 adicionales por mes. Escriba dos ecuaciones que representan los costos de los dos clubs. Qué representaran los variables? Resuelva el sistema de ecuaciones y diga cuando los costos sean igual. Elle solamente vivirá allí un año, así que cuál club será menos costoso? 9. Misha y Nora quieren comprar pases de temporada para un telesquí pero ninguna de las dos tiene $5 para comprar los pases. Nora decidió conseguir un trabajo donde pagan a $6.5 por hora. No tiene nada ahorrado pero puede trabajar cuatro horas cada semana. Misha ya tiene $80 y planea ahorrar $15 de su compensación semanal. Quién podrá comprar su pase primero? 10. Ginny está creciendo calabazas para participar en un concurse de quien crece la calabaza más pesada. Su mejor calabaza pesa libras y está creciendo a una tasa de.5 libras por semana. Martha planto su calabaza tarde. Su mejor calabaza pesa 10 libras pero espera que crezca 4 libras por semana. Asumiendo que sus calabazas crezcan a este paso, en cuantas semanas sus calabazas pesaran lo mismo? Cuánto pesaran? Si el concurso se termina en siete semanas, quién tendrá la calabaza más pesada? 11. Larry y su hermana Betty están ahorrando dinero para comprarse sus computadora propias. Larry tiene $15 y puede ahorrar $5 cada semana. Betty tiene $80 y puede ahorrar $0 cada semana. Cuándo tendrán la misma cantidad de dinero? 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso

8 Respuestas 1. (9, ). (4, 7). (4, 4) 4. (19, 5) 5. (4, 11) 6. (, ) 7. Deje que x = el número de ventanas e y = el costo. Jacques: y = x; Roy: y = 5 + x. La solución es (10, 5), que significa que el costo para lavar 10 ventanas es $5. Para menos de 10 ventanas use a Roy y para más de 10 ventanas use Jacques. 8. Deje que x = semanas e y = cobro total. Thigh Hopes: y = x; ABSolutely fabulus: y = x. La solución es (10, 45). En 10 meses el costo de cualquier club es $45. Por 1 meses use ABSolutely fabulus. 9. Deje que x = semanas e y = el total de ahorros. Misha: y = 15x + 80; Nora: y = 5x. La solución es (8, 00). Ambos tendrán $00 en 8 semanas, así que Nora tendrá $5 en 9 semanas y podrá comprar el pase primero. Una solución alternativa es escribir las dos ecuaciones, luego sustituya por y en cada ecuación y resuelva por x. En este caso, Nora puede comprar su pase en 9 semanas y Micha en 9.67 semanas. 10. Deje que x = semanas e y = el peso de la calabaza. Ginny: y =.5x + ; Martha: y = 4x La solución es (8, 4), así que las calabazas pesarán 4 libras en 8 semanas. Ginny podría ganar (9.5 libras a 8 libras de Martha). 11. Deje que x = semanas e y = el total de dinero ahorrado. Larry: y = 5x + 15; Betty: y = 0x La solución es (11, 600). Ambos tendrán $600 en 11 semanas. 01 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso